C. LIÊN PHÂN SỐ: CÁC DẠNG TOÁN VỀ LIÊN PHÂN SỐ 1. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA LIÊN PHÂN SỐ:  Ví dụ1: Viết kết quả của các biểu thức sau dưới dạng phân số a) 20 1 2 1 3 1 4 5 A = + + + b) 2 1 5 1 6 1 7 8 B = + + + c) 2003 3 2 5 4 7 6 8 C = + + + Giải:  Ví dụ2: Tìm các số tự nhiên a và b biết Giải:  Ví dụ3: Tìm các số tự nhiên a và b biết Giải:  Ví dụ4: Giải: Bài tập áp dụng: Bài 1: Tính giá trị của biểu thức sau: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: 2. TÌM SỐ TRONG LIÊN PHÂN SỐ:  Ví dụ1: Tìm các số tự nhiên a và b biết 329 1 1 1051 3 1 5 1 a b = + + +  Ví dụ2: Tìm các số tự nhiên a, b, c, d, e biết: 5584 1 a 1 1051 b 1 c 1 d e = + + + + Giải: Ta có 5584 1 5 1 1051 3 1 5 1 7 9 = + + + + a=5 b=3 c =5 d=7 e=9  Ví dụ3: Tìm các số tự nhiên a và b biết 329 1 1 1051 3 1 5 1 a b = + + + Giải:  Ví dụ4: Tìm các số tự nhiên a và b biết 329 1 1 1051 3 1 5 1 a b = + + + Giải: 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LIÊN PHÂN SỐ: 1. Ví dụ1: Tìm x biết : 3 381978 3 382007 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 1 8 1 x = + + + + + + + + + + Giải: (lập quy trình 2điểm; Kết quả 3 điểm) Lập quy trình ấn liên tục trên máy fx- 500 MS hoặcfx-570MS 381978 ÷ 382007 = 0.999924085 Ấn tiếp phím 1 − x × 3 - 8 và ấn 9 lần phím = . Lúc đó ta được x Ans + = 1 1 tiếp tục ấn Ans 1 − x - 1 = Kết quảø : x = - 1.11963298 2. Ví dụ2: Giải:  Ví dụ3: Tìm các số tự nhiên a và b biết 329 1 1 1051 3 1 5 1 a b = + + + Giải:  Ví dụ4: Tìm các số tự nhiên a và b biết 329 1 1 1051 3 1 5 1 a b = + + + Giải: Bài tập áp dụng: 1. Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình: 1 1 1 . 4 3 2 1 2 3 1 5 3 1 4 5 1 7 4 2 6 7 8 9 x         = + +   + + +   + + +     + + III. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LIÊN PHÂN SỐ. Bài 1: Cho 12 30 5 10 2003 A = + + . Viết lại 1 1 1 1 1 . o n n A a a a a − = + + + + Viết kết quả theo thứ tự [ ] [ ] 0 1 1 , , ., , ., ., ., . n n a a a a − = Giải: Ta có 12 12.2003 24036 4001 1 30 3 30 30 1 31 5 20035 20035 20035 20035 10 2003 4001 A = + = + = + = + + = + + 1 31 30 5 4001 = + + . Tiếp tục tính như trên, cuối cùng ta được: 1 31 1 5 1 133 1 2 1 1 1 2 1 1 2 A = + + + + + + + Viết kết quả theo ký hiệu liên phân số [ ] [ ] 0 1 1 , , ., , 31,5,133,2,1,2,1,2 n n a a a a − = Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau và biểu diễn kết quả dưới dạng phân số: 31 1 2 1 3 1 4 5 A = + + + ; 10 1 7 1 6 1 5 4 B = + + + ; 2003 2 3 4 5 8 7 9 C = + + + Đáp số: A) 2108/157 ; B) 1300/931 ; C) 783173/1315 Riêng câu C ta làm như sau: Khi tính đến 2003: 1315 391 . Nếu tiếp tục nhấn x 2003 = thì được số thập phân vì vượt quá 10 chữ số. Vì vậy ta làm như sau: 391 x 2003 = (kết quả 783173) vậy C = 783173/1315. Bài 3: a) Tính 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = + + + + + + + b) 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 B = + − + − + − c) 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 9 C = + + + + + + + + d) 1 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 8 2 9 D = + + + + + + + + Bài 4: a) Viết quy trình tính: 3 1 17 12 5 1 23 1 1 1 3 12 1 17 7 2002 2003 A = + + + + + + + + b) Giá trị tìm được của A là bao nhiêu ? Bài 5: Biết 2003 1 7 1 273 2 1 1 1 a b c d = + + + + + . Tìm các số a, b, c, d. Bài 6: Tìm giá trị của x, y. Viết dưới dạng phân số từ các phương trình sau: a) 4 1 1 1 4 1 1 2 3 1 1 3 2 4 2 x x + = + + + + + + ; b) 1 1 1 2 1 1 3 4 5 6 y y = + + + + Hướng dẫn: Đặt A = 1 1 1 1 2 1 3 4 + + + , B = 1 1 4 1 3 1 2 2 + + + Ta có 4 + Ax = Bx. Suy ra 4 x B A = − . Kết quả 844 12556 8 1459 1459 x = − = − . (Tương tự y = 24 29 ) Bài 7: Tìm x biết: 3 381978 3 382007 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 1 8 1 x = + + + + + + + + + + Lập quy trình ấn liên tục trên fx – 570MS, 570ES. 381978 : 382007 = 0.999924085 Ấn tiếp phím x -1 x 3 – 8 và ấn 9 lần dấu =. Ta được: 1 1 Ans x = + . Tiếp tục ấn Ans x -1 – 1 = Kết quả : x = -1,11963298 hoặc 17457609083367 15592260478921    ÷   Bài 8: Thời gian trái đất quay một vòng quanh trái đất được viết dưới dạng liên phân số là: 1 365 1 4 1 7 1 3 1 5 1 20 6 + + + + + + . Dựa vào liên phân số này, người ta có thể tìm ra số năm nhuận. Ví dụ dùng phân số 1 365 4 + thì cứ 4 năm lại có một năm nhuận. Còn nếu dùng liên phân số 1 7 365 365 1 29 4 7 + = + thì cứ 29 năm (không phải là 28 năm) sẽ có 7 năm nhuận. 1) Hãy tính giá trị (dưới dạng phân số) của các liên phân số sau: a) 1 365 1 4 1 7 3 + + + ; b) 1 365 1 4 1 7 1 3 5 + + + + ; c) 1 365 1 4 1 7 1 3 1 5 20 + + + + + 2) Kết luận về số năm nhuận dựa theo các phân số vừa nhận được. IV. Dạng 4: LIÊN PHÂN SỐ Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó. Bài toán: Cho a, b (a > b)là hai số tự nhiên. Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, phân số a b có thể viết dưới dạng: 0 0 0 0 b a 1 a a b b b b = + = + Vì b 0 là phần dư của a khi chia cho b nên b > b 0 . Lại tiếp tục biểu diễn phân số 1 1 1 0 0 0 1 bb 1 a a b b b b = + = + Cứ tiếp tục quá trình này sẽ kết thúc sau n bước và ta được: 0 0 0 1 n 2 n b a 1 a a 1 b b a 1 .a a − = + = + + + . Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng liên phân số. Mỗi số hữu tỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng liên phân số, nó được viết gọn [ ] 0 1 n a ,a , .,a . Số vô tỉ có thể biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn bằng cách xấp xỉ nó dưới dạng gần đúng bởi các số thập phân hữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số. Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số 0 1 n 1 n 1 a 1 a 1 .a a − + + + về dạng a b . Dạng toán này được gọi là tính giá trị của liên phân số. Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách nhanh chóng dạng biểu diễn của liên phân số đó. Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn lần lượt b/ c b/ c b/ c n 1 n n 2 0 a 1 a a a 1 a Ans .a 1 a Ans − − + = + = + = Ví dụ 1: (Vô địch toán New York, 1985) Biết 15 1 1 17 1 1 a b = + + trong đó a và b là các số dương. Tính a,b? -- Giải -- Ta có: 15 1 1 1 1 17 2 1 1 17 1 1 1 15 1 15 15 7 2 2 = = = = + + + + . Vậy a = 7, b = 2. Ví dụ 2: Tính giá trị của 1 A 1 1 2 1 3 2 = + + + -- Giải - Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím: b/ c b/ c b/ c b / c 3 1 a 2 2 1 a Ans 1 1 a Ans SHIFT a+ = + = + = 23 ( ) 16 Nhận xét:  Dạng toán tính giá trị của liên phân số thường xuất hiện rất nhiều trong các kỳ thi nó thuộc dạng toán kiểm tra kỹ năng tính toán và thực hành. Trong các kỳ thi gần đây, liên phân số có bị biến thể đi đôi chút ví dụ như: 8,2 A 2,35 6,21 2 0,32 3,12 2 = + + + với dạng này thì nó lại thuộc dạng tính toán giá trị biểu thức. Do đó cách tính trên máy tính cũng như đối với liên phân số (tính từ dưới lên, có sử dụng biến nhớ Ans). Bài tập tổng hợp Bài 1: (Thi khu vực lớp 9, 2002) Tính và viết kết quả dưới dạng phân số: 5 1 A 3 B 7 4 1 2 3 5 1 2 3 4 1 2 3 5 4 2 3 = + = + + + + + + + + Bài 2: (Thi khu vực lớp 9, 2003) a. Tính và viết kết quả dưới dạng phân số: 20 2 A B 1 1 2 5 1 1 3 6 1 1 4 7 5 8 = = + + + + + + b. Tìm các số tự nhiên a và b biết: 329 1 1 1051 3 1 5 1 a b = + + + Bài 3: (Thi khu vực 2004, lớp 9) Tìm giá trị của x, y từ các phương trình sau: a. x x 4 1 1 1 4 1 1 2 3 1 1 3 2 4 2 + = + + + + + + b. y y 1 1 1 2 1 1 3 4 5 6 + + + + + Bài 4: (Thi khu vực, 2001, lớp 6 - 7) Lập qui trình bấm phím để tính giá trị của liên phân số sau [ ] M 3,7,15,1,292= và tính Mπ− ? Bài 5: (Thi khu vực, 2001, lớp 6 – 7, dự bị) a. Lập qui trình bấm phím để tính giá trị của liên phân số sau [ ] M 1,1,2,1,2,1,2,1= và tính 3 M− ? b. Tính và viết kết quả dưới dạng phân số: 1 1 A 1 1 5 2 1 1 4 3 1 1 3 4 2 5 = + + + + + + + Bài 6: (Sở GD Hải Phòng, 2003 - 2004) Cho 12 A 30 5 10 2003 = + + Hãy viết lại A dưới dạng [ ] 0 1 n A a ,a , .,a= ? Bài 7: Các số 2, 3 , π có biểu diễn gần đúng dưới dạng liên phân số như sau: [ ] 2 1,2,2,2,2,2 ;= [ ] [ ] 3 1,1,2,1,2,1 ; 3,17,15,1,292,1,1,1,2,1,3= π = . Tính các liên phân số trên và só sánh với số vô tỉ mà nó biểu diễn? Bài 8: (Phòng GD Bảo Lâm – Lâm Đồng) Tính và viết kết quả dưới dạng phân số 4 D=5+ 4 6+ 4 7+ 4 8+ 4 9+ 10 LIÊN PHÂN SỐ LIÊN PHÂN SỐ Liên phân số là số có dạng: Liên phân số là số có dạng: *Các dạng toán về liên phân số: *Các dạng toán về liên phân số: 1. Tính giá trị của liên phân số. 1. Tính giá trị của liên phân số. 2. Tìm số trong liên phân số. 2. Tìm số trong liên phân số. 3. Giải ph 3. Giải ph ơng trình có liên quan đến liên phân số. ơng trình có liên quan đến liên phân số. Ví dụ: Ví dụ: a c b e c h g i . + + + + Bài1: Tính 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2007 − + − + −= A và .20082008,0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 .20072007,0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 − + − + + − + − + += B Bài 2 Tìm a, b, c, d, e biết 3 1 1 1 1 1 1 5 364 2007 + + + + + += e d c b a Bài 3. a)Tính giá trị của x từ phương trình sau: 2 1 2 1 3 1 4 4 1 3 1 2 1 1 4 + + + = + + + + xx b)Tìm các số tự nhiên a và b biết rằng: b a 1 1 5 1 3 1 1051 329 + + + = Bài 4Tìm các số tự nhiên a, b, c, d, e biết 20032004 1 a 1 243 b 1 c 1 d e = + + + + Bài 5. Viết kết quả của các biểu thức sau dưới dạng phân số 5 1 4 1 3 1 2 20 + + + =A 8 1 7 1 6 1 5 2 + + + =B 8 7 6 5 4 3 2 2003 + + + =B Bài 6Thời gian mà quả đất quay một vòng quanh mặt trời được viết dưới dạng : 20 1 5 1 3 1 7 1 4 1 365 + + + + + Dựa vào liên phân số này, người ta có thể tìm ra số năm nhuận. Thí dụ, dùng liên phân số 4 1 365 + thì cứ 4 năm lại có 1 năm nhuần, còn nếu dùng liên phân số 29 7 365 7 1 4 1 365 = + + thì cứ 29 năm sẽ có 7 năm nhuần 1. hãy tính giá trị của liên phân số (dưới dạng phân số) a. 3 1 7 1 4 1 365 + + + b. 5 1 3 1 7 1 4 1 365 + + + + 2. Kết luận về số năm nhuận theo các phân số nhận được Bài 7 Tìm a và b thuộc số tự nhiên thoả 2007 1 1 6559 3 1 3 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 3 = + + + + + + + +a b Bài 8Tính giá trị biểu thức 3 1 17 12 5 1 23 1 1 1 3 12 1 17 7 2008 2007 C = + + + + + + + + Bài 9 a) Tính giá trị của các biểu thức sau và chỉ biểu diễn kết quả dưới dạng phân số và điền kết quả vào ô vuông . 10 1 2 1 3 1 4 5 A = + + + 2 1 5 1 6 1 7 8 B = + + + 2005 3 2 5 4 7 6 8 C = + + + b) Tìm các số tự nhiên a và b và điền kết quả vào ô vuông , biết 2108 1 13 1 157 2 1 2 2 a b = + + + +