TRẦN AN HẢI          TUẦN 2    HÀ NỘI - 2009 a) Các biến cố độc lập • Hai biến cố A và B liên quan đến một phép thử T được gọi là đc lp nếu ( ) ( ) ( ) BPAPABP = . Khi P(B)>0, thì ( ) ( ) ( ) BPAPABP = ⇔ ( ) ( ) ( ) BP ABP AP = ⇔ ( ) ( ) BAPAP /= . Như vậy, việc xảy ra của biến cố B không làm thay đổi xác suất của biến cố A. Chú ý Nếu A và B độc lập thì hai biến cố trong mỗi cặp sau cũng độc lập : A và B ; A và B; A và B. Định nghĩa Các biến cố A 1 , A 2 , …, A n liên quan đến phép thử T được gọi là đc lp toàn phn nếu với mọi tổ hợp nkji ≤<<<≤ K1 , ta có các đẳng thức sau: ( ) ( ) ( ) jiji APAPAAP = , ( ) ( ) ( ) ( ) kjikji APAPAPAAAP = ,…, ( ) ( ) ( ) ( ) nn APAPAPAAAP LL 2121 = . Ví dụ Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Rút ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm theo kiểu mỗi lần rút thì kiểm tra xong và hoàn lại. Nếu tất cả 4 sản phẩm này đều tốt thì lô hàng được nhận. Tìm xác suất để lô hàng này được nhận. Giải H = “lô hàng được nhận”, A i = “sản phẩm rút ở lần thứ i là tốt”, (i = 1, 2, 3, 4) H = A 1 A 2 A 3 A 4 và A 1 , A 2 , A 3 , A 4 độc lập toàn phần nên P(H) = P(A 1 A 2 A 3 A 4 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )P(A 4 ) = 4 100 90       = 0,6561. ☺ ☺☺ ☺ Chú ý A 1 , A 2 , …, A n độc lập toàn phần ⇒ độc lập từng đôi một. Nhưng điều ngược lại có thể không đúng. Ví dụ Gieo một khối tứ diện đều có mặt thứ nhất sơn đỏ, mặt thứ hai sơn xanh, mặt thứ ba sơn vàng, mặt thứ tư sơn 3 màu: đỏ, xanh, vàng. Ký hiệu Đ, X, V tương ứng là biến cố xuất hiện mặt có màu đỏ, xanh, vàng. Ta có: P(Đ) = P(X) = P(V) = 2 1 4 2 = . P(Đ/X) = P(V/X) = P(X/V) = P(Đ/V) =P(X/Đ) = P(V/Đ) = 2 1 ⇒ Đ, X, V độc lập từng đôi. P(Đ/XV) = 1 ≠ P(Đ) ⇒ Đ, X, V không độc lập toàn phần. ☺ ☺☺ ☺ b) Công thức xác suất đầy đủ • Các biến cố H 1 , H 2 , … , H n được gọi là một nhóm đy đ các bin c nếu thỏa hai điều kiện sau:  H i H j = ∅ với mọi i ≠ j ;  Ω=∪ = i n i H 1 . Định lí Giả sử H 1 , H 2 , … , H n là một nhóm đầy đủ các biến cố có xác suất khác 0 và A là một biến cố nào đó trong cùng một phép thử. Ta có ( ) ( ) ( ) ∑ = = n i ii HAPHPAP 1 / (công thức Xác suất đầy đủ) [...]... mua” H1, H2, H3 là nhóm y các bi n c P(H1) = P(“Ngư i ó tr l i S mua”) 34 = 0,17 = 20 0 P(H2) = P(“Ngư i ó tr l i Có th s mua”) 96 = = 0,48 20 0 P(H3) = P(“Ngư i ó tr l i “Không mua””) 70 = = 0,35 20 0 P(A/H1) = 40/100 = 0,4 P(A/H2) = 20 /100 = 0 ,2 P(A/H3) = 1/100 = 0,01 1) Theo Công th c xác su t y P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) 34 96 70 = ⋅ 0,4 + ⋅ 0 ,2 + ⋅ 0,01 = 0,1675 20 0 20 0 20 0 V... m Tìm xác su t ph m ó l y ng u nhiên l y ư c chính Gi i A = “l y ư c chính ph m” Hi = “s n ph m l y ra thu c h p th i” (i = 1, 2, 3) là nhóm y các bi n c và P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3 6 chính ph m H P 1: 4 ph ph m ⇒ P(A/H1) = 6/10 10 chính ph m H P 2: 5 ph ph m ⇒ P(A/H2) = 10/15 15 chính ph m H P 3: 5 ph ph m ⇒ P(A/H3) = 15 /20 Do ó, theo Công th c Xác su t y P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3)... ư c g i là m t ch nh h p ch p k c a n ph n t này c bi t, m t ch nh h p ch p n c a n ph n t ư c g i là m t hoán v c a n ph n t này S t t c các ch nh h p ch p k c a n ph n t b ng k An = n(n - 1)(n - 2) ⋅⋅⋅(n – k + 1) S t t c các hoán v c a n ph n t b ng Pn = n! Ví d 2 Có A3 = 3 2 = 6 cách ch n 2 trong 3 ngư i i làm nhi m v , trong ó m t ngư i làm i trư ng T h p • M t t p con g m k ph n t không quan tâm... = 36/ 121 ☺ • Công th c Bayes có ng d ng a d ng và phong phú trong nhi u lĩnh v c khác nhau vì ó là công th c cho phép n n l i phán oán, c p nh t thông tin, tính l i xác su t P(Hi) khi ã có thêm thông tin v bi n c A xu t hi n Trong ví d trên, trư c khi phép th ư c ti n hành P(H1) = 1/3 Còn sau khi ã bi t k t qu c a phép th , thì xác su t c a H1 b ng 36/ 121 Ví d Ngư i ta ã ph ng v n ng u nhiên 20 0 khách... ph n t b ng n! k Cn = k! (n k )! Ví d 2 Có C3 = 3 cách ch n 2 trong 3 ngư i i làm nhi m v Quy t c chia nhóm • Cho t p h p A g m n ph n t Chia A ra k nhóm sao cho: nhóm th i có ni ph n t (n1+n2 + ⋅⋅⋅ +nk = n) Khi ó s cách chia nhóm b ng n! n1! n2!L nk ! Ví d Có bao nhiêu cách chia m t b bài tulơkhơ ( 52 con) thành 4 ph n b ng nhau? 52! S cách chia = ≈ 5,3.(10 )28 (13! )4 N u m i giây ng h chia ư c... ⋅ + ⋅ + ⋅ = 121 /180 ☺ 3 10 3 15 3 20 Nh n xét mang tính kinh nghi m: N u phép th g m 2 giai o n, bi n c A liên quan n giai o n sau, thì các k t qu có th có c a giai o n u chính là m t nhóm y Trong ví d trên, giai o n u c a phép th là l y ra 1 trong 3 h p, giai o n hai là l y ra m t s n ph m t 1 h p ã ư c l y ra c) Công th c Bayes nh lí Gi s H1, H2, … , Hn là m t nhóm y các bi n c có xác su t khác... i Công th c Xác su t y Ví d 6 chính ph m 4 ph ph m 10 chính ph m 5 ph ph m H P1 H P2 15 chính ph m 5 ph ph m H P3 L y ng u nhiên m t h p và t ó l y ng u nhiên m t s n ph m, th y ó là chính ph m Tìm xác su t s n ph m ó thu c h p 1 Gi i A = “ l y ư c chính ph m” Hi = “s n ph m l y ra thu c h p th i” (i = 1, 2, 3) là nhóm y các bi n c Theo Ví d trên P(H1) = 1/3, P(A/H1) = 6/10, P(A) = 121 /180 Theo công...Ch ng minh H2 H3 H1 H4 A Hn Hk (AHi)(AHj) = (AA)(HiHj) = A∅ = ∅ và n n ∪ ( AH i ) = A ∪ Hi = AΩ = A i =1 i =1 n ⇒ P ( A ) = ∑ P ( AH i ) theo Quy tắc cộng xác suất i =1 Do Công th c nhân xác su t: P(AHi) = P(Hi)P(A/Hi) (i = 1,…, n), ta có n P ( A ) = ∑ P (Hi )P ( A / Hi ) ☺ i =1 Ví d 6 chính ph m 4 ph ph m 10 chính ph m 5 ph ph m H P1 H P2 15 chính ph m 5 ph ph m H P3 L y ng... a, tàu th y ho c máy bay M i ngày có 10 chuy n ôtô, 5 chuy n tàu h a, 3 chuy n tàu th y, 2 chuy n máy bay Theo Quy t c c ng, V có 20 cách làm Quy t c nhân Gi s m t vi c V ư c hoàn thành khi và ch khi toàn b n vi c V1, V2, , Vn khác nhau ư c hoàn thành M i vi c Vi có ki cách làm Khi ó s cách th c hi n V b ng k1⋅k2⋅⋅⋅kn Ví d Theo Quy t c nhân, s n h p b ng k cách b n viên bi vào k Ch nh h p • M t t... v i nh ng cách tr l i trên là 40%, 20 % và 1% 1) Hãy ánh giá th trư ng ti m năng c a s n ph m ó (hay t l ngư i th c s mua s n ph m ó) 2) Trong s khách hàng th c s mua s n ph m thì có bao nhiêu ph n trăm ã tr l i “S mua”? Gi i A = “L y ng u nhiên m t khách hàng thì ngư i ó th c s mua s n ph m” T l khách hàng th c s mua s n ph m = P(A) H1 = “Ngư i ó tr l i S mua”, H2 = “Ngư i ó tr l i Có th s mua”, H3 . đó, theo Công thức Xác suất đầy đủ P(A) = P(H 1 )P(A/H 1 ) + P(H 2 )P(A/H 2 ) + P(H 3 )P(A/H 3 ) = 20 15 3 1 15 10 3 1 10 6 3 1 ⋅+⋅+⋅ = 121 /180 ☺ ☺☺ ☺ Nhận. 1, 2, 3) là nhóm đầy đủ các biến cố và P(H 1 ) = P(H 2 ) = P(H 3 ) = 1/3. HỘP 1: ⇒ P(A/H 1 ) = 6/10 HỘP 2: ⇒ P(A/H 2 ) = 10/15 HỘP 3: ⇒ P(A/H 3 ) = 15 /20