1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cơng trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐỖ PHÚ HƯNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG KHẢO SÁT MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG NGƠN NGỮ SỐ PHỨC Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Phản biện 1: TS Lê Hải Trung Phản biện 2: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Mã số: 60.46.40 Luận văn ñược bảo vệ trước hội ñồng chấm Luận văn tốt LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC nghiệp thạc sĩ ngành Phương pháp toán sơ cấp họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 28 tháng 05 năm 2011 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TRẦN ĐẠO DÕNG Có thể tìm hiểu luận văn tại: Đà Nẵng - Năm 2011 - Trung tâm thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng 4 Với mong muốn tìm hiểu khảo sát số tốn hình học MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài phẳng thơng qua ngơn ngữ số phức, ñồng thời ñược gợi ý của: PGS Ta ñã biết phương trình x + = , x + = khơng có TS TRẦN ĐẠO DÕNG, tơi chọn đề tài “ Khảo sát số toán nghiệm thực Một cách tổng quát phương trình bậc hai hình học phẳng ngơn ngữ số phức” làm đề tài nghiên cứu cho Ax + Bx + C = với hệ số thực có biệt thức ∆ < khơng có luận văn nghiệm thực Mục tiêu nội dung nghiên cứu Sự phát triển toán học, khoa học địi hỏi phải mở rộng tập Mục tiêu đề tài tìm hiểu số phức đặc trưng số tính hợp số thực thành tập hợp số gọi tập hợp số phức, chất, đặc điểm hình học số phức từ ứng dụng để khảo sát có phép tốn cộng nhân với tính chất tương tự phép số lớp tốn hình học phẳng thơng qua ngơn ngữ số phức tốn cộng nhân số thực cho phương trình nói ñều có Phương pháp nghiên cứu nghiệm Muốn thế, người ta đưa số i cho bình phương i - Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức −1 Khi i nghiệm phương trình x + = 2i - Thể tường minh kết nghiên cứu ñề tài nghiệm phương trình x + = , cịn + i nghiệm phương trình x − x + = Các số a + ib (a, b ∈ R) gọi số phức Ta biết biểu diễn hình học số thực ñiểm trục số Đối với số phức, ta xét mặt phẳng tọa ñộ Oxy - Trao ñổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Đóng góp đề tài - Góp phần làm rõ ứng dụng số phức hình học phẳng - Thể ứng dụng số phức việc giải số toán Mỗi số phức z = a + ib (a, b ∈ R) biểu diễn điểm M có tọa độ hình học phẳng (a; b) Ngược lại, rõ ràng ñiểm M(a; b) biểu diễn số phức Ý nghĩa khoa học z = a + ib Ta viết M ( a + ib ) hay M(z) Mỗi số phức M = a + ib uuuur đồng với vectơ OM có điểm ñầu gốc tọa ñộ O, Thể kiến thức số phức, góp phần làm rõ ứng dụng số điểm cuối M Do đó, số phức với hình học phẳng có liên quan mật thiết với Việc sử dụng số phức nghiên cứu, khảo sát hình học phẳng tỏ có nhiều thuận lợi, việc xem xét vấn ñề liên quan đến phép biến hình mặt phẳng với hình học chúng phức việc giải tốn hình học phẳng Cấu trúc luận văn Ngồi phần mở đầu, kết luận, luận văn ñược chia thành chương : Chương trình bày kiến thức sở số phức định nghĩa số phức, dạng đại số, hình học số phức, phép toán số phức Các nội dung chương có liên quan ñến việc nghiên Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ cứu chương Chương trình bày ứng dụng số phức hình học phẳng Để thực điều này, trước hết chúng tơi mơ tả số Các kiến thức sở số phức trình bày chương trích dẫn từ tài liệu [2], [5], [6], [7], [10] 1.1 Định nghĩa số phức: khái niệm hình học phẳng qua ngơn ngữ số phức góc định Trong mặt phẳng ta chọn hệ tọa độ vng góc, điểm hướng, phép biến hình mặt phẳng Tiếp đó, chúng tơi thể Z mặt phẳng xác định theo tọa ñộ (a, b) ñối với hệ tọa ñộ ñã số ñặc trưng hình học phẳng qua ngôn ngữ số phức cho Thường người ta ký hiệu cặp số thực (a, b) ứng với điểm Z phương trình đường thẳng, phương trình đường trịn Điều kiện ñồng mặt phẳng Như vậy, với hệ tọa độ cho trước tập hợp quy, vng góc, song song, thẳng hàng, giao điểm hai cát tuyến, giao ñiểm mặt phẳng tập hợp cặp số (a, b) quan hệ ñiểm hai tiếp tuyến, chân đường vng góc dây cung Tọa vị một- Mỗi ñiểm mặt phẳng tương ứng với cặp số thực trọng tâm, trực tâm tam giác dựa vào ta xây dựng tập hợp số phức với ñiểm Chương tập trung khảo sát số toán tốn chứng mặt phẳng Với mục đích đó, ta đưa vào định nghĩa phép tốn minh đẳng thức bất đẳng thức hình học, tốn quỹ tích, tốn cặp số thực cho định luật đại số cịn chứng minh tính vng góc, tính thẳng hàng, tính song song, tính đồng trường hợp số thực: quy, tốn dựng hình, tốn liên quan đến phép biến hình mặt phẳng Hai cặp số z1 = (a1, b1) z2 = (a2, b2) a1 = a2 b1 = b2 Nếu hai cặp số z1 = (a1, b1) z2 = (a2, b2) tổng chúng z = z1 + z2 cặp số z = (a, b) cho a = a1 + a2 b = b1 + b2 Nếu cho hai cặp số z1 = (a1, b1) z2 = (a2, b2) tích chúng z = z1 z2 gọi cặp số z = (a, b) cho a = a1a2 − b1b2 b = a1b2 + a2b1 Tập hợp tất cặp số thực với phép tính quan hệ nhau, phép cộng phép nhân gọi tập hợp số phức, ký hiệu C Như vậy, cho hệ tọa độ vng góc mặt phẳng tập hợp số phức đồng với điểm mặt phẳng 7 Bây giờ, ta xét trường hợp ñặc biệt ñiểm nằm trục uuuur uuuur Ta nối ñiểm Z1, Z2 với gốc O xác ñịnh vectơ OZ1 , OZ Sau đo hồnh hệ tọa độ, điểm có dạng (a,0), với a số thực dựng hình bình hành OZ1ZZ2 Như ñỉnh thứ tư z = ( a1 + a2, b1 + b2) biểu diễn tọa ñộ số phức Do (a1, 0) + (a2, 0) = (a1+a2, 0) (a1, 0)(a2, 0) = (a1a2, 0) phép z1 + z2 tổng hai số phức ñã cho cộng phép nhân tọa ñộ trục hồnh điểm Vì Do tổng hai số phức biểu diễn hình học cộng hai ta đồng điểm trục hồnh với số thực Từ đó, véctơ mặt phẳng thay phải viết (a, 0) ta viết a (ví dụ:(0, 0) = 0, (1, 0) = 1,…) Ta xét số phức ñặc biệt dạng (0, 1) Tính (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1 Bởi điểm z mặt phẳng tương ứng với véctơ bán uuur uuuur uuuur uuur kính OZ ta thấy OZ1 + OZ = OZ , ta có nhận xét xem Như tồn số phức bình phương số thực Ta ký số phức ñiểm mặt phẳng với hệ tọa ñộ gốc O có hiệu i = (0, 1) Khi đó, ta có i = −1 thể xem số phức vectơ mặt phẳng Chính điều 1.2 Biểu diễn ñại số số phức: nhận xét cho phép ta áp dụng ñược số phức vào giải Ta ñã thấy tập hợp số thực ñược ñồng với tập hợp số phức dạng (a, 0) = a, với a số thực Số phức đặc biệt tốn hình học phẳng Số phức z viết: z = r cos ϕ + irsinϕ = r (cosϕ + isinϕ ) i = (0, 1) ñược gọi ñơn vị ảo Xét tích số thực b = (b, 0) với ñơn vị ảo i = (0, 1) Khi ta có bi = (b, 0)(0, 1) = (0, b) Đây ñiểm nằm trục tung với tung độ b Thế cịn điểm ? Do định nghĩa phép cộng nên biểu diễn z = (a, 0) + (0, b) Suy z = a + ib Một số phức viết dạng z = a + ib gọi dạng ñại số số phức Số thực a gọi phần thực z ñược ký hiệu Re(z), số b gọi phần ảo z ký hiệu Im(z) Mặt phẳng chứa tồn số phức gọi mặt phẳng phức 1.3 Dạng lượng giác số phức: Trên mặt phẳng cho hệ trục tọa độ vng góc, biểu diễn số phức theo ñiểm mặt phẳng cho ta dễ dàng nghiên cứu phép toán số phức Cho hai số phức dạng ñại số z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2, hai điểm Z1, Z2 hệ tọa độ vng góc ứng với số Điểm O tọa ñộ gốc Một số phức viết theo dạng người ta gọi dạng lượng giác số phức Cho hai số phức dạng lượng giác z1 = r1 (cosϕ1 + isinϕ1 ) z2 = r2 (cosϕ + isinϕ ) Ta có tính chất sau: Nếu z1 trùng z2 mơđun chúng argumen chúng ϕ1 , ϕ khác số nguyên lần 2π Tích hai số phức: z = z1 z2 = r1r2 [ cos(ϕ1 + ϕ ) + isin(ϕ1 + ϕ ) ] Như vậy, tích z hai số phức viết dạng lượng giác z = r (cosϕ + isinϕ ) , r tích r1r2 hai mơđun hai z r thừa số z = = [ cos(ϕ1 − ϕ ) + isin(ϕ1 − ϕ ) ] z2 r2 z z z Do ñó, = arg = arg z1 − argz z2 z2 z2 1.4 Công thức Moa-vrơ (Moivre): 10 uuuur b) hay M(z) (hoặc OM ) gọi biểu diễn hình học hay dạng hình Cho số phức dạng lượng giác z = r (cosϕ + isinϕ ) học số phức z = a + ib Mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳng phức Khi đó, với n số nguyên dương bất kỳ, ta có: z = r ( cos nϕ + isin nϕ ) Số phức z = a + ib tương ứng với ñiểm M(z) ñược gọi tọa vị uuuur ñiểm M vec tơ OM mặt phẳng phức Công thức mang tên Moa-vrơ Công thức cịn với số mũ ngun âm Thật vậy, Nếu z tọa độ vị điểm M mơđun z khoảng cách từ uuuur M đến gốc tọa ñộ O, nghĩa z = OM = OM n n z −1 = = r −1 (cosϕ − i sin ϕ ) = r − n ( cos(−ϕ ) + i sin(−ϕ ) ) r ( cosϕ + isin ϕ ) Suy ra: Từ ñây sau, ñiểm mặt phẳng ñược ký hiệu chữ in hoa tọa vị ký hiệu chữ thường, chẳng hạn số phức a tọa vị ñiểm A Chương 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC z − n = ( z −1 )n = [r −1 (cos(-ϕ ) + i sin(−ϕ ))]n = r − n [cos(−nϕ ) + isin(−nϕ )] 1.5 Căn bậc n số phức: Cho số nguyên n ≥ số phức α Ta tìm số phức z cho z n = α , tức tìm nghiệm phương trình z n − α = Rõ ràng α = z = nghiệm Khi α ≠ , ϕ arg α , ta có z phải khác | z |n =| α |   nψ = ϕ + k 2π TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Trong chương này, trước hết mô tả số khái niệm hình học phẳng qua ngơn ngữ số phức góc định hướng, phép biến hình mặt phẳng Tiếp đó, chúng tơi thể số đặc trưng hình học phẳng qua ngơn ngữ số phức phương trình đường thẳng, phương trình đường trịn, điều kiện đồng qui, vng góc, song song, thẳng hàng, giao điểm hai cát tuyến, giao ñiểm hai tiếp tuyến, chân ñường vng góc dây cung, tọa vị trọng | z |= n | α | ⇔  ϕ k 2π ,k ∈ ψ = + n n  tâm, trực tâm tam giác Các khái niệm kết thể Vậy bậc n α là: ϕ k 2π ϕ k 2π zk = n | α |(cos( + ) + isin( + )), k = 0, n − n n n n ngữ số phức : 1.6 Biểu diễn hình học số phức: a) Phép dời hình: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Oxy, điểm M(a, b) cho tương ứng với số phức z = a + ib , tương ứng song ánh từ tập số phức C lên tập ñiểm mặt phẳng Oxy Điểm M(a, chương ñược trích dẫn từ tài liệu [2], [5], [6], [7] 2.1 Mơ tả số khái niệm hình học phẳng thơng qua ngơn 2.1.1 Góc định hướng: 2.1.2 Mơ tả phép biến hình phẳng ngơn ngữ số phức: • Phép tịnh tiến • Phép quay • Phép ñối xứng trục 12 11 b) Phép vị tự: Như vậy, λ chạy tập hợp số thực phương trình 2.2 Thể số đặc trưng hình học phẳng thông qua z = z2 + λ ( z1 − z2 ) = λ z1 + (1 − λ ) z2 gọi phương trình tham số ngơn ngữ số phức: đường thẳng qua Z1Z2 2.2.1 Phương trình đường thẳng 2.2.2 Phương trình đường trịn: Chúng ta tìm điều kiện cần đủ để ñiểm Z0, Z1, Z2, Z3 nằm 2.2.1.1 Phương trình tổng quát Trong phần trước ta thấy ñiều kiện cần ñủ ñể ñiểm phân biệt uuuur z0, z1, z2 nằm đường thẳng góc hai vectơ Z1Z uuuuur Z Z ±π Nói cách khác tỉ số đơn V(z0, z1, z2) số thực Do tính chất số phức ta biểu diễn dạng sau : góc định hướng Z0Z2Z1 Z0Z3Z1 ±π Suy tỉ số: V ( z0 , z1 , z2 ) z0 − z2 z0 − z3 số thực = : V ( z0 , z1 , z3 ) z1 − z2 z1 − z3 Ngược lại, tỉ số z0 − z z0 − z = z1 − z2 z1 − z2 V ( z0 , z1 , z2 ) số thực, V ( z0 , z1 , z3 ) tập hợp ñiểm Z cho: z − z2 z − z = , z1 − z2 z1 − z2 W(z , z1 , z2 , z3 ) = V ( z0 , z1 , z2 ) V ( z0 , z1 , z3 ) ñược gọi tỉ số kép Như vậy: Điều kiện cần ñủ cho điểm Z0, Z1, Z2, Z3 nằm Vì nhãn tất ñiểm ñường thẳng thỏa mãn đẳng thức đường thẳng đường trịn tỉ số kép trên, nên ta gọi phương trình đường thẳng W(z , z1 , z2 , z3 ) = 2.2.1.2 Phương trình tham số: Ba ñiểm Z, Z1, Z2 nằm ñường thẳng tỷ số λ, số phức z = z2 + λ ( z1 − z2 ) = λ z1 + (1 − λ ) z2 nhãn ñiểm ñường thẳng ñi qua Z1Z2 ngược lại ñiểm z0 , z1 , z2 , z3 (theo thứ tự này) ( z1 − z2 ) z − ( z1 − z2 ) z + ( z1 z2 − z1 z2 ) = z − z2 ñơn V(z, z1, z2) = số thực Do với số thực z1 − z2 z0 , z1 , z2 , z3 nhãn điểm đường trịn đường thẳng Khi giá trị Từ ñẳng thức ta thấy ngay, ñường thẳng ñi qua hai ñiểm z1, z2 là: đường trịn Nếu Z0, Z1,Z2,Z3 nằm đường trịn hiệu V ( z0 , z1 , z2 ) z0 − z2 z0 − z3 nhãn z0, z1, z2, z3 = : V ( z0 , z1 , z3 ) z1 − z2 z1 − z3 số thực là: z0 − z2 z0 − z3 z0 − z2 z0 − z3 : = : z1 − z2 z1 − z3 z1 − z2 z1 − z3 Từ phương trình trên, để điểm Z nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác Z1Z2Z3 phương trình sau thỏa mãn: z − z2 z − z3 z − z z − z3 = : : z1 − z2 z1 − z3 z1 − z2 z1 − z3 13 14 Ta gọi phương trình đường trịn xác định ñiểm Z1, Z2, Z3 Điều kiện ñể ba ñiểm A, B U nằm ñường thẳng cho phương trình: u−a u−a = b−a b−a Khử mẫu số ta nhận ñược: ( z − z2 ) ( z − z3 ) ( z1 − z3 ) ( z1 − z2 ) − ( z − z3 ) ( z − z2 ) ( z1 − z2 ) ( z1 − z3 ) = Trường hợp ñặc biệt, tâm ñường tròn trùng với ñiểm gốc tọa ñộ Nếu A B ñiểm nằm đường trịn đơn vị a = bán kính 1, phương trình đường trịn có dạng z z = Đường tròn gọi đường trịn đơn vị b= 2.2.3 Điều kiện vng góc, song song: Có nhiều tốn liên quan đến đường trịn ta chọn tọa độ vng góc với gốc tâm đường trịn coi đường trịn đường trịn đơn vị Khi cơng thức tính tốn trở nên đơn giản, dễ nhớ áp dụng tốn cụ thể Như ta biết, vng góc song song hai ñoạn thẳng Z1Z2 U1U2 ñược biểu diễn công thức: ( z2 − z1 ) ( u2 − u1 ) + ( u2 − u1 ) ( z2 − z1 ) = , ( z2 − z1 ) ( u2 − u1 ) = ( u2 − u1 ) ( z2 − z1 ) Trong trường hợp Z1, Z2, U1, U2 ñều nằm ñường trịn đơn vị, số phức liên hợp z1 , z2 , u1 , u2 thay 1 1 , , , z1 z2 u1 u2 1 1 1 1 Khi đó: ( z2 − z1 )  −  + ( u2 − u1 )  −  =  u2 u1   z2 z1  Suy Z1Z2 U1U2 vng góc với , a b Khi phương trình viết dạng a + b = u + abu Đây ñiều kiện cần ñủ ñể U nằm ñường thẳng AB Nếu Z1Z2 U1U2 hai cung đường trịn đơn vị cắt  z + z = s + z1 z2 s giao ñiểm S chúng cho hệ:   u1 + u2 = s + u1u2 s Từ ta có cơng thức tính nhãn s giao ñiểm : ( z + z ) u u − ( u1 + u2 ) z1 z2 s= 2 u1u2 − z1 z2 Do Z1Z2 U1U2 không song song nên u1u2 − z1 z2 ≠ 2.2.5 Giao ñiểm hai tiếp tuyến: Bây giờ, cho hai ñiểm Z, U ñường trịn đơn vị với điều kiện chúng khơng nằm đường kính Dựng hai đường thẳng tiếp xúc với đường trịn hai điểm chúng cắt S Ta tìm cách biểu z1 z2 + u1u2 = diễn nhãn s z u hai điểm Z U Do SZ vng góc với OZ Tương tự ñiều kiện cần ñủ ñể hai đoạn song song SU vng góc với OU ta có z−s z−s u−s u−s + = + =0 z u z u z1 z2 = u1u2 2.2.4 Giao ñiểm hai cát tuyến: Hay ( z − s) z + ( z − s) z = ( ) ( u − s ) u + u − s u = 16 15 Suy Từ ta có sz + zs = su + us = zu s= z+u Bài toán 3: Chứng minh tích đường chéo tứ giác nội tiếp tổng tích cạnh đối 2.2.6 Chân đường vng góc dây cung: Bài tốn 4: Ta tìm cơng thức cho nhãn chân đường vng góc S hạ từ điểm Hai đường trịn bán kính R r tiếp xúc ngồi với điểm A M xuống ñường thẳng AB, với hai ñiểm A, B nằm đường trịn đơn Qua A kẻ hai cát tuyến vng góc với MAM1, NAN1 Chứng vị minh MM 12 + NN12 khơng đổi Như phần trước ta có cơng thức a + b = s + abs Mặt khác, MS vng góc với AB, ta có: (m − s )(a − b) + (m − s)( a − b) = 3.2 Bài toán quỹ tích Bài tốn 5: Cho đường trịn tâm O bán kính R, BC dây cung cố định, điểm A chuyển động cung lớn BC Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác Từ suy s = m − (m − s )ab , s vào a + b = s + abs Hay s = a + b + m − abm ABC 2.2.7 Tọa ñộ vị trọng tâm, trực tâm tam giác: Cho hình thang ABCD ( AB// CD) cạnh AB cố ñịnh, AD = m, DC = n: ( ) Bài tốn 6: khơng đổi, G giao điểm hai đường chéo Tìm quỹ tích điểm D, Chương 3: CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG Trong chương khảo sát số tốn hình học C, G Bài tốn 7: phẳng thể qua ngơn ngữ số phức Các tốn ñược tuyển Cho tam giác ñều ABC cạnh 2x Tìm quỹ tích điểm M cho: chọn phân loại từ tài liệu [1], [2], [4], [5], [8], [9], [10] 3.1 Bài tốn chứng minh đẳng thức bất ñẳng thức hình học a) MA2 + MB + MC = x uuur uuuur uuur uuur b) MA + MC = 2MA + MB Bài toán 1: Bài toán 8: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh với điểm M ta có MA2 + MB + MC = 3MG + GA2 + GB + GC Với giá trị điểm M tổng MA2 + MB + MC có giá trị nhỏ Bài tốn 2: Giả sử điểm D nằm cạnh BC tam giác ABC Chứng minh rằng: AB DC + AC BD − AD BC = BC.DC BD Cho tam giác vuông OAB có hai cạnh góc vng OA=2x, OB= x uuur uuur uuur r a) Xác ñịnh ñiểm K thỏa mãn ñiều kiện : KO − KA + 3KB = b) Tìm tập hợp điểm M cho: uuuur uuur uuur uuur uuur MO − MA + 3MB = MA − MB Bài toán 9: Cho hình bình hành ABCD 17 18 a) Chứng minh rằng: ( MA2 + MC ) − ( MB + MD ) số, không phụ thuộc vị trí điểm M b) Tìm tập hợp điểm M cho: 2 b) Có nhận xét vị trí đỉnh thứ hình vng có đỉnh H, K, L ? MA + MB + MC + MD = k ( k số thực ) a) Chứng minh tam giác HKL vng cân Bài tốn 16: Bài tốn 10: Cho ñường tròn (O) ñiểm M đường trịn Qua M Cho tam giác ABC có hai ñỉnh B, C cố ñịnh, ñiểm A thay ñổi cho dựng hai dây cung AMB CMD vng góc với Gọi N trung trung tuyến BM có độ dài khơng đổi x Tìm quỹ tích đỉnh A ñiểm BD Chứng minh MN 3.3 Bài toán dựng hình: Bài tốn 11: Cho đường trịn tâm O, bán kính R hai dây cung AB, CD Tìm điểm X đường trịn cho XA2 + XB = XC + XD Bài toán 12: Cho tam giác ABC Hãy dựng tam giác A0B0C0 cho tam giác A0B0C, B0C0A C0A0B tam giác hướng dương 3.4 Bài tốn chứng minh tính vng góc, tính thẳng hàng, tính song song, tính ñồng qui: Bài toán 13: Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác vng cân LAB, KAC (vng L K) Kẻ hình bình hành LBCM Trên tia ñối tia AL lấy ñiểm N cho AN = AL Chứng minh tam giác KMN vng cân Bài tốn 14: Về phía ngồi tứ giác ABCD dựng hình vng ABEF, BCGH, CDKL, DAMN Gọi P, Q, R, S tâm hình vng Chứng minh: PR = QS PR ⊥ QS Bài toán 18: Từ đỉnh A hình vng ABCD, ta vẽ hai tia Ax, Ay qua miền hình vng Giả sử điểm M, K hình chiếu B D lên Ax; N, L tương ứng hình chiếu B D lên Ay Chứng minh đoạn thẳng KL, MN vng góc với Bài tốn 19: Cho hình vng ABCD Điểm M trung ñiểm CD, ñiểm P nằm ñường chéo AC cho PC = AP Chứng minh rằng: BMP = 900 Bài toán 20: Cho ba hình vng ABCD, BEFC, EPQF Chứng minh hình vng ABCD Trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa ñiểm A, dựng rằng: ACD + AFD + AQD = hình vng BCFG Chứng minh GA vng góc với CD GA = CD Bài toán 15: Bài toán 21: ABDE, ACFG Gọi H, K, L trung điểm BE, BC, CG AC Bài tốn 17: Cho tam giác ABC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa ñiểm C, dựng Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác ABC hình bình hành ⊥ π 19 20 Trên cạnh AB AC tam giác ñều ABC lấy ñiểm E D giác góc CPD PA2 = PB = PC PD CD phân giác tương ứng cho AD DC = BE EA = Chứng minh rằng, P giao góc AQB QC = QD = QA QB Bài tốn 27: điểm BD CE APC = 90 Cho M trọng tâm tam giác ABC, P chân ñường cao hạ từ A, cịn Bài tốn 22: Q giao ñiểm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ñường Cho B1 B2 chân ñường cao hạ từ ñỉnh A1 A2 xuống thẳng ñi qua A ñồng thời song song với BC cạnh ñối diện tam giác A1A2A3 Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác A1A2A3 Chứng minh B1B2 vng góc với Chứng minh điểm M nằm ñoạn PQ QM MP = OA3 Bài tốn 23: Cho hình vng ABCD Điểm M N nằm tương ứng ñường chéo BD cạnh BC cho BM = BD BN = BC Chứng 3 Bài toán 28: Chứng minh trung ñiểm hai ñáy hình thang, giao điểm hai đường chéo giao ñiểm hai cạnh bên kéo dài thẳng hàng minh AMN = 900 Bài toán 29: Bài toán 24: A, B, C theo thứ tự gặp ñường thẳng BC, CA, AB ñiểm P, Q, Cho hình chữ nhật ABCD Từ điểm K đường trịn R Chứng minh P, Q, R thẳng hàng ngoại tiếp hình chữ nhật hạ đường thẳng vng góc xuống AB, Bài tốn 30: CD, AD BC cắt cạnh P, Q, R, S Chứng Cho tam giác ABC, qua ñỉnh A, B, C vẽ ba ñường thẳng song song minh PR vng góc với QS PS vng góc với QR với nhau, cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ñiểm thứ Bài toán 25: hai D, E, F Chứng minh trực tâm tam giác ABF, BCD, CAE thẳng ( Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Các tiếp tuyến (O) ) Cho tam giác ABC BAC ≠ 600 , miền tam giác ABC vẽ hàng tam giác ABD ACE Dựng hình bình hành AEFD Chứng Bài tốn 31: minh tam giác BFC Bài tốn 26: Nếu AB CD hai ñoạn thẳng cắt P, Q trung ñiểm tương ứng ñoạn thẳng Chứng minh rằng, AB phân Từ ñỉnh A tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn, dựng đường vng góc với cạnh AB AD cắt cạnh CD BC M N Chứng minh M, N nằm ñường thẳng ñi qua tâm ñường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD 22 21 Bài toán 32: Bài toán 38: Từ đỉnh hình bình hành ABCD hạ đường vng góc AE, Cho tứ giác ngoại tiếp ñường tròn (O) Chứng minh ñường BF, CG DH xuống ñường chéo Chứng minh EF // GH Bài tốn 33: nối điểm tiếp xúc cạnh ñối diện ñường chéo tứ Cho tam giác ABC với ñiểm D cạnh BC, ñiểm M ñoạn Bài toán 39: AD Gọi L, K trung ñiểm MB, MC Tia DL cắt AB Cho tam giác ABC, gọi O ñiểm tam giác, gọi D, E, F ñiểm P; tia DK cắt AC ñiểm Q Chứng minh PQ // LK trung ñiểm BC, AC, AB, gọi L, M, N Bài tốn 34: trung điểm AO, BO, CO Chứng minh DL, EM, FN ñồng quy Cho ngũ giác ABCDE, gọi K, L, M, N trung ñiểm cạnh AB, CD, BC, DE Lấy P,Q trung ñiểm KL MN giác cắt ñiểm ñiểm Bài toán 40: Cho tam giác ABC trực tâm H, vẽ đường trịn đường kính CH, cắt AE Chứng minh : PQ // AE PQ = cạnh BC AC P Q Chứng minh tiếp tuyến Bài toán 35: Bài toán 41: Cho ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn (O) Từ M, N, P, Cho hình bình hành ABCD AB1C1D1 với B1 thuộc cạnh AB, D1 Q trung ñiểm cạnh AB, BC, CD, DA ta vẽ thuộc cạnh AD Chứng minh ñường thẳng DB1, BD1, CC1 ñồng ñường thẳng vng góc với cạnh đối diện tương ứng Chứng minh quy ñường thẳng ñồng quy Bài tốn 42: Bài tốn 36: Cho hai hình vng hướng OABC OA1B1C1 có điểm Cho tam giác ABC, ñiểm A1, B1, C1 trung ñiểm cạnh BC, CA, AB Gọi M ñiểm tùy ý tam giác, lấy M1, M2, M3 ñiểm ñối xứng M qua ñiểm A1, B1, C1 Chứng minh ñường thẳng AM1, BM2, CM3 đồng quy Bài tốn 37: Cho tứ giác bất kỳ, chứng minh hai ñoạn thẳng nối liền trung ñiểm cạnh ñối tứ giác ñoạn thẳng nối liền trung ñiểm hai ñường chéo ñồng quy ñiểm ñiểm P Q đường trịn cắt điểm AB chung O Chứng minh ñường thẳng AA1, BB1 CC1 ñi qua ñiểm 3.5 Bài tốn góc khoảng cách: Bài tốn 43: Qua trung ñiểm C dây cung tùy ý AB đường trịn ta dựng hai dây cung KL MN tùy ý ( K M phía AB ), Q giao điểm AB KN, P giao ñiểm AB ML Chứng minh QC = CP 24 23 Bài toán 44: Trên cạnh tam giác ABC phía ngồi dựng Cho tam giác ABC, gọi M trung ñiểm cạnh BC Trên cạnh AB tam giác ñều ABC’, BCA’ CAB’ Chứng minh trọng tâm C1, lấy ñiểm D cho BD = 2AD Các ñoạn thẳng AM CD cắt B1 A1 tam giác dựng ñỉnh tam giác ñều ñiểm I Chứng minh rằng; Bài toán 50: (IMO 1977) a) I trung điểm đoạn thẳng AM Cho hình vng ABCD Dựng phía hình vng tam giác b) CI = 3DI ñều ABK, BCL, CDM DAN Chứng minh trung điểm Bài tốn 45: đoạn thẳng KL, LM, MN, NK, BK, BL, CL, DM, DN NA ñỉnh Cho ñiểm M N trung điểm cạnh AB BC hình thập nhị giác vng ABCD Đoạn thẳng CM DN cắt P Chứng minh 3.6 Bài tốn liên quan đến phép biến hình mặt phẳng đoạn AP có độ dài cạnh hình vng Bài tốn 51: Bài tốn 46: Trên cạnh tam giác ABC dựng tam giác ñều BCA’, Cho ABCD, BNMK hai hình vng khơng giao nhau, E trung ACB’, ABC’ cho A’, B’, C, C’ nằm phía đường thẳng CK Chứng minh ñiểm E, F, B thẳng hàng thẳng AB Chứng minh ñiểm M trọng tâm tam giác Bài toán 52:(IMO 17, 1975) ABC’ tam giác A’MB’ cân góc ñỉnh M 2π ñiểm AN Gọi F chân đường vng góc hạ từ B xuống đường Về phía ngồi tam giác ABC, dựng tam giác ABR, Bài toán 47: BCP, CAQ cho PBC = CAQ = 450 , BCP = QCA = 300 , ABR = RAB = 150 Cho tứ giác ABCD, AD = BC, M N trung ñiểm AB CD Chứng minh rằng: QRP = 900 RQ = RP Bài toán 53: (IMO 1986) Gọi E, F giao ñiểm BC AD với ñường thẳng MN Trong mặt phẳng cho tam giác A1A2A3 ñiểm P0 Với s ≥ ta Chứng minh: AEM = BFM ñặt As = As − Dựng dãy ñiểm P0, P1, …sao cho ñiểm Pk+1 ảnh Bài toán 48: Pk với phép quay tâm Ak+1 (k=0,1,2,…) góc 1200 theo chiều kim Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Dựng tam giác ñều ABE, BCF thuộc nửa mặt phẳng bờ AC, gọi M, N trung ñiểm AF, CE Chứng minh tam giác BMN tam giác ñều Bài tốn 49: đồng hồ Chứng minh P1986 = P0 tam giác A1A2A3 tam giác 25 26 KẾT LUẬN 2) Luận văn cịn có ý nghĩa thực tiễn làm tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh dạy học số phức hình học Mỗi phương pháp giải tập thật mạnh với lớp phẳng toán Lớp tốn xét luận văn chứng minh cách Chúng hy vọng kết bước đầu phương pháp khác dễ khó cách chứng minh Trong chứng giải tốn hình học phẳng qua ngơn ngữ số phức trình bày minh phương pháp thể qua ngôn ngữ số phức ta phải luận văn cịn tiếp tục mở rộng để chọn hệ tọa độ cho thuận tiện tính tốn nhiều chứng giải nhiều lớp tốn khác hình học phẳng minh dùng cách phân tích mà ta thường dùng, ñã học Mặc dù ñã cố gắng nghiêm túc trình học Trong q trình vận dụng, chúng tơi kết hợp với phương tập nghiên cứu khoa học thời gian khả cịn hạn pháp tọa độ phương pháp vectơ Chính điều kết hợp giúp chế nên tác giả mong nhận ñược ý kiến ñóng góp quý thầy cho việc chứng minh tốn hình học phẳng thuận lợi giáo, giáo bạn đồng nghiệp để luận văn ñược hoàn thiện Luận văn: “ Khảo sát số tốn hình học phẳng ngơn ngữ số phức” ñã thu ñược kết sau: 1) Nghiên cứu vận dụng kiến thức số phức vào việc giải số lớp tốn hình học phẳng, chủ yếu tập trung vào dạng sau: a) Bài tốn chứng minh đẳng thức bất đẳng thức hình học b) Bài tốn quỹ tích, tốn dựng hình c) Bài tốn chứng minh tính vng góc, tính thẳng hàng, tính song song, tính đồng quy d) Bài tốn liên quan đến phép biến hình mặt phẳng Qua việc vận dụng số phức ñể giải lớp tốn hình học phẳng, số tốn ñược chứng minh ñơn giản ngắn gọn phương pháp khác có trước  ... TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Trong chương này, trước hết mô tả số khái niệm hình học phẳng qua ngơn ngữ số phức góc định hướng, phép biến hình mặt phẳng Tiếp đó, chúng tơi thể số đặc trưng hình học phẳng. .. dụng số phức hình học phẳng - Thể ứng dụng số phức việc giải số toán Mỗi số phức z = a + ib (a, b ∈ R) biểu diễn điểm M có tọa ñộ hình học phẳng (a; b) Ngược lại, rõ ràng ñiểm M(a; b) biểu diễn số. .. đó, số phức với hình học phẳng có liên quan mật thiết với Việc sử dụng số phức nghiên cứu, khảo sát hình học phẳng tỏ có nhiều thuận lợi, việc xem xét vấn ñề liên quan ñến phép biến hình mặt phẳng