BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ----------***--------- NGUYỄN ĐỨC TUẤN VỀ CÁC TẬP LỒI HẠN CHẾ THEO PHƯƠNG Chuyên ngành: HÌNH HỌC-TÔPÔ Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM NGỌC BỘI VINH - 2010 1 MỤC LỤC Mục lục . 1 Mở đầu . 2 Chương 1. Các khái niệm và tính chất cơ bản của tập lồi hạn chế theo phương 4 1.1. Các tập lồi và các phẳng trong không gian ℝ n 4 1.2. Khái niệm và một số tính chất của tập O -lồi 7 1.3. Khái niệm và một số tính chất của O -nửa không gian . 12 1.4. O -nửa không gian định hướng 20 Chương 2. Một số tính chất về tôpô của tập lồi hạn chế theo phương 31 2.1. Biên của O -nửa không gian . 31 2.2. Phần bù của O -nửa không gian . 37 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 MỞ ĐẦU Nghiên cứu các tập lồi là một hướng quan trọng của toán học. Lý thuyết lồi có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác của toán học bao gồm: Giải tích, 2 Đại số tuyến tính, Thống kê, Lý thuyết số và Tổ hợp. Tầm quan trọng của lý thuyết lồi bắt nguồn từ thực tế là các tập lồi xuất hiện thường xuyên trong toán học và nhiều lĩnh vực khác. Khái niệm lồi phục vụ để thống nhất một loạt các hiện tượng toán học. Những tính chất lồi cổ điển đã được sử dụng trong đồ họa Pixel, hệ thống giao dịch đã bị khóa, thiết kế VLSI, lập kế hoạch chuyển động và các lĩnh vực khác. Việc áp dụng các lý thuyết lồi trong thực tế đã dẫn đến việc mở rộng khái niệm lồi cổ điển thành các khái niệm lồi trong không gian nhiều chiều như: Lồi mạnh (xem [6], [7]), lồi liên thông (xem [3]), lồi hạn chế theo phương (xem [4], [5]). Với lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Về các tập lồi hạn chế theo phương”. Mục đích của luận văn là nghiên cứu lớp các tập lồi rộng hơn lớp các tập lồi cổ điển, đó là lớp các tập lồi hạn chế theo phương hay còn gọi là tập O -lồi và trình bày một số tính chất của tập O -lồi trong không gian nhiều chiều ℝ n . Trong toàn bộ luận văn, tất cả các tập được nói đến đều giả thiết là tập đóng, mặc dù trong nhiều kết quả cũng đúng cho tập không đóng. Luận văn được trình bày thành 2 chương. Chương 1. Các khái niệm và tính chất cơ bản của tập lồi hạn chế theo phương Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của phẳng và tập lồi trong không gian ℝ n , khái niệm và một số tính chất cơ bản tập lồi hạn chế theo phương. Chương này được chia làm các mục sau: 1.1. Các tập lồi và các phẳng trong không gian ℝ n . 1.2. Khái niệm và một số tính chất của tập O -lồi. 1.3. Khái niệm và một số tính chất của O -nửa không gian. 1.4. O -nửa không gian định hướng. 3 Chương 2. Một số tính chất về tôpô của tập lồi hạn chế theo phương Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất về tôpô của tập lồi hạn chế theo phương như biên và phần bù của O -nửa không gian. Chương này được chia làm các mục sau: 2.1. Biên của O -nửa không gian. Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất về biên của O -nửa không gian. 2.2. Phần bù của O -nửa không gian. Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất của phần bù và phần bù đóng của một O -nửa không gian. Luận văn được hoàn thành tại Khoa sau Đại học - Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Phạm Ngọc Bội. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo: PGS.TS. Nguyễn Hữu Quang, TS. Nguyễn Duy Bình và các thầy cô trong tổ Hình học, Khoa Toán, Khoa Sau Đại Học - Trường Đại học Vinh đã giảng dạy và giúp đỡ rất nhiều trong quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tập thể lớp K16 Hình học-Tôpô, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã giúp đỡ và động viên tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn. Tuy nhiên, do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TẬP LỒI HẠN CHẾ THEO PHƯƠNG 4 Chương này dành cho việc trình bày các khái niệm cơ bản của phẳng và tập lồi trong không gian ℝ n , các khái niệm và một số tính chất cơ bản của tập lồi hạn chế theo phương. 1.1. CÁC TẬP LỒI VÀ CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ℝ n Chúng tôi trình bày khái niệm về các tập lồi và các phẳng trong không gian ℝ n . Từ đó ta có thể mở rộng các khái niệm này để được các khái niệm về tập lồi hạn chế theo phương như O -siêu phẳng, O -đường, O -lồi, O -phẳng, . sẽ được trình bày ở các mục tiếp theo. Với ℝ n = {x = (x 1 , x 2 , ., x n ) | x i ∈ ℝ, i = 1, 2, ., n}, ta đưa vào ℝ n hai phép toán sau: - Phép cộng: với x, y ∈ ℝ n , x = (x 1 , x 2 , ., x n ); y = (y 1 , y 2 , ., y n ) thì x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ., x n + y n ) ∈ ℝ n . - Phép nhân với một số: x ∈ ℝ n , λ ∈ ℝ thì λ x = ( λ x 1 , λ x 2 , ., λ x n ) ∈ ℝ n . Khi đó (ℝ n , +, .) là một không gian vectơ. Khi đó ℝ n là không gian affine liên kết với không gian vectơ ℝ n . Ta có định nghĩa phẳng như sau: 1.1.1 Định nghĩa. ([2]) Giả sử A ⊂ ℝ n . 1) Tập A được gọi là phẳng (hoặc tập affine) nếu nó được biểu diễn dưới dạng A = a + L = {a + λ | λ ∈ L}, trong đó a ∈ ℝ n , L là không gian vectơ con của ℝ n . Khi đó, ta nói phẳng A song song với L (hay không gian L song song với phẳng A). Ký hiệu là A // L. 5 2) Nếu L có số chiều bằng m thì A được gọi là phẳng m-chiều ký hiệu dimA = m. Trong ℝ n , phẳng 1-chiều được gọi là đường thẳng, phẳng 2-chiều được gọi là mặt phẳng và phẳng (n − 1)-chiều được gọi là siêu phẳng. 3) Tổ hợp affine của hữu hạn điểm x 1 , x 2 , ., x n ∈ ℝ n là một điểm của ℝ n có thể biểu diễn dưới dạng ∑ = n i 1 λ i x i , trong đó λ i ∈ ℝ (i = 1, 2, ., n) và ∑ = n i 1 λ i = 1. Ví dụ, siêu phẳng trong 3-chiều là những mặt phẳng thông thường. Một siêu phẳng là một tập hợp các điểm thoả mãn một phương trình tuyến tính trong hệ tọa độ affine: a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + …+ a n x n = 0, trong đó a 1 , ., a n không đồng thời bằng 0. Hai siêu phẳng được gọi là song song nếu chúng cùng song song với một không gian vectơ con của ℝ n . Phương trình của hai siêu phẳng song song chỉ khác nhau giá trị của a 0 . 1.1.2 Định nghĩa. ([2]) Giả sử A ⊂ ℝ n . 1) Tập A được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ A và mọi λ ∈ [0, 1] thì z = λ x + (1 −λ )y ∈ A. 2) Tổ hợp lồi của hữu hạn điểm x 1 , x 2 , ., x k ∈ A là một điểm z có dạng z = ∑ = k i 1 λ i x i , ∀ λ i ≥ 0, ∑ = k i 1 λ i = 1; i = 1, 2, ., n. 1.1.3 Định lý. ([2]) Tập A ⊂ ℝ n là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi các phần tử của nó. 1.1.4 Định lý. ([2]) 1) Giao của một họ tuỳ ý các tập lồi là tập lồi. 6 2) Tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của các tập lồi là tập lồi. 3) Ảnh và nghịch ảnh toàn phần của một tập lồi qua ánh xạ afin là tập lồi. Chứng minh. 1) Giả sử {A α } α ∈ I là họ các tập lồi của ℝ n . Đặt A =  I ∈ α A α . Khi đó ta cần chứng minh A là tập lồi. Thật vậy, với x, y ∈ A ta có x, y ∈ A α , α ∈ I. Do đó, với 0 ≤ λ ≤ 1 ta có λ x + (1 −λ )y ∈ A α với mọi α ∈ I (vì A α là tập lồi). Từ đó suy ra λ x + (1 −λ )y ∈ A. Vậy A là tập lồi trong ℝ n . 2) Giả sử A i ⊂ ℝ n là tập lồi và λ i ∈ ℝ (i = 1, 2, ., n). Đặt A = ∑ = n i 1 λ i A i , cần chứng minh A là tập lồi. Khi đó với x, y ∈ A và 0 ≤ λ ≤ 1 (giả sử x = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + . + λ n x n ; y = λ 1 y 1 + λ 2 y 2 + . + λ n y n , trong đó x i , y i ∈ A i , i = 1, 2, ., n) thì λ x + (1 −λ )y = λ [ λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + . + λ n x n ] + (1 −λ )[ λ 1 y 1 + λ 2 y 2 + . + λ n y n ] = λ 1 [ λ x 1 + (1 −λ )y 1 ] + λ 2 [ λ x 2 + (1 −λ )y 2 ] + . + λ n [ λ x n + (1 −λ )y n ] ∈ A (vì A i là các tập lồi nên λ x i + (1 −λ )y i ∈ A i , i = 1, 2, ., n). Vậy A là tập lồi trong ℝ n . 3) Giả sử f : ℝ n → ℝ n là ánh xạ afin và A ⊂ ℝ n là tập lồi, ta chứng minh ảnh và nghịch ảnh toàn phần của tập lồi qua A là tập lồi. Ta chứng minh f(A) là tập lồi. Với x, y ∈ f(A) và 0 ≤ λ ≤ 1. Tồn tại a, b ∈ A sao cho x = f(a), y = f(b). Vì f là ánh xạ afin nên: λ x + (1 −λ )y = λ f(a) + (1 −λ )f(b) = f( λ a + (1 −λ )b ∈ f(A) (vì A là tập lồi nên λ a + (1 −λ )b ∈ A). Vậy f(A) là tập lồi. Ta chứng minh f -1 (A) là tập lồi. Thật vậy, với 0 ≤ λ ≤ 1 và x, y ∈ f -1 (A) ta có f(x), f(y) ∈ A. Vì f là ánh xạ affin nên f( λ x + (1 −λ )y) = λ f(x) + (1 −λ )f(y). 7 Mặt khác A là tập lồi nên λ f(x) + (1 −λ )f(y)∈ A. Vậy λ x + (1 −λ )y ∈ f -1 (A). Nên f -1 (A) là tập lồi. Từ đó suy ra λ x + (1 −λ )y ∈ f -1 (B). Hay f -1 (B) là tập lồi. □ 1.1.5 Định lý 1) Nếu giao của một họ tuỳ ý các phẳng khác rỗng thì giao này là phẳng. 2) Tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của các phẳng là phẳng. 3) Ảnh và nghịch ảnh toàn phần của phẳng qua ánh xạ afin là phẳng. Chứng minh. Tương tự chứng minh Định lý 1.1.4. 1.1.6 Nhận xét. Chúng ta có thể mô tả các tập lồi thông qua giao điểm của chúng với đường thẳng: Một tập hợp các điểm là lồi nếu giao điểm của nó với mỗi đường thẳng là liên thông. Tương tự như vậy, một đường trong ℝ n là giao của một số các siêu phẳng nào đó. Theo quan điểm này, ta có hướng mở rộng khái niệm siêu phẳng, đường thẳng, tập lồi, phẳng, . thành các khái niệm O -siêu phẳng, O -đường, O -lồi, O -phẳng, . 1.2. KHÁI NIỆM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP O -LỒI Chúng tôi trình bày các khái niệm của tập lồi hạn chế theo phương còn được gọi là tập O -lồi trong không gian 2-chiều và không gian nhiều chiều. 1.2.1 Định nghĩa. ([4]) Ta gọi một họ O gồm các siêu phẳng nào đó qua một điểm cố định o là tập định hướng hay một O -tập. Một siêu phẳng song song với một trong những phần tử của O -tập được gọi là một O -siêu phẳng. Ta gọi một đường thẳng của ℝ n là O -đường nếu nó là giao của một số O -siêu 8 phẳng. Khi giao của tất cả các phần tử của O -tập là điểm o chúng ta nói rằng O -tập đó có tính chất giao điểm. Ví dụ: Trong Hình 1(a) mô tả về O -tập hữu hạn trong không gian 2-chiều, các hình 1(b)-(d) mô tả O -tập hữu hạn trong không gian 3-chiều. Đặc biệt ở Hình 1(b) gồm có ba mặt phẳng trực giao với nhau, ta gọi nó là một O -tập trực giao. Các Hình 1(a), (b), 1(c) mô tả O -tập có tính chất giao điểm, Hình 1(d) mô tả O -tập không có tính chất giao điểm. Hình 1 Trong Hình 2(b) các đường chấm chấm mô tả cho O -đường trong không gian 2-chiều tương ứng với O -tập thể hiển trong Hình 2(a). (a) (b) Hình 2 Lưu ý rằng phép tịnh tiến biến một O -siêu phẳng thành một O -siêu phẳng và sự lựa chọn vị trí của của điểm o trong Định nghĩa 1.2.1 không quan trọng. 9 Từ nay về sau ta luôn luôn ký hiệu o là giao điểm của các phần tử thuộc O -tập. Mỗi phép tịnh tiến biến một O -đường thành một O -đường. 1.2.2 Bổ đề. ([4]) Nếu O -tập có tính chất giao điểm. Khi đó 1) Có ít nhất một O -đường. 2) Đối với mỗi đường, có một O -siêu phẳng cắt nó và không chứa nó. Chứng minh. Giả sử các siêu phẳng thuộc O -tập giao nhau tại o. 1) Chúng ta hãy xét một tập tối thiểu của O -siêu phẳng có giao điểm là o; tức là một tập của O -siêu phẳng mà khi bớt đi một trong chúng thì giao của chúng là tập lớn hơn một điểm. Giả sử các siêu phẳng tối thiểu đó là H 1 , H 2 , ., H n . Khi đó, H 2 ∩ …∩ H n là một mặt phẳng (hay đa tạp affine) khác với điểm o và giao các mặt phẳng này với H 1 là o, trong đó có thể xảy ra chỉ khi H 2 ∩ …∩ H n là một đường. Đường này là một O -đường. 2) Chúng ta hãy xét một đường l và không mất tính tổng quát, ta giả sử đường này đi qua o. Khi đó, giao điểm của tất cả các phần tử của O -tập là o; vì vậy đối với một số O -siêu phẳng H, đường l không chứa trong H. □ Nếu O -tập không có tính chất giao điểm thì giao của các phần tử của O -tập hoặc là một đường, một mặt phẳng (hay đa tạp affine) với số chiều cao hơn. Nếu giao này là một đường (xem Hình 1d), khi đó có đúng một O -đường qua o và tất cả các O -đường khác song song với O -đường này. Nếu giao không phải là một điểm cũng không phải là một đường thì không có O -đường nào cả. Trong Nhận xét 1.1.6 ta đã coi tập lồi là tập mà giao điểm của nó với mỗi đường thẳng là liên thông. Bây giờ, ta xét tập có tính chất giao điểm của nó 10