Bài giảng số 15 BA BUONG CONIC Bài giảng đề cập đến phương pháp giải toán elip, hypebol va parabol ba đường conic đề cập đến hình học giải tích phẳng nhà trường phơ thơng So với tốn đường thẳng, đường trịn, tốn ba đường conic có mặt khơng nhiều đề thi tuyển sinh mơn Tốn năm 2002-2009, chủ đề khơng thể thiếu việc ơn luyện thị mơn Tốn Cao đăng vào trường Đại học, §1 LẬP PHƯƠNG TRÌNH CÁC ĐƯỜNG CONIC VÀ TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA NÓ! Phương pháp giải tập thuộc loại phải thuộc dạng phương trình tắc đường conic, thuộc công thức liên quan đến conic cách tính bán kính qua tiêu Thi du I: (Dé thi tu yen sinh Đại học khối A—2008) ¬ ; Cho elip với tâm sai c= bà ~ eha woe ee :hà hình chữ nhật sở có chu vi băng 20 Viết phương trình tắc elip Giải x y? Elip có phương trình tắc là: —— tral .(1) a? Tir gia thiét, ta cd: _o NS a e a* 5-3 _ k2 baa a a a (doa>o, b> 0) Hình chữ nhật sở elip có hai cạnh 2a, 2b Từ giả thiết, ta có: 2a+2b+20 —>a+b= I0 a+b=l0 Vậy có hệ phương trình sau để xác định a,b: b a =3 = v2 _ Thay vao (1) ta thấy elip có phương trình tắc : > +=] ! Về định nghĩa tính chất bán ba đường conic, bạn đọc tìm thấy SGK Hình học lớp 10 Ở đây, bỏ qua không nhắc lại tiết phần 272 Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh khéi D — 2005) Trong mat phang toa d6 cho diém C(2;0) elip (E): tt =1 Tìm hai liém A, B é (E), biết A, B đối xứng với qua trục hoành ABC tam xiác Giải - yt Gia str A(Xo; Yo) va B(X0; —yo) la hai diém thudc (E) đơi xứng qua trục hồnh (có thê giả sử yo> 0) Khi AB = 2vụ a A £ Vì ABC tam giác đều, nên ta có: rT AB=AC eo yb +(2-xo)* =4y s(2—gŸ' =3y‡@0 NS : Vì A(xo; yo) (E) nên ta có: RS A CY O B 2 Yo —Xo4 ,+ —=l( (2) 43 yo= Ova x =5i90 =—— Từ hệ (1) (2) ta dé dàng suy xọ =2; 43 Do yo>0 nên x = = Yo = a Thí dụ 3: Từ hai điểm cần tìm có tọa độ là: 7 , ¬ ; Lập phương trình tắc elip (E) biệt elip có tâm O, tiêu điểm Ox qua M(- V3, 1) va khoang cach gitta hai đường chuẩn x2 v2 Giả sử elip (E) có phương trình tắc: —- + „ =l a Vi MC-V3, 1) © (E) nên có: Stas! QQ) a Khoảng cách hai đường chuẩn là: (2) -(-2) = 74 =6, e Từ ta có 2=3 œ =3 e | Cc Vithé b? =a? -c? =3c-c’ Từ (1) (2) (3) suy hệ sau: e 3=> + a? @) @) ] a2—c? =] a? =3c Thay (5) vào (4) có: cÌ-4c+4=0 e (4) (5) Thi du 7: 1/ Cho (C) đường cong có phương trình: y?+ 4y — 4x = Bằng phép tịnh tiến trục tọa độ, chứng minh (C) parabol Xác định tiêu điểm đường chuân parabol 2/ Cùng câu hỏi phần 1/ voi (C): x’+ 6x —y + = Giải 1/ Viết lại (C) dạng: (y + 2)”~4— 4x= (X=x+l Thực phép thay đổi: (y (y +2) =4(1 +x) ; „ „ từ (1) ta có: V`= 4X =y+ (1) (2) 275 Nhu vay (2) có dạng Y”= 2pX Trong hệ tọa độ (X; Y), parabol có tham số tiêu p = (2p= © P 2) Parabol nhận (0;0) làm đỉnh; trục đối xứng Y =0; Tiêu điểm (1;0) (chú ý =1}, đường chuẩn X = =5 =-Ì Trở vẻ biến cũ: parabol (P): yÏ+ 4y - x= nhận điểm S(-l;-2) làm đỉnh; trục đối xứng y = —2; tiêu điểm F(0; -2) đường chuẩn x = ~2 ay y4 b _ yo s >x ` † ^ F y=-2 ` A:x+2=0 2/ Viết lại (P) dạng: (x+ 3)-y— =0 © (x+3)=y+ I Đặi X=x+3 v2 ta có: Xˆ=Y Y=y+l (3) Từ (3) suy ra, hệ (X; Y), (3) có dạng X”=2pY Khi ta có 2p = : , PS Vậy parabol nhận (0;0) làm đỉnh, trục doi ximg la X =0, tiéu diém 1a [s2] đường chuẩn Y = (0-4), Trở biến cũ (P) parabol nhận (-3;-1) làm đỉnh, trục đối xứng x=-3; tiêu điểm F(-3; - ) va đường chuẩn y = y Thí dụ 7: Cho parabol y° = 4x hai điểm ‘ @&+L——————- A(0; 4), B6; 4) 1/ Tìm (P) điểm C cho ABC tam giác vuông A 2/ Tìm (P) điểm C cho tam giác ABC có diện tích bé Giải 1/ Dễ thấy đường thắng nối AB có phương trình: 4x + 3y + 12 = Vậy đường thắng d vuông góc với AB có dạng: -3x † 4y + m = 276 Do (d) qua A(0; 4) > -16+m=0 > m= 16 Vậy d: -3x + 4y + 16 = Từ điệm C nghiệm hệ phương trình: I yy ; x=l6;y=8 xe [xe] -3x+>]= 3~3v © 16 Vậy C¡(16; 8), C ls -2) hai điểm phải tìm 2/ Ta cóSanc~2 AB.CH Do AB không đổi nên Sagc đạt giá trị nhỏ CH nhỏ Gọi C(Xo; Yo) € (P), ta có (theo cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thăng) |4xạ +3yạ +12| _ lyê +3yạ +12| CH= ly =-—|Yo5(¥ +3yg+l2|=— Yo ) Á(» +~|1 39 +—I Vi thé CH nhỏ yors =0 © yạe=- ; (khi m=) Vì lẽ (33-3) điểm (P) cho tam giác CAB có diện tích bé § BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CONIC VỚI CÁC ĐƯỜNG KHÁC Trong mục xét toán tương giao đường conic với đường thắng, đường tròn conic với nhau: Phương pháp giải dựa vào kết sau: Cho hai đường có phương trình f(x,y)= m; g(x,y)=n Khi số giao điểm hai đường số nghiệm hệ phương trình: L (xy)=m (xy)=n ( (2) Khi tọa độ (x;y) giao điểm nghiệm hệ phương trình Như tốn tương giao đường quy khảo sát hệ phương trình dạng (1) (2) Thi dul Cho (H): Ts đa = ] đường thăng d: 2x — y + m = 1/ Chứng minh với m, (H) d cắt A, B thuộc hai nhánh khác (H) (giả sử xa < xg) 2/ Tim M cho BF)= 2AF,, day F\(-3; 0) Fz(3; 0) tiêu điểm (H) 277 Giai voy 5} 3g 1/ Xéthé phuongtrinh: () 2x-y+m=0 Tir (1) dan dén phương trình: 4x?_ 4mx — mm’- = (1) Vì — m +8 ˆ a es oa " gk ge : với m, nên (1) ln có hai nghiệm trái dâu với m Ï a Sua a => arn nên từ (2) suy ra: =2{-a-Sa) a 3xg- =-2 (ở day a= 1; ¢ =3) - 6x, 6xq+ 3xg+1=0 Do xa, Xp hai nghiệm (1), nén theo dinh li Vi-ét ta cd: xX, tip =m m XaXp= (4) +8 (5) x X,+Xp=m Từ @) (4) ta có hệ: J ^ ˆ _ 3m+l A” ~ Xp =———_ (ID Thay (H) vào (Š) có: 63m” + 36m — 68 = _-6+16/2 Sm Đó giá trị cân tìm tham số m Thí dụ 2: 2 2E Cho elip (E) có phương trình + =1 đường thăng d: 2x +15y—10=0 Chứng minh d cắt (E) hai điểm phân biệt A, B, A € Ox Tim dé dài đoạn AB Giải Số giao điểm d (E) số nghiệm hệ phương trình: 278 — + —- — -6y=0 5y? 2x+lS5y-I10=0 —_ c© > 25 Yas Rõ rangA € Ox va AB = aS Vậy A(5; 0) va B(_ 4; 5) Thi du 3: ` x? Cho elip (E) có phương trình: 2s + y? điểm M(1;1) Viét phuong trinh duong thang qua M va cat (E) tai hai diém phan biét A, B cho M trung điểm AB Đường thẳng qua M có hai dạng: 1/ Néu x = I dé thay x = cắt (E) Ai, Bị (xem hình vẽ) ta có ngay: MB; > > MAI Vì thể loại khả 2/ Néu y=k(x- 1)+ leo kx—y+1—k=0 Khi tọa độ (x;y) giao điểm A, B d với (E) nghiệm hệ phương trình: 2 Sete ° kx~y+I~k=0 y=kx+l-k (1) 2€k2 +9)x? + 50k(I-k)x (| —4ty_ = (25k? +25(1-k)-215=0 (2) Dé (1) (2) có hai nghiệm phân biệt, trước tiên ta cần có: A*= 25kŸ(1 - kỷ — [25(1 -kŸỶ — 225](25k + 9) >0 (3) Khi thỏa mãn (3), giả sử hệ (1) (2) có hai nghiệm phân biét (x); y1), (x23 yo) Do M(I; 1) trung điểm A,B nên ta có: xị + xạ= Theo định lí Viét ta có: x (chú ý k= 35 50k(k -1 sxÉ 25k° =1) +9 = k = 25 ` wa VÀ thỏa mãn (3): Bạn đọc tự kiêm tra điều này.) Từ d: ~-2x~y+l+-~=0©>9x+25y—34 =0 25 25 đường thẳng cân tìm Thí dụ 4: Cho hai elip: E¡: x+y? 16 2 =Ì E;: * 4% =Ị, - Viết phương trình đường trịn qua giao điểm hai elip nói 279 + Giải Gọi tọa độ (x; y) giao điểm (Ei) (Ea) nghiệm hệ phương trình: —+y =l l6 y_ x+l6y=l6 4x°+9y° =36 So ©X , 432 55 =——;Y , 28 55 =—_~- ` Điều chứng tơ E¡ E; cắt điểm phân biệt x: 92 Ngoài ta c6: x? + y” = Tr k : ` ; * ^ ` suy bon giao diém chúng năm đường tron (C): x? + y? = ¬ (C) đường trịn cần tìm §3 CÁC BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH VỀ BA ĐƯỜNG CONIC Loại 1: Các toán sử dụng định nghĩa ba đường conic Thí dụ I: Cho parabol (P) y =2px đường thẳng A di động qua tiêu điểm F parabol cắt (P) hai điểm phân biệt M, N Chứng minh đường trịn đường kính MN ln tiếp xúc với đường thăng có định Giải Kẻ NH MK vng góc với đường y chuẩn A: (x= ˆ5 ) Theo định nghĩa parabol ta có: NF =NH, MF = MK Vay NF + MF = NH + MK hay MN = NH + MK Gọi I trung điểm MN, ta có: H F? ⁄ ` Z | x K = (NH + MK), J la hinh chiếu I (A) (do IJ đường trung bình hình thang NHẾM) Nhu vay lJ = MN Điều chứng tỏ đường trịn đường kính MN ln ln tiếp xúc với đường chuẩn A (P) = đpem 280 Thi du 2: Cho hai đường trịn (C¡) cé tam F,, ban kính R¡; (C;), có tâm F¿, bán kính Rạ, R¡ > R; < FIF; < Rị— Rạ Gọi M tâm đường tròn (C) di động cho (C) tiếp xúc với (C¡) tiếp xúc ngồi với (C;) Tìm quỹ tích M Giải Gọi M tâm (C) tiếp xúc với (C2) tai B, tiếp xúc với (C¡) _ A Ta có: |MF,=R,-MA MF, =R, + MB (1) Do MA = MB (cing bang ban kinh cia (C) Do tir (I) suy ra: MF, + MF2= R; + R2= const Theo dinh nghia cua elip, ta suy quy tich M elip nhận F; F; hai tiêu điểm với trục lớn R; + Ro Chú ý: Ta xét trường hợp cụ thể : (C)): (x+ 59+ y = 441; (Co): (x — 5P + y’= 25 Khi đó, ta có: Fi(—5; 0) va R,; = 21; F.(5; 0) va R2= Ta có Rị + R;ạ= 26 suy ra: a= F\F3 = 13; 10;c=S5;b= 12 Vậy quỹ tích M elip với phương trình: 2 x4 169 y a) 144 Thi du 3: Cho đường tròn tâm F¡ bán kính 2a điểm F; ngồi đường trịn Tìm quỹ tích tâm M đường trịn qua F; tiếp xúc với đường trịn nói Xét hai khả sau: * Đường tròn tâm M bán kính r tiếp xúc ngồi với đường trịn (F¿; 2a) Gọi tiếp điểm I Ta có MF, = MI + IF, = MF>+ 2a => MF, - MF2= 2a (1) \ * Đường trịn tâm M bán kính r tiếp xúctrong với đường tròn (F¡ 2a) Gọi I tiếp điểm, ta có: MF, = MI — IF, = MF;— => MF2- MF, = 2a 2a Từ (1), (2) suy ra:|MF,— MF;|=2a (2) (3) Vậy từ (3) đến quỹ tích tâm M đường trịn qua F; tiếp xúc với đường tròn (F;: 2a) hypebol nhan F,,F lam hai tiêu điểm trục thực bang 2a `, Ị CĨ N XS ~ bóng an NI Z z ee NG/ “ a 281 Xét ví dụ cụ thể sau: Đường tròn tâm F¡(—5; 0) Khi c = 5; 2a=R = =4 a=2, đó: b = c’ — a” = 21 Vậy quỹ tích tâm M hypebol (H) với phương trình: ~ v2 21 Thí dụ 4: =1 x2 v2 Trên mặt phăng cho elip (E) có phương trình: 36 + 16 =I, có hai tiêu điểm F, F;; A B hai điểm (E) cho AF, + BF2= Tính AF›+ BF ` x? y? , Từ: — + — =l suy (E) có trục lớn 2a = 10 2S 16 Theo định nghĩa elip thì: (AF) + AF)) = (BFi + BF2) = 10 => AF,+ BF, =(AF,+ AF;) + (BF¡+ BF¿) - (AF) + BF;) = ]0+10—-8§= l2 ‘ Loại 2: Một số tốn định tính ba đường conic: Thi dud: 2 Cho hypebol (H): +4 =1, M(xạ; yo) điểm (H) Gọi A a A' hai tiệm cận (H) Chứng minh đại lượng d(M, A).d(M, A') không phụ thuộc vào vị trí M (H) Giải wg De thay A: yx a b bx-ay=O0vaA’: y= -—x a © Do đó: d(M,A).d(M,A') x? DoM e(H) > a Thay (2) vao (1) va co: d(M,A).d(M.A')=— 282 ye ate! a?b? av + = _ |bxo a? +b? ` —ayg| 2 |bxo +ayo| va? +b? b°’xy'— ayo =a'b’ =const = đpcm + > =1 285 ... chúng năm đường tron (C): x? + y? = ¬ (C) đường trịn cần tìm §3 CÁC BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH VỀ BA ĐƯỜNG CONIC Loại 1: Các toán sử dụng định nghĩa ba đường conic Thí dụ I: Cho parabol (P) y =2px đường thẳng... bé § BÀI TỐN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CONIC VỚI CÁC ĐƯỜNG KHÁC Trong mục xét toán tương giao đường conic với đường thắng, đường tròn conic với nhau: Phương pháp giải dựa vào kết sau: Cho hai đường. .. (do IJ đường trung bình hình thang NHẾM) Nhu vay lJ = MN Điều chứng tỏ đường trịn đường kính MN ln ln tiếp xúc với đường chuẩn A (P) = đpem 280 Thi du 2: Cho hai đường tròn (C¡) cé tam F,, ban kính