Khoá luận tốt nghiệp Lời nói đầu Trong Đại số-số học khái niệm Iđêan sở cho việc trình bày khái niệm Ước chung lớn nhất, Bội chung nhỏ khái niệm liên quan vành Bên cạnh khái niệm Iđêan hình học đại số( theo [1] ) Mặt khác từ lớp 6, đà đợc làm quen với môn Số học Các khái niệm đợc trình bày là: Ước chung lớn nhất, Bội chung nhỏ nhất, số nguyên tố Vấn đề đặt liệu ta có đa đợc khái vào vành đa thức A[x] hay không ? Khi vai trò khái niệm tính chất tơng ứng chúng vành A[x] ? Xuất phát từ đa đề tài nghiên cứu : Số học vành đa thøc A[x] Khãa ln gåm hai ch¬ng Ch¬ng I cđa khoá luận mặt ôn lại kiến thức biết vành Iđêan, mặt khác đa số khái niệm nh : Cơ sở Iđêan, Iđêan tích, Iđêan thơng tính chất tơng ứng Mối liên hệ vành Iđêan đợc thể định lí 3.10 chơng Ngoài kiến thức đợc trình bày chơng sở cho việc trình bày kiến thức chơng II khoá luận Chơng II khoá luận gồm ba tiết Bằng cách tơng tự hoá, Đ 1,chơngII Chúng đa số khái niệm tính chất vành A[x] giống nh khái niệm tính chất số vành Z Điều đặc biệt đà sử dụng khái niệm Iđêan để làm sở cho việc trình bày khái niệm ƯCLN, BCNN Vai trò khái niệm tính chất số vành A[x] đợc làm sáng tỏ Đ 2, chơng II Đ 3, chơng II Trong Đ 2, chơng II nghiên cứu sâu thêm phần tử đại số, phần tử siêu việt vành A[c] Việc nghiên cứu Iđêan vành khó khăn khoảng thời gian ngắn ngủi Do Đ chơng II nghiên cứu Iđêan vành A[x] Qua thấy Iđêan vành A[x] có tính chất giống nh tính chất số vành số nguyên Z phân tích thừa số nguyên tố Trong khoá luận hoạt động tơng tự hoá, tổng quát hoá đợc áp dụng để tìm giải vấn đề dựa vào kiến thức cũ đà biết Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận đợc hoàn thành dới hớng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy giáo PGS TS Nguyễn Quý Dy Trong thời gian hoàn thành khoá luận, đợc góp ý quý báu thầy giáo khoa Toán Gia đình bạn bè thân hữu nguồn động viên để tác giả có thêm nghị lực, tinh thần hoàn thành khoá luận Trớc trình bày nội dung khóa luận, xin chân thành cảm ơn tất lòng đà u dành cho tác giả Với thời gian nghiên cứu cha phải đủ, trình độ hạn chế nên khoá luận chắn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong đợc góp ý chân thành quý thầy cô tất bạn Vinh, tháng năm 2003 Tác giả Khoá luận tốt nghiệp Chơng I Vành Iđêan Đ Khái niệm vành 1.1 Định nghĩa Một tập hợp X xác định hai phép toán hai phép + phép thoả mÃn điều kiện sau: 1) X cïng víi phÐp céng lµ mét nhãm Aben 2) X với phép nhân nửa nhóm 3) PhÐp nh©n cã tÝnh ph©n phèi víi phÐp céng: Víi phần tử tuỳ ý x, y, z X ta cã: x( y +z ) =xy + xz (y + z)x = yx + zx đợc gọi vành Phần tử trung lập phép cộng kí hiệu gọi phần tử không Phần tử ®èi (®èi víi phÐp céng) cđa phÇn tư x kÝ hiệu -x Nếu phép nhân giao hoán X đợc gọi vành giao hoán Nếu phép nhân có phần tử trung lập phần tử gọi phần tử đơn vị X thờng kí hiệu e Một số nhận xét: +) Nếu (X, +, ) vành X X cã phÇn tư +) (  0 , +, ) lµ mét vµnh VÝ dơ: 1) TËp hợp Z số nguyên với phép cộng phép nhân thông thờng vành giao hoán có đơn vị gọi vành số nguyên Ta có vành số hữu tỷ, số thực, số phức 2) Tập hợp ma trận vuông cấp n (n N * ) với phần tử thực hay phức với phép cộng phép nhân ma trận vành có đơn vị Vành không giao hoán 3) Tập hợp số có dạng a + b , víi a, b  Z vành giao hoán ,có đơn vị 1.2 Miền nguyên 1.2.1 Định nghià Giả sử X vành giao hoán Một phần tử a X bội phần tử b X hay a chia hÕt cho b, kÝ hiÖu a b, nÕu cã c  X cho a = bc, ta nói b ớc a hay b chia hết a, kí hiệu b | a 1.2.2 Định nghĩa Giả sử X vành giao hoán Ta gọi íc cđa mäi phÇn tư a  X , a 0 cho cã b  X , b thoả mÃn ab = Ví dụ: ớc vành Z có  Z6 vµ = Khoá luận tốt nghiệp 1.2.3 Định nghĩa Một vành có nhiều phần tử, giao hoán , có đơn vị, ớc đợc gọi miền nguyên Ví dụ: 1) Vành số nguyên Z miền nguyên 2) Vành Z m (m N* ) miền nguyên m số nguyên tố 1.3 Vành 1.3.1 Định nghÜa Cho X lµ mét vµnh TËp A  X đợc gọi vành A lập thành vành phép cộng phép nhân X Ví dụ: 1) Z, Q vành vành R 2) N vành vành R 1.3.2 Định lí Giả sử A phận khác rỗng vành X Các điều kiện sau tơng đơng: 1) A lµ vµnh cđa X 2) Víi mäi x, y A, x + y  A, xy A, -x A 3) Víi mäi x, y A, x - y A, xy A 1.3.3 Định lí Giao họ vành vành X vành X 1.3.4 Định nghĩa Giả sử X, Y vành Khi tập hỵp : X Y=  (x, y ) x  X, y  Y  cïng víi hai phÐp to¸n: (a1 , b1) + (a2 , b2) = (a1 +a2 , b1 + b2) (a1 , b1).(a2 , b2) = (a1a2, b1b2 ) ®ã (a , b1) , (a2 , b2)  X Y LËp thµnh mét vµnh vµ gäi lµ tÝch cđa hai vµnh X vµ Y VÝ dơ: TËp hỵp Z Z cïng víi hai phÐp to¸n: (a1 , b1) + (a2 , b2) = (a1 +a2 , b1 + b2) (a1 , b1).(a2 , b2) = ( a1a2 , b1b2 ) ®ã (a1 , b1) , (a2 , b2)  Z Z lµ mét vành Một loại vành đặc biệt thờng đợc đề cập vành Iđêan Khoá luận tốt nghiệp Đ2 Khái niệm Iđêan 2.1 Định nghĩa Giả sư X lµ mét vµnh Mét vµnh A cđa X thoả mÃn điềukiện: ax A ( xa A ) với a A, x X đợc gọi Iđêan phải ( Iđêan trái ) vành X Nếu A vừa Iđêan phải, vừa Iđêan trái X đợc gọi Iđêan vành X VÝ dơ: Víi X lµ mét vµnh t ý, a X Khi ®ã: 1) Bé phËn aX =  ax x X Iđêan phải X 2) Bé phËn Xa =  xa x  X Iđêan trái X Sau tiêu chuẩn để nhận biết Iđêan vành 2.2 Định lí Một phận A khác rỗng vành X Iđêan X điều kiện sau thoả mÃn : 1) a – b b  A víi mäi a,b  A 2) xa A vµ ax A víi mäi a A, mäi x  X VÝ dô: 1) Bé phËn phận X hai Iđêan vành X Chúng đợc gọi Iđêan tầm thờng vành X 2) Bộ phận mZ gồm số nguyên bội số nguyên m cho trớc Iđêan vành số nguyên Z 3)Tìm tất Iđêan vành Z6 Giải: Đầu tiên ta có hai Iđêan tầm thờng Z6 Gọi I Iđêan thực Z6 Khi I chứa phần tử m Ta gọi m1 số nguyên dơng nhỏ nhÊt cho m1  I Víi  I) VËy ta cã: m m1 q  r  I  q m1 bÊt k× thuéc I, ta cã : m = m1q + r víi  r  m-1 suy ra: r m  m1 q  I r = ( m1 số nguyên d¬ng nhá nhÊt q  Z6 m  tõ Iđêan thực Z6 là, ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) Mặt khác ta cã: ( ) = ( ) =Z6 , ( ) = ( ) =  , ,  , ( ) = , Tóm lại tất Iđêan Z6 : ,  ,  ,  , ,  , Z6 2.3 MƯnh ®Ị NÕu C1, C2 lần lợt Iđêan vành A1, A2 C1 C2 Iđêan A1 A2 Iđêan A1 A2 có dạng Chứng minh Giả sử C1, C2 Iđêan vành A1, A2 Ta cần chứng minh C1 C2 Iđêan A1 A2 Thật vậy, ta có C1 C2 C1 C2 khác rỗng Mặt khác với ( a1, b1) , ( a2, b2) C1 C2 thì: Khoá luËn tèt nghiÖp ( a1, b1) - ( a2, b2) = ( a1- a2, b1- b2)  C1 C2 ( v× a1- a2 C1 , b1- b2 C2 ) Víi  (a , b )  A1 A2 , ta cã ( a,b ) ( a1, b1) = ( aa1, bb1)  C1 C2 (V× aa1 C1 , bb1 C2 ) Do C1 C2 Iđêan A1 A2 Để kết thúc toán, ta cần chứng minh Iđêan A A2 có dạng C1 C2 với C1 Iđêan A1, C2 Iđêan A2 Thật vậy, giả sử C1 C2 Iđêan A1 A2 Khi C1 C2 phận khác rỗng A1 A2 C1 , C2 lần lợt phận khác rỗng A1 , A2 Ta có: +) Với a1, a2 bÊt k×  C1; Víi b1, b2 bÊt k×  C2 th× ( a1 , b1)  C1 C2 , ( a2 , b2)  C1 C2  ( a1, b1) - ( a2, b2)  C1 C2  ( a1- a2, b1- b2)  C1 C2  a1- a2  C1 , b1- b2  C2 +) Víi a bÊt k×  A1, b bÊt k×  A2 th× ( a1, b1).( a,b ) = ( a1a, b1b)  C1 C2 , ( a,b ) ( a1, b1) = ( aa1, bb1)  C1 C2  a1a, aa1 C1 b1b, bb1 C2 Vậy C1,C2 lần lợt Iđêan A1 , A2 Ví dụ: Tìm tất Iđêan Z Z, Z vành số nguyên Giải áp dụng mệnh đề 2.3, ta có I = I1 I2 Iđêan Z Z I1, I2 Iđêan Z  I1= m1Z, I2= m2Z (m1, m2  Z ) Vậy tất Iđêan Z Z (m1Z ) (m2Z ) 2.4 Định lí Giao họ Iđêan vành X Iđêan vành X *Nhận xét: Giả sử U phận vành X Khi U chứa Iđêan X, chẳng hạn X Theo định lí 2.4 giao A tất Iđêan X chứa U Iđêan X chứa U Iđêan bé chứa U, Iđêan gọi Iđêan sinh U Nếu U =  a1 , a , , a n  , ( n  N * ) th× A đợc gọi Iđêan sinh phần tử a1, a , , a n Iđêan sinh phần tử đợc gọi Iđêan 2.5 Định lí Giả sử X vành giao hoán, có đơn vị a1, a , , a n  X Bé phËn A cđa X gåm c¸c phần tử có dạng x1a1 x 2a  x n a n víi x1 , x , , x n X Iđêan X sinh bëi a1, a , , a n Ví dụ: Trong vành giao hoán, có đơn vị Z Bộ phận mZ = Iđêan ( ) cđa vµnh Z sinh bëi m mx x  Z Khoá luận tốt nghiệp 2.6 Định nghĩa Các phần tử a1, a , , a n nói định lí 2.5 gọi sở Iđêan A Iđêan A đợc kí hiệu ( a1, a , , a n ) VËy: n  i 1   ( a1, a , , a n ) =   x i a i x i  X,  i 1, n  Hai ví dụ sau chứng tỏ có miền nguyên mà Iđêan có sở hữu hạn Ví dụ: 1) Mọi Iđêan vành Z Iđêan Chứng minh Nếu I Iđêan vành Z I vành cđa Z  ( I, + ) lµ nhãmcon cña nhãm ( Z,+ )  I = mZ (nÕu I khác m số nguyên dơng bé I) Ngợc lại I = mZ I Iđêan Z Vậy I Iđêan Z I = mZ Do I có sở gồm phần tử m 2) Đặt Dp = m n m  Z, m 0, n  Z,  n, p ( p số nguên tố) a, Chứng minh Dp miền nguyên b, Chứng minh Iđêan thực Dp ®Ịu cã d¹ng ( pk ) Chøng minh a) +) Víi  m  Z, m o th× m = m  D p  D p cã nhiỊu h¬n phần tử +) D p vành vành số hữu tỉ Q Thật : D p phận m m khác rỗng.Mặt kh¸c víi  , n1 n =1 ), th× ta cã :  D p ( m , m  Z  ;(n ,p ) =( n , p ) m1 m mm m n  m n m1 m = , = n1 n2 n1 n n1 n n1 n  Dp , (v× ( n n , p ) = ( n , p ) = ) VËy D p lµ vµnh cđa vµnh Q Do D p vành giao hoán, có đơn vị, ớc không Q vành giao hoán, có đơn vị, ớc không Tóm lại D p miền nguyên b) Giả sử I Iđêan thực D p Ta cÇn chøng minh I = ( p k ), víi k  N * ThËt vËy : Vì I Iđêan thực D p nên I chøa Ýt nhÊt mét phÇn tư m n  Ta gọi m số nguyên dơng bé tử số phân số Khi ®ã m1 n1  I ( ( n , p ) = ) Ta cã: m = p k n , víi k  N vµ ( n , p ) = Ta sÏ chøng minh k  N* m n Ph¶n chøng: Gi¶ sư k =  =  I, n n ta sÏ cã n cho: (1) Kho¸ ln tèt nghiƯp m1 n1 I, n1 n2  I,  a  Dp Iđêan thực D p Vậy k  N* ( v×  Dp )  a  Dp I  I = Dp m©u thuÉn víi I B©y giê ta sÏ chøng minh I = ( pk ), víi k  N* tho¶ m·n (1) : +) Chøng minh I ( pk): Gi¶ sư m n  I Chia m cho m1, ta cã m = m1q + r, m m1q r m1 n1q r     n n n n1 n n r m m nq m    Dp ( v× m , n n n1 n n1 n ®ã r m1  1, q 0 Khi ®ã :  n q m1 n1q n = pk n2 n1 +) Chøng minh (pk) ThËt vËy: pk = n1q n  Dp ) r = ( m1 số nguyên dơng bé ) Từ đó: = I ,  (pk) ( v× n 2q n  Dp )  I  (pk) m n (2)  I: §Ĩ chøng minh (pk)  I ta chØ cÇn chøng minh pk  I m1 m1 n1 = n n1 n  I VËy (pk )  I (3) Tõ (2) vµ (3) ta suy I = ( pk ), ( k  N*) Nh vậy, ta đà chứng minh đợc Iđêan D p có sở hữu hạn gồm phần tử (hai Iđêan tầm thờng D p có sở hữu hạn gồm phần tử 1) Mệnh đề sau khẳng định tồn vành Iđêan thực 2.7 Mệnh đề Trong vành M tất ma trận vuông cấp n, n N* với phần tử số thực Iđêan thực Chứng minh Ta có tập M tất ma trận vuông cấp n cã mét c¬ së gåm n2 ma trËn E ij , có phần tử vị trí ( i,j ) phần tử vị trí khác Giả sử vành M có Iđêan thực I Khi ®ã I chøa Ýt nhÊt mét ma trËn A khác n không Ta có: A = i, j 1 a ij E ij Do ma trËn A khác không nên suy tồn hệ tử a r s 0 (1 r n, s n ) Mặt khác ta có: ( a r s )-1 E k r A E s k n = ( a r s )-1  i, j 1 E k r E ij E s k a ij n = Ek k Tõ ®ã:  E kk E  I ( E lµ ma trËn đơn vị vành M ), k I,  k = 1, n Kho¸ luËn tèt nghiÖp suy BE = B  I,  B  M  M  I  I = M mâu thuẫn với I Iđêan thực M Tóm lại vành M tất ma trận vuông cấp n với phần tử số thực Iđêan thực Nhận xét : - Mệnh đề 2.7 trờng hợp phần tử số phức Tổng quát trờng hợp phần tử lấy trờng tuỳ ý - Mệnh đề 2.7 không với Iđêan phía Chẳng hạn :  a   b   a, b A Iđêan phải thực vành ma trận vuông cấp hai với phần tử lấy trờng A Định lí sau khẳng định mối liên hệ bao hàm Iđêan tính chia hết vành 2.8 Định lí Cho X vành giao hoán, có đơn vị a,b phần tử tuỳ ý X Khi đó: (b) (a) a | b Chøng minh  Gi¶ sư ( b )  ( a ), ta cÇn chøng minh a | b: Ta cã b  ( b )  (a)  b  (a)  b = ax , x X a | b Đảo lại, giả sử a | b, ta cần chứng minh (b) (a): Vì a | b nên có x X cho: b = ax  (a) Tõ ®ã víi  y  (b)  y = b.y1, y1  X suy y = ax y1= a[x y1]  (a) hay lµ (b)  (a) Ta có điều phải chứng minh 2.9 Mệnh đề Cho X vành giao hoán, có đơn vị B C Iđêan X Khi tập hợp B + C =  b  c b  B, c C Iđêan X Chứng minh DƠ thÊy B + C lµ mét bé phËn khác rỗng X Mặt Khác ta có: Với a, b  B + C nghÜa lµ a = b + c1, b = b2 + c2 ë ®©y b1 , b2  B ; c1 , c2  C, víi  x  X th×: a – b b = (b1 + c1) – b (b2 + c2) = (b1 - b2) + (c1 + c2)  B + C x.a = x(b1 + c1) = x b1 + xc1  B + C Do ®ã B + C Iđêan vành X 2.10 Định nghĩa 1) Cho vành giao hoán X Một phần tử b phần tử a1, a2, ,an  X nÕu b | ,  i = 1, n X đợc gọi íc chung Kho¸ ln tèt nghiƯp 2) Mét íc chung d phần tử a1, a2, ,an X cho ớc chung a1, a2, ,an ớc d, đợc gọi ớc chung lớn a1, a2, ,an Ta kÝ hiÖu: d = (a1, a2, ,an) 2.11 MƯnh ®Ị Trong vành giao hoán, có đơn vị X, tổng (b) + (c) hai Iđêan tự Iđêan (d) d íc chung lín nhÊt cđa b vµ c Chøng minh Giả sử d ớc chung lớn b c, ta cần chứng minh (d) = (b) +(c): +) Chøng minh (b) + (c)  (d): V× d | b , d | c  (b) Do ®ã víi x t ý thc (b) + (c) th×: x = bb1+cc1  (d) VËy (b) + (c) (d), (c)  (d)  b, c  (d)  (d) (1) +) Chøng minh (d)  (b) + (c): V× d = ( b,c ) nªn  r,s  X cho: d = br + cs Khi ®ã:  y  (d)  y = dy1, y1  X  y = bry1 + csy1  (b) + (c) VËy (d) (b) + (c) (2) Tõ (1) vµ (2) suy (d) = (b) + (c) Đảo lại, giả sư (d) = (b) + (c), ta cÇn chøng minh d = ( b, c ): Ta cã: b = b.1 + c.0 cã d | c  (b) + (c)  b  (d)  b = db1  d | b Lập luận tơng tự ta Ta lại cã: d  (d)  d  (b) + (c)  d = bb1 + cc1, víi b1, c1  X Do ®ã d = ( b, c ) 2.12 Mệnh đề Cho X vành giao hoán có đơn vị B C Iđêan X lần lợt có sở b1, b2, , bn ; c1, c2, , cm Khi Iđêan B + C có sở phần tử b1, b2, , bn, c1, c2, , cm Chøng minh Ta cÇn chøng minh r»ng: B + C = (b1, b2, , bn , c1, c2, , cm): Gäi x bÊt k×  B + C suy x = b + c, víi b  B, c  C Do b  B, c  C nªn ta cã: n m i 1 j 1 b =  b i x i , c =  c j y j , víi xi, yj  X 10 ... Định ngh? ?a Giả sử X vành Một vành A X thoả mÃn điềukiện: ax  A ( xa A ) víi mäi a A, x X đợc gọi Iđêan phải ( Iđêan trái ) vành X Nếu A v? ?a Iđêan phải, v? ?a Iđêan trái X đợc gọi Iđêan vành X... Nếu C1, C2 lần lợt Iđêan vành A1 , A2 C1 C2 Iđêan A1 A2 Iđêan A1 A2 có dạng Chứng minh Giả sử C1, C2 Iđêan vành A1 , A2 Ta cÇn chøng minh r»ng C1 C2 Iđêan A1 A2 Thật vậy, ta có C1 C2 C1 C2 khác... tử a X bội phÇn tư b  X hay a chia hÕt cho b, kÝ hiÖu a b, nÕu cã c  X cho a = bc, ta cßn nãi r»ng b lµ íc c? ?a a hay b chia hÕt a, kÝ hiệu b | a 1.2.2 Định ngh? ?a Giả sử X vành giao hoán Ta