Các bài toán về đa thức 1.Xét đa thức P(x). Ta có các dạng toán sau: 1. Tính P(a). 2. Xét xem một số có là nghiệm của đa thức không. 3. P(x)= G(x).(x-a)+r. Do đó r=P(a) là số d của phép chia P(x) cho a. 4. Tìm điều kiện của tham số để P(x) thỏa mãn một số điều kiện nào đó. 2. Bài tập Bài 1. Xỏc định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax 3 + bx 2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số dư là 3. Hướng dẫn: Bài 1 Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r ⇒ P(a) = r Vậy P(13) = a.13 3 + b.13 2 + c.13 – 2007 = 1 P(3) = a.3 3 + b.3 2 + c.3 – 2007 = 2 P(14) = a.14 3 + b.14 2 + c.14 – 2007 = 3 Tính trên máy và rút gọn ta được hệ ba phương trình : 2197. 169 13. 2008 27 9 3 2009 2744 196 14 2010 a b c a b c b c + + =   + + =   + + =  Tính trên máy được :a = 3,693672994 ≈ 3,69 b = –110,6192807 ≈ –110,62 c = 968,2814519 ≈ 968,28 Bài 2. Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức. Q(x) = x 5 + ax 4 – bx 3 + cx 2 + dx – 2007 Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45. Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9, 21, 33, 45 Bài 2 Tính giá trị của P(x) tại x = 1, 2, 3, 4 ta được kết quả là : 1+a-b+c+d-2007=9 a-b+c+d=2015 (1) 32+16a-8b+4c+2d-2007=21 16a-8b+4c+2d=1996 (2) 243+81a-27b+9c+3d-2007=33 81a-27b+9c+3d=1797 (3) 1024+256a-64b+16c+4d-2007=45 256a-64b+16c    ⇔     +4d=1028 (4)        Lấy hai vế của phương trình (1) lần lượt nhân với 2, 3, 4 rồi trừ lần lượt vế đối vế với phương trình (2), phương trình (3), phương trình (4), ta được hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn : -14a+6b-2c=2034 -78a+24b+6c=4248 -252a+60b-12c=7032      Tính trên máy được a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2972,5 và d = 4211 Ta có P(x)=x 5 – 93,5x 4 + 870x 3 -2972,5x 2 + 4211x – 2007 Q(1,15) = 66,15927281 ≈ 66,16 Q(1,25) = 86,21777344 ≈ 86,22 Q(1,35) = 94,91819906 ≈ 94,92 Q(1,45) = 94,66489969 ≈ 94,66 Bài 3 Cho P(x) = x 4 + 5x 3 - 4x 2 + 3x - 50. Gọi r 1 là phần dư của phép chia P(x) cho x - 2 và r 2 là phần dư của phép chia P(x) cho x - 3. Viết quy trình tính r 1 và r 2 sau đó tìm BCNN(r 1 ;r 2 ) ? Bài 4. Cho đa thức P(x) = x 3 + ax 2 + bx + c. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9. Hãy viết quy trình để tính P(9) và P(10) ? Bài 5 Cho đa thức P(x) = x 3 + ax 2 + bx + c. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x – 4 ? b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ? Bài 6 Cho các đa thức F(x)= x 4 +5x 3 -4x 2 +3x+a G(x)=-3x 4 +4x 3 -3x 2 +2x+b; H(x)=5x 5 -x 4 -6x 3 +27x 2 -54x+32 a)Tìm a, b để F(x) và G(x) có nghiệm chung là x=0,25 b)Sử dụng các phím nhớ, lập quy trình bấm phím tìm số dư trong phép chia Q(x) cho 2x+3. Bài 7 a)Cho f(x) = 2x 6 -4x 5 +7x 4 -11x 3 -8x 2 +5x-2007. Gọi r 1 và r 2 lần lượt là số dư của phép chia f(x) cho x-1,12357 và x+0,94578. Tính B=0,(2006)r 1 -3,(2007)r 2 . b)Cho f(x) = x 5 +x 2 +1 có 5 nghiệm là x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 và P(x) = x 2 -7. Tính P(x 1 )P(x 2 )P(x 3 )P(x 4 )P(x 5 ). Bµi 8 Cho đa thức ( ) 5 4 3 2 3 4 5 6P x x x x x x m= − + − + + a) Tìm số dư r trong phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005 b) Tìm giá trị m 1 để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5 c) Tìm giá trị m 2 để đa thức P(x) có nghiệm x = 3 Bµi 9 Cho đa thức ( ) 3 2 P x x bx cx d= + + + và cho biết P(1) = - 15 , P(2) = - 15 , P(3) = - 9 a) Tìm các hệ số b, c , d của đa thức P(x) . b) Tìm số dư r 1 trong phép chia P(x) cho (x – 4) c) Tìm số dư r 2 trong phép chia P(x) cho (2x + 3) ( chính xác đến 2 chữ số ở phần thập phân ) Bµi 10 Cho đa thức ( ) 4 3 2 P x x ax bx cx d= + + + + và cho biết P(1) = - 5 , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = 1 a) Tìm các hệ số a , b, c , d của đa thức P(x) . b) Tính các giá trị của P(22) , P(23) , P(24) , P(25) . c) Viết lại P(x) với hệ số là các số nguyên Tìm số dư r 1 trong phép chia P(x) cho (7x -5) ( chính xác đến 5 chữ số ở phần thập phân ) . Bµi 11 a) Cho đa thức ( ) 4 3 2 P x x ax bx cx d= + + + + và cho biết P(1) = 0 , P(2) = 4 , P(3) = 18 , P(4) = 48 . Tính P(2007) ? b) Cho đa thức ( ) 4 3 2 5 4 3 50P x x x x x= + − + − . Gọi r 1 là phần dư của phép chia P(x) cho x – 2 và r 2 là phần dư của phép chia P(x) cho x – 3 . Tìm BCNN ( r 1 , r 2 ) ? Bµi 12 Cho đa thức P(x) = x 3 + ax 2 + bx + c a) Tìm a , b , c biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá trị tương ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653 b) Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 12x – 1 c) Tìm giá trị của x khi P(x) có giá trị là 1989