CHƯƠNG IV BIỂU DIỄN TÍN HIỆU BẰNG CHUỖI FOURIER Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 13 Tín Hiệu Dạng Sin và Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến với tín hiệu dạng sin Xem xét một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h(t) và tín hiệu vào x(t) = e jωt . Đáp ứng của hệ thống được tính như sau: y(t) = h(t) ∗ x(t) =  ∞ −∞ h(τ)e jω(t−τ) dτ = e jωt  ∞ −∞ h(τ)e −jωτ dτ = H(ω)e jωt ở đó, H(ω) là đáp ứng tần số: H(ω) =  ∞ −∞ h(τ)e −jωτ dτ đặc trưng cho đáp ứng của hệ thống với tần số ω của tín hiệu vào dạng sin. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 13 Tín Hiệu Dạng Sin và Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến với tín hiệu dạng sin Tín hiệu ra có cùng tần số với tần số của tín hiệu vào dạng sin. Sự thay đổi về biên độ và pha của tín hiệu ra so với tín hiệu vào được đặc trưng bởi đáp ứng tần số H(ω) với hai thành phần sau đây: |H(ω)| =  Re[H(ω)] 2 + Im[H(ω)] 2 được gọi là đáp ứng biên độ, và φ(ω) = arctan Im[H(ω)] Re[H(ω)] được gọi là đáp ứng pha của hệ thống. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 13 Tín Hiệu Dạng Sin và Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến với tín hiệu dạng sin Khi đó, ta có thể biểu diễn tín hiệu ra dưới dạng sau đây: y(t) = |H(ω)|e jφ(ω) e jωt = |H(ω)|e j[ωt+φ(ω)] nghĩa là, so với tín hiệu vào thì tín hiệu ra có biên độ lớn gấp |H(ω)| lần và lệch pha đi một góc là φ(ω). Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn Một tín hiệu x(t) tuần hoàn với chu kỳ T có thể biểu diễn được một cách chính xác bởi chuỗi Fourier dưới đây: x(t) = ∞  k=−∞ c k e jkω 0 t ở đó, ω 0 = 2π/T là tần số cơ bản của tín hiệu x(t). Nói cách khác, mọi tín hiệu tuần hoàn đều có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu dạng sin phức có tần số là một số nguyên lần tần số cơ bản. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Điều kiện hội tụ Điều kiện để sai số bình phương trung bình giữa x(t) và biểu diễn chuỗi Fourier của x(t) bằng không là x(t) phải là tín hiệu công suất, nghĩa là: 1 T  T 0 |x(t)| 2 dt < ∞ Điều kiện hội tụ tại mọi điểm (điều kiện Dirichlet): x(t) bị chặn. Số điểm cực trị trong một chu kỳ của x(t) là hữu hạn. Số điểm không liên tục trong một chu kỳ của x(t) là hữu hạn. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Biểu diễn đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến Đáp ứng của một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng tần số là H(ω) với mỗi thành phần e jkω 0 t là H(kω 0 )e jkω 0 t → đáp ứng của hệ thống đó với tín hiệu vào x(t) sẽ biểu diễn được như sau: y(t) = ∞  k=−∞ c k H(kω 0 )e jkω 0 t Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Tính trực giao của các thành phần {e jkω 0 t } Hai tín hiệu f (t) và g(t) tuần hoàn với cùng chu kỳ T được gọi là trực giao nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn:  T 0 f (t)g ∗ (t)dt = 0 Hai tín hiệu e jkω 0 t và e jlω 0 t với tần số cơ bản ω 0 = 2π/T trực giao nếu k = l: ∀k = l :  T 0 e jkω 0 t e −jlω 0 t dt = 0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Tính các hệ số của chuỗi Fourier Các hệ số của chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn x(t) được tính bằng cách sử dụng tính chất trực giao của các tín hiệu thành phần {e jkω 0 t } như sau:  T 0 x(t)e −jkω 0 t dt =  T 0 ∞  l=−∞ c l e jlω 0 t e −jkω 0 t dt = ∞  l=−∞ c l  T 0 e jlω 0 t e −jkω 0 t dt = c k T → c k = 1 T  T 0 x(t)e −jkω 0 t dt Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier Tính tuyến tính: x(t) = ∞  k=−∞ c k e jkω 0 t và z(t) = ∞  k=−∞ d k e jkω 0 t → αx(t) + βz(t) = ∞  k=−∞ (αc k + βd k )e jkω 0 t Dịch thời gian: x(t) = ∞  k=−∞ c k e jkω 0 t → x(t − t 0 ) = ∞  k=−∞  c k e −jkω 0 t 0  e jkω 0 t Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 13 [...].. .Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier Đạo hàm: ∞ x(t) = ck e jkω0 t k=−∞ dx(t) → = dt ∞ (jkω0 ck )ejkω0 t k=−∞ Tích phân: ∞ ck ejkω0 t x(t) = k=−∞ ∞ t → x(τ )dτ = −∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) k=−∞ Tín hiệu và Hệ thống ck jkω0 t e jkω0 2009 11 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier. .. Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier Tính đối xứng: với tín hiệu tuần hoàn x(t) có biểu diễn chuỗi Fourier ∞ ck ejkω0 t x(t) = k=−∞ phổ mật độ công suất của x(t) là một hàm chẵn, nghĩa là: ∀k : |ck |2 = |c−k |2 Ngoài ra: ∗ Nếu x(t) là tín hiệu thực: ∀k : ck = c−k Nếu x(t) là tín hiệu thực và chẵn: ∀k : ck = c−k Nếu x(t) là tín hiệu thực và lẻ: ∀k : ck = −c−k Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu. .. công suất của tín hiệu thành phần ejkω0 t trong tín hiệu x(t) → hàm biểu diễn giá trị |ck |2 theo tần số ωk = kω0 (k ∈ Z ) cho ta biết phân bố công suất của tín hiệu x(t) và được gọi là phổ mật độ công suất của x(t) Chú ý: phổ mật độ công suất của tín hiệu tuần hoàn là một hàm theo tần số rời rạc Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 12 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục . Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần. (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier Tính