BỘ SÁCH TOÁN CAO CẤP - VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN ĐƠNG N GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH ĐA TRỊ nhà xuất khoa học tự nhiên công nghệ SÁCH Đà IN TRONG BỘ NÀY: 2000: Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Tập 1) Trần Đức Vân 2001: Giáo trình Đại số tuyến tính Ngơ Việt Trung Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Tập 2) Trần Đức Vân Vũ Ngọc Phát Nhập môn Lý thuyết ₫iều khiển 2002: Giải tích hàm nhiều biến Đ.T Lục, P.H Điển,T.D Phượng Nguyễn Đình Cơng Lý thuyết Hệ ₫ộng lực 2003: Lơgic tốn Cơ sở tốn học Phan Đình Diệu Nguyễn Tự Cường Giáo trình Đại số ₫ại Hà Huy Bảng Lý thuyết khơng gian Orlicz Đại số máy tính: Cơ sở Groebner Lê Tuấn Hoa Hàm thực Giải tích hàm Hồng Tụy H.H Khối, P.H Điển Số học thuật tốn 2004: Mã hóa thơng tin: Cơ sở tốn học ứng dụng P.H Điển, H.H Khối Ngơ Đắc Tân Lý thuyết Tổ hợp Đồ thị Trần Mạnh Tuấn Xác suất Thống kê 2005: Giải tích Tốn học: Hàm số biến Đ.T Lục, P.H Điển, T.D Phượng Trần Đức Vân Lý thuyết Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Tồn tập) Cơng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho phương trình Hamilton-Jacobi Trần Đức Vân Đại số tuyến tính qua ví dụ tập Lê Tuấn Hoa Ngô Việt Trung Lý thuyết Galois 2007: Lý thuyết tối ưu không trơn N.X Tấn, N.B Minh Nguyễn Đông Yên Giáo trình Giải tích ₫a trị Có thể đặt mua sách trực tiếp Viện Tốn học, 18 Hồng Quốc Việt, Hà Nội Điện thoại 84-4-7563474/205 (Văn phòng); 84-4-7563474/302 (Thư viện) Fax: 84-4-7564303 E-mail: nldan@math.ac.vn (VP), cnanh@math.ac.vn (TV) Lời giới thiệu T rong năm gần đây, nhu cầu sách tham khảo tiếng Việt toán sinh viên trường Ðại học, nghiên cứu sinh, cán nghiên cứu ứng dụng toán học tăng lên rõ rệt Bộ sách "Toán cao cấp" Viện Toán học đời nhằm góp phần đáp ứng yêu cầu đó, làm phong phú thêm nguồn sách tham khảo giáo trình đại học vốn có Bộ sách Tốn cao cấp bao gồm nhiều tập, đề cập đến hầu hết lĩnh vực khác toán học cao cấp, đặc biệt lĩnh vực liên quan đến hướng phát triển mạnh tốn học đại, có tầm quan trọng phát triển lý thuyết ứng dụng thực tiễn Các tác giả sách người có nhiều kinh nghiệm cơng tác giảng dạy đại học sau đại học, đồng thời nhà tốn học tích cực nghiên cứu Vì thế, mục tiêu sách sách là, việc cung cấp cho người đọc kiến thức nhất, cố gắng hướng họ vào vấn đề thời liên quan đến lĩnh vực mà sách đề cập đến Bộ sách Tốn cao cấp có nhờ ủng hộ quý báu Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, đặc biệt cổ vũ Giáo sư Ðặng Vũ Minh Giáo sư Nguyễn Khoa Sơn Trong việc xuất Bộ sách, nhận giúp đỡ tận tình Nhà xuất Ðại học quốc gia Hà Nội Nhà xuất Khoa học Tự nhiên Cơng nghệ Nhiều nhà tốn học ngồi Viện Tốn học tham gia viết, thẩm định, góp ý cho sách Viện Tốn học xin chân thành cám ơn quan cá nhân kể Do nhiều nguyên nhân khác nhau, Bộ sách Tốn cao cấp chắn cịn nhiều thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp độc giả để sách hồn thiện Chủ tịch Hội ₫ồng biên tập GS-TSKH Hà Huy Khối BỘ SÁCH TỐN CAO CẤP - VIỆN TỐN HỌC HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP Hà Huy Khối (Chủ tịch) Ngơ Việt Trung Phạm Huy Ðiển (Thư ký) GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH ĐA TRỊ Nguyễn Đơng n Viện Tốn học, Viện KH&CN Việt Nam NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC TỰ NHIÊN V CễNG NGH Mục lục Lời nói đầu Các ký hiệu chữ viết tắt Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.1 ánh xạ đa trÞ 1.2 TÝnh nưa liªn tơc trªn tính nửa liên tục dới ánh 1.3 Định lý Kakutani 1.4 Các trình lồi 1.5 Các tính chất Lipschitz ánh xạ đa trị xạ đa trị 9 18 27 37 45 Đạo 2.1 2.2 2.3 hàm ánh xạ đa trị 47 Nguyên lý biÕn ph©n Ekeland 47 Nãn tiÕp tuyÕn 53 Đạo hàm 71 TÝch 3.1 3.2 3.3 3.4 phân ánh xạ đa trị ánh xạ đa trị đo đợc, lát cắt đo đợc Tích phân ánh xạ đa trị Lát cắt liên tục lát cắt Lipschitz Tích phân Aumann ánh xạ dới vi phân Clarke Đối 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 đạo hàm ánh xạ đa trị Sự phát triển lý thuyết đối đạo hàm Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm Vấn đề đánh giá dới vi phân hàm giá trị tối u Tính compắc ph¸p tuyÕn theo d·y D−íi vi ph©n FrÐchet cđa hàm giá trị tối u Dới vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối u Dới vi phân Mordukhovich phiếm hàm tích ph©n 77 77 91 95 98 103 104 106 116 118 120 136 148 Hệ bất đẳng thức suy rộng 5.1 Giíi thiƯu chung 5.2 Các định nghĩa kết bỉ trỵ 5.3 Tính ổn định 5.4 Quy tắc nhân tử Lagrange 5.5 Tính liên tục tính Lipschitz hàm giá trị tối u 5.6 Chứng minh Mệnh đề 5.2.1 5.7 Dới vi phân Mordukhovich dới vi phân J-L 5.8 Đối đạo hµm Mordukhovich vµ Jacobian xÊp xØ 153 154 155 160 174 178 183 186 194 Phô lôc A 201 Phụ lục B 203 Tài liệu tham khảo 205 Danh mục từ khóa 215 Lời nói đầu Giải tích đa trị hớng nghiên cứu tơng đối Toán học, từ năm 30 kỷ XX nhà toán học đà thấy cần phải nghiên cứu ánh xạ đa trị, tức ánh xạ nhận giá trị tập hợp tập hợp Sự đời tạp chí quốc tế Set-Valued Analysis vào năm 1993 mốc lớn trình phát triển hớng nghiên cứu Vai trò giải tích đa trị Toán học ứng dụng toán học đà đợc công nhận rộng rÃi Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng lý thuyết phơng trình vi phân, phơng trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân phơng trình suy rộng, lý thuyết tối u, lý thuyết điều khiển, tối u đa mục tiêu, khoa học quản lý, toán kinh tế Hiện hầu nh tất kết nghiên cứu tính ổn định độ nhạy nghiệm toán tối u phụ thuộc tham số toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số đợc viết ngôn ngữ giải tích đa trị Những ngời Việt Nam sâu nghiên cứu giải tích đa trị Giáo s Hoàng Tụy (với công trình điểm bất động ánh xạ đa trị, tính ổn định hệ bất đẳng thức suy rộng, ánh xạ đa trị lồi, ánh xạ tới hạn), Giáo s Phạm Hữu Sách (với công trình ánh xạ đa trị lồi, đạo hàm ánh xạ đa trị ứng dụng lý thuyết tối u điều khiển) cố Giáo s Phan Văn Chơng (với công trình ánh xạ đa trị đo đợc, lý thuyết bao hàm thức vi phân) Sau danh sách không đầy đủ ngời Việt Nam đà có công trình nghiên cứu giải tích đa trị ứng dụng: Th.S Phạm Ngọc Anh, Th.S Lâm Quốc Anh, Th.S Trơng Quang Bảo, Th.S Nguyễn Huy Chiêu, TS Lê Văn Chóng, GS TSKH Phan Văn Chơng, TS Trịnh Công Diệu, TS Phạm Cảnh Dơng, PGS TSKH Phạm Huy Điển, TS Nguyễn Hữu Điển, PGS TS Trơng Xuân Đức Hà, Th.S Nguyễn Xuân Hải, TS Trần Ninh Hoa, PGS TS Lê Văn Hốt, TS Nguyễn Đình Huy, TS Ngun Quang Huy, GS TSKH Phan Qc Kh¸nh, TS Bùi Trọng Kiên, GS TSKH Đinh Thế Lục, TS Lê Minh Lu, TS Nguyễn Bá Minh, GS TSKH Lê Dũng Mu, TS Nguyễn Mậu Nam, TS Huỳnh Văn NgÃi, GS TSKH Van Hien Nguyen, PGS TS Trần Huệ Nơng, GS TSKH Vũ Ngọc Phát, GS TSKH Hoàng Xuân Phú, PGS TS Huỳnh Thế Phùng, TS Tạ Duy Phợng, GS TSKH Phạm Hữu Sách, GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn, TS Nguyễn Năng Tâm, PGS TSKH Đỗ Hồng Tân, PGS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, GS TSKH Nguyễn Hồng Thái, TS Hoàng Dơng Tuấn, TS Lê Anh Tuấn, Th.S Nguyễn Đình Tuấn, GS Hoàng Tụy, PGS TSKH Nguyễn Đông Yên Giáo trình đợc soạn sở giảng tác giả giải tích đa trị cho học viên cao học nghiên cứu sinh Viện Toán học, cho lớp sinh viên chọn trờng Đại học S phạm Thành phố Hồ Chí Minh, cho lớp cao học Khoa Toán ứng dụng thuộc Đại học Quốc gia Tôn Trung Sơn (The National Sun Yat-Sen University), Cao Hùng, Đài Loan Mục đích giới thiệu với bạn sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh số kết giải tích đa trị Ngoài ra, cố gắng trình bày vài vấn đề đợc quan tâm lý thuyết Tập sách gồm chơng: Tính liên tục ánh xạ đa trị, Đạo hàm ánh xạ đa trị, Tích phân ánh xạ đa trị, Đối đạo hàm ánh xạ đa trị, Hệ bất đẳng thức suy rộng Ba chơng đầu tơng ứng với phần giải tích đa trị Chơng giới thiệu vài nÐt vỊ lý thut vi ph©n B S Mordukhovich ®Ị xt - mét lý thut hiƯn ®ang thu hót đợc quan tâm đặc biệt nhiều nhóm nghiên cứu giới Chơng đợc dành để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ bất đẳng thức suy rộng cho hàm véctơ liên tục, ứng dụng Công cụ khái niệm Jacobian xấp xỉ theo nghĩa V Jeyakumar Đinh Thế Lôc Jacobian suy réng theo nghÜa F H Clarke cho hàm véctơ Lipschitz địa phơng trờng hợp riêng khái niệm (Chúng ta lu ý khái niệm đối đạo hàm, Jacobian xấp xỉ, Jacobian suy rộng Clarke nằm khuôn khổ lý thuyết vi phân trình bày Chơng 2.) Trong mục th−êng cã mét sè vÝ dơ minh häa vµ bµi tập giúp bạn đọc củng cố kiến thức cuối sách có hai phụ lục giới thiệu đề thi hết môn giải tích đa trị hai lớp học Các đề thi giúp học viên củng cố kiến thức phạm vi hai chơng đầu giáo trình Các định nghĩa, bổ đề, mệnh đề, định lý, nhận xét, ví dụ tập đợc đánh số ba số Ví dụ nh Định lý 1.2.3 định lý thứ mục thứ Chơng Các công thức đợc đánh số hai số Ví dụ nh (2.5) công thức thứ mục thứ (trong chơng đó) Để hiểu sâu lý thuyết ánh xạ đa trị ứng dụng, bạn đọc tự nghiên cứu thêm sách chuyên khảo Aubin Ekeland (1984), Aubin Frankowska (1990) - tài liệu tham khảo soạn giảng giải tích đa trị, Rockafellar Wets (1998), Borwein vµ Zhu (2005), Mordukhovich (2006a,b) Hy väng tập sách nhỏ giúp bạn đọc có cảm hứng bắt đầu việc tự học gian nan nhng thú vị Bạn đọc quan tâm đến ứng dụng giải tích đa trị tối u véctơ tham khảo sách chuyên khảo GS TSKH §inh ThÕ Lơc (1989), cđa PGS TSKH Ngun Xuân Tấn TS Nguyễn Bá Minh (2006) Xin chân thành cám ơn GS TSKH Phạm Hữu Sách PGS TSKH Phạm Huy Điển, ngời thầy tận tụy đà truyền cho niềm say mê nghiên cứu giải tích đa trị, giải tích không trơn, lý thuyết tối u ứng dụng Xin chân thành cám ơn GS TSKH Trần Đức Vân GS TSKH Lê Tuấn Hoa đà động viên, khích lệ vợt qua trì trệ trình viết lách kéo Tính liên tục ánh xạ đa trị 20 Định nghĩa 1.2.2 Ta nói F nửa liên tục dới t¹i x ∈ dom F nÕu víi mäi tËp ¯ më V ⊂ Y tháa m·n F (¯) ∩ V = tồn lân cận mở U x cho x ¯ F (x) ∩ V = ∅ ∀x ∈ U ∩ dom F NÕu F lµ nưa liên tục dới điểm thuộc dom F , F đợc gọi nửa liên tục dới X Định nghĩa 1.2.3 Ta nói F liên tục x dom F F đồng thời nửa liên tục nửa liên tục dới x Nếu F liên tục điểm thuộc dom F , F đợc gọi liên tục X Ví dụ 1.2.1 ánh xạ đa trị {0} F (x) = [1, 1] ⎩ {1} nÕu x < nÕu x = nÕu x > tõ I vµo I lµ nửa liên tục I nhng không nửa liên tục dới R R R, x = Nh vậy, F ánh xạ liên tục I R Hình Ví dụ 1.2.2 ánh xạ đa trị F (x) = [0, 1] {0} nÕu x = nÕu x = kh«ng phải ánh xạ liên tục I F nửa liên tục dới x = 0, R, không nửa liên tục điểm 1.2 Tính nửa liên tục tính nửa liên tục dới 21 Ví dụ 1.2.3 ánh xạ đa trị F (x) = [0, 1] [1, 0] x số hữu tỷ x số vô tỷ ánh xạ liên tục I thế, F không nửa liên tục R; không nửa liên tục dới điểm x I R Bài tập 1.2.1 Chứng minh ánh xạ đơn trị f : X Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y liên tục x ánh xạ F : X ⇒ Y cho bëi c«ng thøc F (x) = {f (x)} nửa liên tục (hoặc nửa liên tục dới) x Hình Bài tập 1.2.2 Cho ánh xạ đa trị F : X Y , X Y không gian tôpô Chứng minh rằng: (a) F nửa liên tục X nhân F − (V ) := {x ∈ dom F : F (x) ⊂ V } cña mét tËp më bÊt kú V Y tập mở tôpô cảm sinh dom F (b) F nửa liên tục dới X ảnh ngợc F −1 (V ) := {x ∈ dom F : F (x) ∩ V = ∅} cña mét tËp më V Y tập mở tôpô cảm sinh dom F ; xem Hình Bài tập 1.2.3 HÃy chứng tỏ ánh xạ đa trị F (x) = co {sin x, cos x} tõ I vào I liên tục I R R R Tính liên tục ánh xạ đa trị 22 Nhắc lại hàm số : X I {+} xác định không gian tôpô X R đợc gọi nửa liên tục dới x ∈ dom ϕ, ë ®ã ¯ dom ϕ = {x ∈ X : ϕ(x) < +∞} (2.1) ký hiÖu miỊn h÷u hiƯu cđa ϕ, nÕu víi mäi ε > tồn lân cận mở U x cho ϕ(x) ϕ(¯) − ε ∀x ∈ U x Hàm đợc gọi nửa liên tục x ∈ dom ϕ nÕu víi mäi ε > tồn lân cận mở U x cho ¯ ϕ(x) ϕ(¯) + ε ∀x ∈ U x Nếu X không gian mêtric, điều kiện thứ nhÊt cã thĨ viÕt d−íi d¹ng lim inf ϕ(x) x→¯ x ϕ(¯), x ë ®ã lim inf ϕ(x) := inf γ ∈ I : ∃xk → x, lim ϕ(xk ) = γ R ¯ x→¯ x k→∞ T−¬ng tù, ®iỊu kiƯn thø hai cã thĨ viÕt d−íi d¹ng lim sup ϕ(x) x→¯ x ϕ(¯), x ë ®ã lim sup ϕ(x) := sup γ ∈ I : ∃xk → x, lim ϕ(xk ) = γ R ¯ k→∞ x→¯ x Bµi tËp 1.2.4 Cho ϕ : X → I {+} hàm số thực xác định R không gian tôpô X Chứng minh rằng: (a) nửa liên tục dới x dom (xem (2.1)) ánh xạ đa trị epi (đà đợc định nghĩa Mục 1.1) nửa liên tục dới x (b) nửa liên tục x dom ánh xạ đa trị hypo (đà đợc định nghĩa Mục 1.1) nửa liên tục x Định lý tồn nghiệm toán tối u đợc phát biểu nh sau Định lý 1.2.1 (Định lý Weierstrass) Cho X = không gian tôpô compắc NÕu ϕ : X → I lµ hµm sè nưa liên tục dới X, toán R (2.2) min{ϕ(x) : x ∈ X} cã nghiÖm NÕu ϕ hàm số nửa liên tục X, toán (2.3) max{(x) : x X} 1.2 Tính nửa liên tục tính nửa liên tục d−íi 23 cã nghiƯm Chøng minh Ta chØ cÇn chøng minh khẳng định thứ nhất, hàm nửa liên tục hàm ()(x) := (x) nửa liên tục dới, x nghiƯm cđa (2.3) vµ chØ x lµ nghiƯm toán min{()(x) : x X} Nhắc lại không gian tôpô X đợc gọi compắc từ phủ mở {U }A X trích phủ hữu hạn, tức tồn số {1 , , αs } ⊂ A cho s X= Uαi i=1 Giả sử X không gian compắc, X = ∅, ϕ : X → I lµ hµm sè nửa liên tục R dới X Ta cần chứng minh (2.2) có nghiệm, tức tồn x ¯ cho ϕ(¯) = min{ϕ(x) : x ∈ X} x (2.4) Giả sử phản chứng: Không có x thỏa mÃn (2.4) Đặt = inf{(x) : x X} Nếu = ta đặt Ωk = {x ∈ X : ϕ(x) > −k} (k = 1, 2, 3, ) Do ϕ lµ nưa liªn tơc d−íi ë X nªn, víi mäi k, Ωk lµ tËp më DƠ thÊy r»ng ∞ Ωk VËy {Ωk }k∈IN lµ phđ më cđa X Do X không gian compắc X= k=1 {k } họ tập lồng nhau, nên tồn k ∈ I cho X = Ωk Khi ta N trái với giả thiết = Bây ta xét trờng hợp I phải có k, R Với k I ta đặt N k = x X : ϕ(x) > γ + k DÔ thÊy r»ng {k }kIN phủ mở X (do x ∈ X nµo tháa m·n ¯ (2.4)) mµ tõ ta trích phủ hữu hạn Vậy X không không gian tôpô compắc, trái với giả thiết Định lý đà đợc chứng minh Nhắc lại không gian tôpô X đợc gọi liên thông (hay liên thông tôpô) không tồn hai tập mở U, V khác rỗng X cho U ∪ V = X, U ∩ V = Ta biết ánh xạ đơn trị liên tục bảo tồn tính liên thông Cụ thể hơn, ta có định lý sau Định lý 1.2.2 Cho f : X Y ánh xạ liên tục từ không gian tôpô liên thông X vào không gian tôpô Y Khi ®ã rge f = {f (x) : x X}, Tính liên tục ánh xạ đa trị 24 xét với tôpô cảm sinh từ tôpô Y , không gian liên thông Chứng minh Lập luận phơng pháp phản chứng, ta giả sử M := rge f không gian liên thông Khi tồn tập mở U, V Y cho (2.5) UM ∪ VM = M, UM ∩ VM = ∅, UM = ∅, VM = , UM := U M VM := V M vết tập U V M Đặt X1 = f −1 (U ) = {x ∈ X : f (x) ∈ U }, X2 = f −1 (V ) = {x ∈ X : f (x) ∈ V } Ta có: (i) X1 , X2 tập mở X; (ii) X1 = ∅, X2 = ∅; (iii) X1 ∪ X2 = X; (iv) X1 ∩ X2 = Thật vậy, f liên tục, U V mở, nên X1 X2 mở Vì UM = U ∩ rge f = U ∩ {f (x) : x X} khác rỗng, nên tồn x ∈ X cho f (x) ∈ U VËy X1 = ∅ T−¬ng tù, X2 = ∅ LÊy tuú ý x ∈ X Do f (x) ∈ rge f = M vµ UM ∪ VM = M , ta cã f (x) ∈ UM hc f (x) ∈ VM NÕu f (x) ∈ UM th× f (x) ∈ U ; ®ã x ∈ X1 NÕu f (x) ∈ VM th× x ∈ X2 Ta ®· chøng minh r»ng (iii) nghiƯm ®óng NÕu tån x X1 X2 ta có f (x) ∈ U vµ f (x) ∈ V HiĨn nhiên f (x) M Do f (x) ∈ UM vµ f (x) ∈ VM VËy ta cã UM ∩ VM = ∅, m©u thn víi (2.5) Tính chất (iv) đà đợc chứng minh Từ (i)(iv) suy X không liên thông, trái với giả thiết định lý Vậy rge f phải không gian liên thông Định lý sau ánh xạ đa trị nửa liên tục lẫn ánh xạ đa trị nửa liên tục dới bảo tồn tính liên thông Một tập không gian tôpô đợc gọi liên thông nếu, xét với tôpô cảm sinh, không gian tôpô liên thông Định lý 1.2.3 (xem Warburton (1983)) Cho F : X Y ánh xạ đa trị kh«ng gian t«p« cho, víi mäi x ∈ X, F (x) tập liên thông (có thể rỗng) Khi đó: (a) Nếu F ánh xạ nửa liên tục trên X dom F tập liên thông, rge F tập liên thông (b) Nếu F ánh xạ nửa liên tục dới X dom F tập liên thông, rge F tập liên thông 1.2 Tính nửa liên tục tính nửa liên tục dới 25 Chứng minh (a) Giả sử F nửa liên tục X, dom F liên thông, F (x) liên thông với x X Để chứng minh phản chứng, ta giả sử M := rge F không liên thông Khi tồn tập mở U, V Y tháa m·n (2.5), ë ®ã UM := U ∩ M VM := V M Đặt X1 = F − (U ) = {x ∈ dom F : F (x) ⊂ U }, X2 = F − (V ) = {x ∈ dom F : F (x) V } Các tính chất sau nghiệm đúng: (i) X1 , X2 tập mở tôpô cảm sinh cña dom F ; (ii) X1 = ∅, X2 = ∅; (iii) X1 ∪ X2 = dom F ; (iv) X1 ∩ X2 = ∅ ThËt vËy, tÝnh chÊt (i) đợc suy từ khẳng định (a) Bài tËp 1.2.2 Do UM = U ∩ rge F = U F (x) xX khác rỗng, tồn x ∈ X cho F (x) ∩ U = ∅ NÕu F (x) ∩ V = ∅ th× tõ (2.5) suy F (x), xét với tôpô cảnh sinh từ tôpô Y , không không gian liên thông; trái với giả thiết Vậy F (x) V = ∅ Do F (x) ⊂ M vµ UM ∪ VM = M , ta cã F (x) ⊂ U ; tức x X1 Ta đà chøng tá r»ng X1 = ∅ T−¬ng tù, X2 = ∅ LÊy tuú ý x ∈ dom F Do F (x) = ∅ vµ F (x) ⊂ M , ta cã F (x) ∩ UM = ∅ hc F (x) ∩ VM = ∅ NÕu tr−êng hỵp thø nhÊt xảy ra, lý luận đà trình bày trên, ta có x X1 Nếu trờng hợp thứ hai xảy ta có x X2 VËy dom F ⊂ X1 ∪ X2 , tøc (iii) nghiệm Nếu tồn x X1 ∩ X2 th× ta cã F (x) = ∅, F (x) ⊂ U, F (x) ⊂ V Do F (x) ⊂ M , ta cã F (x) ⊂ UM vµ F (x) ⊂ VM V× F (x) = ∅ nên UM VM = , trái với (2.5) Vậy ta cã X1 ∩ X2 = ∅ C¸c tÝnh chÊt (i)–(iv) ®· ®−ỵc chøng minh Tõ ®ã suy dom F , xét với tôpô cảm sinh từ tôpô X, không gian liên thông; trái với giả thiết Tóm lại, rge F không gian liên thông (b) Giả sử F nửa liên tục dới X, dom F liên thông, F (x) liên thông với x X Nếu M := rge F không liên thông, tồn c¸c tËp më U, V cđa Y tháa m·n (2.5), UM := U M VM := V M Đặt X1 = F (U ) = {x ∈ dom F : F (x) ∩ U = ∅}, X2 = F −1 (V ) = {x ∈ dom F : F (x) ∩ V = ∅}, ta cã thĨ chøng tá r»ng c¸c tÝnh chÊt (i)–(iv) liƯt kê phần chứng minh nghiệm Từ suy dom F không liên thông, trái với giả thiết Vậy rge F tập liên thông Tính liên tục ánh xạ đa trị 26 Bài tập 1.2.5 Trình bày chứng minh chi tiết khẳng định (b) định lý Xây dựng vài ví dụ đơn giản để chứng tỏ giả thiết (i) dom F tập liên thông (ii) F (x) tập liên thông với x X khẳng định (b) Định lý 1.2.3 bỏ đợc (trong giả thiết khác đợc giữ nguyên) Bài tập 1.2.6 Cho F : X Y G : Y Z tơng ứng ánh xạ đa trị nửa liên tục dới X Y , X, Y Z không gian tôpô Chứng minh ánh xạ tích G F nửa liên tục dới X Bài tập 1.2.7 Cho F : X ⇒ Y vµ G : X Y ánh xạ đa trị kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p« Chøng minh r»ng nÕu F G nửa liên tục dới X, ánh xạ F + G : X Y đợc cho công thức (F + G)(x) = F (x) + G(x) (x X) nửa liên tục dới X Bài tập 1.2.8 Khảo sát tính chất tơng tự nh tính chất nói Bài tập 1.2.6 1.2.7 ánh xạ đa trị nửa liên tục Bài tập 1.2.9 Cho X, Y không gian tôpô, F : X Y ánh xạ đa trị nửa liªn tơc trªn ë X Chøng minh r»ng nÕu F có giá trị compắc (tức F (x) compắc với x X) dom F tập compắc, rge F tập compắc Bài tập 1.2.10 Khảo sát tính chất bảo toàn tính compắc nói Bài tập 1.2.9 ánh xạ đa trị nửa liên tục dới Ngoài khái niệm ánh xạ đa trị nửa liên tục nói Định nghĩa 1.2.1, ngời ta xét khái niệm ánh xạ đa trị nửa liên tục theo Hausdorff ánh xạ đa trị F : X Y từ không gian tôpô X vào không gian mêtric Y đợc gọi nửa liên tục theo Hausdorff x dom F với > tồn lân cËn më U cña x cho ¯ F (x) ⊂ B(F (¯), ε) x ∀x ∈ U, ë ®ã B(F (¯), ε) := {y ∈ Y : d(y, F (¯)) < ε} x x víi d(y, F (¯)) := inf d(y, z) ký hiệu khoảng cách từ y đến F (¯) NÕu F lµ x x z∈F (¯) x nửa liên tục theo Hausdorff điểm thuộc dom F , F đợc gọi nửa liên tục theo Hausdorff X Rõ ràng tính nửa liên tục theo Berge (xem Định nghĩa 1.2.1) kÐo theo tÝnh nưa liªn tơc trªn theo Hausdorff Điều ngợc lại không 1.3 Định lý Kakutani 27 Bài tập 1.2.11 Đặt X = I Y = I , F (x) = {(x, |x| )} nÕu x = vµ R, R F (x) = {0} × [0, +∞) nÕu x = H·y chøng tỏ F : X Y nửa liên tục theo Hausdorff X, nhng không nửa liên tục (theo Berge) X Hình Tính liên thông miền hữu hiệu nói chung không đợc bảo toàn qua ánh xạ đa trị nửa liên tục theo Hausdorff Ví dụ sau chøng tá ®iỊu ®ã VÝ dơ 1.2.4 §Ỉt X = I Y = I , F (x) = (x, x ) nÕu x = vµ R, R F (x) = {0} × I nÕu x = Khi đó, F : X Y nưa liªn tơc trªn theo R Hausdorf ë trªn X, dom F = I không gian liên thông, F (x) liên thông R với x, nhng rge F = x, x : x < ∪ {0} × I ∪ R x, x : x>0 không tập liên thông (nó gồm thành phần liên thông) 1.3 Định lý Kakutani Định lý Kakutani (1941) định lý điểm bất động quan trọng đợc thiết lập cho ánh xạ đa trị nửa liên tục Chúng ta tìm hiểu chứng minh chi tiết định lý để hiểu sâu ý nghĩa tính chất nửa liên tục nửa liên tục dới ánh xạ đa trị đợc xét mơc tr−íc VÝ dơ nµy thc vỊ Ngun MËu Nam Hiệu tơng tự đạt đợc với ánh xạ đa trị nói Bài tập 1.2.11, dạng cải biên ánh xạ F Tính liên tục ánh xạ đa trị 28 Phân hoạch đơn vị: Cho : X I hàm số thực xác định không gian tôpô X Giá R (support) đợc ký hiệu supp , đợc xác định công thức supp = {x ∈ X : ψ(x) = ∅}, ë ®ã M ký hiệu bao đóng tập M Định lý 1.3.1 (xem Rudin (1976), tr 251) Cho K lµ không gian mêtric compắc, {V }A phủ mở K Khi tồn hàm liên tục ψi : K → I R (i = 1, 2, , s) cho (a) ψi (x) ∀x ∈ K, ∀i ∈ {1, , s}; s ψi (x) = (b) ∀x K; i=1 (c) Với i {1, , s} cã tån t¹i α ∈ A cho supp i V Họ hàm liên tục {i }i=1, ,s có tính chất (a)(c) đợc gọi phân hoạch đơn vị tơng thích với phủ mở {V }A Từ Định lý 1.3.1 ta rút hệ sâu Hệ 1.3.1 Giả sử {i }i=1, ,s phân hoạch đơn vị t−¬ng thÝch víi phđ R më {Vα }α∈A Víi hàm liên tục f : K I ta cã s f (x) = ψi (x)f (x), i=1 ë hàm fi (x) := i (x)f (x) (i = 1, , s) liên tục K với i {1, , s} tån t¹i α ∈ A cho giá hàm fi nằm V Chứng minh Định lý 1.3.1: Với x K ta chọn ®−ỵc chØ sè αx ∈ A cho x ∈ Vx Do Vx tập mở, tồn x > cho ¯ B(x, ρx ) ⊂ Vαx x Họ hình cầu mở B(x, ) x∈K lµ mét phđ më cđa K Do K lµ không gian compắc, tồn điểm x1 , x2 , , xs ∈ K cho (3.1) K ⊂ B(x1 , ρx1 ρxs ) ∪ B(xs , ) 2 1.3 Định lý Kakutani Do 29 ρ i ¯ ¯ B(xi , x ) ⊂ B(xi , ρxi ) ⊂ B(xi , xi ), tồn hàm liên tục i : K → [0, 1] cho ϕi (x) = ρ i ¯ ∀x ∈ B(xi , x ) vµ ϕi (x) = ∀x ∈ K \ B(xi , xi ) (Chúng ta nhắc lại M1 M2 hai tập đóng không giao không gian mêtric compắc X tồn hàm số liªn tơc ϕ : X → [0, 1] cho ϕ(x) = víi mäi x ∈ M1 vµ ϕ(x) = với x M2 Khẳng định ®ã suy tõ Bỉ ®Ị Urysohn (xem Kelley (1957), Chơng 4) Đặt = i+1 = (1 − ϕ1 ) (1 − ϕi )ϕi+1 (∀i = 1, 2, , s − 1) Hiển nhiên tính chất (a) (c) nghiệm ®óng víi hä hµm {ψi }i=1, ,s võa chän Râ ràng đẳng thức (3.2) + + ψi = − (1 − ϕ1 ) (1 − ϕi ) ®óng víi i = Nếu (3.2) với số i < s, ta cã ψ1 + + ψi + ψi+1 = − (1 − ϕ1 ) (1 − ϕi ) + (1 − ϕ1 ) (1 − ϕi )ϕi+1 = − (1 − ϕ1 ) (1 − ϕi )(1 i+1 ); tức (3.2) i đợc thay i + Vậy ta có s s ψi (x) = − (3.3) i=1 (1 − ϕi (x)) i=1 víi mäi x ∈ K Do (3.1), với x K tồn số j ∈ {1, , s} cho ρ j x ∈ B(xj , x ) Do ®ã ϕj (x) = Tõ (3.3) suy s ψi (x) = i=1 VËy tÝnh chÊt (b) ®· đợc kiểm chứng Tính liên tục ánh xạ đa trị 30 ánh xạ đa trị hêmi liên tục trên: Giả sử X không gian mêtric, Y không gian định chuẩn, F : X Y ánh xạ đa trị Với p Y , Y không gian đối ngẫu Y , với x X ta đặt CF (p, x) = sup{ p, y : y ∈ F (x)} (Theo quy −íc, sup ∅ = −∞, inf ∅ = +∞) Hµm sè hai biÕn CF (p, x) đợc gọi hàm tựa của F Mệnh đề 1.3.1 (xem Aubin Frankowska (1990), HƯ qu¶ 2.6.1) Gi¶ sư F : X ⇒ Y nửa liên tục X, có giá trị compắc yếu, khác rỗng; Y đợc xét với tôpô u Khi ®ã, víi mäi p ∈ Y ∗ , hàm số x CF (p, x) nửa liên tục dom F Chứng minh Giả sư F cã c¸c tÝnh chÊt nh− ph¸t biĨu mệnh đề, p Y véctơ cho trớc Ta cần chứng tỏ với x dom F > tồn l©n cËn më U cđa x ∈ X cho ¯ CF (p, x) CF (p, x) + ε ∀x U Do F () compắc yếu khác rỗng, tồn y F () cho CF (p, x) = x ¯ x ¯ p, y Đặt V = {y Y : p, y < p, y + ε} ¯ Ta cã V lân cận mở yếu chứa F () Vì F nửa liên tục x (Y đợc x xét với tôpô yếu), tồn lân cận mở U cña x cho F (U ) ⊂ V Khi đó, với x U ta cã CF (p, x) = sup{ p, y : y ∈ F (x)} p, y + ε ¯ (do F (x) ⊂ V ) = CF (p, x) + ε Mệnh đề đà đợc chứng minh Định nghĩa 1.3.1 ánh xạ đa trị F : X Y từ không gian mêtric X vào không gian định chuẩn Y đợc gọi hêmi liên tục x dom F với p Y hàm số Cp (p, Ã) nửa liên tục x Ta nói F hêmi liên tục X hêmi liên tục điểm thuộc dom F Mệnh đề 1.3.1 đà điều kiện đủ để ánh xạ đa trị hêmi liên tục 1.3 Định lý Kakutani 31 Bất đẳng thức Ky Fan: Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) định lý sau công cụ mạnh để nghiên cứu nhiều vấn đề giải tích phi tuyến tối u hoá Định lý 1.3.2 (Bất đẳng thức Ky Fan, 1972) Cho K tập lồi, compắc không gian Banach X, : K ì K I hàm số thỏa mÃn điều kiện: R (i) y K, (Ã, y) hàm số nửa liên tục dới; (ii) x ∈ K, ϕ(x, ·) lµ hµm lâm; (iii) ∀y ∈ K, (y, y) Khi đó, tồn x K cho ¯ ∀y ∈ K, ϕ(¯, y) x NhËn xÐt 1.3.1 (xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 80) Định lý 1.3.2 thay cho không gian Banach X ta xÐt mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh tôpô, lồi địa phơng, Hausdorff (Ví dụ nh X mét kh«ng gian Banach xÐt víi t«p« u.) Chøng minh Định lý 1.3.2: Trớc hết, chứng minh định lý cho trờng hợp X không gian Banach hữu hạn chiều Ta chứng minh phơng pháp phản chứng Giả sử kết luận định lý không ®óng, tøc lµ (3.4) ∀x ∈ K ∃y ∈ K cho (x, y) > Với y K, đặt Uy = {x K : (x, y) > 0} Vì (Ã, y) hàm số nửa liên tục dới, nên Uy tập mở tôpô cảm sinh cđa K Râ rµng tõ (3.4) suy r»ng {Uy }y∈K lµ mét phđ më cđa K Do K compắc, tồn y1 , y2 , , yk ∈ K cho k K⊂ Uyj j=1 Theo Định lý 1.3.1, tồn phân hoạch đơn vị {i }i=1, ,s K tơng thích với phđ më {Uyj }j=1, ,k Tøc lµ ψ : K → [0, 1] (i = 1, , s) Tính liên tục ánh xạ đa trÞ 32 s ψi (x) = víi mäi x K với i {1, , s} hàm liên tục, i=1 tồn t¹i j(i) ∈ {1, , k} cho supp i Uyj(i) Xét ánh xạ f : K → K cho bëi c«ng thøc s f (x) = ψi (x)yj(i) (∀x ∈ K) i=1 (V× K lµ tËp låi, yj(i) ∈ K víi mäi i, ψi (x) víi mäi i, vµ s ψi (x) = 1, i=1 nªn f (x) ∈ K víi mäi x ∈ K.) Do ψi (·) (i = 1, , s) hàm liên tục, f (x) ánh xạ liên tục Theo Định lý điểm bất ®éng Brouwer, tån t¹i y ∈ K ¯ cho y = f (¯) ¯ y Do gi¶ thiÕt (ii), ϕ(¯, y ) = ϕ(¯, f (¯)) y ¯ y y y = ϕ y , s ψi (¯)yj(i) ¯ i=1 s y ¯ i=1 ψi (¯)ϕ y , yj(i) (3.5) Đặt I() = {i {1, , s} : ψi (¯) > 0} y y s i () = nên I() = Ngoài ra, ta cã y y V× i=1 s (3.6) ψi (¯)ϕ(¯, yj(i) ) = y y i=1 ψi (¯)ϕ(¯, yj(i) ) > 0; y y i∈I(¯) y bëi v× nÕu i I() i () > 0, y y y ∈ supp ψi ⊂ Uyj(i) = {x ∈ K : ϕ(x, yj(i) ) > 0} ¯ (Tõ tính chất viết dòng suy (, yj(i) ) > 0.) KÕt hỵp (3.6) víi (3.5) ta y đợc (, y ) > 0, mâu thuẫn với giả thiết (iii) y Bây ta xét trờng hợp X không gian Banach K tập lồi, compắc, khác rỗng X Ta có Định lý điểm bất động Schauder (xem Holmes (1974), tr 101) sau đây: Cho A tập lồi đóng khác rỗng không gian định chuẩn X, f : A K ánh xạ liên tục từ A vào tập compắc K A Khi f có điểm bất động K Lặp lại chứng minh áp dụng Định lý điểm bất động Schauder thay cho Định lý điểm bất động Brouwer, 1.3 Định lý Kakutani 33 ta đợc tồn cđa ®iĨm x ∈ K cã tÝnh chÊt ϕ(¯, y) x y K với Định lý tồn điểm cân bằng: Ta nhắc lại K tập lồi không gian tuyến tính tôpô X nón tiếp tuyến TK (x) K x K đợc cho c«ng thøc TK (x) = {t(y − x) : y ∈ K, t = cone (K − x), 0} ë ®ã cone M := {tz : z ∈ M } hình nón sinh M M bao ®ãng cđa M Nãn ph¸p tun NK (x) cđa K x nón đối ngẫu âm TK (x), tøc lµ NK (x) = (TK (x))∗ = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ∀v ∈ TK (x)} Định nghĩa 1.3.2 Cho F : X X, X không gian Banach, ánh xạ có giá trị đóng (có thể rỗng) Tập lồi K dom F đợc gọi miền v÷ng8 cđa F nÕu F (x) ∩ TK (x) = x K Định lý 1.3.3 (The Equilibrium Theorem - Định lý tồn điểm cân bằng) Cho X không gian Banach F : X X ánh xạ đa trị hêmi liên tục X, có giá trị lồi đóng Nếu tập lồi compắc khác rỗng K dom F miền vững F K chứa điểm cân F , tức ∈ K cho ∈ F (¯) x x Nhận xét 1.3.2 Nếu ánh xạ đa trị G : K X hêmi liên tục K có giá trị lồi đóng, ánh xạ F : X ⇒ X cho bëi c«ng thøc F (x) = F (x) nÕu x ∈ K ∅ nÕu x K / có tính chất Vì Định lý 1.3.3 áp dụng đợc cho ánh xạ đa trị xác định K Chứng minh Định lý 1.3.3: Để chứng minh phơng pháp phản chứng, ta giả sử F : X X ánh xạ đa trị thỏa mÃn giả thiết định lý, K dom F miền vững lồi, compắc, khác rỗng F , nh−ng víi mäi x ∈ K ta ®Ịu cã ∈ F (x) / TNTA: viability domain Tính liên tục ánh xạ đa trị 34 Với x K, F (x) lồi đóng F (x), sử dụng Định lý tách / tập lồi (xem Rudin (1991), Định lý 3.4) ta tìm đợc p X cho sup p, y < 0, y∈F (x) hay CF (p, x) < Với p X ta đặt Up = {x ∈ K : CF (p, x) < 0} Do lËp luËn trªn, ∀x ∈ K ∃p ∈ X ∗ cho x ∈ Up VËy hä {Up }p∈X ∗ lµ mét phđ më cđa K (Chóng ta nhận xét F hêmi liên tục X nên CF (p, Ã) hàm số nửa liên tục X Do Up tập mở tôpô cảm sinh K.) Vì K compắc, tồn phần tử p1 , p2 , , pk ∈ X ∗ cho Upj j=1, ,k lµ mét phđ më hữu hạn K Theo Định lý 1.3.1, tồn phân hoạch đơn vị {i }i=1, ,s K tơng ứng với phủ mở Khi đó, với i ∈ {1, , s} tån t¹i j(i) ∈ {1, , k} cho supp ψi ⊂ Upj(i) XÐt hµm sè ϕ : K × K → I cho bëi c«ng thøc R s ψi (x) pj(i) , x − y ϕ(x, y) = i=1 Râ rµng lµ: (i) ∀y ∈ K, ϕ(·, y) hàm số liên tục; (ii) x K, (x, Ã) hàm số aphin (do hàm lâm); (iii) ∀y ∈ K, ϕ(y, y) = VËy giả thiết Định lý 1.3.2 đợc thỏa mÃn Do tồn x K s cho víi mäi y ∈ K ta cã ϕ(¯, y) x Đặt p = i ()pj(i) để ý r»ng x i=1 s ψi (¯)pj(i) , x − y x ¯ ϕ(¯, y) = x i=1 = p, x − y ¯ ... ngôn ngữ giải tích đa trị Những ngời Việt Nam sâu nghiên cứu giải tích đa trị Giáo s Hoàng Tụy (với công trình điểm bất động ánh xạ đa trị, tính ổn định hệ bất đẳng thức suy rộng, ánh xạ đa trị lồi,... sinh số kết giải tích đa trị Ngoài ra, cố gắng trình bày vài vấn đề đợc quan tâm lý thuyết Tập sách gồm chơng: Tính liên tục ánh xạ đa trị, Đạo hàm ánh xạ đa trị, Tích phân ánh xạ đa trị, Đối đạo... låi nhá nhÊt chøa M ) ¯ HiĨn nhiªn F ánh xạ đa trị có giá trị đóng co F ánh xạ đa trị có giá trị lồi Tuy thế, F ánh xạ đa trị đóng co F không ánh xạ đa trị lồi! Ví dụ 1.1.2 Cho F (x) = {sin x,