Chơng I Sự ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định Các hệ thống kinh tế xà hội, hệ thèng kü thuËt hay hÖ thèng sinh häc bao giê hoạt động trạng thái ổn định Vì ổn định khái niệm quan trọng để phân tích hệ thống Xét hệ phơng trình vi ph©n thêng: dYi dt =fi (t, y1, y2, …., yn), (f=1, 2,.,n), (1.1) Trong t biến độc lập (thời gian); y1,.yn hàm cần tìm, fi hàm xác định bán trụ T = I t+ x Dy , I t+ = to < t < +∞  Vµ DY miỊn më thc Rn to số ký hiệu - Ta xét hệ phơng trình vi phân dới dạng ma trËn – VÐct¬: dY dt = f (t, Y) (1.2) Trong t biến độc lập (thời gian) y    Y=    y n = (y1, ., yn)T hàm cần t×m F (t, Y) = [f (t, Y), … , f n (t, Y) ]T dY dt =( dY1 dt , , dYn dt )T Víi T lµ phÐp chuyển vị Để thỏa mÃn định lý tồn nghiệmcũng nh kéo dài nghiệm bên phải, từ ta giả thiết hàm véctơ F (t, Y) miền T liên tục theo t có đạo hàm riêng cấp theo biến y1, , yn liên tục Định nghià 1: (Về ổn định) Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ) hệ (1.2) đợc gọi ổn định theo Liapunov t (hay ngắn gọn ổn định), với > o to (a, ) tồn = δ (ε, to) > o cho: 1) TÊt c¶ c¸c nghiƯm Y = Y(t) cđa hƯ (1.2) (bao gåm nghiệm Z(t)) thỏa mÃn điều kiện: (to) Z(to) < (1.3) xác đinh khoảng to < t < ∞, tøc lµ: Y(t) Є DY t [to, ) 2) Đối với nghiệm bất đẳng thức sau đợc thỏa mÃn: Y(t) Z(t) < ε to ≤ t < ∞ (1.4) Nãi cách khác, nghiệm Z(t) ổn định nghiệm Y(t) gần với thời điểm ban đầu to bÊt kú sÏ n»m hoµn toµn èng ε nhá tùy ý đợc dựng quanh nghiệm Z(t) (Hình 1) y t0 t Hình Từ bất đẳng thức (1.3) (1.4) ý nghĩa ta chọn < Trờng hợp đặc biệt, F (t, 0) (còn gọi trạng thái cân bằng) Z(t)≡0 (a < t < ∞) ỉn ®inh nÕu víi > t0 (a, ) tồn = (, t0) cho bất đẳng thức: (Y(to) < Kéo theo bất đẳng thức: Y(t)ǁ < ε t0 < t < ∞ §inh nghĩa ( ổn định dều) Nếu số > phải chọn không phụ thuộc vào điều kiện ban dầu t G, tức = () ổn định đợc gọi ổn định miền G Định nghĩa (về không ổn định ) Nghiệm Z =Z(t) , (a < t < ) đợc gọi không ổn định theo Liapunov nÕu víi mäi ε > 0, t0 ε(a, ∞) nµo mà với > tồn nghiệm Y (t) (ít một) tìm điểm t1 = t1(δ) > t0 cho: ǁ Yδ (to) – Z(to)ǁ < δ vµ ǁ Yδ (to) – Z(to)ǁ ≥ Tơng tự, nghiệm tầm thờng Z không ổn định (hình 1.2) với > 0, t0(a, ) mà với > tồn nghiệm Y(t) thời điểm t1 > t0 cho: ǁ Yδ (to)ǁ < δ vµ ǁ Yδ (t)ǁ ≥ y Y (t) t0 t1 t Định nghĩa (ổn định tiệm cận) Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ) đợc gọi ổn định tiệm cận t +, nếu: 1) Nó ổn định theo Liapunov vµ 2) Víi mäi t0 ε(a, ∞) tån t¹i ∆ = ∆(t0) > cho mäi nghiƯm Y(t) (t0 ≤ t < ∞) tháa m·n ®iỊu kiÖn ǁ Y(to) – Z(to)ǁ < ∆ sÏ cã tÝnh chÊt: Lim ǁ Y(t) – Z(t)ǁ = (1.5) t→∞ Nh vậy, ổn định tiệm cận ổn định có tải, tức ổn định có kèm thêm điều kiện Đặc biệt, nghiệm tầm thờng Z(t) ổn định tiệm cận ổn định Lim Y(t) = Y(to) < t Hình cầu Y < (t0) với t0 cố định miền hút trạng thái cân Định nghĩa (về ổn định tiệm cận toàn cực) Giả sử hệ (1.1) xác định nửa không gian: = to < t < +∞  x ǁ Y ǁ a) ta có tính chất (1.5), tức = , Z(t) đợc gọi ổn định tiệm cận toàn cực Nói cách khác, miền hút thời điểm ban đầu t0 toàn không gian Rn ( = ) Cùng với hƯ (1.2) ta xÐt hƯ cã nhiƠu: dY dt = F(t, ü ) + Φ(t, ü ) (1.6) Trong ®ã: (t, ỹ) hàm véctơ miền T, liên tục theo t có đạo hàm riêng cấp theo y1, ,yn liên tục Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 6: (về ổn định dới tác ®éng cđa nhiƠu) NghiƯm Z = Z(t) (a < t < ) hệ (1.2) đợc gọi ổn định dới tác động nhiễu (t, ỹ ) với > t0(a, ) tồn δ = δ (ε, t0) > cho (t, ỹ ) < tất nghiệm ü(t) cđa hƯ (1.6) tháa m·n ®iỊu kiƯn: ǁ ü (t0) < xác đinh khoảng [to, ) vµ ǁ ü (t) – Z(t)ǁ < ε víi to < t < 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.2.1 Các khái niệm bản: Xét hệ vi phân tuyến tính dạng véctơ: dY dt = A(t)Y + F(t) Trong ®ã ma trËn A(t) F(t) liên tục khoảng (a, ), đay a số - Giả sử X(t) = [ xjk(t) ] (det x (t) ≠ 0) (2.2) Là ma trận nghiệm (tức hệ nghiệm đợc viết dới dạng (mxn)ma trận ) hệ vi phân tuyến tính tơng ứng dY dt = A(t) ü (2.3) tøc lµ ma trËn gåm n nghiƯm tun tÝnh cđa (2.3) X1(t) = [x11(t), … , xn1(t) ]T …………… Xn(t) = [x1n(t), … , xnn(t) ]T DƠ dµng kiĨm tra r»ng ma trËn X(t) thỏa mÃn phơng trình ma trận; X(t) = A(t) X(t) (2.4) Nh đà biết, X(t) ma trận nghiệm hệ (2.3) nghiệm đợc viết đới dạng: ỹ(t) = X(t) C Trong ®ã C = [C1, … , Cn ]T - ma trận số Giả sư nghiƯm ü = ü (t) tháa m·n ®iỊu kiƯn ban đầu ỹ(t0) = ỹ0 thay t = t0 vào (2.5) ta cã: ü(t0) = X(t0).C, tõ ®ã suy : C = X-1(t0) ü(t0) Nh vËy: ü(t) = X(t) X-1(t0) ỹ(t0) Nếu đặt ma trận cauchy K(t, t0) = X(t) X-1(t0) th× ta cã; ü(t) = K (t, t0) ỹ(t0) Đặc biệt, ma trận nghiệm X(t) lµ chuÈn hãa t = t tøc X(t0)= E, E ma trận đơn vị (2.6) có dạng: ỹ(t) = X(t) ỹ(t0) 1.2.2 Các định nghĩa ổn định hệ vi ph©n tun tÝnh XÐt hƯ vi ph©n tun tÝnh (2.1) hệ vi phân tuyến tính tơng ứng (2.3) Định nghĩa 1: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi ổn định (hoặc không ổn định) Nếu tất nghiệm Y= Y(t) tơng ứng ổn định không ổn định theo Liapunov t → ∞ Ta sÏ thÊy r»ng c¸c nghiƯm cđa hệ vi phân tuyến tính đồng thời ổn định đồng thời không ổn định Đối với hệ vi phân phi tuyến tính khác, số nghiệm ổn định số nghiệm khác lại không ổn định Định nghĩa 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi ổn định tất nghiệm Y(t) ổn ®Þnh ®Ịu t → +∞ ®èi víi thêi ®iĨm ban đầu t0 (a, ) Định nghĩa 3: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm ổn định tiệm cận t 1.2.3 Các định lý tổng quát ổn định hệ vi phân tuyến tính Định lý 1: Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.1) ổn định với số hạng tự F(t) nghiệm tÇm thêng ü0 ≡ (t0 < t < ∞, t0 (a, )) hệ tơng ứng (2.3) ổn định Định lý 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) ổn định nghiệm tầm thêng ü0 ≡ cđa hƯ vi ph©n tun tÝnh tơng ứng (2.3) ổn định t 1.2.4 Các hệ Hệ 1: Tính ổn định nghiệm tầm thờng ỹ0 hệ vi phân tuyến tính (2.3) đợc suy từ từ tính ổn định nghiƯm cđa hƯ (2.1) víi sè h¹ng tù F(t) (có thể F(t) = 0) Hệ quả2:Hệ vi phân tuyến tính ổn định nghiệm ổn định không ổn định nghiệm không ổn định Hệ 3: Hệ vi phân tuyến tính ổn định hệ vi phân tơng ứng ổn định Hệ 4: Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.1) với số hạng tự F(t)bất kỳ ổn định tiệm cận hệ vi phân tuyến tính tơng ứng (2.3) ổn định 1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân tuyến tính nhÊt: dY dt = A(t, Y) (3.1) Trong ®ã A liên tục khỏang (a, ) Định lý cho ta thấy tính ổn định hệ (3.1) tơng đơng với tính giới nội tất nghiệm Định lý 1: Hệ vi phân tuyến tính thuàn (3.1) ổn định theo Liapunov nghiệm Y= Y(t), ((to t < ) hệ đủ bị chặn nửa trục to t < Hệ quả: Nếu hệ vi phân tuyến tính không ổn định tất nghiệm giới nội không giới nội t Chú ý: Đối với hệ vi phân phi tun tÝnh tõ tÝnh giíi néi cđa c¸c nghiƯm nói chung không suy tính ổn định chúng Định lý 2: Hệ vi phân tuyến tính thuàn (3.1) ổn định tiệm cận tất nghiệm Y= Y(t) dần tới không t +, tức là: lim Y (t ) = t →+∞ HƯ qu¶: HƯ vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận ổn định toàn cục Chú ý: Đối với hệ vi phân phi tuyến tính điều kiện tất nghiệm dần tới không nói chung điều kiện đủ nghiệm tầm thờng ổn định tiệm cận 1.4 ổn định hệ vi phân tuyến tính víi ma trËn h»ng XÐt hƯ: dY dt = AY (4.1) Trong A = [ajk ] ma trận (n x n) Định lý 1: Hệ vi phân tun tÝnh thn nhÊt (4.1) víi ma trËn h»ng A ổn định tất nghiệm ®Ỉc trng λ j = λ j(A) cđa A ®Ịu có phần thực không dơng, tức là: Re j(A) (j = 1, 2, .,n) Và nghiệm đặc trng có phần thực ớc đơn Chú ý: Hệ tuyến tính với ma trận A ổn định ổn định thời điểm ban đầu t0 (-, +) Định lý 2: Nếu hệ vi phân tuyến tÝnh thn nhÊt (4.1) víi ma trËn h»ng A ỉn định tiệm cận tất nghiệm đặc trng j = j(A) A có phần thực âm, tức là: Re j(A) < (j = 1,n) 1.5 ổn định theo xấp xỉ thứ Trong mục ta nghiên cứu tính ổn định số hệ phơng trình vi phân phi tuyến tính Ta đa định lý nhằm nghiên cứu số hệ dạng đặc biệt Giả sử ta có hệ phơng trình vi phân: dxi dt = fi (t, x1, x2, … ,xn) (i = 1, n) (5.1) Trong fi hàm khả vi lân cận gốc tọa độ, fi (t, 0, ,0) Ta nghiên cứu tính ổn định ®iĨm c©n b»ng x i ≡ 0, (i = 1, n) cđa hƯ (5.1) Ta biĨu diƠn hƯ (5.1) lân cận gốc tọa độ dới dạng: dxi dt n = ∑a j =1 ij (t) xj + Ri (t, x1, x2, … xn) Trong ®ã Ri cã bËc cao h¬n1 so víi (i= 1, n) (5.2) n ∑ x , tøc lµ vỊ thùc chÊt ta khai triĨn i =1 i vế phải (5.1) theo công thøc Taylo theo x = (x1, x2, … xn) t¹i lân cận gốc tọa độ Thay điểm cân hệ (5.1) ta nghiên cú tính ổn định điểm cân hệ tuyến tính: dxi dt n = ∑a j =1 ¹i (t) xj (i = 1, n) (5.3) mµ ta gäi lµ hƯ phơng trình xấp xỉ thứ hệ ( 5.1) Để đơn giản ta giới hạn trờng hợp hệ số aij(t) (5.3) số §Þnh lý 1: NÕu: 1) HƯ (5.2) a’ dõng theo xấp xỉ thứ 2) Tất số hạng Ri bị chặn theo t khai triển đợc thành chuỗi lũy thừa x1, x2, xn miền n x H tất khai triển i =1 i bắt đàu từ số hạng không thấp hai: 3) Tất nghiệm phơng trình đặc trng: a11 a12 a1n a21 a22 -k……… a2n =0 (5.4) ……………… An1 an2 ann-k có phần thực âm; nghiệm tÇm thêng xi≡ (i = 1, n) cđa hƯ (5.2) hệ (5.3) ổn định tiệm cận, tức trờng hợp nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ Định lý 2: Nếu: 1) Hệ phơng trình (5.2) a dừng theo xấp xỉ thứ nhất; 2) Tát hàm Ri thỏa mÃn điều kiện định lý 1; 3) Có nghiệm phơng trình đặc trng (5.4) có phần thực dơng; Thì điểm cân xi (i = 1, n) hệ (5.2) (5.3) không ổn định, tức trờng hợp nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ Qua hai định lý ta thấy rằng, phần thực tất nghiệm đặc trng (5.4) không dơng phần thực nghiệm không việc nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ chung đợc (vì trờng hợp có tác động số hạng phi tuyến Ri) Ví dụ 1: Xét tính ổn định theo xấp xỉ thứ điểm c©n b»ng x= 0, y = cđa hƯ: x = - sinx + 3y + x3 y= x – 2y + y3 (5.5) Gi¶i: Tríc hết ta tìm hệ phơng trình xấp xỉ thứ ®èi víi (5.5) theo c«ng thøc: x 3! Sinx = x - + (x3) Thay vµo (5.5) ta cã: x= -x y= x3 3! + 3y + x3 x– 2y + y3 (5.6) Các số hạng phi tuyến (5.6) thỏa mÃn điều kiện định lý Ta có hệ xấp xỉ thứ (5.5) là: 10 X= -x + 3y Y= x– 2y (5.7) Ph¬ng trình đặc trng là: − 2− λ =0 =0 ⇔ (1+ λ) (2 + λ) ⇔ λ2 + 3λ +2 - = ⇒ λ12 = −3 ± 2 a) lµ nghiƯm cđa hƯ (1.1) mà ta phải xét tính ổn định Và Y(t) nghiệm (1.1) Đặt X= Y – Z(t) ta cã: dx dt = F(t, X + Z(t)) 12 dY dt dz dt ⇒ dY dt =F (t, Y) = F(t, Z) - dz dt = d (Y − Z ) dt = F (t, X+Z) – F (t, Z) dx ⇒ dt = F (t, X + Z) – F (t, Z) = G (t, X) (1.3) cho X = 0, G(t, 0) = ⇒ X ≡ lµ nghiƯm cđa (1.3) Nh vËy, hƯ (1.3) cã nghiƯm tÇm thêng X ≡ Nghiệm không gian R tơng ứng với nghiệm Z = Z(t) đà cho Hệ (1.3) đợc gọi hệ quy đổi n y (Liapunov gọi đólà hệ phơng trình chuyển động có nhiễu) Nh vậy, việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm Z = Z(t) kh«ng gian R n (kh«ng gian n chiỊu cđa biÕn Y) đa nghiên cứu tính ổn định y nghiệm tầm thờng (vị trí cân bằng) X ≡ kh«ng gian R n (kh«ng gian x n chiều biến x) 1.6.2 Các hàm có dấu xác định: Xét hàm số V = V(t, x) Liên tục theo t vµ theo x1,… , xn miỊn Z0, ®ã: Z0 = { a < t < < ∞, ║X ║ < H } Ta sÏ ®a định nghĩa hàm có dấu xác định có dấu không đổi Định nghĩa 1: Hàm liên tục V (t, x) đợc gọi có dấu không đổi (dấu âm dấu dơng) Z0 nÕu: V(t, X) ≥ ( hc V(t, X) ≤ 0) Với (t, X) Z0 Định nghĩa 2: Hàm V(t, X)đợc gọi xác định dơng (xác định âm) Z0 tồn hàm (x) C (X ║ < h) cho: V(t, X) ≥ ω (x) > víi ║X ║≠ 13 (V(t, x) < ω(x) < 0) vµ V(t, X) = ω(0) = Hàm xác đinh dơng xác định âm đợc gọi hàm có dấu xác định Đôi có (x) = inf V(t, x) thể lấy: Định nghĩa 3: Hàm V(t, x) đợc gọi hàm có giới hạn v« cïng bÐ bËc cao X → nÕu với t0 > a ta có V(t, X) → trªn [t0, ∞) X → 0, tøc với > tồn = δ (ε) > cho V(t, x) < ε ║X ║< δ vµ t ∈ [t0, ∞) 1.6.3 Các định lý ổn định Liapunov Trớc đa kết phơng pháp th Liapunov, ta đa định nghĩa quan trọng, định nghĩa đạo hàm nghĩa hệ Giả sử G(t, x) liên tục theo t có đọa hàm riêng liên tục theo x 1, x2, …., xntrong miÒn T (T= a < t < ∞, ǁ x ǁ < H ) vµ dx dt = G (t, X) (2.1) Là hệ vi phân quy ®ỉi, tøc lµ G(t, O) = vµ tõ ®ã rõ ràng hệ (2.1) có nghiệm tầm thờng X Giả sử V = v(t, X) khả vi liên tơc theo c¸c biÕn t, x 1, x2,….,xn T0 = a < t < ∞, ǁ x ǁ ≤ h < H  ⊂ T) vµ G(t, x) = [G1, (t, x1, ,xn),., Gn(t, x1,., xn)] Định nghĩa: Hàm sè V (t, X) = ∂ V ∂ t n + ∂V ∑∂x Gj (t, x) j= (2.2) j đợc gọi đạo hàm (toànphần) theo t cđa hµm V(t, x) nghÜa cđa hƯ (2.1) nÕu X =X(t) nghiệm hệ (2.1) V(t, x) đạo hàm theo t hàm hợp V(t, X(t)), tøc lµ: V(t,x) = d dt V(t, X(t) Định lý thứ Liapunov: 14 Nếu hệ quy đổi (2.1) tồn đạo hàm xác định dơng V(t, x) có đạo hàm có dấu không dơng V(t, ) theo t nghĩa hệ nghiƯm tµm thêng X ≡ (a < t < ) hệ đà cho ổn định theo Liapunov t + Hệ quả: Nếu hệ vi phân tuyến tính dx dt =A(t) X tồn hàm xác định riêng V(t, X) có đạo hàm nghĩa hệ V(t,X) tất nghiệm X(t) hệ xấc định bị chặn trªn nưa trơc [t0, ∞) VÝ dơ: XÐt tÝnh ỉn định nghiệm tầm thờng hệ: dx dt = -y – x3 dY dt = x – y3 Gi¶i: Chän hµm V(t, x, y) = x2 + y2 > 0, V(0,0) = Đạo hàm hàm theo t nghÜa cđa hƯ lµ: dV dt = ∂ V ∂ x = 2x dx dt dx dt + ∂ V ∂ y + 2y dY dt = - (x4 + y4) < dy dt = 2x (-y – x3) + 2y(x- y3) ((x, y) 0) Ta thấy tất điều kiện định lý đợc thỏa mÃn Vì vậy, nghiệm tầm thờng x =0, y = hệ đà cho ổn định Chú ý: Trong định lý thứ Liapunov thay tính xác định dơng hàm V(t, x) tinh xác định âm, nhng đòi hỏi V(t, Z) phải hàm dấu không âm Định lý thứ hai Liapunov Giả sử hệ quy đổi (2.1) tồn hàm xác định dơng V(t, x) có giới hạn vô bé bậc cao x có đạo hàm theo t xác định âm nghĩa hệ Khi đó, nghiệm tầm thờng x hệ ổn định tiệm cận t + Hệ quả: Nếu hệ vi phân tuyến tính 15 dx dt = A(t) x tồn hàm xác định dơng V(t, x) thỏa mÃn điều kiện định lý thứ hai Liapunov nghiệm ổn định toàn cục Chú ý: Trong định lý ta thay điều kiện xác định dơng hàm V9t, x) điều kiện xác định âm, nhng phải có điều kiện xác định dơng V(t, x) Ví dụ: 16 Chơng II Tính ổn định mũ bình phơng trung bình hệ vi phân ngẫu nhiên ITÔ 2.1 Vi phân ITÔ hàm Liapunov Trớc nghiên cứu tính ổn định ( theo nghĩa hay nghĩa khác) phơng trình vi phân ngẫu nhiên ta cần đếm số kiến thức vi phân ITÔ đợc xây dựng theo trình wiener 2.1.1 Quá trình wiener (chuyển động Brown) Định nghĩa: Quá trình w = (wt, t 0) xác định không gian xác suất ( e, f, R ) đợc gọi trình wiener nếu: i) W0 = ii) Wt trình có gia số độc lËp, tøc lµ víi mäi t1 < t2 < t3 < t4 biến ngẫu nhiên Wt4 - Wt3 Wt2 - Wt1 độc lập Biến ngẫu nhiên Wt – Ws ( ≤ s < t) cã ph©n phối chuẩn với trung iii) bình phơng sai t – s, tøc lµ: E (Wt – Ws) = hay E (Wt – Ws)2 =t - s hay Ed W(t) = E(d W(t))2 = dt Víi hÇu hết quỹ đạo Wt() hàm liên tục Quá trình iv) xem nh mô hình hóa di động hỗn loạn hạt môi trờng chất lỏng, chất khí Cho (Wt) trình wiener chiỊu X = (Xt) t ≥ lµ mét trình ngẫu nhiên đo đợc lấy giá trị (R, B(R) ) Ta giả thiết trình ngẫu nhiên có vi phân ngẫu nhiên: dXt = A(t, Xt)dt + B(t, Xt)dwt, ta cã quy t¾c vi phân Itô sau đây: 17 cho X = (Xt) trình ngÃu nhiên có vi phân Itô giả sử y = g(t, xt) có vi phân Itô tÝnh theo c«ng thøc sau: dYt = ∂ g ∂ t dt + ∂ g ∂ x ∂ g ∂ x = ∂ g ∂ t dt + = ∂ g ∂ t dt + (A ∂ + x (A dXt + ∂ g ∂ x ∂ g ∂2 g ∂x B2 dt + Bx(t) dw(t)) + B2 ∂2 g ∂x ∂2 g ∂x B2 dt ∂ g ) dt + B ∂ dw(t) x VÝ dô: g(t, x) = x2 ∂ g ∂ t Ta cã = 0, ∂ g ∂ x = 2x, ∂2 g ∂x =2 Vậy, theo quy tắc vi phân Itô ta có: dXt2 = Xtdt Xt+ B2 dt Ta xét phơng trình vi phân ngẫu nhiên: dx(t) = Ax(t) dt + Bx(t)dw(t) ≤ t < ∞ x(t0) = x0, x ∈ Rn, A Rn, B Rnxn quy tắc vi phân Itô V = xTx là: dxTx = xTdx + dxTx + (Bx)T (Bx) dt 2.1.2 Vi phân Itô hàm Liapunov a) Xét hệ vi phân tuyến tính dõng: dx dt = Ax hay dx = Ax dt (1) A Rnxn ma trận hằng, x Rn ta xây dựng hàm Liapunov hệ (1) díi d¹ng: n V = x Hx = T ∑x h i, j = i ij x j = (x, Hx) (*) Trong H (hịj) ma trận xác định dơng, đối xứng 18 x= x1     xn  , xT = (x1, … , xn) Khi n =1, x =  x1     x2  xT H= (x1, x2) a    b  ,H= a    b  b  c  b  = (a x1 + bx2, b x1 + ax2) c  XT Hx = (a x1 + bx2, b x1 + ax2)  x1     xn  = (a x1 + bx2) x1 + (b x1 + ax2)x2 Hx = a    b  b  c   x1     x2  =  ax1 + bx2     bx1 + cx2  (x, Hx) = x1 (a x1 + bx2) + x2 (b x1 + ax2)x2 ⇒ (x, Hx) = xt Hx tơng tự ta có (*) với mäi n Ta cã: dv dt =( dx dt , Hx) + (x, H dx dt ) = (Ax, Hx) + (x, Hax) 19 = (x, ATHx) + (x, Hax) = (x, (ATH + HA) x) = xT (ATH + HA) x b) Xét hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tÝnh: dx = Axdt + Bxdw(t) (2) hay dx = (Adt + bdW(t) x Trong dã A vµ B ∈ Rnxn ma trận Ta xây dựng hàm Liapunov có dạng toàn phơng: V = xTHx Theo công thức vi phân Itô ta có: dV = d(xTHx) = dxT Hx + xTHdx + (Bx)T H B x dt = xH (xT AT dt + xTBT dw) + xT (H A x dt + H B x dw) + BTH B dt = xT (ATH + HA + BT H B) x dt + xT (BT H + HB) x dw Do W trình winer nên E dw = Tõ ®ã suy : E dV = xT (AT H + H A + BT H B) x dt c) XÐt hƯ vi ph©n tun tÝnh không giải đợc đạo hàm dx D dt = Ax hay D dx = Ax dt ®ã A, D ∈ Rnxn lµ ma trËn h»ng, X Rn Ta xây dựng hàm Liapunov hệ (2) díi d¹ng V = xT DT H Dx = (Dx, HDx) = (x, DT H Dx) Trong đó, H ma trận hằng, xác định dơng, đối xứng Khi ta cã: dV dt = (D dx dt , H Dx) + (Dx, H D dx dt ) = (Ax, H Dx) + (Dx, H Ax) = (x, AT H Dx) + (x, DT H Ax) = (x, (AT H D + DT H A)x ) = xT (AT H A + DT H A)x 20 d) XÐt hÖ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính không đa đợc dạng cauchy D dx dt = Ax(t) dt + Bx(t) dw(t) , ( x(t0) = I) (4) Trong ®ã A, D Rnxn ma trận hằng, x Rn Ta xây dựng hàm Liapunov hệ (4) dới dạng: V = xT DT H D C Trong ®ã H ma trận hằng, xác định dơng, đối xứng Khi ®ã: dV dt dx = (D dt , H Dx) + (Dx, H D dx dt ) = (Ax + Bx dw, H Dx) + (D, H(Ax + Bx dw(t) + (Bx, Bx) = (Ax, H Dx) + (Bx dw(t), H Dx) + (Dx, H Ax) + ( Dx H Bx dw(t)) = (x, AT H D) + (x, DT H A) + (x, BT H Dx dw(t)) + (x, DT H Bx dw(t)) = ( x, (AT H D + DT H A)x) + (x, (H D + DT H B)x dw(t) = xT (AT H D + DT H A)x + xT (BTH D + DT H B) x dw(t) Do w(t) trình winer nên E dw(t) = Tõ ®ã ta cã: E dV = xT (AT H D + DT H A) x 2.2 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên Itô 2.2.1 Tính ổn định mũ hệ phơng trình vi phân tất định Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính: (1) dy dt = Ay(t) ≤ t0 < t < ∞, y(t0) = , y ∈ Rn A ∈ Rnxn lµ ma trận Định nghĩa 2.2.1:Nghiệm tầm thờng (trạng thái cân bằng) y = hệ (1) đợc gọi ổn định mũ với số mũ tồn N > > độc lập víi t0 vµ y0 cho mäi t > t0 vµ y0 ∈ Rn ta cã: ║y(t, t0, y0) ║ ≤ N e- β(t – t0) ║ y0║ ®óng víi mäi nghiƯm y(t, t0, y0) cđa hƯ ®ã 21 Kalman Bertram đà chứng minh đợc rằng: nghiệm y = hệ (1) ổn định tiệm cận với số mũ - ( > 0) Điều có nghĩa là: hệ (1) ổn định tiệm cận theo định nghĩa Lia punov với số mũ - Định nghĩa 2.2.2: Ma trận A đợc gọi ổn định mũ phần thực giá trị riêng A bé , tức là: Max Re i (A) < - β XÐt hƯ vi ph©n tun tÝnh dõng; dx dt = AX , X(t0) =I (ma trận đơn vị) Trong ®ã: A ∈ Rnxn lµ ma trËn h»ng Víi n = ta cã: dx dt ⇔ = ax (a = const) dx dt ⇔ln x x0 x = a Ht ⇔ dx ∫x x0 t ∫adt = t0 t = ∫adt = (t –t0) t0 ⇔ x = eA (t – to) T¬ng tù,t a cã nghiƯm cđa hƯ phơng trình có dạng ma trận: X(t) = eA (t – to) Nhê phÐp ®ỉi biÕn X = TY, T ma trận hằng, không suy biến Ta cã: ⇒ dy dt dx dt =T dy dt = Ax = A Ty = (T -1 A T) Y, Y(t0) = T -1 Theo đại số tuyến tính, ta cã thÓ chän T cho: T –1 A T =  λ     λ2    λ n = diag (λ1,…, λn)  22 Tõ ®ã ⇒ A = T diag (1,, n) T-1 Trong ( 1, ., n) giá trị riêng ma trận A X = eA (t – to) = T diag (eλ1 (t – to), ……, eλn (t – to)) T-1 = T e λ ( t −t0 )  0  e λn ( t −t )  -1  T   Tõ ®ã, ta nhËn thÊy: X(t) → t→ ∞ vµ chØ Re λi(A) < (j =1, n) VËy ta cã: Định lý 2.2.1 : điều kiện cần đủ đẻ nghiệm phơng trình dx dt = Ax x(t0) = x0 , A ma trËn h»ng ( kh«ng phơ thc vào x0) dần tới t , phần thực nghiệm đặc trng ma trân A có giá trị âm Hay nói cách khác điều kiện cần đủ để nghiệm tầm thờng Y= phơng trình ổn định tiệm cận ma trận A Hurnit ( hay A ổn định ) Ta trở lại phơng trình: dx dt = Ax x(t0) = x0 lấy hàm Liapunov dạng toàn phơng V = (x, Hx) Trong đó, H ma trận hằng, xác định dơng, đối xứng xác định sau Khi ®ã: dV dt = (x, (AT H + H A) x) Ta chän H cho: AT H + H A = - I Khi ®ã: dV dt = (x1 – x) = - (x, x) Gäi λi (i = 1, n) nghiệm đặc trng ma trận H Theo kết đại số tuyến tính ta cã: λmin (x, x) < ( x, Hx) < λmax (x, x) Tõ ®ã: 23 dV dt = - (x, x) ≤ - λmin (x, Hx) = - λmin V ⇒ V(x) ≤ V(o) e- λ t ⇒ V(x) → (t → ∞) Do H x¸c định dơng nên thành phần tiến tới t → ∞ ⇒ x(t) → (t ) A ổn định Bây ta thiết lập điều kiện cần đủ để ma trận A ổn định Bổ đề 2.1 Nếu A ổn định phơng trình ma trận Sylvester AT H + H A = - G Cã nghiƯm lµ: ∞ H = e AT t G.e At dt Định lý 2.2.2: Cho phơng trình : dx dt = Ax giả sử H nghiệm phơng trình ma trận: AT H + H A = - I ( T – ma trận đơn vị) Khi đó, điều kiện cần đủ để ma trận A ổn định ma trận H xác định dơng Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử A ổn định ta cần chứng minh X xác định dơng Thật vây, áp dụng bổ đề ta có: Phơng trình: AT H + H A = - I Cã nghiƯm lµ: ∞ H= ∫e AT t I e At dt ∞ ⇒(x, Hx) = ∫( x, e AT t I e At )dt ∞ = ∫(e A t x, e A t x )dt >0 Từ suy H xác định dơng Thật vậy, lấy hàm Liapunov làm dạng toàn phơng V(x) = (x, Hx) Ta cã: 24 d dt V(x) = ( x, (AT H + H A)x ) = - (x, x) t t 0 ⇒ ∫ ( x, x)dt = - ∫dV ( x) = - V(x) t ∫ = V(x0) – V(xt) t ⇒ V(xt) + ∫ ( x, x)dt = V(x0) t Hay ( x(t), Hx(t)) + ∫ ( x, x)dt = (x(o), Hx(o)) (*) Chú ý A ổn định thì: ( x, x) = (x(o), Hx(o)) Tõ (*) cho t→ ∞ , ta cã: ( x(t), Hx(t) ) → Do H xác định dơng nên x(t) t Hay ma trân A ổn định Tơng tự nh định lý ta có: Định lý 2.2.3 (Liapunov ) Nếu ma trận A ổn định tồn ma trận xác định dơng, đối xứng H0 nghiệm phơng trình ma trận Liapunov AT H0 + H0 A = - G Trong đó, G ma trận xác định dơng, đối xứng, chọn tùy ý 2.2 Tính ổn định mũ bình phơng trung bình hệ vi phân ngẫu nhiên đa đợc dạng cauchy Xét hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính: dx(t) = Ax(t) dt + Bx(t) dw(t), x(t0) = x0 (2) Trong ®ã x ∈ Rn ; A, B ∈ Rnxn ma trận Định nghĩa 2.2 Nghiệm tầm thờng hệ (2)đợc gọi ổn định mũ bình phơng trung bình với số mũ > tồn N > > cho mä t > t0 vµ x ∈ Rn ta cã: E ║ x (t, t0, x0)║2  < N e- (t to) x0 Định lý 2.2.4 25 Giả sử ma trận A ổn định, ®ã NghiƯm tÇm thêng x = cđa hƯ (2) ổn định mũ bình phơng trung bình với số mũ > tồn nghiệm xác định dơng đối xứng H phơng trình ma trận (A + βI )T H + H (A + βI) +BT H B = -I ( I ma trận đơn vị) Chứng minh: Trong hệ (2) ta đổi biến cách ®Ỉt: x(t) = e- βt Z(t) ⇒ dx(t) = Z de -βt + e -βt dz = - Z β e -βt dt + e -βt dz Thay vµo (2) ta cã: -Z β e -βt dt + e -βt dz = A e -βt dt + β e -βt dw(t) ⇔ dz = (A + βI) Z dt + Z dw(t) Lấy hàm Liapunov dạng: V(Z) = ( Z(t))T H Z(t) Theo công thức vi phân Itô ta cã: dV = xT (A + βI)T H + H (A + βI) + BT H B) x dt + xT (HB + BT H)x dw(t) Do w(t) trình winer nên E dw(t) = Ta đến: E dV dt = xT ( A + βI)T H + H (A + βI) + BT H B) x §Ĩ nghiƯm tÇm thêng x = cđa hƯ (2) ổn định mũ bình phơng trung bình ta cần phải có dV dt xác định âm, tức phải có: (A + βI)T H + H (A + βI) + BT H B < 0, tõ ®ã suy ®pcm 2.2.3.Tính ổn định mũ bình phơng trung bình hệ vi phân ngẫu nhiên ITô không đa đợc dạng Cauchy Trớc hết ta xét hệ phơng trình vi phân tất ®Þnh D dx dt = Ax (3) X(0) = I Trong A, D ma trận 26 Ta cã (3) ⇔ dx dt = (D – A) x (4) Tơng tự nh phần trớc ta cã nghiƯm cđa hƯ (4) cã d¹ng ma trËn: X(t) = e ( D −1 A ) t e λ11t = T  eλ2t 0  e λnt  -1 T Trong i nghiệm đặc trng cđa D – A Tõ ®ã ta nhËn thấy: Nếu ma trận D A ổn định (tøc lµ Re λi (D – A) < 0) X(t) t Khi ta nãi r»ng chïm ma trËn A - λD lµ Hurnit Định lý 2.2.5: Điều kiện cần đủ để nghiệm phơng trình D dx dt = Ax, x(0) = I ổn định tiệm cận chùm ma trận A - D Hurnit Xét hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính không đa đợc dạng cauchy D dx(t) + Ax(t) dt + Bx(t) dw(t) Trong trêng hợp ta có: Định lý: Giả sử chùm ma trận A - D Hurnit đó: Nghiệm tầm thờng x hệ (3) ổn định mũ bình phơng trung bình với số mũ tồn nghiệm xác định dơng đối xứng H phơng tr×nh ma trËn: ( A + βI)T H D + DT H (A + βI) + BT H B = -G G ma trận xác định dơng tïy ý chän Chøng minh: Trong hƯ (3) ta ®ỉi biến cách đặt: X(t) = e -t Z(t) Khi ®ã ta cã: (3) ⇔ D e -βt dz – D β e -βt Zdt = A e -βt Zdt + B e -βt Z dw(t) ⇔ D dz = (A + βD) Z dt + B Z dw(t) ta lấy hàm Liapunov dạng: V(Z) = (Z(t))T DT H D Z(t) Theo c«ng thøc IT« ta cã: 27 DV = ZT ((A + βI)T H D + DT H (A + βI) + BT H B) Z dt + ZT (H B + BT H) Z dw(t) D w(t) lµ trình winer E dw(t) = Ta ®Õn: dV dt E = ZT ((A + βI)T H D + DT H (A + βI) + BT H B) Z dt Để nghiệm tầm thờng x hệ (3) ổn định mũ bình phơng trung bình dV dt E xác định âm tức là: (A + βI)T H D + DT H (A + βI) + BT H B < Tõ ®ã suy ®pcm 28 ... thấy nghiệm hệ vi phân tuyến tính đồng th? ?i ổn định đồng th? ?i không ổn định Đ? ?i v? ?i hệ vi phân phi tuyến tính khác, số nghiệm ổn định số nghiệm khác l? ?i không ổn định Định nghĩa 2: Hệ vi phân tuyến... phân tuyến tính ổn định hệ vi phân tơng ứng ổn định Hệ 4: ? ?i? ??u kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.1) v? ?i số hạng tự F(t)bất kỳ ổn định tiệm cận hệ vi phân tuyến tính tơng ứng (2.3) ổn định. .. tất nghiệm gi? ?i n? ?i không gi? ?i n? ?i t Chú ý: Đ? ?i v? ?i hệ vi phân phi tuyến tính tõ tÝnh gi? ?i n? ?i cđa c¸c nghiƯm cđa nã n? ?i chung không suy tính ổn định chúng Định lý 2: Hệ vi phân tuyến tính thuàn