bộ giáo dục đào tạo trờng đại học vinh trịnh thị nga Về các điều kiện (c i ) của môđun luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2010 bộ giáo dục đào tạo trờng đại học vinh trịnh thị nga Về các điều kiện (c i ) của môđun luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Ngô sỹ tùng Vinh 2010 Mục lục Trang Mục lục . 1 Danh mục các ký hiệu 2 Mở đầu . 3 Chơng 1- kiến thức cơ sở . 5 1.1 Môđun con cốt yếu, môđun con đóng .5 1.2. Môđun con bù giao .6 1.3 Môđun đều, môđun con đều và chiều đều (chiều uniform) .7 1.4 Môđun M- nội xạ, môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ .8 1.5 Môđun đơn, môđun nửa đơn và sự phân tích của môđun .9 1.6 Độ dài môđun 9 Chơng II- về các điều kiện (C i ) của môđun11 2.1 Các điều kiện (C i ) của môđun, (1-C 1 )-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục .11 2.2 Một số tính chất của (1 - C 1 )-môđun 12 2.3 Một số tính chất của môđun thỏa mãn điều kiện (C 1 ), (C 2 ), (C 3 ) .15 2.4 Mối liên hệ giữa các môđun thỏa mãn điều kiện (C 1 ), (C 2 ), (C 3 ) và (1-C 1 )-môđun . .19 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo .28 Danh mục các ký hiệu Các ký hiệu đợc sử dụng trong luận văn chủ yếu theo Mohamed S.H. and Muller B.J. [8], Anderson F. W, Fuller K. RF. [3], N. V. Dung - D. V. Huynh - P. F. Smith - R. Wisbauer [4], Sharpe D. W. and Vamos P. [9]. Sau đây là một số ký hiệu đợc sử dụng nhiều nhất. K M : K là môđun con của môđun M. K<< M : K là môđun con bé của môđun M e K M : K là môđun con cốt yếu của môđun M. udim M : Chiều đều (chiều Goldie) của môđun M. ( )l M : Độ dài của môđun M. K M : K là hạng tử trực tiếp của môđun M. i Ii M : Tổng trực tiếp các môđun M i , với i I . ( )E M : Bao nội xạ của môđun M. W : Kết thúc một chứng minh Mở đầu Cùng với sự phát triển chung của toán học hiện đại, lý thuyết môđun đã có những bớc phát triển mạnh mẽ và có rất nhiều ứng dụng quan trọng, đặc biệt là trong việc nghiên cứu lý thuyết vành. Trong đó, lớp môđun nội xạ là một trong những trụ cột của lý thuyết môđun. Vì thế, lớp môđun này có rất nhiều sự mở rộng. Một trong những sự mở rộng đó là các lớp môđun thỏa mãn các điều kiện (C i ) Khái niệm của môđun mở rộng lần đầu tiên đợc chỉ ra bởi Von Neumann vào năm 1930. Tiếp tục nghiên cứu vấn đề này, các khái niệm liên tục và tựa liên tục đã đợc Utumi định nghĩa trên các vành vào năm 1960. Những khái niệm này đã đợc mở rộng trên môđun bởi Jenen (1971), Takeuchi (1972), Mohamed và Bunthy (1977). Năm 1977, Chatters và Hajanravis lần đầu tiên đa ra khái niệm CS-môđun (hay môđun Extending). Vào năm 1988, Kamal và Mullers đã đa ra khái niệm (1-C 1 )-môđun. Năm 1994, Ngô Sỹ Tùng đã sử dụng các điều kiện liên tục và lớp CS-môđun để đặc trng một số lớp vành, Hiện nay, nghiên cứu các điều kiện (C i ) của môđun, lớp (1-C 1 )- môđun đang đợc nhiều tác giả trong và ngoài nớc quan tâm. Xuất phát từ hớng nghiên cứu trên và dới sự hớng dẫn, chỉ bảo của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, chúng tôi tập trung nghiên cứu Về các điều kiện (C i ) của môđun Luận văn trình bày trong hai chơng. Chơng 1: Kiến thức cơ sở Nội dung chính của chơng là nhắc lại một số khái niệm cơ sở của lý thuyết môđun. Chơng 2: Về các điều kiện (C i ) của môđun Chơng này chúng tôi trình bày một cách có hệ thống về các điều kiện của (C i ) của môđun, tìm hiểu và chứng minh chi tiết một số tính chất của các môđun thỏa mãn điều kiện (C i ) và (1-C 1 )-môđun. Đặc biệt chúng tôi quan tâm nhiều đến mối liên hệ giữa các môđun đó (Mệnh đề 2.4.2, Định lý 2.4.4, Định lý 2.4.6, Mệnh đề 2.4.9). Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Tôi xin kính bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời đã trực tiếp giảng dạy, chỉ bảo tận tình, chu đáo, nghiêm khắc, đầy lòng nhân ái và sự cảm thông trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Đồng thời tôi xin đợc chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán, khoa sau Đại học- trờng Đại học Vinh đã giảng dạy và tạo điều kiện giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận đợc sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô giáo và bạn đọc. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. Vinh tháng 10 năm 2010 Tác giả Chơng 1: kiến thức cơ sở Trong luận văn này, chúng tôi chỉ xét các vành kết hợp, có đơn vị, các môđun đều là môđun trái đợc xét trên cùng một vành R. Vì vậy các R- môđun trái M sẽ đợc nói gọn là môđun M. 1.1 Môđun con cốt yếu, môđun con đóng 1.1.1 Định nghĩa. Cho M là một R- môđun trái và A là môđun con của M. i) Môđun A đợc gọi là môđun con cốt yếu (essential) trong M nếu 0 X M thì A I X 0. Trong trờng hợp này ta cũng nói M là một mở rộng cốt yếu ( essential extention) của A và đợc ký hiệu MA e . ii) Một mở rộng cốt yếu M của A đợc gọi là mở rộng cốt yếu thực sự (properessential extention) nếu AM . iii) Môđun con A đợc gọi là đóng (closed) trong M nếu A không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M. Nói khác đi, A đợc gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con X khác không của M mà e A X thì X = A. iv) Môđun con B của M đợc gọi là bao đóng (closure) của môđun con A trong M nếu B là môđun con tối đại trong M sao cho A là cốt yếu trong B. v) Môđun con B của M đợc gọi là bé (small) trong M (hay là đối cốt yếu) trong M và ký hiệu B M << , nếu mọi môđun con L của M, L M thì B + L M, nói cách khác nếu B + L = M thì L = M. 1.1.2 Mệnh đề. Cho vành R và M, N, K là những R - môđun trái với .K N M i) Bao đóng của một môđun con N trong M luôn tồn tại. ii) Nếu K đóng trong N và N đóng trong M thì K đóng trong M. 1.1.3 Mệnh đề. i) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A B C M. Khi đó: A e B e C A e C. ii) Cho A e M và B e M A I B e M. 1.1.4 Mệnh đề. i) Cho K A M. Nếu A/K e M/K A e M. Chiều ngợc lại không đúng. ii) Cho A i e M i M, i I. Nếu I A i thì: a) I M i , b) I A i e I M i . 1.1.5 Mệnh đề. Cho A là một môđun con của môđun M. Nếu A đóng trong một hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong M. 1.2. môđun con bù giao 1.2.1. Định nghĩa. Cho A là môđun con của M. Môđun con A của M tối đại trong các môđun con của M có giao với A bằng 0 đợc gọi là bù giao (complement ) của A trong M. Môđun con B của M đợc gọi là môđun con bù - giao (complement submodule) nếu tồn tại một môđun A của M sao cho B là bù giao của A trong M. Một môđun con B của môđun M là đóng trong M nếu và chỉ nếu B là một môđun con bù- giao của M. Nhận xét. Bù giao của một môđun trong M luôn tồn tại nh ng nói chung không duy nhất. 1.2.2. Mệnh đề. Cho A là môđun con của M, nếu môđun B là bù giao của A trong M thì: i) B đóng trong M, ii) MAB e . 1.2.3. Mệnh đề. Mỗi môđun con A của M tồn tại môđun con đóng ( bù giao ) B sao cho A là môđun con cốt yếu trong B. 1.2.4. Mệnh đề. Nếu A là môđun con của M và B là môđun con đóng trong M sao cho 0BA = và MBA e thì B là một bù - giao của A trong M. 1.3 Môđun đều, môđun con đều và chiều đều (chiều uniform) 1.3.1 Môđun đều: Cho R là một vành, một R - môđun trái khác không M đợc gọi là đều nếu với bất kỳ hai môđun con khác không A, B của M ta luôn có 0A B . Nói cách khác, M là đều nếu 0M và mọi môđun con khác không của M là cốt yếu trong M. 1.3.2 Chiều đều: i) Một môđun M trên vành R gọi là có chiều đều (hay chiều Uniform) hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không trong M. Môđun M đợc gọi là có chiều đều vô hạn trong trờng hợp ngợc lại. Ngời ta đã chứng minh đợc rằng nếu môđun M có chiều đều hữu hạn thì số hạng tử lớn nhất của một tổng trực tiếp các môđun con đều, mà cốt yếu trong M là một số bất biến, số đó đợc gọi là chiều đều của M và ký hiệu là udim(M). ii) Cho R là một vành tuỳ ý, ta gọi chiều đều phải của R là chiều đều của R R và chiều đều trái của R là chiều đều của R R. 1.3.3 Mệnh đề. Cho M là một R - môđun và N là môđun con của M. i) Cho N e M, khi đó M có chiều đều hữu hạn nếu và chỉ nếu N có chiều đều hữu hạn và trong trờng hợp này udimM = udimN. Ngợc lại, nếu M có chiều đều hữu hạn và udimM = udimN thì N e M. ii) Nếu M = M 1 . M n , thì udimM = udimM 1 + .+ udimM n . iii) Giả sử N và M/N đồng thời có chiều đều hữu hạn. Khi đó M có chiều đều hữu hạn và udimM udimN + udimM/N. iv) Nếu M có chiều đều hữu hạn thì mọi môđun con của M có chiều đều hữu hạn. 1.4 môđun M- nội xạ, môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ 1.4.1 Định nghĩa. Cho A và M là R- môđun. i) Môđun M đợc gọi là A nội xạ (A- injective) nếu X A, đồng cấu :f X M , luôn tồn tại mở rộng của f là f*: A M. Nghĩa là: f = f*i, trong đó i là phép nhúng đồng nhất. ii) Môđun M đợc gọi là nội xạ (injective) nếu M là A nội xạ, đối với mọi môđun A trên vành R. iii) Môđun M đợc gọi là tựa nội xạ hay tự nội xạ (quasi injective or self- injective) nếu M là M nội xạ. 1.4.2 Định nghĩa. i) Cho M là một R- môđun trái. Bao nội xạ (injective hull) của M là môđun Q thoả mãn: * Q là môđun nội xạ, * Tồn tại đơn cấu R- môđun f : M Q mà f(M) e Q. Ký hiệu: Q=E(M). ii) Hai R-môđun trái M, N đợc gọi là nội xạ lẫn nhau (relatively injective) trong trờng hợp đồng thời M là N nội xạ và N là M - nội xạ. 1.4.3. Mệnh đề. Cho N là A-nội xạ và B A. Khi đó: i) N là B-nội xạ, ii) N là A/B nội xạ. 1.4.4 Tính chất. Bao nội xạ E(M) luôn tồn tại với mọi R-môđun trái M. 1.4.5. Nhận xét. i) Bao nội xạ của M là tối tiểu trong các mở rộng nội xạ của M. ii) Bao nội xạ của M là tối đại trong các mở rộng cốt yếu của M.