SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006 * * * * * MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Số báo danh: Phòng: Bài 1: (2,5 điểm) a) Tìm các số thực biết : uv ,uv 33 7+ = và 2uv⋅ =− . b) Giải phương trình : () ( )( ) 2 135xxx 9− ++= . Bài 2: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính BD = 2R, dây AC của (O) vuông góc với BD tại H. Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AD, CD, CB. a) Chứng tỏ : HA 2 + HB 2 + HC 2 + HD 2 = 4R 2 . b) Chứng minh tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp . c) Chứng minh : PR + QS ≤ AB + AD . Bài 3: (3 điểm) a) Đặt 2 = p ; 3 2 = . Chứng tỏ rằng : q 33 11 1 22 2 pq pq qp − =++++ − . b) Chứng tỏ : () ( ) 333 222 3x yz xyzxyzxyzxyyzzx++− =++ ++−−− ,, với mọi số thực x yz . Suy ra với là các số dương ta luôn có : ,,abc 3 3abc abc++≥ . c) Phân chia chín số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 thành ba nhóm tuỳ ý, mỗi nhóm có ba số. Gọi T 1 là tích của ba số của nhóm thứ nhất, T 2 là tích của ba số của nhóm thứ hai và T 3 là tích của ba số của nhóm thứ ba. Hỏi tổng : T 1 + T 2 + T 3 có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu ? Bài 4: (1 điểm) Một thùng sắt đậy kín hình lập phương. Biết rằng trong thùng chứa 9 khối có dạng hình cầu cùng bán kính, làm bằng chất liệu rất rắn . Chứng minh rằng nếu cạnh của thùng hình lập phương là a thì đường kính của các khối cầu bên trong nó nhỏ hơn hoặc bằng ( 23 3− )a. -------------------Hết--------------------- SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006 * * * * * MÔN : TOÁN THANG ĐIỂM - ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm Ta có : uv và uv 33 7+= 33 8⋅ =− 0,25 u 3 và v 3 là các nghiệm của phương trình: 2 78xx 0− −= 0,25 Do đó : () hoặc 33 1; 8uv=− = ( ) 33 8; 1uv= =− 0,25 Vậy: () hoặc 1; 2uv=− = ( ) 2; 1uv= =− 0,25 1a (1đ) Viết lại : ()( )( )( ) 1513xx xx−+ ++=9 0,25 ()( ) 22 45 43xx xx+− ++=9 0,25 Đặt : , phương trình trở thành: 2 4tx x=+ ( )( ) 53tt 9− += hay: 2 tt2240−− = 0,25 Giải ra : 6; 4tt==− 0,25 Với tx , giải ra : 2 64x=⇔ + =6 21x =− ± 0 0,25 Với tx ,giải ra : 2 44x=− ⇔ + =−4 2x = − 0,25 1b (1,5đ) HA 2 + HB 2 = AB 2 HB 2 + HC 2 = BC 2 HC 2 + HD 2 = CD 2 HD 2 + HA 2 = DA 2 0,25 2(HA 2 + HB 2 + HC 2 + HD 2 )= AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2 0,25 = 4R 2 + 4R 2 0,25 Vậy : HA 2 + HB 2 + HC 2 + HD 2 = 4R 2 0,25 2a (1đ) Tứ giác HPBS nội tiếp : . ·· · HPS HBS DBC== 0,25 HPAQ là hình chữ nhật : . ·· ·· HPQ HAQ CAD CBD=== Do đó : . · · · · 2SPQ HPS HPQ DBC=+ = 0,25 Tương tự: · · 2SRQ BDC= 0,25 2b (1đ) Do nên ·· 0 90DBC BDC+= ·· 0 180SPQ SRQ+= ∠ SPQ+ ∠ SRQ = 180 0 0,25 B D C H P Q R S O A Chú ý: PQRS là hình thang cân. Ta có : PR HP+HR ≤ 0,25 Gọi E là trung điểm AB,ta có:HP ≤ HE = 2 1 AB. Gọi F là trung điểm CD, HR ≤ HF = 2 1 CD 0,25 Do đó : PR ≤ 2 1 AB + 2 1 CD 0,25 Tương tự :QS ≤ 2 1 BC + 2 1 AD 0,25 Mà : AB=BC ; AD=CD 0,25 2c (1,5đ) Do đó : PR + QS AB +AD ≤ 0,25 Cần chứng tỏ : 11 1. pq pq pq q q p −=++++ − 0,25 Hay : () 1 pq pq pq qpq  =− +++++   11 (*) . 0,25 Vế phải của (*) : 22 22 1 pp q p pq q p qp q p q qq p +++++−−−−−− 0,25 Do : p 2 =2 ; q 3 =2 ; q p 2 = q 2 = q 2 ; q p = p q 2 nên (*) đúng . 0,25 3a (1đ) Chú ý : Có thể trục căn ở mẫu của 3 22 1 − để chứng tỏ đẳng thức . Khai triển vế phải: () ( ) 222 x yzx y z xyyzzx++ ++−−− được vế trái . 0,25 Ta có : ()()() 222 222 1 0 2 xyzxyyzzx xy yz zx  ++−−−= − +− +− ≥  0,25 Đặt : x = 3 , y = a 3 , z = b 3 c ; x + y + z >0 vì a, b, c dương . 0,25 Từ đó hay : + + c 3 333 3xyz xyz++− ≥0 a b ≥ 3 abc . 0,25 3b (1đ) Ta có : T 1 + T + T 2 3 ≥ 3 3 321 TTT . 0,25 = 1.2.3.4.5.6.7.8.9 = 72.72.70 1 T 2 T 3 T > 71 3 0,25 Do đó : T 1 + T + T 2 3 > 213 mà: T , T , T nguyên nên : T 1 2 3 1 + T + T 2 3 214. ≥ 0,25 Ngoài ra:214= 72 +72 +70 =1.8.9 + 3.4.6 +2.5.7,nên giá trị nhỏ nhất của + T + T là 214 1 T 2 3 0,25 3c (1đ) 4 (1đ) Gọi O là tâm của hình lập phương (L) đang xét. Dựng hình lập phương (L 1 ) có cùng tâmO, có cạnh song song với cạnh của (L) và có độ dài cạnh là a-2r, với r là bán kính của các hình cầu. Chín tâm của 9 hình cầu đều nằm trong (L 1 ) (hoặc ở trên mặt) . 0,25 Chia (L 1 ) thành 8 hình lập phương con bởi ba mặt phẳng qua O và song song với mặt của (L 1 ) .Phải có một hình lập phương con (L 2 ) trong chúng chứa ít nhất hai tâm hình cầu. 0,25 Đường chéo của hình lập phương con (L 2 ) là : 2 1 (a-2r) 3 . Khoảng cách hai tâm hình cầu lớn hơn hoặc bằng 2r. 0,25 Vì vậy 2 1 (a-2r) 3 ≥ 2r hay : 2r ≤ 32 3 + a =( 32 -3)a. 0,25 . - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THI N HUẾ KHÓA NGÀY 19.6 .2006 * * * * * MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC. -------------------Hết--------------------- SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THI N HUẾ KHÓA NGÀY 19.6 .2006 * * * * * MÔN : TOÁN THANG ĐIỂM - ĐÁP