Chơng I Các dạng tuyến tính trên không gian vectơ Để thuận lợi cho việc trình bày các sự kiện ở chơng II, trong chơng này chúng tôi trình bày định nghĩa về dạng tuyến tính, dạng song tuyến tính, không gian đối ngẫu, không gian con trực giao và một số tính chất cơ bản của chúng. Đ1. Dạng tuyến tính trên không gian vectơ Trong mục này, ta luôn giả thiết rằng V n là không gian vectơ thực n chiều với cơ sở { } n ee ,, 1 . 1.1. Định nghĩa. ánh xạ RV:f n )(xfx , đợc gọi là dạng tuyến tính trên n V nếu và chỉ nếu f thoả mãn các điều kiện sau: i) .Vyx, f(y);f(x)y)f(x n +=+ ii) .RVx;)x(f.)x(f ,n = 1.2. Nhận xét 1) Từ định nghĩa trên, ta nhận thấy rằng f là dạng tuyến tính khi và chỉ khi .R,;Vyx, f(y);f(x)y)xf( n +=+ . Ta xét các ánh xạ RV:p ni ii x)x(x Khi đó i p là các dạng tuyến tính và đợc gọi là phép chiếu thứ i, với n1,i = . Thật vậy: Ta đặt yxz += , với n Vyx, . Khi đó toạ độ của z là ),,( 11 nn yxyx ++ . Ta có: .R,;Vy,x;)y(p)x(pyx)z(p niiiii +=+= 2) Với ),,( 1 n là một bộ số thực tuỳ ý, ta xét ánh xạ RV: n 3 . x)x(x i n 1i ii = Khi đó là dạng tuyến tính trên n V . Thật vậy: Giả sử nini VyyVxx )(,)( , ta có : )( 1 ii n i i yxy)x( +=+ = i n i ii n i i yx == += 11 i n i ii n i i yx == += 11 R,;Vy,x;y)((x) n += . Bây giờ, ta ký hiệu: = fRVffV n ,:|{ * dạng tuyến tính } và ta trang bị cho V * hai phép toán sau: i) RV:gf n + n Vx g(x);f(x)x + . ii) RV:f n RVx ;f(x)x n , . 1.3 . Mệnh đề. a) * V là một không gian vectơ với hai phép toán trên. b) nV = * dim . Chứng minh. a) Dễ thấy * V với hai phép toán trên thoả mãn 8 tiên đề của không gian vectơ. ở đây ta cần chú ý rằng: Vectơ không trong * V là ánh xạ RV: n n Vx ;x 0 . Với mỗi * Vf , ta có ánh xạ đối của ánh xạ f là ánh xạ RV:f- n n Vx ;xfx )( . 4 b) Để chứng minh nV = * dim , ta cần chỉ ra một cơ sở gồm n phần tử trong * V . Từ nhận xét 2) của (1.2), ta lấy các bộ )0, 1, .0( = i m trong đó số 1 ở vị trí thứ i và i là các ánh xạ tuyến tính tơng ứng với bộ i m , n1,i = . Ta chứng minh n ii 1 }{ = là một cơ sở của * V .Thật vậy: n ii 1 }{ = độc lập tuyến tính vì: 0 1 = = n i ii n n i ii Vxxx = = ;)(0)( 1 n n i ii Vxx = = ;0)( 1 . Từ đó khi ta chọn njex j ,1; == , ta thu đợc: nje n i jii ,1;0)( 1 == = nj n i iji ,1;0 1 == = nj i ,1;0 == . Ta tiếp tục chứng minh n ii 1 }{ = là hệ sinh: Giả sử * Vf và )( ii efa = .Khi đó với n Vx , ta có = = n i ii exfxf 1 )()( = = n i ii xa 1 . (1) Mặt khác, ta lại có = = n j jjii exx 1 )()( = = n j jij ex 1 )( nix n j iji ,1;0 1 === = i x = . (2) Thay (2) vào (1) ta nhận đợc: 5 )()( 1 xaxf i n i i = = ni n i i Vxxa = = );)(( 1 . Từ đó, ta suy ra: i n i i af = = 1 . Vậy n ii 1 }{ = là cơ sở của * V hay nV = * dim . Từ nay ta viết: * n V và * n V đợc gọi là không gian đối ngẫu của không gian n V . 1.4. Mệnh đề. Giả sử W là một không gian vectơ con của n V . Khi đó: };0)({ * WxxfVfW n == là một không gian vectơ con của * n V . Chứng minh. Giả sử Wgf , . Khi đó: Wxxgxfxgf = );)(())(())(( Wxxgxf = );()( Wx = ;0 . Nh vậy: Wgf . 1.5. Định nghĩa. W đợc gọi là không gian con trực giao của W . 1.6. Định lý. a) nWW =+ dimdim . b) WW = )( . Chứng minh. Giả sử nkkW <= ,dim và { } k bb ,, 1 là cơ sở của W . Khi đó trong n V tồn tại )( kn vectơ nk bb ,, 1 + , sao cho { } nkk bbbb ,,,, 11 + là cơ sở trong n V . Từ nhận xét 2) của (1.2) ta thấy rằng luôn có cơ sở { } n ff ,, 1 trong * n V là cơ sở đối ngẫu với { } n bb ,, 1 , (nghĩa là ijij bf = )( ). Để chứng minh a), ta cần chứng minh { } nk ff ,, 1 + là cơ sở của W .Trớc hết ta chứng minh nkjWf j ,1; += . Thật vậy, với { } )0,,0,,,(,;,,1 1 k xxxWxnkj + , ta có: 6 = = k i iijj bxfxf 1 )( = = k 1i iji )b(fx j b = { } nkj ,,1;0 += . Ta suy ra: { } n,,1kj;Wf j + . Ta tiếp tục chứng minh { } nkk ff ++ ,, 1 là hệ sinh của W . Thật vậy, với Wf thì = = n i ii ff 1 và với n Vx thì = = n j jj bxx 1 . Khi đó ta có: = = = n i n j ji bxfxf 1 1 )( )()()()( 1111 nnkkkk bfxbfxbfxbfx +++++= ++ += = n kj jj bfx 1 )( . (1) Mặt khác: nkjbxfxf n kj jjjj ,1;)( 1 += = += . (2) Thay (2) vào (1) ta có: += = n kj jj xfbfxf 1 )().()( . n n kj jj Vxxfbf = += );().( 1 . Từ đó, ta suy ra: += = n kj jj fbff 1 ).( . Điều đó chứng tỏ rằng { } n kj j f 1 += là cơ sở của W . Do đó knW = dim . Nh vậy nknkWW =+=+ dimdim . Để tiếp tục chứng minh b), ta chú ý rằng: với mỗi n Vx , ta xét ánh xạ RV:x * n 7 f(x)fxf = )( . Dễ thấy rằng x là ánh xạ tuyến tính. Hơn nữa, với Wx ,ta có = Wfxf ;0)( . Ta suy ra: = Wf0;fx )( . Vậy ( ) Wx . Ngợc lại, nếu )(Wx thì = Wf0;fx )( . Mặt khác, do nWW =+ dimdim nên ta suy ra Wx . 1.7. Mệnh đề. Với mỗi * n Vf ta luôn tìm đợc n Vx thoả mãn: n n i ii Vyyxyf = = ;)( 1 . Chứng minh. Đặt ii aef = )( , khi đó ta lấy ),,( 1 n aax . Rõ ràng x thoả mãn yêu cầu của mệnh đề (1.7). Thật vậy: = = n i ii eyfyf 1 )( = = n i ii efy 1 )( = = n i ii ay 1 . 1.8. Ví dụ. Giả sử 4 V là một không gian vectơ với cơ sở { } 4321 ,,, eeee ,và { } 4321 ,,, là cơ sở đối ngẫu của cơ sở trên trong * 4 V . Giả sử W là không gian con của n V đợc sinh bởi hai vectơ độc lập tuyến tính ( ) 0,0,2,1 1 b và ( ) 1,2,1,0 2 b . Bây giờ, ta tìm cơ sở của W . Theo giả thiết, ta có 2,1 bbW = nên phơng trình của W là: = =+ 02 02 43 421 xx xxx . 8 Ta thÊy r»ng, nÕu lÊy 421 2 ϕϕϕα +−= vµ 43 2 ϕϕβ −= th× khi ®ã ⊥ W cã c¬ së lµ { } βα , , hay βα , = ⊥ W . 9 Đ2. dạng song tuyến tính trên không gian vectơ Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm và một số tính chất của dạng song tuyến tính, song tuyến tính phản xứng. Các sự kiện trong mục này sẽ đợc sử dụng nh là phần chuẩn bị cho chơng sau. Cũng trong mục này, ta luôn giả thiết rằng n V là không gian vectơ thực n chiều với cơ sở { } n ee ,, 1 . 2.1. Định nghĩa. Một ánh xạ RVV: nn ì y)(x,y)x, ( đợc gọi là dạng song tuyến tính nếu và chỉ nếu thoả mãn các điều kiện sau: 1. . n Vy,x'x, y);,(x'y)(x,y),x'(x +=+ 2. ., RVyx, y);(x,y)x,( n = 3. . n Vy'y,x, );y'(x,y)(x,)y'y(x, +=+ 4. ., RVyx, y);(x,y)(x, n = 2.2. Nhận xét. Từ định nghĩa trên, ta nhận thấy rằng là dạng tuyến tính từ RVV nn ì khi và chỉ khi )y',(x'''y),(x'')y'(x,'y)(x,)y''y,'x'x( àààààà +++=++ , với R',,',;Vy'y,,x'x, n àà . 2.3. Các ví dụ 1. Giả sử n n RV = và là tích vô hớng trong n R . Khi đó là một dạng song tuyến tính trong n R . Thật vậy: Với mọi n ii Ryyxx )(),( , ta có: = = = n 1i ii .yx y.x)y,x( Giả sử )'(),'(' ii yyxx , khi đó ta có: )y'yxx)y'yxx( i n i ii ')(''(','' 1 àààà ++=++ = 10 ==== +++= n i ii n i ii n i ii n i ii y'x'yx'y'xyx 1111 ''''. àààà ==== +++= n i ii n i ii n i ii n i ii y'x'yx'y'xyx 1111 ''''. àààà .'''' )y',(x'y),(x')y'(x,y)(x, àààà +++= 2. Giả sử A là một ma trận vuông cấp n, = nnn n aa aa A 1 111 . Khi đó ánh xạ RVV: nn ì n * Vyx,.A.[y];[x]y)x, ( , là một dạng song tuyến tính. (ở đây == n 1 n1 * y y [y] ];x,,[x[x] ). Thật vậy, với nnnnn Vyyyyyyxxxxxx )',,'(',),,(,)',,'(',),,( 1111 và với R ',,', àà ta có: ]y''y.[A.]'x'x[)y''y,'x'x( i * ii à+à+=à+à+ )]y',,y'yyAxxxx n1nnn1 ('),,(.[.)]',,'('),,([ 1 * 1 àà ++= + + ++= 1 1 nnn n nn1 y'y y'y aa aa xxxx ' ' .].'',,''[ 1 1 1 111 1 àà àà [ ] + + ++++++++= 1 1 nnnnn1nnn1 y'y y'y axxaxxaxxaxx ' ' .)''()''(,,)''()''( 1 1 111111 àà àà )'']()''()''[( )'']()''()''[( 11 111111 nnnnnnn1 nnn1 yyaxxaxx yyaxxaxx àà àà ++++++ +++++++= 11 nnnnnnnnn1 nnnnnnnnn1 nnnn1 nnnn1 yaxaxaxax yaxaxaxax yaxaxaxax yaxaxaxax '')''''( )''''( '')''''( )''''( 111 111 11111111 11111111 à à à à +++++ ++++++ ++++++ +++++= + + + + = n n n n n n n n y y Axx y y Axx y y Axx y y Axx ' ' .].',,'[''.].',,'[' ' ' .].,,['.].,,[ 1 1 1 1 1 1 1 1 àà àà ]'.[.]'[''].[.]'[']'.[.]['].[.][ **** yAxyAxyAxyAx àààà +++= )','('.'),'(.')',('.),(. yxyxyxyx àààà +++= . Vậy là dạng song tuyến tính. Bây giờ, ta xét dạng song tuyến tính RVV: nn ì Ta đặt: njieea jiij ,1,);,( == và ][ ij aA = . Ma trận A đợc gọi là ma trận của đối với cơ sở { } n ee ,, 1 . Với nii Vyyxx )(),( ta luôn có sự biểu diễn ].[.][),( * yAxyx = . Biểu thức trên đợc gọi là biểu thức toạ độ của đối với cơ sở { } n ee ,, 1 . Ta ký hiệu: L 2 {)( = n V là dạng song tuyến tính: }RVV nn ì và trang bị cho L 2 )( n V hai phép toán sau: 1/ Với gf , L 2 )( n V thì RVVgf nn ì+ : n Vyx,y);g(x,y)x,fy)x, + (( . 2/ Với f L 2 )( n V và R thì RVVf nn ì : n Vyx,y);x,fy)x, (( . 2.4. Mệnh đề. L 2 )( n V cùng 2 phép toán trên lập thành không gian vectơ n 2 - chiều. Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh định nghĩa các phép toán trên là đúng đắn (nghĩa là ta cần chứng minh 12