Trờng Đại học Vinh Khoa toán ---------------------- Hà Thị Thuý Hằng Về tính ổn định của mômen nghiệm các hệ vi phân ngẫu nhiên Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán Vinh 2006 Mở đầu ổn định là một trong những tiêu chí đầu tiên cần phải có đối với các hệ thống dù cho hệ thống đó là hệ thống kỹ thuật, hệ sinh thái hay hệ kinh tế - xã hội. Bởi vì một hệ thống muốn tồn tại và phát triển thì hệ thống đó phải ổn định. Tính ổn định là một trong những tính chất chủ yếu của lý thuyết các hệ động lực đợc bắt đầu từ các công trình xuất sắc của nhà toán học Nga A.M.Liapunov. Khoá luận này đề cập đến một số vấn đề về tính ổn định của các mômen nghiệm của các hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên. Khoá luận này gồm có hai chơng: Chơng I và II : Trình bày tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính tất định Chơng III là nội dung chủ yếu của khoá luận trình bày tính ổn định của các mômen nghiệm của các hệ vi phân ngẫu nhiên. Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh. Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS. Phan Đức Thành, ngời đã đặt vấn đề và trực tiếp hớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn. Cuối cùng xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo trong Khoa và tổ điều khiển đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này . Vinh, ngày 20 tháng 04 năm 2006 Tác giả. 2 Chơng I: Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính 1.1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định Xét hệ vi phân thờng đợc viết dới dạng ma trận-vectơ: ),( YtF dt dY = (1.1) Trong đó ), .,( 1 1 n n yycolon y y Y = = F(t, Y) = colon[f 1 (t, Y), , f n (t, Y)] = dt dy dt dy dt dy colon dt dY n , .,, 21 Định nghĩa 1: Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ) của hệ (1.1) đợc gọi là ổn định theo Liapunop khi t (hay ngắn gọn là ổn định) nếu với > 0 và t 0 (a, ) tồn tại = ( , t 0 ) sao cho: 1. Tất cả các nghiệm Y = Y(t) của hệ (1.1) (bao gồm cả nghiệm Z(t) thoả mãn điều kiện || Y(t 0 ) - Z(t 0 ) || < (1.2) Xác định trong khoảng t 0 <t < + tức là Y(t) D Y khi t [t 0 , ); Trong đó D y là một miền mở thuộc R n . 2. Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau thoả mãn: ||Y(t) - Z(t) || < khi t 0 t < (1.3) Nói cách khác, nghiệm Z(t) ổn định, nếu các nghiệm Y(t) khá gần với nó ở thời điểm ban đầu t 0 bất kỳ sẽ hoàn toàn nằm trong ống nhỏ tuỳ ý đợc dựng quanh nghiệm Z(t) mô tả nh hình vẽ sau: Từ các bất đẳng thức (1.2) và (1.3) về ý nghĩa ta có thể chọn . 3 y 0 tt 0 y t Z t Trờng hợp đặc biệt, khi 0)0,( tF nghiệm tầm thờng (còn gọi là trạng thái cân bằng) )(0)( << tatZ ổn định nếu với > 0 và t 0 (a, ) tồn tại = (, t 0 ) sao cho bất đẳng thức ||Y(t 0 )|| < kéo theo bất đẳng thức ||Y(t)|| < khi t 0 < t < . Định nghĩa 2: Nếu số > 0 thì có thể chọn không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu t 0 G, tức là = () thì ổn định đợc gọi là ổn định đều trong miền G. Định nghĩa 3: Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ) đợc gọi là không ổn định theo Liapunop nếu với > 0, t 0 (a, ) nào đó và với > 0 tồn tại nghiệm Y (t) (ít nhất là một) và thời điểm t 1 = t 1 ( ) > t 0 sao cho ||Y (t 0 ) - Z(t 0 )|| < và || Y (t 1 ) - Z(t 1 ) || Tơng tự nghiệm tầm thờng Z 0 không ổn định nếu với > 0, t 0 (a, ) nào đó > 0 tồn tại nghiệm Y (t) và thời điểm t 1 > t 0 sao cho: || Y (t 0 ) || < ; || Y (t 1 ) || Trờng hợp này đợc mô tả nh hình vẽ sau: Định nghĩa 4: Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ) đợc gọi là ổn định tiệm cận khi t + nếu: 1. Nó ổn định theo Liapunop và 2. Với t 0 (a, ) tồn tại = (t 0 ) > 0 sao cho mọi nghiệm Y(t) (t 0 t < ) thoả mãn điều kiện || Yt 0 ) -Z(t 0 ) || < sẽ có tính chất t lim || Y(t) - Z(t) || = 0 (1.4) 4 y 0 tt 0 t 1 y (t) Nh vậy ổn định tiệm cận là ổn định có tải tức là ổn định kèm thêm điều kiện. Đặc biệt nghiệm tầm thờng 0)( tZ ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và t lim Y(t) = 0 khi || Y(t 0 ) || < . Hình cầu ||Y|| < (t 0 ) với t 0 cố định là miền hút của trạng thái cân bằng 0. Định nghĩa 5: Giả sử hệ (1.1) xác định trong nửa không gian ={t 0 <t < } x {|| Y|| < }. Nếu nghiệm Z = Z(t) (a < t < ) ổn định tiệm cận khi t và tất cả các nghiệm Y = Y(t) (t 0 t < , t 0 > a) đều có tính chất (1.4) tức là = thì Z(t) đợc gọi là ổn định tiệm cận toàn cục. 5 1.2. tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính 1.2.1. Các khái niệm cơ bản Xét hệ vi phân tuyến tính đợc viết dới dạng ma trận-vectơ: )()( tFYtA dt dY += (2.1) Trong đó ma trận A(t) và vectơ F(t) liên tục trong khoảng (a, ). Giả sử X(t) = [x jk (t)](det X(t) 0) (2.2) Là ma trận nghiệm cơ bản (tức là nghiệm cơ bản đợc viết dới dạng (n x n)- ma trận) của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng: YtA dt Yd ~ )( ~ = (2.3) 1.2.2. Các định nghĩa chính Xét hệ vi phân tuyến tính (2.1) và hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2.3). Định nghĩa 1: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi là ổn định (hoặc không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó tơng ứng ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunop khi t + . Ta sẽ thấy rằng các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc đồng thời cùng ổn định hoặc đồng thời cùng không ổn định. Đối với các hệ vi phân phi tuyến thì khác, một số có thể ổn định còn một số nghiệm khác có thể lại không ổn định. Định nghĩa 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi là ổn định đều nếu tất cả các nghiệm Y(t) của nó ổn định đều khi t + đối với thời điểm ban đầu t 0 (a, ). Định nghĩa 3: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t + . 6 1.2.3. Các định lý tổng quát về sự ổn định của các hệ vi phân tuyến tính Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.1) ổn định với số hạng tự do bất kỳ F(t) là nghiệm tầm thờng )),(,(0 ~ 000 << atttY của hệ thuần nhất (2.3) tơng ứng ổn định. Định lý 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng 0 ~ 0 Y của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2.3) ổn định đều khi t . Định lý 3: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng 0 ~ 0 Y của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2.3) ổn định tiệm cận khi t . 1.2.4. Hệ quả Hệ quả 1: Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi ít ra một nghiệm của nó ổn định và không ổn định nếu một nghiệm nào đó của nó không ổn định. Hệ quả 2: Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân thuần nhất tơng ứng ổn định. Hệ quả 3: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.1) với số hạng tự do F(t) bất kỳ ổn định tiệm cận là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất t- ơng ứng (2.3) ổn định. 7 1.3. tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất YtA dt dY )( = (3.1) Trong đó A(t) liên tục trong khoảng (a, ). Định lý sau sẽ cho ta thấy rằng tính ổn định của hệ (3.1) tơng đơng với tính giới nội của tất cả các nghiệm của nó. Định lý 1: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3.1) ổn định theo Liapunop khi và chỉ khi mỗi nghiệm Y = Y(t) (t 0 t < ) của hệ đó bị chặn trên nửa trục t 0 t < . Hệ quả: Nếu hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì tất cả các nghiệm của nó hoặc giới nội hoặc không giới nội khi t + . Định lý 2: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó dần tới không khi t + tức là t lim Y(t) = 0 (3.3) Hệ quả: Hệ vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận sẽ ổn định tiệm cận toàn cục. 8 1.4. ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng Xét hệ AY dt dY = (4.1) Trong đó A = [a jk ] là ma trận hằng (nxn) Định lý 1.4.1.: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng A ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j (A) của A đều có phần thực không dơng Re j (A) 0 (j = 1, 2,n). Và các nghiệm đặc trng có các phần thực bằng không đều có ớc cơ bản đơn. Định lý 1.4.2: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng A ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j (A) của A đều có các phần thực âm, tức là Re j (A) < 0 (j = 1,n). Thí dụ: Xét tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng x = 0; y = 0 đối với hệ yxx += yxy 3 = Phơng trình đặc trng 0 31 11 )det( = = EA Có các nghiệm 022 2,1 <= 9 1.5. Tiêu chuẩn húc vít Theo định lý 1.4.2 muốn chứng minh tính ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính thuần nhất (4.1) ta chỉ cần khẳng định rằng tất cả các nghiệm 1 , 2 ,, n của phơng trình đặc trng det(A- E) = 0 có các phần thực âm sau đây ta sẽ chỉ ra các điều kiện cần và đủ để cho phơng trình đại số với các hệ số thực có các nghiệm với các phần thực chỉ mang dấu âm. 1.5.1. Một số khái niệm cần thiết Xét đa thứcf(Z) = a 0 + a 1 Z + + a n Z n (n 1) (5.1) Trong đó Z = x + iy là số phức và a 0 , a 1 ,, a n có thể là các số thực hoặc phức. Định nghĩa: Đa thức f(Z) bậc n 1 đợc gọi là đa thức Hucvit nếu tất cả các nghiệm (không điểm) Z 1 , Z 2 ,, Z n của nó đều có các phần thực âm ReZ j < 0 (j = 1,, n). Giả thiết các hệ số a 0 , a 1 ,,a n của đa thức (5.1) f(Z) là thực và a 0 > 0, a n 0 (5.3) Đa thức nh vậy rõ ràng là không có nghiệm không và để ngắn gọn ta gọi đa thức đó là đa thức chuẩn bậc n (n 1). Định lý: Nếu đa thức chuẩn là đa thức Hucvit thì tất cả các hệ số của nó đều dơng. Chú ý: Đối với đa thức chuẩn bậc hai f(Z) = a 0 + a 1 Z + a 2 Z 2 (5.4) Điều kiện trong định lý cũng là điều kiện đủ, tức là nếu a 0 > 0, a 1 > 0, a 2 > 0 thì đa thức (5.4) là đa thức Hucvit. Đối với đa thức chuẩn bậc lớn hơn hai từ tính dơng của các hệ số của nó nói chung không thể suy ra đa thức đó là đa thức Hucvit. Ví dụ: Đa thức f(Z) = 30+4Z+Z 2 +Z 3 có các hệ số là dơng nhng không phải là đa thức Hucvit vì nghiệm Z = 1+3i với ReZ = 1 > 0. 10