Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 77 Chương 4 : M ột số chuyên ñề bài viết hay, thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác ðúng như tên gọi của mình, chương này sẽ bao gồm các bài viết chuyên ñề về bất ñẳng thức và lượng giác. Tác giả của chúng ñều là các giáo viên, học sinh giỏi toán mà tác giả ñánh giá rất cao. Nội dung của các bài viết chuyên ñề ñều dễ hiểu và mạch lạc. Bạn ñọc có thể tham khảo nhiều kiến thức bổ ích từ chúng. Vì khuôn khổ chuyên ñề nên tác giả chỉ tập hợp ñược một số bài viết thật sự là hay và thú vị : Mục lục : Xung quanh bài toán Ecdôs trong tam giác ……………………………………….78 Ứng dụng của ñại số vào việc phát hiện và chứng minh bất ñẳng thức trong tam giác…………………………………………………………………………………82 Thử trở về cội nguồn của môn Lượng giác……………………………… .91 Phương pháp giải một dạng bất ñẳng thức lượng giác trong tam giác…… .94 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 78 Xung quanh bài toán Ecdôs trong tam giác Nguyễn Văn Hiến (Thái Bình) Bất ñẳng thức trong tam giác luôn là ñề tài rất hay. Trong bài viết nhỏ này, chúng ta cùng trao ñổi về một bất ñẳng thức quen thuộc : Bất ñẳng thức Ecdôs. Bài toán 1 : Cho một ñiểm M trong ABC∆ . Gọi cba RRR ,, là khoảng cách từ M ñến CBA ,, và cba ddd ,, là khoảng cách từ M ñến ABCABC ,, thì : ( ) ( ) EdddRRR cbacba ++≥++ 2 Giải : Ta có : a bdcd a SS a SS dhR bc AMCAMB BMCABC aaa + = + = − =−≥ 22 22 B ằng cách lấy ñối xứng M qua phân giác góc A T ương tự : ( ) 1          + ≥ + ≥ + ≥⇒ c bdad R b cdad R a cdbd R ab c ac b bc a ( ) ⇒++≥       ++       ++       +≥++⇒ cbacbacba ddd a b b a d a c c a d b c c b dRRR 2 ñ pcm. Th ự c ra ( ) E chỉ là tr ườ ng h ợ p riêng củ a t ổ ng quá t sau : Bài toán 2 : Chứng minh rằng : ( ) ( ) 22 k c k b k a k k c k b k a dddRRR ++≥++ với 01 >≥ k Giải : Trước hết ta chứng minh : Bổ ñề 1 : 0, >∀ yx và 01 >≥ k thì : ( ) ( ) ( ) Hyxyx kkk k +≥+ −1 2 Chứng minh : ( ) ( ) ( ) ( ) 0121121 11 ≥+−+=⇔         +≥         +⇔ −− kk k k k k k aaaf y x y x H với 0>= a y x Vì ( ) ( ) ( ) [ ] 021' 11 =−+= −− kk aakaf 1=⇔ a hoặc 1=k . Với 1=k thì ( ) H là ñẳng thức ñúng. Do 0>a và 01 >> k thì ta có : ( ) 00 >∀≥ aaf và 01 >> k Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 79 ( ) H⇒ ñược chứng minh. Trở lại bài toán 2 : Từ hệ ( ) 1 ta có :               +       ≥       +≥ − k b k c k k bc k a a cd a bd a cd a bd R 1 2 ( Áp dụng bổ ñề ( ) H với a cd y a bd x bc == ; ) Tương tự :               +       ≥               +       ≥ − − k a k b k k c k a k c k k b c bd c ad R b cd b ad R 1 1 2 2 ( ) k c k b k a k kk k c kk k b kk k a k k c k b k a ddd a b b a d a c c a d b c c b dRRR ++≥                         +       +               +       +               +       ≥++⇒ − 2 2 1 ⇒ ñpcm. ðẳng thức xảy ra khi ABC∆ ñều và M là tâm tam giác. Áp dụng ( ) E ta chứng minh ñược bài toán sau : Bài toán 3 : Chứng minh rằng : ( ) 3 111 2 111         ++≥++ cbacba RRRddd Giải : Thực hiện phép nghịch ñảo tâm M, phương tích ñơn vị ta ñược :          = = = c b a R MC R MB R MA 1 * 1 * 1 * và          = = = c b a d MC d MB d MA 1 '' 1 '' 1 '' Áp dụng ( ) E trong '''''' CBA∆ : ( )         ++≥++⇔ ++≥++ cbacba RRRddd MCMBMAMCMBMA 111 2 111 ***2'''''' ⇒ ñpcm. Mở rộng kết quả này ta có bài toán sau : Bài toán 4 : Chứng minh rằng : ( ) ( ) 42 k c k b k a k c k b k a k RRRddd ++≥++ Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 80 với 10 −≥> k Hướng dẫn cách giải : Ta thấy ( ) 4 dễ dàng ñược chứng minh nhờ áp dụng ( ) 2 trong phép biến hình nghịch ñảo tâm M, phương tích ñơn vị. ðẳng thức xảy ra khi ABC∆ ñều và M là tâm tam giác. Bây giờ với 1>k thì từ hệ ( ) 1 ta thu ñược ngay : Bài toán 5 : Chứng minh rằng : ( ) ( ) 52 222222 cbacba dddRRR ++>++ Xuất phát từ bài toán này, ta thu ñược những kết quả tổng quát sau : Bài toán 6 : Chứng minh rằng : ( ) ( ) 62 k c k b k a k c k b k a dddRRR ++>++ với 1>k Giải : Chúng ta cũng chứng minh một bổ ñề : Bổ ñề 2 : 0, >∀ yx và 1>k thì : ( ) ( ) Gyxyx kk k +≥+ Chứng minh : ( ) ( ) ( ) 01111 >−−+=⇔+>         +⇔ k k k k k aaag y x y x G (ñặt 0>= a y x ) Vì ( ) ( ) [ ] 1;001' 1 1 >>∀>−+= − − kaaakag k k ( ) 1;00 >>∀>⇒ kaag ( ) G⇒ ñược chứng minh xong. Sử dụng bổ ñề ( ) G vào bài toán ( ) 6 : Từ hệ ( ) 1 : k b k c k bc k a a cd a bd a cd a bd R       +       >       +≥ (ñặt a cd y a bd x bc == ; ) Tương tự : k a k b k c k a k c k b c bd c ad R b cd b ad R       +       >       +       > ( ) k c k b k a kk k c kk k b kk k a k c k b k a ddd a b b a d a c c a d b c c b dRRR ++≥               +       +               +       +               +       >++⇒ 2 ⇒ ñpcm. Bài toán 7 : Chứng minh rằng : ( ) ( ) 72 k a k a k a k a k a k a RRRddd ++>++ với 1−<k Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 81 Hướng dẫn cách giải : Ta thấy ( ) 7 cũng ñược chứng minh dễ dàng nhờ áp dụng ( ) 6 trong phép biến hình nghịch ñảo tâm M, phương tích ñơn vị. ðẳng thức không thể xảy ra trong ( ) 6 và ( ) 7 . Xét về quan hệ giữa ( ) cba RRR ,, với ( ) cba ddd ,, ngoài bất ñẳng thức ( ) E và những mở rộng của nó, chúng ta còn gặp một số bất ñẳng thức rất hay sau ñây. Việc chứng minh chúng xin dành cho bạn ñọc : ( )( )( ) ( )( )( ) ccbbccaabbaacba cbcabacba c ba b ca a cb cbacba dRdRdRdRdRdRRRR ddddddRRR R dd R dd R dd dddRRR +++≥ +++≥ ≤ + + + + + ≥ 222 )4 )3 3)2 8)1 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 82 Ứng dụng của ñại số vào việc phát hiện và chứng minh bất ñẳng thức trong tam giác Lê Ngọc Anh (HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ) 1/ Chúng ta ñi từ bài toán ñại số sau: Với       x π ππ π ∀ ∈ 0, ∀ ∈ 0,∀ ∈ 0, ∀ ∈ 0, 2 22 2 ta luôn có: x x 2x < tg < < sinx < x 2 2 π . Chứng minh: Ta chứng minh 2 bất ñẳng thức: 2 sin x x π > và 2 2 x x tg π < . ðặ t 1 ( ) sinf x x x = là hàm s ố xác ñị nh và liên t ụ c trong 0, 2 π       . Ta có: 2 os x- sin x '( ) xc f x x = . ðặ t ( ) os x- sin xg x xc= trong 0, 2 π       khi ñ ó ( ) ( ) ' sin 0g x x x g x= − ≤ ⇒ ngh ị ch bi ế n trong ñ o ạ n 0, 2 π       nên ( ) ( ) 0g x g< =0 v ớ i 0, 2 x π   ∈     . Do ñ ó ( ) ' 0f x < v ớ i 0, 2 x π   ∀ ∈     suy ra ( ) 2 2 f x f π π   > =     hay 2 sin x x π > v ớ i 0, 2 x π   ∀ ∈     . ðặ t ( ) 1 h x tgx x = xác ñị nh và liên t ụ c trên 0, 2 π       . Ta có ( ) 2 2 sin ' 0 2 os 2 x x h x x x c − = > 0, 2 x π   ∀ ∈     nên hàm s ố ( ) h x ñồ ng bi ế n, do ñ ó ( ) 2 2 x h x h π   < =     hay 2 2 x x tg π < v ớ i 0, 2 x π   ∀ ∈     . Còn 2 b ấ t ñẳ ng th ứ c 2 2 x x tg > và sin x x< dành cho b ạ n ñọ c t ự ch ứ ng minh. Bây giờ mới là phần ñáng chú ý: Xét ∆ABC : BC = a , BC = b , AC = b . G ọ i A, B, C là ñộ l ớ n các góc b ằ ng radian; r, R, p, S l ầ n l ượ t là bán kính ñườ ng tròn n ộ i ti ế p, bán kính ñườ ng tròn ngo ạ i ti ế p, n ử a chu vi và di ệ n tích tam giác; l a , h a , m a , r a , t ươ ng ứ ng là ñộ dài ñườ ng phân giác, ñườ ng cao, ñườ ng trung tuy ế n và bán kính ñườ ng tròn bàng ti ế p ứ ng v ớ i ñỉ nh A . Bài toán 1: Ch ứ ng minh r ằ ng trong tam giác ABC nh ọ n ta luôn có: 2 2 2 os os os 4 p p Ac x Bc B Cc C R R π < + + < Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 83 Nhận xét: Từ ñịnh lí hàm số sin quen thuộc trong tam giác ta có: sin sin sin p A B B R + + = và bài toán ñại số ta d ễ dàng ñư a ra bi ế n ñổ i sau 2 2 2 4 os 2 os sin os 2 A Ac A tg c A A Ac A π < = < , t ừ ñ ó ñư a ñế n l ờ i gi ả i nh ư sau. Lời giải: Ta có: 2 2 2 4 os 2 os sin os 2 A Ac A tg c A A Ac A π < = < ⇒ 2 os sin p Ac A A R < = ∑ ∑ và 2 2 4 os sin os 4 p p Ac A A Ac A R R π π > = ⇒ > ∑ ∑ ∑ . T ừ ñ ây suy ra ñ pcm. Trong m ộ t tam giác ta có nh ậ n xét sau: 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tg tg tg tg tg tg + + = k ế t h ợ p v ớ i 2 2 x x tg π < nên ta có 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A A B B C C A tg tg tg tg tg tg π π π π π π + + > + + = ⇒ 2 . . . 4 A B B C C A π + + > (1). M ặ t khác 2 2 x x tg > nên ta c ũ ng d ễ dàng có 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B B C C A A B B C C A tg tg tg tg tg tg + + < + + = t ừ ñ ây ta l ạ i có . . . 4A B B C C A+ + < (2). T ừ (1) và (2) ta có bài toán m ớ i. Bài toán 2: Ch ứ ng minh r ằ ng trong tam giác ABC nh ọ n ta luôn có: 2 . . . 4 4 A B B C C A π < + + < Lưu ý: Khi dùng cách này ñể sáng tạo bài toán mới thì ñề toán là ABC∆ phải là nhọn vì trong bài toán ñại số thì 0, 2 x π   ∀ ∈     . Lời giải bài toán tương tự như nhận xét ở trên. Mặt khác, áp dụng bất ñẳng thức ( ) 2 3 a b c ab bc ca + + + + ≤ thì ta có ngay ( ) 2 2 . . . 3 3 A B C A B B C C A π + + + + ≤ = . Từ ñây ta có bài toán “chặt” hơn và “ñẹp” hơn: 2 2 . . . 4 3 A B B C C A π π 〈 + + ≤ Bây giờ ta thử ñi từ công thức l a , h a , m a , r a ñể tìm ra các công thức mới. Trong ABC∆ ta luôn có: 2 sin sin sin 2 2 a a A A S bc A cl bl= = + Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 84 ⇒ 1 1 1 1 A 2 2 2 os 2 a b c b c l bc b c bcc + +   = > = +     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 sin sin sin a b c l l l a b c R A B C   ⇒ + + > + + > + +     1 1 1 1 1 1 1 2 a b c l l l R A B C   ⇒ + + > + +     . Như vậy chúng ta có Bài toán 3. Bài toán 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nhọn ta luôn có: 1 1 1 1 1 1 1 2 a b c l l l R A B C   + + > + +     Mặt khác, ta lại có ( ) 2 sin sin A 2 os 2sin 2 2 2 a R B C bc b c A l c π + + = =   −     . Áp dụng bài toán ñại số ta ñược: ( ) ( ) 2 2 2 a B C R R B C bc A A l π π π π + + > > − − ⇒ ( ) ( ) ( ) 4 a R B C R B C bc B C l B C π π + + > > + + ⇒ 4 a bc R R l π π > > . Hoàn toàn tương tự ta có: 4 c ab R R l π π > > và 4 b ca R R l π π > > . T ừ ñ ây, c ộ ng 3 chu ỗ i b ấ t ñẳ ng th ứ c ta ñượ c: Bài toán 4: Ch ứ ng minh r ằ ng trong tam giác ABC nh ọ n ta luôn có: 12 3 c a b R ab bc ca R l l l π π < + + < Trong tam giác ta có k ế t qu ả sin b c h h A c b = = , sin c a h h B a c = = và sin a b h h C b a = = , mà t ừ k ế t qu ả c ủ a bài toán ñại số ta dễ dàng có 2 sin sin sinA B C π < + + < , mà ( ) 1 1 2 sin sin sin a A B C h b c   + + = +     1 1 1 1 b c h h c a a b     + + + +         , t ừ ñ ây ta có ñượ c Bài toán 5. Bài toán 5 : Ch ứ ng minh r ằ ng trong tam giác ABC nh ọ n ta luôn có: 1 1 1 1 1 1 4 2 a b c h h h b c c a a b π       < + + + + + <             Ta xét ti ế p bài toán sau: Bài toán 6: Ch ứ ng minh r ằ ng trong tam giác nh ọ n ta luôn có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 a b c m m m A B C A B C R π + + + + < < + + Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 85 Nhận xét:Liên hệ với 2 a m trong tam giác ta có 2 2 2 2 2 4 a b c a m + = − , từ ñó ta suy ra ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 sin sin sin 4 a b c m m m a b c R A B C+ + = + + = + + và t ừ ñư a ñế n l ờ i gi ả i. Lời giải: Áp d ụ ng bài toán ñại số ta ñượ c: 2 2 2 2 4 sin x x x π < < ta l ầ n l ượ t có: 2 2 2 2 4 sin A A A π < < , 2 2 2 2 4 sin B B B π < < và 2 2 2 2 4 sin C C C π < < . C ộ ng 3 chu ỗ i b ấ t ñẳ ng th ứ c trên ta ñượ c: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 sin sin sin A B C A B C A B C π + + < + + < + + , mà ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 sin sin sin a b c m m m R A B C+ + = + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sin , 3 a b c m m m A B C R + + ⇔ = + + t ừ ñ ây ta ñượ c: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 a b c m m m A B C A B C R π + + + + < < + + ( ñ pcm). Bây gi ờ ta th ử sáng t ạ o m ộ t b ấ t ñẳ ng th ứ c liên quan t ớ i r a , ta có công th ứ c tính r a là 2 a A r ptg= , t ừ bài toán ñại số 2 2 2 x x x tg π < < ch ắ c ch ắ n ta d ễ dàng tìm th ấ y 2 2 a r A A p π < < , t ươ ng t ự ta c ũ ng có 2 2 a r B B p π < < và 2 2 a r C C p π < < , c ộ ng 3 chu ỗ i b ấ t ñẳ ng th ứ c ta thu ñượ c ( ) 2 2 a b c A B C r r r A B C p π + + + + + + < < và ta thu ñượ c Bài toán 7. Bài toán 7 : Ch ứ ng minh r ằ ng trong tam giác ABC nh ọ n ta luôn có: ( ) 2 2 a b c A B C r r r A B C p π + + + + + + < < Ta tìm hi ể u bài toán sau: Bài toán 8: Ch ứ ng minh r ằ ng trong tam giác ABC nh ọ n ta luôn có: ( ) ( ) 2 4 2R r aA bB cC R r π − < + + < − Nhận xét: Ta có các k ế t qu ả : 2 a A r ptg= , 2 b B r ptg= , 2 c C r ptg= , ( ) 2 A r p a tg= − = ( ) ( ) 2 2 B C p b tg p c tg= − = − d ẫ n ñế n 2 a A r r atg= + , 2 b B r r btg= + , 2 c C r r ctg= + và 4 a b c r r r R r+ + = + (các k ế t qu ả này b ạ n ñọ c t ự ch ứ ng minh), t ừ ñ ó ta suy ra 4 3 2 2 2 A A A R r r ptg ptg ptg+ = + + + và nh ờ k ế t qu ả này ta d ễ dàng ñ ánh giá t ổ ng aA bB cC+ + t ừ bài toán ñại số nên ta d ễ có l ờ i gi ả i nh ư sau. Lời giải: Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 4 M ột số chuyên ñề bài viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 86 Ta có: 2 a A r ptg= , 2 b B r ptg= , 2 c C r ptg= , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 A B C r p a tg p b tg p c tg= − = − = − , từ ñó dẫn ñến 2 a A r r atg= + , 2 b B r r btg= + , 2 c C r r ctg= + . Mà ta lại có: 4 a b c r r r R r+ + = + suy ra 4 3 2 2 2 A A A R r r ptg ptg ptg+ = + + + . Áp dụng bài toán ñại số ta ñược: ● ( ) 2 4 3 3 2 2 2 A A A R r r ptg ptg ptg r aA bB cC π + = + + + < + + + ( ) 2R r aA bB cC π ⇔ − < + + ● ( ) 1 4 3 3 2 2 2 2 A A A R r r ptg ptg ptg r aA bB cC+ = + + + > + + + ( ) 4 2R r aA bB cC⇔ − > + + Kết hợp 2 ñiều trên ta có ñiều phải chứng minh. Sau ñây là các bài toán ñược hình thành từ các công thức quen thuộc ñể các bạn luyện tập: Bài toán: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nhọn ta luôn có: a/ ( ) ( ) 2 8 2 2p R r aA bB cC p R r π π π − + < + + < − + . b/ ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 S p a p b p b p c p c p a S π < − − + − − + − − < . c/ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 abc a p a b p b c p c abc π < − + − + − < . d/ 1 1 1 1 1 1 4 2 a b c l l l b c c a a b π       < + + + + + <             . 2/Chúng ta xét hàm: ( ) in x f x = s x với ( ) x 0, ∀ ∈ π ∀ ∈ π∀ ∈ π ∀ ∈ π . Ta có ( ) f x là hàm s ố xác ñịnh và liên tục trong ( ) 0, π và ( ) ' 2 sinx-xcosx sin f x x = . ðặ t ( ) sinx-xcosxg x = , ( ) 0,x π ∈ , ta có ( ) ' sin 0g x x x= ≥ ⇒ ( ) g x ñồ ng bi ế n trong ñ o ạ n ( ) 0, π ( ) ( ) 0 0g x g⇒ > = ( ) ' 0f x⇒ > nên hàm ( ) f x ñồ ng bi ế n . Chú ý 3 b ấ t ñẳ ng th ứ c ñạ i s ố : 1.Bất ñẳng thức AM-GM: Cho n số thực dương 1 2 , , ., n a a a , ta luôn có: 1 2 1 2 . . n n n a a a a a a n + + + ≥ D ấ u “=” x ả y ra 1 2 . n a a a ⇔ = = = . 2.Bất ñẳng thức Cauchy-Schwarz: Cho 2 b ộ n s ố ( ) 1 2 , , ., n a a a và ( ) 1 2 , , ., n b b b trong ñ ó 0, 1, i b i n> = . Ta luôn có: [...]... abc p 4S.R 4 p.R A p∑ 2 a π A A S A.B.C ∑ ( p − a ) a ≥ 3 3 p 4S.R (4) mà ∑ ( p − a ) a ≤ cyc ≤ 2 (theo iv) nên t (4) 3 cyc cyc A p∑ 3 3 2 729S A.B.C S A.B.C π 729S A.B.C A cyc a 4  3π  4 ⇒ 33 ≤ ≤ ⇔ ≤ p ∑  ⇒ ≤p   4R 3 2 4R p 4S R cyc a   2p   ( p − a) ⇔ 54S A.B.C ≤ π 3 p.R (ix) The Inequalities Trigonometry 88 Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t...  cos A −  cos B −  cos C −  ≤   4 + 4  (*) 4  4  4    3π - N u max{A, B, C } ≥ thì v trái c a (*) không dương nên b t ñ ng th c ñã cho 4 luôn ñúng 3π π π π    - N u max{A, B, C } < thì : cos A −  > 0 , cos B −  > 0 , cos C −  > 0 4 4 4 4     π  π 1  π  nên cos A −  cos B −  = cos A + B −  + cos( A − B ) 4  4 2  2   1 π    A+ B π  ≤ 1... 4 3 4 4 4 3 4  2      6 π  π  π  π π   2  ⇒ cos A −  cos B −  cos C −  ≤ cos 3  −  =   4 + 4  4  4  4 3 4     Do ñó :   (cos A + sin A)(cos B + sin B )(cos C + sin C ) ≤ 2 2  2 + 6   4 4    ð ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ABC ñ u M i các b n ti p t c gi i các bài toán sau ñây theo phương pháp trên 3 3 Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC,...  4   2 π  π   A+ B π  ⇒ cos A −  cos B −  ≤ cos 2  −  (10) 4  4 4   2 Tương t : π   C + π  π π  π  3 −  (11) cos C −  cos −  ≤ cos 2  4 4 3 4  2      Do ñó nhân theo v c a (10) và (11) ta s có : π   C+  π  π  π  π π  π  2  2 A + B 3 − π  ≤ cos 4  π − π  −  cos  cos A −  cos B −  cos C −  cos −  ≤ cos     2 4  4  4 3 4 ... Inequalities Trigonometry 97 Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác A B C π 2 3) A cos + B cos + C cos ≤ 1+ 3 4 4 4 4 3 1 π  π  π  4) cos − A  cos − B  cos − C  ≥ 1 + 3 cos A cos B cos C 4  4  4  2 2 v i ∆ABC nh n ( ) ( The Inequalities Trigonometry ) 98 ... sin B 1 + sin C 2 +4 3 L i gi i Ta có : 1 1 4 4 2 + ≥ ≥ ≥ 1 + sin A 1 + sin B 2 + sin A + sin B 2 + 2(sin A + sin B ) A+ B 1 + sin 2 1 1 2 + ≥ ⇒ (3) 1 + sin A 1 + sin B A+ B 1 + sin 2 1 1 2 (4) + ≥ Tương t ta có : 1 + sin C π π 1 + sin C+ 3 1 + sin 3 2 C ng theo v (3) và (4) ta có : The Inequalities Trigonometry 94 Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ... 2 2  2 + 6   4 4    L i gi i Ta có : (cos A + sin A)(cos B + sin B )(cos C + sin C ) = 2 2 cos A − π  cos B − π  cos C − π        4  4  4  nên b t ñ ng th c ñã cho tương ñương v i : The Inequalities Trigonometry 96 Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác 3 6 π  π... THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác Th tr v c i ngu n c a môn lư ng giác Lê Qu c Hán ð i h c Sư ph m Vinh “Lư ng giác h c” có ngu n g c t Hình h c Tuy nhiên ph n l n h c sinh khi h c môn Lư ng giác h c (gi i phương trình lư ng giác, hàm s lư ng giác …), l i th y nó như là m t b ph n c a môn ð i... 2 2 C ng theo v c a (7 ) và (8) ta ñư c : C+ 4 (7 ) π 3 (8) π π  C+  A+ B+C +  A B C A+ B 3 3  ≥ 4 sin 6 sin 6 + sin 6 + sin 6 + sin 6 3 ≥ 2 sin 6 + sin 6 8 4  2 4 2 2 2      3 A B C π ⇒ sin 6 + sin 6 + sin 6 ≥ 3 sin 6 = (9) 2 2 2 6 64 Trư ng h p tam giác ABC nh n, các b t ñ ng th c (7 ), (8), (9) luôn ñúng Thí d 4 Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta luôn có : π 3   (cos A + sin A)(cos...       4 2 Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác 3 2  1   1  1    ⇒ 1 +  ≥ 1 + 1 + 1 +   3  sin A  sin B  sin C   ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u Thí d 3 Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta có : 3 A B C sin 6 + sin 6 + sin 6 ≥ 2 2 2 64 L i gi i Trư . Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 77 Chương. Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 84 ⇒