Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Cần Thơ Trường Trung học Phổ thông Châu Văn Liêm ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG CỬU LONG ( Môn Toán - 180 Phút ) BÀI 1 : Số học. Cho n là số tự nhiên sao cho 2006! chia hết cho 6 n . Chứng minh n  999 BÀI 2 : Đại số và lượng giác. Giải phương trình : 2005 x 2  2006 x 2 = 2004 x  2005 x . BÀI 3 : Giải tích và tổ hợp. Cho cấp số cộng  a o ; a 1 ; a 2 ; a 3 . . . với a n = a + n.d ; a > 0, d > 0 , n  N . Tìm điều kiện cần và đủ đối với a và d để có một dãy con của cấp số cộng là cấp số nhân. BÀI 4 : Hình học phẳng Bên trong đường tròn đường kính AB = 2006 có 4 đoạn thẳng mỗi đoạn có độ dài bằng 1003. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng vuông góc hoặc song song với AB, giao với ít nhất 2 trong 4 đoạn thẳng đã cho. BÀI 5 : Hình học không gian Cho tứ diện ABCD, có các cạnh AD, AC, BD, BC lần lượt tiếp xúc với mặt cầu (S 1 ) bán kính R 1 , tâm I 1 nằm trên cạnh AB; các cạnh CA, CB, DA, DB lần lượt tiếp xúc với mặt cầu (S 2 ) bán kính R 2 , tâm I 2 nằm trên cạnh CD. Chứng minh : AB 4 (CD 2 – 4R 2 2 ) = CD 4 (AB 2 – 4R 2 1 ) Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Cần Thơ Trường Trung học Phổ thông Châu Văn Liêm ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG CỬU LONG Môn Toán BÀI 1 : 2006!  6 n  2006!  2 n và 2006!  3 n . Số các bội của 2 trong dãy 1; 2; . . . 2006 là       2006 2 = 1003 số Số các bội của 2 2 trong dãy 1; 2; . . . 2006 là       2006 4 = 501 số Tương tự số các bội của 2 3 , 2 4 . . . , 2 10 trong dãy 1; 2; . . . 2006 lần lượt là 250; 125; 62; 31; 15; 7; 3; 1 số Như vậy khi phân tích 2006! thành tích các thừa số nguyên tố thì số mũ của 2 là 1003 + 501 + 250 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 =1998. Cũng làm như trên, ta nhận thấy khi phân tích 2006! thành tích các thừa số nguyên tố thì số mũ của 3 là 668 + 222 + 74 + 24 + 8 + 2 + 1 = 999. Do đó 2006! = 2 1998 .3 999 .p với (p; 2) = 1; (p; 3) = 1 dễ thấy nếu 2006!  2 n thì n  1998 và 2006!  3 n thì n  999. Vậy n  999. BÀI 2 : 2005 x 2  2006 x 2 = 2004 x  2005 x  2004 x + 2006 x 2 = 2005 x + 2005 x 2 (*) Đặt 2004 = a, 2006 = b, 2005 = (a + b)/2 = c. Nhận xét 1 : (*) có nghiệm x = 0; x = 1. Nhận xét 2 : Xét hàm số f(x) = x  2  x  f’(x) =  2 x  2 - 1  x  - 1 = x  - 1 (x  2 -   1) khi  < 0 hoặc  > 1 thì f’(x) > 0 với x  (1; +), khi 0 <  < 1 thì f’(x) < 0 với x  (1; +) do đó f(x) đồng biến trên (1; +) với   [0; 1], nghòch biến trên (1; +) với   (0; 1) Nhận xét 3 : Xét hàm số g(x) = x  có g’(x) = x  - 1 , g”(x) = (  1)x  - 2 khi  < 0 hoặc  > 1 thì g”(x) > 0 với x  (1; +) , khi 0 <  < 1 thì g”(x) < 0 với x  (1; +) , do đó g(x) lõm trên (1; +) với   [0; 1], lồi trên (1; +) với   (0; 1) Theo các nhận xét trên , với x  [0; 1] ta có : a x + b x 2 = 1 2 ( a x + b x ) + 1 2 (a x 2 + b x 2 ) + 1 2 (b x 2  b x )  1 2 (a x 2  a x ) > c x + c x 2 với x  (0; 1)ta có : a x + b x 2 = 1 2 ( a x + b x ) + 1 2 (a x 2 + b x 2 ) + 1 2 (b x 2  b x )  1 2 (a x 2  a x ) < c x + c x 2 Vậy phương trình đã cho chỉ có nghiệm x = 0; x = 1. BÀI 3 : Điều kiện cần : Giả sử có một dãy con của dãy đã cho là cấp số nhân. a i , a j , a k (i, j, k  N, i < j < k) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân đó  a 2 j = a i .a k  (a + j.d) 2 = (a + i.d)(a + k.d)  a.d( 2j  i  k ) = d 2 ( i.k  j 2 )  a d = i.k  j 2 2j  i  k  Q  a d  Q. Điều kiện đủ : giả sử a d  Q  a d = m n với n  N * , m  N * .  a.n = d.m Xét b o = a o = a. b 1 = (n + 1).b o , b 1 = (n + 1)a = n.a + a = a + m.d = a m ; b 2 = (n + 1).b 1 = (n + 1).a m ; b 2 = (n + 1).(a + m.d) = n.a + a + (n + 1)m.d = m.d + a + (n + 1)m.d = a + (n + 2)m.d = a m(n + 2) ; b 3 = (n + 1).b 2 = (n + 1).a m(n + 2) , b 3 = (n + 1).[a + m(n + 2).d] = n.a + a + (n + 1)(n + 2).m.d = m.d + a + (n + 1)(n + 2)m.d = a + [(n + 1)(n + 2) + 1]m.d = a m[(n + 1)(n + 2) + 1] ; Rõ ràng quá trình trên có thể kéo dài vô hạn  dãy đã cho có dãy con là cấp số nhân. Vậy điều kiện cần và đủ để cấp số cộng đã cho có dãy con cấp số nhân là a d  Q BÀI 4 : Kẻ đường kính CD  AB Xét EF là một trong các đoạn đã cho, gọi độ dài hình chiếu của EF lần lượt trên AB, CD là x 1 ; y 1 , dễ thấy x 1 + y 1  EF = 1003. Tương tự, độ dài các hình chiếu 3 đoạn còn lại trên AB, CD làn lượt là là x 2 ; y 2 , x 3 ; y 3 , x 4 ; y 4 . Rõ ràng là ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) + ( y 1 + y 2 + y 3 + y 4 )  2.2006, như vậy một trong hai tổng ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 );( y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) có một tổng lớn hơn 2006, giả sử đó là ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ), suy ra trên AB có điểm M thuộc ít nhất 2 hình chiếu của các đoạn nói trên. Đường thẳng qua M vuông góc AB là đường thẳng cần tìm. BÀI 5 : AD, AC là các tiếp tuyến của mặt cầu tâm I 1 , dễ thấy I 1 AD = I 1 AC. BD, BC là các tiếp tuyến của mặt cầu tâm I 1 , dễ thấy I 1 BD = I 1 BC. Do đó tam giác ABD = tam giác ABC suy ra AD = AC; BD = BC. Tương tự với các tiếp tuyến của mặt cầu tâm I 2 , ta có AD = BD; AC = BC Đặt AC = AD = BC = BD = a > 0, dễ thấy I 1 là trung điểm AB, I 2 là trung điểm CD, đặt AB = 2m, CD = 2n. Ta có dtABD = 2.dtADI 1 = a.R 1 = m.DI 1 = m. a 2 - m 2  R 1 = m a a 2 - m 2 Tương tự R 2 = m a a 2 - m 2 Như vậy : CD 2 – 4R 2 2 = 4(n 2 – R 2 2 ) = 4n 2       1 – a 2 – n 2 a 2 = 4 n 4 a 2 = CD 4 4a 2 Tương tự : AB 2 – 4R 2 1 = AB 4 4a 2 Suy ra : AB 4 (CD 2 – 4R 2 2 ) và CD 4 (AB 2 – 4R 2 1 ) cùng bằng AB 4 CD 4 4a 2 . dục và Đào tạo thành phố Cần Thơ Trường Trung học Phổ thông Châu Văn Liêm ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG CỬU LONG ( Môn Toán - 180 Phút ) BÀI 1 : Số học. . Cần Thơ Trường Trung học Phổ thông Châu Văn Liêm ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG CỬU LONG Môn Toán BÀI 1 : 2006!  6 n  2006!  2 n và 2006!  3 n . Số