KINH NGHIEM: Vẽ hình phụ để chứng minh đẳng thức hình học eBook.here.vn - Onbai.org Ti eBook, thi, Ti liu hc tp min phớ NĂM HọC 2007 - 2008 1 PHN MT ĐặT VấN Đề Trong quỏ trỡnh ging dy , vic hỡnh thnh v phỏt trin mt s k nng c bn cn thit cho HS l vn ủ m ngi giỏo viờn luụn phi duy trỡ, ủng thi phi ủa ra ủc nhng gii phỏp ủ hỡnh thnh v phỏt trin nhng k nng ủú. Vi tụi, mt trong nhng k nng ủú l v hỡnh ph. Trong thc t, tụi nhn thy hc sinh cũn lỳng tỳng khi ủng trc bi toỏn chng minh hỡnh hc, nht l vi nhng bi cn phi k thờm ủng. Cỏc em cha ủnh hng ủc vn ủ, ủụi khi cũn cha bit phi bt ủu t ủõu, v hỡnh ph nh th no? Cú c s no giỳp cỏc em tỡm ra hng ủi cho vic k thờm hỡnh mi khi cha tỡm ngay ủc li gii ca bi toỏn? Thit ngh ủõy l vn ủ rt trn tr vi mi ngi giỏo viờn dy toỏn. Khụng ch l ủnh hng v rốn k nng cho cỏc em,m thc s ủõy cũn l cỏch ủ rốn luyn v phỏt trin t duy cho HS, nõng cao kh n ng suy lun lụgic v kh nng vn dng tri thc vo thc tin. Vi mc ủớch nh vy, tụi ủó vit v ỏp dng kinh nghim v hỡnh ph ủ chng minh ủng thc hỡnh hc. Phm vi ỏp dng kinh nghim ny xin ginh cho cỏc em HS lp 8 v 9. Ni dung ch xin ủ cp ủn mt k nng nh trong k nng v hỡnh ph ca HS , nờn rt mong s ủúng gúp b sung ý kin ca ủng nghip ủ kinh nghim ủc hon chnh v ủy ủ hn . Tụi xin trõn trng cm n! KINH NGHIEM: Vẽ hình phụ để chứng minh đẳng thức hình học eBook.here.vn - Onbai.org Ti eBook, thi, Ti liu hc tp min phớ NĂM HọC 2007 - 2008 2 PHN HAI GIảI QUYếT VấN Đề Khi gii cỏc bi toỏn hỡnh hc , vic v hỡnh ph to ủiu kin thun li cho ta tỡm ra li gii ca bi toỏn, nhng bit to ra hỡnh ph mt cỏch thớch hp khụng phi l bi toỏn d. Trong bi vit ny tụi ủa ra mt cỏch phõn tớch cú ch ý ủ tỡm ủc cỏch v thờm ủc hỡnh ph thớch hp khi gii mt s bi toỏn chng minh ủng thc hỡnh hc dng: xy = ab + cd, x 2 = ab + cd, x 2 = a 2 + cd, x 2 = a 2 + b 2 Ta xut phỏt t mt bi toỏn ủn gin nh sau: chng minh mt ủon thng bng tng hai ủon thng khỏc : AB = CD + EF, ta tỡm cỏch phõn chia ủon AB thnh hai ủon bi ủim M sao cho AM = CD, cụng vic cũn li l chng minh MB = EF í tng trờn cng ủc s dng ủ chng minh ủng thc xy = ab + cd v cỏc trng hp riờng nh sau: Bc 1: Chia ủon thng ủ di x thnh hai ủon bi ủim M sao cho x = x 1 + x 2 v x 1 y = ab Bc 2: Chng minh h thc x 2 y = cd Bc 3: Cng tng v cỏc ủng thc trờn ta ủc ủpcm Sau ủõy l mt s vớ d minh ho ỏp dng phng phỏp trờn KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 3 Vídụ 1 ð ịnh lí Pytago: Tamgiác ABC có góc A vuông . CMR BC 2 = AB 2 + AC 2 Phân tích : Lấy ñiểm M thuộc cạnh BC sao cho BM.BC = AB 2 ⇒=⇔ BC AB AB BM tamgiác BMA ñồng dạng với tam giác BAC nên góc BMA bằng 90 0 . Suy ra M là chân ñường cao hạ từ A xuống BC Lời giải: Hạ AM vuông góc với BC . Ta thấy M thuộc cạnh BC Ta có tam giác BMA ñồng dạng với tam giác BAC BC.BMAB BC AB AB BM 2 =⇒=⇒ Tam giác CMA ñồng dạng với tam giác CAB BC.CMAC BC AC AC CM 2 =⇒=⇒ Ta suy ra AB 2 + AC 2 = BC 2 M CB A Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có góc DAB = 90 0 và góc DBC = 90 0 . CMR : DC 2 = DI.DB + CI.CA Phân tích: Lấy ñiểm M thuộc cạnh CD sao cho DM.DC = DI.DB ⇒=⇒ DC DB DI DM KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 4 tam giác DMI ñồng dạng với tam giác DBC , do ñó góc DMI = góc DBC = 90 0 hay IM vuông góc với DM (DC) Vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm M Lời giải : Kẻ IM vuông góc với DC Ta có tam giác DBC ñồng dạng với tam giác DMI DBDIDMDC DI DM DC DB =⇒=⇒ (1) Lại thấy tam giác ACD ñồng dạng với tam giác MCI CICAMCDC CI MC CD AC =⇒=⇒ (2) Từ (1) và (2) ta có: DC.(DM+MC) = DI.DB + CI.CA Hay DC 2 = DI.DB + CI.CA B M I D C A B M I D C A Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AD là phân giác của góc A. CMR: AD 2 = AB.AC – BD.CD Phân tích : Lấy ñiểm E trên AD sao cho AD.AE = AB.AC ⇒=⇒ AC AD AE AB tam giác ABE ñồng dạng với tam giác ADC , do ñó góc ABE = góc ADC. KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 5 Như vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm E Lời giải: Trên AD lấy E sao cho AD góc ABE = góc ADC . Dễ thấy AD = AE – DE Do AD là phân giác góc A nên tam giác ABE ñồng dạng với tam giác ADC ACABAEAD AC AD AE AB =⇒=⇒ (1) Lại thấy tam giác BDE ñồng dạng với tam giác ADC nên CDBDDEAD DE DC BD AD =⇒= (2) Từ (1) và (2) ta có: AD.( AE – DE ) = AB.AC – BD.CD Hay AD 2 = AB.AC – BD.CD E D B C A E D B C A Ví dụ 4: Cho hình thang cân ABCD ( AD//BC) . CMR: AB 2 + AD. BC = AC 2 Phân tích: Giả sử ñiểm M thuộc cạnh AC sao cho AB 2 = AM.AC suy ra tam giác ABM ñồng KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 6 dạng với tam giác ACB do ñó góc ABM bằng góc ACB. Vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm M Lời giải: Dựng góc ABM bằng góc ACB ( M thuộc AC) Ta thấy tam giác ABM và tam giác ACB ñồng dạng AC.AMAB AB AM AC AB 2 =⇒=⇒ (1) Mặt khác ta thấy : góc BCM = góc CAD và góc CBM = góc ACD. Do ñó tam giác CBM ñồng dạng với tamgiác ACD AC.CMBC.AD AD AC CM CB =⇒=⇒ (2) Từ (1) và (2) suy ra AB 2 + AD. BC = AM.AC + CM.AC , vậy AB 2 + AD.BC = AC 2 A M D CB A M D CB Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Gọi E và F lần lượt là các ñường vuông góc hạ từ C xuống các ñường thẳng AB và AD. CMR: AC 2 = AB. AE + AD. AF KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 7 Phân tích: Lấy M thuộc ñoạn AC sao cho AM.AC = AB.AE ⇒=⇒ AC AE AB AM tam Giác ABM ñồng dạng với tam giác ACE nên BM vuông góc với AC . Vậy ñiểm M cần tìm là chân ñường vuông góc hạ từ B xuống AC Lời giải: Gọi M là chân ñường vuông góc hạ từ B xuống AC, ta thấy M thuộc ñoạn AC do góc A nhọn nên AC = AM + MC Lại thấy tam giác ABM ñồng dạng với tam giác ACE (g.g) suy ra AM. AC = AB. AE Và tam giác ACF ñồng dạng với CBM(g.g) suy ra CM. AC = BC. AF. Do BC =AD ta có : AB. AE + AD. AF = AM. AC + CM. AC = AC 2 B M A D F C E B M A D F C E Ví dụ 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn tâm O. CMR: AC. BD = AB. CD + AD. BC Phân tích: Giả sử M thuộc ñoạn AC sao cho AM.BD=AB. CD, suy ra tam giác ABM ñồng dạng với tam giác DBC nên góc ABM bằng góc KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 8 DBC . Như vậy ta xác ñịnh ñiểm M như sau Lời giải: Do góc ABC > góc DBC nên tồn tại ñiểm M trên ñoạn AC sao cho góc ABM = góc CBD. Suy ra tam giác ABM ñồng dạng với tam giác DBC (g.g) nên AM. BD = AB. CD (1) Dễ thấy tam giác BMC ñồng dạng với tam giác BAD (g.g) nên MC. BD = AD. BC(2) Từ (1) và (2) ⇒ AC. BD =AB. CD + AD. BC A B D C M Ví dụ 7: Cho tam giác ABC biết 3A + 2B = 180 0 . Chứng minh rằng: AB 2 = BC 2 +AB. AC Phân tích : Giả sử ñiểm M thuộc cạnh AB sao cho BM . AB =BC 2 suy ra tam giác BMC ñồng dạng với tam giác BCA nên góc BCM = góc BAC = góc A Kết hợp giả thiết ta có góc ACM = góc AMC hay tam giác ACM cân tại A. Vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm M như sau M C B A Lời giải: Từ giả thiết suy ra AB > AC Trên cạnh AB lấy ñiểm M sao cho AM = AC, do ñó tam giác ACM cân tại A nên góc ACM = 2 1 (A + B + C – A) = A+ B. KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 9 Do ñó góc BCM = C – ACM = A Suy ra tam giác BCM ñồng dạng với tam giác BAC suy ra BM. BA = BC 2 nên ( AB – AC ).AB = BC 2 , do ñó AB 2 = BC 2 + AB. AC Ví dụ 8: Cho tam giác ABC nội tiếp trong ñường tròn . D là một ñiểm trên cung BC không chứa ñỉnh A. Gọi I, K và H lầnlượtlà hình chi ếu của D trên các ñường thẳng BC,AB và AC.CMR: DH AC DK AB DI BC += Phân tích : Giả sửñiểm M thuộc cạnh BC sao cho ⇒= DK AB DI BM tam giác DKI ñồng dạng với tamgiác BAM suy ra góc BAM = góc DKI mà góc DKI = góc DBI nên sñ CD = sñ BN ( N là giao ñiểm của AM với ñường tròn) Do ñó DN // BC. Vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm M và N như sau D C B A N H K I M Lời giải: Qua D kẻ ñường thẳng song song với BC cắt ñường tròn tại N( khác D). AN cắt BC tại M Ta thấy tam giác DKI ñồng ñạng với tamgiác BAM (g.g) DK AB DI BM =⇒ Lại thấy tam giác ACM ñồng dạng với tam giác HDI (g.g) DH AC DI CM =⇒ Cộng từng vế các ñẳng thức trên ta có ðPCM KINH NGHIEM: Vẽ hình phụ để chứng minh đẳng thức hình học eBook.here.vn - Onbai.org Ti eBook, thi, Ti liu hc tp min phớ NĂM HọC 2007 - 2008 10 Cỏc h thc hỡnh hc rt ủa dng. Vic tỡm ra chỳng tu thuc vo ủiu kin c th ca bi toỏn v s sỏng to, linh hot ca ngi gii. Xin gii thiu bi toỏn tng t Bi 1: Cho tam giỏc ABC cú ủng cao BE, CF ct nhau ti H. CMR: BE. BH + CF. CH = BC 2 Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng ti C. Ly ủim E trờn ủng cao CH. K BD vuụng gúc vi AE ti D. CMR: a) AE.AD + BA.BH = AB 2 b) AE. AD HA.HB = AH 2 Bi 3: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A vi ủng cao AH . Gi HD, HE ln lt l cỏc ủng cao ca tam giỏc ABH v ACH. CMR: AH 3 = AD.AE.BC [...]... HọC 2007 - 20 08 11 KINH NGHIEM: Vẽ hình phụ để chứng minh đẳng thức hình học eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, thi, Ti li u h c t p mi n phớ nng v hỡnh ph m th c s v n cũn l bi toỏn khú cho vi c ủ nh h ng cho HS.Vỡ v y r t mong ch cỏc bi vi t v kinh nghi m quý bỏu c a cỏc ủ ng nghi p ủ tụi ủ c h c t p v trau d i b sung ki n th c cho b n thõn Tụi xin trõn tr ng c m n! NĂM HọC 2007 - 20 08 12 ...KINH NGHIEM: Vẽ hình phụ để chứng minh đẳng thức hình học eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, thi, Ti li u h c t p mi n phớ PH N BA KếT LUậN V KIếN NGHị Trờn ủõy l m t n i dung nh trong vi c rốn k nng v hỡnh ph cho HS.Qua th c t ỏp d ng tụi th y ủó thu ủ c k t qu khỏ kh quan Cỏc em b t ủi nh ng lỳng tỳng khi ph i k ủ ng ph trong bi toỏn ch ng minh hỡnh h c V hn c l cỏc . NGHIEM: Vẽ hình phụ để chứng minh đẳng thức hình học eBook.here.vn - Onbai.org Ti eBook, thi, Ti liu hc tp min phớ NĂM HọC 2007 - 20 08 1 PHN MT ĐặT VấN Đề Trong. trng cm n! KINH NGHIEM: Vẽ hình phụ để chứng minh đẳng thức hình học eBook.here.vn - Onbai.org Ti eBook, thi, Ti liu hc tp min phớ NĂM HọC 2007 - 20 08 2