TRẦN AN HẢI          TUẦN 3    HÀ NỘI - 2009 Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN …………. tiếp theo §3    CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Trên thực tế, nhiều khi ta cần biết những thông tin cô đọng phản ánh những đặc điểm quan trọng nhất của một bnn. Ví dụ: khi xét điểm thi đại học toàn quốc khối A, ta cần biết điểm tập trung vào con số nào và sự phân tán của điểm so với con số ấy. Những thông tin kiểu này được gọi là các tham s đc trng ca bnn.  Mode • Mode của bnn X, ký hiệu là mod(X), là số x* được xác định như sau: ∗ Nếu X rời rạc, thì biến cố {X = x*} có xác suất lớn nhất, tức là P{X = x*} = { } i i xXP =max . ∗ Nếu X liên tục, thì x* là điểm cực đại của hàm mật độ. Ví dụ X 0 1 2 3 P 5/30 15/30 9/30 1/30 mod(X) = 1. Ví dụ Cho bnn X có hàm mật độ      ∉ ≤≤ = ];[ )( 300 30 81 4 3 xkhi xkhix xp . mod(X) = 3. Ví dụ Gọi X = thời điểm 1 đoàn tàu đến ga Hà Nội. Khi mod(X) càng sát với giờ quy định tàu đến ga thì tàu càng đúng giờ.  Median • Median của bnn X, ký hiệu là m d , là số thỏa điều kiện: P{X< m d } ≤ 0,5 và P{X > m d } ≤ 0,5. ∗ ∗∗ ∗ Nếu X rời rạc, thì điều kiện trên chính là 50,}{ ≤= ∑ < i mx xXP di và 50,}{ ≤= ∑ > i mx xXP di (x i thuộc tập giá trị của X). ∗ ∗∗ ∗ Nếu X liên tục, thì P{X< m d } ≤ 0,5 ⇔ F(m d ) ≤ 0,5. P{X > m d } ≤ 0,5 ⇔ 1 - P{X≤ m d } ≤ 0,5 ⇔ 1 - F(m d ) ≤ 0,5 ⇔ F(m d ) ≥ 0,5 . Vì vậy P{X< m d } ≤ 0,5 và P{X > m d } ≤ 0,5 ⇔ F(m d ) = 0,5. [...]... 1, 2, …, n} Ta tìm quy lu t ppxs c a X Trư ng h p n = 3 Ký hi u Bi = “A x y ra phép th th i” P(Bi) = p, P (Bi ) = 1 − p = q P{X = 0} = P(B1 B2 B3 ) 0 = P(B1 ) P(B2 )P(B3 ) = q3 = C3 p0q 3 P{X = 1} = P(B1 B2 B3 ∪B1 B2 B3 ∪B1 B2 B3 ) 1 = 3pq2 = C3 p1q 2 P{X = 2} = P(B1B2 B3 ∪B1B2B3 ∪B1 B2B3 ) 2 2 = 3p q = C3 p2q1 3 P{X = 3} = P(B1B2B3 ) = p3 = C3 p 3 q 0 Trư ng h p t ng quát Ch ng minh tương t trư ng... doanh thu C có nên nh n thi t k hay không ? Gi i X = s lãi (tri u ng) c a C sau khi tr các chi phí P{A và B không ch p nh n d án} = P{X = (3 + 1)⋅0,9 - 10} = P{X = -6 ,4} = ( 1-0 ,7)( 1-0 ,8) = 0,06 ………… X (tri u) -6 ,4 -3 ,7 -0 ,1 2,6 P 0,06 0,14 0,24 0,56 S lãi kì v ng = EX = 0, 53 > 0 ⇒ C có th nh n thi t k ⋅ ☺ Tính ch t • N u X = const thì E(X)= X • V i C = const thì E(CX) = CE(X) • E(X±Y) = E(X)± E(Y),...Ví d X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 md là s b t kỳ trong (3; 4] md là giá tr chia ôi xác su t và có th không duy nh t Ví d Cho bnn X có hàm m t  4 x 3 khi 0 ≤ x ≤ 3  p( x ) = 81 0 khi x ∉ [0 ; 3]  F(md) = 0,5 md md 4x3 dx = 0,5 ⇔ ∫ p( x )dx = 0,5 ⇔ ∫ −∞ 0 81 4 md 1/ 4  81 ⇔ = 0,5 ⇔ md =   81 2 Kì v ng Ví d Xét bnn X có quy lu t ppxs X -1 1 P 0,05 0,95 Ta mu n tìm... vào hai d án A và B trong 2 lĩnh v c c l p nhau Kh năng thu h i v n sau 2 năm (tính b ng %) c a 2 d án này là các b.n.n X, Y tương ng, có X P Y P 65 67 68 69 70 71 73 0,04 0,12 0,16 0,28 0,24 0,08 0,08 66 0,12 68 0,28 69 0 ,32 70 0,20 71 0,08 E(X) = 69,16 % E(Y) = 68,72 % D(X) = 3, 0944 D(Y) = 1,8016 N u ch n phương án u tư sao cho t l thu h i v n kỳ v ng cao hơn thì ch n A N u ch n phương án u tư sao... ch n chi n lư c kinh doanh làm căn c khi l a Ví d Vi n thi t k C l p d án cho 2 công ty A và B D án này ư c A và B xét duy t c l p v i xác su t ch p nh n tương ng là 0,7 và 0,8 N u A ch p nh n d án thì tr C 4 tri u, còn ngư c l i thì tr 1 tri u N u B ch p nh n d án thì tr C 10 tri u, còn ngư c l i thì tr 3 tri u Chi phí cho l p d án là 10 tri u và thu 10% doanh thu C có nên nh n thi t k hay không ?... n ánh úng th c t là h u như X nh n giá tr b ng 1 S dĩ như v y là do trung bình c ng này chưa g n quy lu t ppxs c a X Ta i tìm m t con s khác t t hơn Gi s trong n l n quan sát X th y m1 l n X = -1 , m2 l n X = 1 G i X là trung bình c ng c a n giá tr c a X ã quan sát ư c, thì ( −1) ⋅ m1 + (1) ⋅ m2 m1 m2 X= = ( −1) + (1) n n n m1 m2 = (t n su t X = -1 ), = (t n su t X = 1) n n Khi n→∞ m1 m2 → P{X = -1 },... gì vào bnn kia nh n giá tr b ng bao nhiêu Phương sai V n o m c phân tán c a bnn X xung quanh trung tâm E(X) Gi i quy t l ch c a X so v i trung tâm = X – EX N ul ym c phân tán = trung bình t t c các l ch = E[X – E(X)] thì ư c s 0 Không th hi n ư c s phân tán kh c ph c i u này, ta có th dùng E|X – EX| ho c E[X – E(X)] 2 om c phân tán • Ph
ơng sai c a bnn X, ký hi u b i D(X), là D(X) = E[X – E(X)]2 ∗... ng bình phương ơn v o c a bnn Vì v y o phân tán c a bnn theo ơn v c a nó ngư i ta dùng l ch chu n • l ch chu n c a bnn X, ký hi u b i σX, là D( X ) §4 M TS QUY LU T PPXS THÔNG D NG Phân b nh th c Ví d Ki m tra 100 s n ph m c a m t nhà máy theo ki u có hoàn l i Ta th y Có dãy 100 phép th v i k t qu c a m i phép th là A = “Chính ph m”, A = “Ph ph m” Chúng có xác su t không i qua m i l n ki m tra K t qu... -1 }, → P{X =1} n n nên X → ( −1) ⋅ P { X = −1} + (1) ⋅ P { X = 1} = 0,9 S 0,9 này g n v i quy lu t ppxs c a X và nó ph n ánh úng th c t là X thiên v nh n giá tr b ng 1 Nói cách khác, 0,9 là trung tâm c a các giá tr X có th nh n • Kì v ng c a bnn X, ký hi u b i E(X), là m t con s ư c xác nh như sau ∗ N u X là bnn r i r c v i P{X = xi} = pi thì E(X)= ∑ xi pi i ∗ N u X là bnn liên t c v i hàm m t p(x) . án} = P{X = (3 + 1)⋅0,9 - 10} = P{X = -6 ,4} = ( 1-0 ,7)( 1-0 ,8) = 0,06 …………. X (triệu) -6 ,4 -3 ,7 -0 ,1 2,6 P 0,06 0,14 0,24 0,56 Số lãi kì vọng = EX = 0, 53. dụ X 0 1 2 3 P 5 /30 15 /30 9 /30 1 /30 mod(X) = 1. Ví dụ Cho bnn X có hàm mật độ      ∉ ≤≤ = ];[ )( 30 0 30 81 4 3 xkhi xkhix xp . mod(X) = 3. Ví dụ