Trờng đại học vinh Khoa Toán Nguyễn Thị Tố Nga Dạy học chủ đề giới hạn, đạo hàm, tích phân theo hớng tiếp cận lịch sử phát triển toán học KHóa luận tốt nghiệp đại học Ngành Cử nhân S phạm Toán Cán hớng dẫn khoá luận TS Chu Trọng Thanh Vinh 2006 Phần mở đầu 1- Lý chọn đề tài Luật Giáo dục 1998, chơng I, điều 24 nhấn mạnh: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Dạy học phát giải vấn đề hình thức phát huy tính tích cực t học sinh có hiệu cao Mặc dù kiến thức toán học đa vào chơng trình phổ thông không thiết phải giống đúc hình thành phát triển kiến thức lịch sử toán học nhng số trờng hợp có thể, sử dụng t liệu lịch sử toán để gợi động hình thành chủ đề đó, đặc biệt khái niệm toán học đạt đợc kết tốt Sử dụng lịch sử toán gợi vấn đề để tiến tới khái niệm hình thành biểu tợng đắn cho học sinh Vì ấn tợng ban đầu giữ vai trò quan trọng trình học tập, định tính chất đắn hay sai lầm việc ghi nhớ tài liệu học Điều quan trọng học sinh tri thức mà em thu nhËn cã thĨ vËn dơng vµo thùc tÕ, vµo phát triển xà hội hay lợi ích thân em Đa tình mà lịch sử toán học đà trải qua để tiến tới kiến thức làm rõ mối liên hệ toán học thực tiễn, có tác dụng kích thích em hoạt động học tập Víi viƯc d¹y häc nh vËy häc sinh sÏ tiÕp cận kiến thức toán học, xét mặt đó, gần giống với việc nghiên cứu nhà toán học Các em biết đợc từ đâu mà xuất kiến thức ấy, tạo cho em không khí học tập nh tập dợt nghiên cứu khoa học, từ lĩnh hội đợc kinh nghiệm lịch sử xà hội Vì sử dụng t liệu lịch sử toán để gợi động giúp học sinh nắm kiến thức mà bồi dỡng nhân cách cho em, theo nh ngôn ngữ Grigôri Vinxki - nhà tâm lý học Nga, giáo dục không đơn việc dạy học Với lý định chọn đề tài khoá luận Dạy học chủ đề Giới hạn,Đạo hàm,Tích phân theo hớng tiếp cận lịch sử phát triển toán học Mục đích nghiên cứu Đề xuất hớng tiếp cận lịch sử toán để dạy học số nội dung toán học nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học môn toán Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lí luận: vấn đề tích cực hoá hoạt động nhận thức học sinh; khai thác kiến thức lịch sử toán phục vụ cho việc tổ chức hoạt động nhận thức học sinh - Nêu định hớng giảng dạy kiến thức Giới hạn,Đạo hàm,Tích phân theo hớng tiếp cận lịch sử phát triển toán học - Tiến hành kiểm nghiệm thực tế số nội dung nhằm bớc đầu đánh giá tính khả thi, tính thực, tính hiệu đề tài Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài: giáo dục học, lí luận dạy học môn Toán, thuyết phát triển tâm lí, - Quan sát: dự giáo viên,quan sát trình học tập học sinh, - Thực nghiệm s phạm Giả thuyết khoa học Trong dạy học môn Toán giáo viên biết khai thác t liệu lịch sử cách hợp lý làm cho hoạt động học tập học sinh tích cực, gây đợc hứng thú, hiệu dạy học nhờ để nâng cao Đóng góp khoá luận Tổng hợp số t liệu lịch sử toán liên quan đến nội dung môn toán phổ thông, đề xuất định hớng khai thác t liệu trình dạy học số nội dung môn toán phổ thông Cấu trúc khoá luận Chơng Cơ sở lí luận vấn đề dạy học Toán theo hớng tiếp cận lịch sử phát triển Toán học 1.1 Vấn đề tích cực hoá hoạt động nhận thức học sinh 1.2 Khai thác kiến thức lịch sử Toán phục vụ cho việc tổ chức hoạt động nhận thức học sinh 1.3 Đặc điểm kiến thức chủ đề Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân Chơng Dạy học chủ đề Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân theo hớng tiếp cận lịch sư ph¸t triĨn cđa To¸n häc 2.1 Mét sè t liệu lịch sử liên quan đến kiến thức Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân 2.2 Một số lu ý sử dụng t liệu lịch sử Toán dạy học môn Toán phổ thông 2.3 Một số định hớng khai thác kiến thức lịch sử Toán vào dạy học chủ đề Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân 2.4 Minh hoạ số nội dung Chơng Kiểm nghiệm thc tiƠn mét sè néi dung Ch¬ng Cơ sở lí luận vấn đề dạy học Toán theo hớng tiếp cận lịch sử phát triển Toán học 1.1 Vấn đề tích cực hoá hoạt động nhận thức học sinh 1.1.1 Tích cực hoá hoạt động nhËn thøc cđa häc sinh HiƯu qu¶ lÜnh héi tri thức chỗ tri giác giữ lại thông tin mà chỗ cải biến có kết thông tin Điều đòi hỏi chủ thể phải hoạt động tích cực, tìm tòi, khám phá khâu thiếu thông tin đà tiếp thu đợc, cải biến thành có nghĩa Đổi phơng pháp dạy học nhà trờng phổ thông phải tiến hành theo hớng ngày phát huy tính tích cực học sinh tăng cờng hoạt động trí tuệ độc lập em trình thu nhận tri thức, rèn luyện kĩ năng, kỹ xảo Tích cực hoá việc dạy học có giá trị mặt kết trí dục mà đặc biệt quan trọng mặt giáo dục, ảnh hởng đến nhân cách học sinh Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc häc tËp cđa häc sinh có tác dụng phát triển đức tính quý giá nh: tính mục đích, lòng ham hiểu biết, tính kiên trì, óc phê phán, Những phẩm chất cá nhân trở thành yếu tố kích thích bên điều chỉnh hoạt động nhận thức học sinh, điều kiện quan trọng giúp cho việc học tập đạt kết tốt Khoa học s phạm đà tìm đợc nhiều thủ thuật phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức học sinh Trong số đó, dạy học phát giải vấn đề đặc biệt có giá trị quan trọng Đó hình thức có hiệu để tổ chức tìm tòi sáng tạo học sinh tiếp thu tri thức thông qua việc phát giải vấn đề Ngày có nhiều lí thuyết nghiên cứu hoạt động học học sinh, sở có nhiều mô hình dạy học đợc đề xuất Tất mô hình hớng vào việc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cđa häc sinh häc tập 1.1.2 Tâm lí học hoạt động Động yếu tố thúc đẩy ngời hoạt động, gặp gỡ nhu cầu chủ thể đối tợng hoạt động Khi đối tợng có khả thoả mÃn nhu cầu ngời, kích thích ngời hoạt động, trở thành động Tức động hoạt động thân đối tợng chủ thể ý thức đợc Trong hoạt động học tập, tri thức khoa học, kỹ năng, kỹ xảo đối tợng hoạt động học thân động học sinh có hai động học tập chủ yếu: động bên động bên Những động bên động mà đối tợng học gắn liền với nhu cầu, hứng thú phát triển, tìm kiếm tri thức mới, lòng ham hiểu biết (gọi động hoàn thiện tri thức) say mê với việc giải nhiệm vụ học, nhu cầu vận dụng tri thức (gọi nhu cầu thân hoạt động học) Các em cảm thấy thoả mÃn lĩnh hội đợc tri thức, kỹ năng, kỹ xảo hay hoàn thành nhiệm vụ học Hoạt động học đợc thúc đẩy động bên thờng không gây căng thẳng tâm lí Động bên (hay động quan hệ xà hội) loại động mà đối tợng không gắn với đối tợng hoạt động học Khi đó, lĩnh hội tri thức, kỹ năng, kỹ xảo điều kiện, phơng tiện để đạt tới mục đích khác, đối tợng khác có khả thoả mÃn nhu cầu quan hệ xà hội học sinh nh nhu cầu tự khẳng định, đợc thừa nhận hay nghề nghiệp tơng lai, Loại động thúc đẩy hoạt động học nh cỡng bách từ bên ngoài, điều gây học sinh xung đột nội tâm, căng thẳng tâm lí Hoạt động học tập học sinh thờng đợc thúc đẩy hai động Nếu giáo viên đa đợc học sinh vào tình đòi hỏi n phải giải vấn đề nhận thức hớng dẫn học sinh giải tình để phát (tri thức, phơng pháp,) hình thành em nhu cầu, hứng thú tri thức khoa học với thân hoạt động học Trong trờng hợp này, động bên đóng vai trò chủ đạo, chiếm u hệ động cơ, giúp học sinh vợt qua khó khăn, trở ngại, từ em học tập mét c¸ch tù gi¸c, tÝch cùc Nh vËy, dạy học để tích cực hoá hoạt động nhận thức học sinh, điều quan trọng phải hình thành em nhu cầu nhận thức, hiểu biết, qua xây dựng hệ động mà động bên đóng vai trò chủ đạo hoạt động học tập học sinh Theo A.N.Leonchiep hoàn cảnh nào, tri thức trở thành trẻ đứa trẻ lĩnh hội nh đợc quy định động cụ thể Động khác nhau, tất nhiên kết học tập khác nhau; khác không mức độ thành công lĩnh hội Vậy, động nh đứa trẻ hoạt động tích cực, tự giác? Nhiệm vụ phải làm cho em nhận thấy tri thức mà em cần lĩnh hội trở thành có ý nghĩa chúng, có vị trí nh đời sống cá nhân chúng có ý nghĩa cộng đồng ý tri thức thân em gì? Đó tuý lĩnh hội đợc mà mang sắc thái tình cảm, cảm xúc thân em ®èi víi tri thøc Êy §øng tríc mét kiÕn thøc, cách gợi động xây dựng nên học sinh xúc cảm tốt, giúp em tích cực hoạt động Đối với đứa trẻ, tài liệu học tập hứng thú lĩnh hội ghi nhớ dễ dàng nhiêu Hứng thú lại gắn với cảm xúc, nhu cầu Để kích thích hứng thú, ®Ị mơc ®Ých, råi cè g¾ng biƯn vỊ mặt động cho hành động hớng vào mục đích xác định, mà ngợc lại, cần phải tạo nên động sau vạch khả tìm mục ®Ých b»ng c¸ch sư dơng mét hƯ thèng c¸c ®éng trung gian động hớng đích Nh vậy, néi dung nhËn thøc cđa ý thøc phơ thc vµo thái độ đợc nhận thức Giáo viên cần phải cho học sinh có thái độ học tập thích hợp; điều kiện tri thức trở nên sinh động em, từ quy định thái độ em giới, giáo dục động học tập phải đặt mối quan hệ với sù ph¸t triĨn cđa cc sèng, víi sù ph¸t triĨn cđa néi dung cđa c¸c quan hƯ sèng thùc cđa trẻ em 1.2 Khai thác kiến thức lịch sử Toán phục vụ cho việc tổ chức hoạt động nhận thức học sinh Yêu cầu đổi phơng pháp dạy học vấn đề bật đặt cho ngành Giáo dục nớc ta Hẳn đà đợc nghe không lần cụm từ học tập hoạt động hoạt động hay hoạt động hoá ngời học Các giáo viên trớc lên lớp suy nghĩ cho dạy học sinh hoạt động sôi nổi, tích cực giơ tay phát biểu, nhng điều ®ã hoµn toµn cha ®đ NhiƯm vơ cđa chóng ta không truyền tải kiến thức mà giáo dục, nghĩa từ dạy học mà rèn luyện nhân cách cho em Tri thức khoa học có đơn vị bản, tảng khái niệm khoa học Tri thức khoa học hệ thống khái niệm mói quan hệ logic với nhau.Vì hình thành khái niệm khoa học có vai trò quan trọng hoạt động học học sinh Mỗi khái niệm khoa học chứa đựng trình lịch sử hình thành nó, lĩnh hội khái niệm có nghĩa lĩnh hội lịch sử Hơn nữa, khái niệm chứa đựng lôgic phát triển đối tợng, cấu trúc lôgic thao tác mà loài ngời đà sử dụng để phát Dạy học truyền thống lấy trình độ hiểu làm mục đích; giáo viên cố gắng trình bày, giảng giải, mô tả lôgíc khái niệm Với phơng pháp này, học sinh hiểu đợc, có biểu tợng khái niệm, hình dung đợc cấu trúc lôgic hình thức, giải thích vận dụng đợc vào tình quen thuộc nhng em lại đợc lực hành động thực sự, có tính tổng quát Tâm lí học hoạt động có quan niệm khác hẳn Theo nó, lĩnh hội khái niệm học sinh nắm vững, thực đợc lôgic thao tác nó, đó, có thêm lực hành động Nh vậy, để hình thành khái niệm học sinh, giáo viên phải tổ chức cho học sinh hành động tác động vào khách thể theo lôgic khái niệm mà loài ngời đà tìm Điều phải làm nảy sinh häc sinh nhu cÇu nhËn thøc, nhu cÇu lÜnh héi khái niệm mà cần chiếm 10 lĩnh Sử dụng t liệu lịch sử Toán việc gợi động hình thành khái niệm phơng pháp có nhiều u điểm Thứ nhất, định hớng đắn để em khám phá tri thức, nhà toán học đà tìm kiến thức Thứ hai, từ động ban đầu đến có khái niệm, trình chứa đựng lịch sử hình thành, cấu trúc lôgic khái niệm Thứ ba, phơng pháp đem lại hứng thú cho học sinh em cảm thấy tự đà khám phá tri thức đó, tất nhiên dới hớng dẫn giáo viên, thành giúp em hăng say học tập, tích cực, tự giác, định hớng cho em phơng pháp tự nghiên cứu vấn đề khác, từ rèn luyện t độc lập, sáng tạo cho em Thứ t, trình học tập từ động ban đầu để tìm tri thức, em trải qua khó khăn, mâu thuẫn học đợc cách giải mâu thuẫn, bồi dỡng t biện chứng Một số t liệu làm rõ mối liên hệ toán học thực tiễn, từ thực tiễn đến t trừu tợng, từ t trừu tợng lại trở thực tiễn, giúp em có nhìn đắn giới, góp phần hoàn thiện nhân cách em Mặc dù phơng pháp đòi hỏi nhiều thời gian, nhng điều chỉnh hợp lí giảng dạy đem lại kết tốt 1.3 Đặc điểm kiến thức chủ đề Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân 1.2.1 Giới hạn Khái niệm Giới hạn sở Giải tích toán học Các khái niệm giới hạn liên tục đà đợc nhà toán học nhận thức sử dụng cách trực giác từ thời cổ đại Archimède (thế kỷ III TCN) ®· biÕt xem chu vi cđa mét ®êng tròn giới hạn chu vi đa giác có n cạnh nội tiếp đờng tròn Hai nhà toán học kỷ XVII Newton Leibniz đà xây dựng phát triển phép tính vi tích phân sở vận dụng cách trực giác khái niệm giới hạn Đến kỷ XVIII, nhà toán học Pháp Cauchy đa định nghĩa xác giới hạn, liên tục 43 - Khi Achilis chạy đến R2 ( 100 km) rùa chạy đến R2 (chạy đợc 100 = 100 : km) Khi khoảng cách Achilis vµ rïa lµ: 100 U4 = (km) 100 - Tơng tự nh ta xây dựng đợc: U5 = 1 ,… ; U6 = ; U7 = 100 100 100 - D·y (Un) có đặc điểm nh nào? + DÃy (Un) cấp số nhân, có công bội q = Un = 100 , số hạng tổng quát 100 n - Khi n lớn Un nhỏ, tức Achilis ngày gần rùa Un nhỏ đợc, miễn n đủ lớn Khi n tiến đến Un tiến đến giá trị - Đến lúc Achilis đuổi kịp rùa ngời Nh dÃy số (Un) có giới hạn Đi từ toán Achilis đuổi rùa lại thuận tiện cho việc dạy tổng cấp số nhân vô hạn có công bội q với |q| < Nhờ toán học sinh nhanh chóng nắm đợc công thức hiểu đợc chất Tổng vô hạn cấp số nhân vô hạn có công bội q víi | q| < DÐlec ZÐnon sau đa toán Achilis đuổi rùa đà giải nh sau: A R R R2 R3 100km Khi Achilis chạy đợc 100km, tức đến đợc chỗ rùa xuất phát (R) rùa đà chạy đợc 1km (đến R1), Achilis chạy đợc thêm 1km rùa đà chạy đến R2 44 cách R1 100 km, Do vậy, Achilis rùa có khoảng cách không Achilis đuổi kịp rùa Đây cách lí giải nguỵ biện (trái với thực), thực tế Achilis đuổi kịp rùa sau Achilis chạy đợc 10000 99 (km), ngời ta gọi cách giải nghịch lý Zénon Vậy sai lầm củ Zénon đâu? - Giả sử rùa chaỵ với vận tốc v = 1km/h Achilis chạy vận tốc V = 100km/h Khi thời gian để Achilis đuổi kịp rùa là: t= S v = 10.000 99 : 100 = 100 99 (h) Để thấy rõ sai lầm Zénon, ta tính thời gian Achilis đuổi rùa cách lấy tổng thời gian Achilis chạy quÃng đờng AR, RR1, R1R2, A R R R2 R3 100km Achilis chạy đoạn AR thời gian 1(h) Achilis chạy đoạn RR1 thời gian Achilis chạy đoạn R1R2 thời gian 100 (h) (h) 100 đoạn Rn-1Rn thời gian (h) 100 n Ta xây dựng đợc dÃy (Tn) cấp số nhân có số hạng tổng quát Tn = Tổng thời gian Achilis đuổi rùa tổng vô hạn S=1+ 100 + 1 + + + 100 100 n 100 n −1 45 ZÐnon cho r»ng tỉng nµy lµ vô hạn, nhng thực tế tổng 100 99 (h) S=1+ 100 + 1 100 + + n + …= 99 100 100 - Công thức tính tổng n số hạng đầu cđa cÊp sè nh©n (Tn) n Sn = + 100 + + 100 n −1   1−  =  100  1− 100 = 100 99   n    1 −   100     lim Sư dơng giíi h¹n S = n →∞ Sn Suy n   lim  100  - Ta thÊy 100 = < vµ n   lim  100  = Ngời ta đà chứng minh đợc rằng: với mäi q cã tÝnh chÊt |q| < th× lim qn= Từ tìm đợc công thức tính tổng vô hạn cấp số nhân có công béi q (|q| < 1) S = lim Sn = lim(U1 −q n −q U ) = 1q 2.4.2 Dạy học phần đạo hàm Giải tích 12, chỉnh lý hợp năm 2000, đa định nghĩa đạo hàm sau toán tìm vận tốc tức thời chất điểm chuyển động thẳng Từ giới h¹n lim x →x f (x) − f (x ) f (x + ∆ x ) − f (x ) để đến giới hạn lim0 đòi hỏi phải nhắc lại x x0 x x số gia đối số số gia hàm số Tuy nhiên, nhắc lại khái niệm cách sơ sài nghĩ em đà học từ lớp 11 dẫn đến tình trạng học sinh nắm công thức cách máy móc Nhng em nắm đợc khái niệm số gia không đơn giản, đa thông số 46 giải toán ban đầu có lẽ giúp em nắm định nghĩa đạo hàm cách vững Khi dạy phần số gia cần phải lu ý cho học sinh: số gia đối số số gia hàm số nhận giá trị dơng x = x - x0, trờng hợp x > x0 th× ∆x > 0, x < x0 x < 0, tơng tự nh số gia hàm số Nếu x xẩy hai khả năng: x 0+ x - Sách giáo khoa xây dựng định nghĩa đạo hàm từ toán tìm vận tốc tức thời chất điểm chuyển động thẳng Sau toán nên đa vào t liệu lịch sử đời đạo hàm: Định nghĩa đạo hàm đà đợc xây dựng cách độc lập hai nhà Toán học Newton Leibniz Newton từ toán vật lí nh đà biết, Leibniz xây dựng định nghĩa xuất phát từ nội toán học toán tìm hệ số góc tiếp tuyến đờng cong điểm Trong học ngoại khoá, xây dựng định nghĩa đạo hàm theo cách Leibniz Bài toán đặt nh sau: Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc cho đờng cong (C) có phơng trình y = f(x) M0(x0, y0) ∈ (C) ∆ lµ tiÕp tuyến (C) M0 (C) Tìm hệ số gãc tgϕ0 cđa tiÕp tun ∆” M0(x0, y0) Chóng ta hớng dẫn học sinh giải theo hai cách sau: a C¸ch thø nhÊt: ϕ0 ∆   47 Cách dựa vào ý nghĩa cho rằng: tiếp tuyến vị trí giới hạn cát tuyến hai điểm cắt đờng cong tiến tới chỗ trùng M0 (C), giả sử M0M cát tun T M (C) cđa (C) Khi ®iĨm M di chuyển (C) dẫn tới điểm M0 cát tuyến M0M có vị trí giới (C) M0 hạn M0T tiếp tuyến (C) M0 Ta giả sử đờng cong (C) có dạng nh hình vẽ y (C) x §iĨm M ∈ (C), nh vËy M cã thĨ vị trí phía bên trái bên phải điểm x M M0, hay M → M0 M tiến phía phải phía trái M0 O Trờng hợp M(x, y) (C), M nằm bên phải điểm M x y M Gọi góc hợp cát tuyến M0M với chiều dơng trục hoành Khi tg0 = Mlim tg →M MH tgϕ = M H = f (x) − f (x ) x − x0 H M0 ϕ0 ϕ O x + M → M0 th× x → x Suy tgϕ0 = xlim+ →x Trêng hỵp 2: f (x ) − f (x ) x − x0 y M0 f(x0) f(x) ϕ O M x H ϕ0 x0 x 48 M H tgϕ = MH = f (x ) − f (x) f (x) − f (x ) = x0 − x x − x0 f (x) − f (x ) tgϕ0 = Mlim tgϕ = xlim− x − x →M →x 0 Do hÖ sè góc tg0 tiếp tuyến nhận giá trị Nh để tồn tg0 (tức có tiếp tuyến điểm M0) lim x x f (x) − f (x ) f (x ) − f (x ) f (x) − f (x ) = lim+ hay tgϕ0 = xlim →x x − x0 x →x x − x0 x − x0 * Chun sang kh¸i niƯm sè gia NÕu ta gäi ∆x = x - x0: sè gia cña đối số điểm x0 x0 cố định, x thay đổi tuỳ theo giá trị x Nếu x > x0 th× ∆x > 0; x < x0 th× ∆x < Trong trờng hợp 1: x > x0 nên ∆x > + x → x th× ∆x → 0+ − Trêng hỵp 2: x → x th× ∆x → 0- Tõ ∆x = x - x0 suy x = x0 + ∆x Gäi ∆y = f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆x) - f(x0): sè gia tơng ứng hàm số điểm x0 Trờng hỵp 1: ∆y > 0; trêng hỵp 2: ∆y < Biểu diễn hình vẽ ta có: y y M f(x0+∆x) M0 f(x0) f(x0) M0 f(x0+∆x) ∆x > O x → x0 x0 x0+∆x 0+x th× ∆x → tgϕ0 = ∆lim + x →0 f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x ∆x < tgϕ0 = ∆lim − x →0 M − x O x +∆x x → 0x th× ∆x 0→ 0- f ( x ) − f ( x + ∆x ) − ∆x x 49 = ∆lim − x →0 f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x Trong hai trờng hợp ta có: tg0 = lim x →0 f (x + ∆ x ) − f (x ) x Nhận xét: Với toán mở đầu nh trên, làm rõ khái niệm số gia mà thuận tiện cho việc dạy đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải định lý tồn đạo hàm điểm x0 (đạo hàm trái, đạo hàm phải tồn nhau) Cách thứ hai: Phơng pháp dựa vào ý nghĩ: tiếp tuyến (C) M0 M ∈ ∆, nÕu M tiÕn tíi M0 th× M điểm thuộc đờng cong, tức toạ độ thoả mÃn phơng trình y = f(x) y y y M M0 f(x0) M0 f(x0) H y ϕ0 M H ϕ0 x0 x x x0 x O ∆ O ∆ M(x, y) ∈ tiÕp tuyÕn ∆ cña (C) M0 Có hai trờng hợp xẩy ra: Trờng hợp 1: M nằm phía bên phải điểm M0 MH y − f (x ) tgϕ0 = M H = x − x 0 Khi M → M0 điểm M đợc coi nh nằm đờng cong (C), tức toạ độ thoả mÃn phơng trình: y = f(x) x 50 lim [ y − f ( x )] = lim+ [ y − f ( x )] = x→x0 hay M →M Suy ra: lim [ y − f ( x )] = lim+ [ y − f ( x )] = lim+ [ y − f ( x ) + f ( x ) − f ( x )] = x→x0 x →x M →M = xlim0 [ y − f ( x )] + xlim0 [f ( x ) − f ( x )] = xlim0 [f ( x ) − f ( x )] →x + →x + →x + y − f (x ) y − f (x ) 0 Do ®ã tgϕ0 = x − x = Mlim x − x = xlim+ →M0 →x0 0 f (x) − f (x ) x − x0 Trêng hỵp 2: M n»m phía bên phải điểm M0 Tơng tự cã y − f (x ) y − f (x ) 0 tgϕ0 = x − x = Mlim x − x = xlim+ →M →x 0 Vậy, để tồn tg0 xlim+ x f (x) − f (x ) x − x0 f (x ) − f (x ) = x − x0 f (x) − x ) f( lim − x→ x0 x − x0 vµ tgϕ0 = xlim →x f (x) − f (x ) x − x0 Đối với cách đa vào ký hiệu số gia tơng tự cách Chú ý ban ®Çu ®iĨm M(x, y) ∉ (C), ta cã sè gia cđa ®èi sè ∆x = x - x0 nhng sÏ số gia tơng ứng hàm số y = f(x) - f(x0) M(x, y) không thoả mÃn phơng trình y = f(x) Chỉ M M0 th× tgϕ0 = xlim →x f (x) − f (x ) đa vào khái x x0 niệm số gia Không thiết phải giải toán với trơng hợp tổng quát đờng cong có phơng trình y=f(x) Giáo viên nên đa ví dụ cụ thể, đặc biệt 51 hàm số em thờng gặp nh: Cho hàm số y = x2 , t×m hƯ sè gãc cđa tiÕp tun điểm x=2 Dựa vào toán tìm tiếp tuyến, có lợi để dẫn dắt học sinh khám phá mối quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số điểm Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số Chúng ta đa ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho hµm sè f(x) =  x nÕu x >   nÕu x ≤ y Häc sinh sÏ dƠ dµng nhËn hµm sè không liên tục điểm x = Không tån t¹i tiÕp tun cđa (C) t¹i x =1 O không tồn f(x) x Từ nêu lên câu hỏi: có kết luận tính liên tục tính có đạo hàm điểm x0? Câu trả lời là: Hàm số không liên tục x0 đạo hàm x0 Hàm số có đạo hàm x0 hàm số liên tục x0 Sau chứng minh khẳng định Ví dụ 2: (Chỉ xét giải toán mở đầu giải theo cách 1) x x > Cho hµm sè f(x) =   x Hàm số liên tục x = 1, nhng có tồn f(1) hay không? y Ta cã M0(1, 1) O x 52 Tiếp tuyến (C) M0 vị trí giới hạn cát tuyến M0M M M0 - M nằm bên phải điểm M0 Theo toán mở đầu (cách 1) ta có: tg0 = xlim+ →x f (x) − f (x ) x x0 - M nằm phía bên trái điểm M0 Cát tuyến M0M đờng thẳng y = M M0, cát tuyến M0M không thay đổi vị trí nên không tạo đợc tiếp tuyến M0 không tồn f(1) Hay theo ngôn ngữ đạo hàm ta có: lim f(1+) = x→1+ f ( x ) − f (1) x −1 = lim x→ + x −1 x −1 = lim f’(1-) = x→1+ f ( x ) − f (1) x −1 = lim x→ + x −1 x −1 = Nh vËy f’(1+) f(1-) nên không tồn f(1) Từ đây, có kết luận thêm tính liên tục tính có đạo hàm? Câu trả lời mong đợi là: hàm số liên tục điểm x0 nhng không tồn f(x0), hay tính liên tục x0 tính có đạo hàm x0 Nhận xét: Học sinh thờng không nắm vững mối quan hệ tính liên tục tính có đạo hàm Khắc sâu quan hệ ví dụ cụ thể tránh đợc nhầm lẫn sau em Dạy phần Cực trị hàm số Sau định lý lân cận, điểm cực đại, cực tiểu, dẫn dắt học sinh tới điều kiện cần để hàm số có cực trị nh sau: Johann Kepler, nhà khoa học kỷ XVII, đà có nhận xét số gia hàm số trở nên nhỏ tới mức triệt tiêu lân cận giá trị cực đại cực tiểu 53 Cho hàm số y = f(x), giả sử x0 điểm cực trị Tại x0 cho số gia x y = f(x0+ x) - f(x0) số gia hàm số tơng ứng x0 Nếu x dần tới y sÏ trë nªn nhá tíi møc triƯt tiªu (tøc ∆y = 0) Nh vËy ∆x → th× ∆y → nhng |∆y| < |∆x| hay ∆y → nhanh x Dựa vào nhận xét Kepler, Fermat đà nêu phơng pháp xác định cực đại hc cùc tiĨu nh sau: “ NÕu f(x) cã mét cực đại cực tiểu x nhỏ giá trị f(x0 + ) hầu nh với giá trị f(x0) Khi cho nhận giá trị ( = 0) nghiệm phơng trình f(x + ) = f(x) cực trị hàm số Ta xét ví dụ sau: Cho hµm sè y = x2 DƠ dµng nhËn x = lµ mét cùc tiĨu cđa hµm số Nếu dùng phơng pháp Fermat ta có: y Xét phơng trình f(x + ) = f(x) (x + δ)2 = x2 ⇔ 2x.δ + δ2 = y = x2 Chia hai vế cho ta đợc 2x + δ = x O Cho δ nhËn gi¸ trị x = Nh x0 cực trị hàm số (trong trờng hợp cực tiểu) Phơng pháp Fermat không giúp phân biệt giá trị cực đại cực tiểu Theo ngôn ngữ giới hạn nh phơng pháp Fermat (cũng nhận xÐt cđa Kepler) cã thĨ nªu nh sau: Khi x0 điểm cực trị y x x lim giới hạn lim nhanh x (hay |∆y| < |∆x| 0; ∆x < , suy lim + , suy lim − > 0, ∆x → ∆x tøc lµ cho qua giới hạn dấu = xuất Vấn đề đà đợc đề cập phần đồng biến, nghịch biến Đa số học sinh thắc mắc dấu = lại xuất hiện, giáo viên nên nêu ví dụ cụ thể qua giúp em chấp nhận cách nhanh chóng (mặc dù trực quan), nh em không cảm thấy vấn đề cần phải giải mà chọn đối tợng để tiếp thu Chúng ta giảng giải cho em nh sau: Tại qua giới hạn dấu = xảy ra? Nã còng gièng nh ta xÐt d·y (Un): Un = n (n ∈ N) Khi ®ã Un > 0, ∀n nhng limUn = 2.4.3 D¹y häc phần tích phân Giải tích 12, chỉnh lí hợp 2000, lấy định lí Newton - Leibniz làm định nghĩa, phù hợp mặt s phạm phù hợp với tinh thần giảm tải Tuy nhiên, nên đa số kiện lịch sử trớc hình thành định nghĩa tích phân: Sau biết cách tính diện tích hình chữ nhật, ngời ta suy đợc diện tích hình bình hành, hình tam giác, đa giác (bằng cách phân chia đa giác thành tam giác) Còn diện tích hình tròn đợc định nghĩa giới hạn diện tích đa giác nội tiếp hình tròn số cạnh tăng lên vô cùng, từ tính đợc hình phẳng giới hạn đờng thẳng cung tròn 55 Thể kỷ III trớc Công nguyên, Archimede đà tìm đợc diện tích tam giác có cạnh cong (biểu diễn hệ toạ độ phẳng đợc tạo cung parabol y = x2, trực Ox đờng thẳng x = 1) cách ứng dụng phơng pháp vét kiệt Năm 1656, John Wallis đà vận dụng hình thức đại số, phơng pháp giải tích lý luận giới hạn hàm số để tìm diện tích hình phẳng có cạnh cong đa khái niệm tích phân xác định Trong học thêm, ngoại khoá, giáo viên dẫn dắt học sinh giải toán ArchimÌde nh»m lµm nỉi bËt ngn gèc thùc tiƠn cđa tích phân Bài toán nh sau: Cho đờng Parabol xác định phơng trình y = x2 Đặt ba đỉnh tam giác cạnh cong O(0,0), A(1, 0), B(1, 1) HÃy tìm diện tích tam giác cạnh cong AOB? Hớng dẫn học sinh giải nh sau: Chia OA thành n phần n + ®iÓm chia = x0 < x1 < x2 < < x1 = Khi ®ã x0 = 0, x1 = n , x2 = n , , xn = Qua điểm chia, kẻ đờng thẳng vuông góc với OA, đờng y thẳng cắt đờng parabol tạo B thành n hình thang cong (hình tam giác cong, đợc coi nh trờng hợp y =x2 Sk đặc biệt hình thang cong) Trong A hình thang cong ta tạo hình chữ nhật, gọi hình chữ nhật hẹp, (hình vẽ) Khi đó, hình O x 56 ch÷ nhËt thø k chiỊu réng = n , chiÒu cao  k −1     n  (k = 1, n ) nªn cã diƯn tÝch Sk  k −1 2   n  n  Tỉng diƯn tÝch cđa tÊt c¶ hình chữ nhật hẹp là: S1 + S2 + + Sn = [12 + 22 + + (n - 1)2] n3 ë líp 11, chóng ta đà chứng minh đợc công thức 12 + 22 + n2 = n ( n +1)( 2n +1) Suy 12 + 22 + (n-1)2 = VËy S1 + S2 + + Sn = ( n −1)n (2n −1) ( n −1)n ( 2n −1)   1 = 1 −  −  6 n n n Khi n tăng lên vô hạn diện tích hình chữ nhật hẹp gần nh với diện tích hình thang cong Do diện tích tam giác cong AOB lim lim   S = n →∞ (S1 + S2 + + Sn) = n →∞ = 1 − n  − n  =    Ngêi ta gäi tæng (S1 + S2 + + Sn) tổng tích phân Hoặc tạo hình chữ nhật hẹp từ hình thang cong nh sau: Diên tích hình chữ nhật hẹp thứ k Sk = Tổng tÝch ph©n S1 + S2 + + Sn = k    n n  (k = 1, n ) n ( n +1)( 2n +1) n3 Tơng tự với toán diện tích hình thang cong aAbB giới hạn đồ thị hàm số liên tục y = f(x) (f(x) 0), trục Ox đờng thẳng x = a vµ x = b y B y y =x2 y = f(x) O A x O a x x 57 Ngời ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ không thiết điểm chia a = x0 < x1 < < xn = b Tuy nhiên, toán tìm diện tích dễ dàng thực đợc Cho đến kỷ XVIII, New ton Leibniz đà chứng minh đợc đính lý sau: Giả sử y = f(x) hàm số liên tục f(x) > [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox hai đờng thẳng x = a, x = b là: S = F(b) - F(a) Trong F(x) nguyên hàm f(x) [a; b] ... thức học sinh 1.3 Đặc điểm kiến thức chủ đề Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân Chơng Dạy học chủ đề Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân theo hớng tiếp cận lịch sử phát triển Toán học 2.1 Một số t liệu lịch sử. .. Giới hạn,? ?ạo hàm ,Tích phân theo hớng tiếp cận lịch sử phát triển toán học Mục đích nghiên cứu Đề xuất hớng tiếp cận lịch sử toán để dạy học số nội dung toán học nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học. .. tập cao 18 Chơng dạy học chủ đề giới hạn, đạo hàm, tích phân theo hớng tiếp cận lịch sử phát triển Toán học 2.1 số t liệu Lịch sử kiến thức giới hạn, đạo hàm, tích phân Ngợc với trình tự trình