Chuyen đề bồi dưỡng HS giải toán trên máy tính CASIO MS500 Chuyên đề 1: Đồng dư thức A/ Lý thuyết Một số tính chất 1/ chia hết cho . 2/ và . 3/ thì: và 4/ và thì: và 5/ thì: 6/ là số nguyên tố và thì: . Vận dụng: 1/ Tìm chu kì của phép chia có dư: Thí dụ Ta nói phép chia có chu kì là . Nhận xét rằng, với phép chia trên, chu kì có thể dễ dàng tìm ra bằng mtbt. Tuy nhiên với những số lớn ví dụ ; việc tìm ra chu kỳ khó khăn hơn nhiều. Phương pháp chung, có lẽ ai cũng biết, là bấm 1*(10^8)/57 để tìm chu kì( là phần nguyên), rồi lấy 1*10^8-phần nguyên vừa tìm được*57; lấy kết quả đó thế vào số 1 cứ thế ta sẽ tìm ra chi kỳ. Tuy nhiên cứ tìm 1 lượt như vậy phải bấm ko dưới 20 phím, để tiết kiệm sức, mình xin nêu 1 cách bấm, sau 1 giải thuật ban đầu, cứ bấm 2 dấu = ta sẽ tìm được khoảng 8 số trong chu kỳ. cách bấm như sau: A=1 B=57 (((A*10^8)/B)+9.5)*10^-11+1-1)*10^11-10{ĐỌC CHU KÌ}:A=A*10^8-ANS*B (littlestar_monica) C2: nhấn MODE MODE 3 (BASE), rồi nhấn fím x^2( chữ DEC màu xanh đó) Chẳng hạn như tìm chu kì của 1 |shift| |sto| |A| (chỉ 7 số 0 thôi) Ax10000000-49 x |ans| |shift| |sto| |A| ấn dấu mũi tên lên rồi nhấn |shift| |copy| chỉ việc nhấn = = = . là ra chu kì của fép chia ĐS: ) Lưu ý: cứ mỗi phép chia luôn cho ta 7 chữ số thập fân, nếu chỉ hiện 6 hay 5 chữ số, ta hiểu ngầm có 1 hay 2 chữ số 0 ở trước!!!!! Tìm n chữ số tận cùng của một luỹ thừa: Để tìm n chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm dư của luỹ thừa đó với 10^n Heheh , có phải rất hay không nào . Tuy nhiên . Nếu người ta kiu tìm từ 1 đến 3 chữ số tận cùng của một luỹ thừa mà ta làm theo bài học trên thì thật là , quá oải . Chính vì thế , tui xin post một bài như sau : _ Tìm 1 chữ số tận cùng của : * Nếu a có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 thì lần lượt có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 . * Nếu a có chữ số tận cùng là 2 , 3 hoặc 7 , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác 0 : 2^4k đồng dư 6 ( mod 10 ) 3^4k đồng dư 1 ( mod 10 ) 7^4k đồng dư 1 ( mod 10 ) Do đó để tìm 1 chữ số tận cùng của a^n với a có số tận cùng là 2 , 3 , 7 ta lấy n chia cho 4 . Giả sử n = 4k + r với r thuộc { 0 , 1 , 2 , 3 } Nếu a đồng dư 2 ( mod 10 ) thì a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 ) Nếu a đồng dư 3 ( mod 10 ) thì a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 ) _ Tìm 2 chữ số tận cùng của a^n Ta có nhận xét sau : 2^20 đồng dư 76 ( mod 100 ) 3^20 đồng dư 1 ( mod 100 ) 6^5 đồng dư 76 ( mod 100 ) 7^4 đồng dư 01 ( mod 100 ) Mà 76^n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n >= 1 và 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >= 2 Suy ra kết quả sau với k là các số tự nhiên khác 0 : a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 ) a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) a^20k đồng dư 76 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 ) Vậy túm lại , để tìm 2 chữ số tận cùng của a^n ta lấy số mũ 2 chia cho 20 _ Ta có : a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) a^100k đồng dư 001 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 ) a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 ) Túm lại , để tìm 3 chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ . Nhưng dù sao đi chăng nữa thì cái nguyên tắc Để tìm n chữ số tận cùng của a^b thì ta tìm số dư của a^b với 10^n Bµi 1: a) T×m ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña sè: 2006 103N = b) T×m ch÷ sè hµng tr¨m cña sè: 2007 29P = Giải: a) Ta có: 1 2 3 4 5 103 3(mod10); 103 9(mod10); 103 3 9 27 7(mod10); 103 21 1(mod10); 103 3(mod10); ì = Nh vậy các luỹ thừa của 103 có chữ số tận cùng liên tiếp là: 3, 9, 7, 1 (chu kỳ 4). 2006 2(mod 4) , nên 2006 103 có chữ số hàng đơn vị là 9. b) Tìm chữ số hàng trăm của số: 2007 29P = 1 2 3 4 5 6 29 29( 1000); 29 841(mod1000); 29 389(mod1000);29 281(mod1000); 29 149(mod1000);29 321(mod1000); Mod ( ) 2 10 5 2 20 2 40 80 29 29 149 201(mod1000); 29 201 401(mod1000); 29 801(mod1000);29 601(mod1000); = 100 20 80 29 29 29 401 601 1(mod1000);= ì ì ( ) 20 2000 100 20 2007 2000 6 1 29 29 1 1(mod1000); 29 29 29 29 1 321 29(mod1000) 309(mod1000); = = ì ì ì ì = Chữ số hàng trăm của số: 2007 29P = là 3 *tỡm ch s tn cựng ca s: [QUOTE] Bi ny nu lm thụng thng thỡ cc kỡ rc ri . Lm cỏch ny xem ! Rừ rng Ta cú : ng d ng d ng d ng d dng d chia ht cho nờn 8 ch s tn cựng ca v ging nhau Dựng mỏy tớnh dc ch s tn cựng ca l Bài 12: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: A = 2 1999 + 2 2000 + 2 2001 Giải: Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, thực hiện theo quy trình nh bài 11), ta đợc kết quả sau: 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2 11 2 12 2 (4 8 16 32 64 28 56 12 24 48 96 2 13 2 14 2 15 2 16 2 17 2 18 2 19 2 20 2 21 2 22 2 23 2 24 92 84 68 36 72 44 88 76 52) (4 8 16 các số d lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số 4 đến số 52). Ta có: 1999 19 (mod 20) số d khi chia 2 1999 cho 100 là 88 2000 0 (mod 20) số d khi chia 2 2000 cho 100 là 76 2001 1 (mod 20) số d khi chia 2 2001 cho 100 là 52 88 + 76 + 52 = 216 16 (mod 100) số d của A = 2 1999 + 2 2000 + 2 2001 khi chia cho 100 là 16 hay hai chữ số cuối cùng của số A là 16. Bài 13: Chứng minh rằng ( ) 2004 8 14 +10 chia hết cho 11 Giải: - Ta có: 14 3 (mod 11) ( ) 2004 8 14 ( ) 2004 8 3 (mod 11) Do 3 8 = 6561 5 (mod 11), nên ( ) 2004 8 3 = 6561 2004 5 2004 (mod 11) Xét sự tuần hoàn của các số d khi chia luỹ thừa của 5 cho 11: 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 . (5 4 9 1) (5 4 9 1) . 5 2004 = (5 4 ) 501 1 501 (mod 11) 1 (mod 11) (1) Mặt khác: 10 10 (mod 11) (2) Cộng vế với vế phép đồng d (1) và (2) có: 2004 8 14 +10 11 (mod 11) 0 (mod 11) 2004 8 14 +10 chia hết cho 11. Bài 14: Chứng minh rằng số 222 555 + 555 222 chia hết cho 7. Giải: 1) Trớc hết tìm số d của phép chia 222 555 cho 7: - Vì 222 = 7 x 31 + 5, nên 222 5 (mod 7) 222 555 5 555 (mod 7) - Xét sự tuần hoàn của các số d khi chia luỹ thừa của 5 cho 7: 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 . (5 4 6 2 3 1) (5 4 . 5 555 = 5 6.92 + 3 = (5 6 ) 92 .5 3 5 3 6 (mod 7) (1) Vậy số d khi chia 222 555 cho 7 là 6. 2) Tơng tự, tìm số d của phép chia 555 222 cho 7: - Vì 555 = 7 x 79 + 2, nên 555 2 (mod 7) 555 222 2 222 (mod 7) - Xét sự tuần hoàn của các số d khi chia luỹ thừa của 2 cho 7: 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 . (2 4 1 2 4) (2 4 1 . 2 222 = 2 3.74 = (2 3 ) 74 1 74 1 (mod 7) (2) Vậy số d khi chia 555 222 cho 7 là 1. Cộng vế với vế các phép đồng d (1) và (2), ta đợc: 222 555 + 555 222 6 + 1 0 (mod 7) Vậy số 222 555 + 555 222 chia hết cho 7. Chuyen 2 Chuyn s thp phõn vụ hn tun hon, khụng tun hon sang phõn s Chuyn s thp phõn tun hon sang phõn s Cụng thc tng quỏt õy: * Dng 1/ Vớ d Ta cú: (123 gm 3 s) *Dng 2/ Vớ d Ta cú: gm 4 s), (36 gm 2 s) Chuyển số thập phân không tuần hoàn sang phân số VD 1: A=0.152647975 . 1/A=6.551020412 gán A A-6=0.551020412 gán A 1/A=1.814814804 gán A A*999=1812.999989 gán A Làm tròn A=1813 A/999=1813/999=49/27 gán A 1/A=27/49 gán A A+6=321/49 gán A (hồi nãy trừ 6 thì bây giờ cộng 6) 1/A=49/321 gán A Kết quả A=0.152647975 .=49/321