Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm cực trị của hàm số Tính... Biên soạn: ThS..[r]
(1)Đề thi mẫu Môn Toán Cao Cấp Toán Cao Cấp ( điểm) Cho: f ( x, y ) = ln( x y + + ( xy ) ) a Tính ∂f ∂f ; ∂x ∂y b Tính df(1,1) f ( x, y ) = x + y − xy Tìm cực trị hàm số Tính I = ∫∫ ( x + y ) dxdy , Ω với Ω = {( x, y ) / x + y ≤ 1, y ≥ 0} Tính ∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz , V V là miền giới hạn mặt x=0; y=o; z=0; x+y+z=1 Tính ∫ ( x + yx L )dx − ( xy + y )dy , với L là đường tròn đơn vị tâm O, lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Bài giải: f ( x, y ) = ln( x y + + ( xy ) ) a Sử dụng Đặt => (ln u ) ' = u' ; u ( u )' = u' u u = ( xy) + + ( xy ) f ( x, y ) = ln u ∂u (1 + x y ) ' x) xy xy = xy + = xy + = xy + ∂x 1+ x2 y2 1+ x2 y2 1+ x2 y2 ∂u (1 + x y ) ' y) 2x y x2 y 2 = 2x y + = 2x y + = 2x y + 2 2 ∂y 1+ x y 1+ x y 1+ x2 y2 xy ∂u xy + 2+ 2 1+ x y 1+ x2 y2 ∂f 2 ∂ x = = = xy ( xy ) + + ( xy) ∂x u ( xy) + + ( xy ) (2) Biên soạn: ThS Đào Ngọc Dũng - 0912765874 - daongocdungdhtb@gmail.com x2 y ∂u x y + 2+ 2 1+ x y 1+ x2 y2 ∂f ∂y = = =x y ( xy ) + + ( xy ) ∂y u ( xy ) + + ( xy ) ∂f ∂f (1,1)dx + (1,1)dy ∂y ∂x 2+ ∂f = 2 +1; (1,1) = ∂x 1+ 2+2 2 +1 ⇒ df (1,1) = ( dx + dy ) 2+2 b df(1,1) = ∂f 2 +1 (1,1) = ∂y 2+2 f ( x, y ) = x + y − xy ∂f ∂x = x − y ∂f = y − 4x ∂y ∂f ∂x = 4 x − y = y = x y = x3 y = x3 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∂f 3 = 4 y − x = y − x = ( x ) − x = x( x − 1) = ∂y y = x3 ⇔ x = x = ±1 => f(x) có điểm dừng O(0,0), M1(1,1), M2(-1,-1) ∂2 f = 12 x ∂ x ∂f = −4 ∂x2 ∂y ∂ f ∂y = 12 y Tại O(0,0): ∂2 f A = (0,0) = ∂x ∂f B= (0,0) = −4 ∂x∂y C= ∂2 f (0,0) = ∂y ∆ = B − AC = 16 > ⇒ f không đạt cực trị O(0,0) (3) Đề thi mẫu Môn Toán Cao Cấp – Tại M1(1,1): ∂2 f (1,1) = 12 ∂x ∂f B= (1,1) = −4 ∂x∂y A= C= ∂2 f (1,1) = 12 ∂y ∆ = B − AC = ( −4) − 12 ∗ 12 < A = 12 > => f đạt cực tiểu M1(1,1) Tương tự, f đạt cực tiểu M2(-1,-1) Vậy f không đạt cực trị O(0,0) f đạt cực tiểu M1(1,1), M2(-1,-1) x = rCosϕ y = rCosϕ (x,y) Є ℜ ≤ r ≤ 1; ≤ φ ≤ π π π 1 I = ∫ dϕ ∫ ((rCosϕ ) + (rSinϕ ) ) rdr = ∫ dϕ ∫ r dr = π 0 0 r8 = V = {( x, y, z ) / ≤ z ≤ − x − y;0 ≤ y ≤ − x;0 ≤ x ≤ 1} ( x + y + z)2 I = ∫ dx ∫ dy ∫ ( x + y + z )dz = ∫ dx ∫ dy 0 0 1− x ( x + y + − x − y ) ( x + y + 0) = ∫ dx ∫ dy − 2 0 1− x − y 1− x 1− x y =1− x 1− x 1 ( x + y)3 = ∫ dx ∫ − ( x + y ) dy = ∫ dx y − 20 20 y =0 [ ] ( x + − x) ( x + 0) = ∫ dx ((1 − x) − ) − (0 − ) 20 3 1 x 2 x2 x4 = ∫ ( − x + )dx = x − + 20 3 3 12 = π 2 1 − + = 12 z =1− x − y z =0 (4) I = ∫ ( x + yx ) dx − ( xy + y ) dy = ∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ( L L Ω ∂Q ∂P − ) dxdy ∂x ∂y ∂P = x2 ∂y ∂Q Q = −( xy + y ) ⇒ = −y2 ∂x ∂Q ∂P − = − y − x = −( x + y ) ∂x ∂y P = x + yx ⇒ 2π 0 I = − ∫∫ ( x + y ) dxdy = − ∫ dϕ ∫ (( rCosϕ ) + ( rSinϕ ) ) rdr 2 Ω 2π 2π = − ∫ dϕ ∫ r dr = ϕ 0 r4 1 π = −2π = − Bổ sung: điểm Phương trình vi phân Chuỗi số Ứng dụng Toán học kinh tế học Good luck to you ! (5)