BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES-ZARATI MODULO p LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES-ZARATI MODULO p CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Phản biện 1: PGS TS LÊ MINH HÀ Phản biện 2: TS NGUYỄN LÊ CHÍ QUYẾT Phản biện 3: PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN HỒNG CHƠN PGS TS NGUYỄN SUM BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 Lời cam đoan Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Phan Hoàng Chơn PGS TS Nguyễn Sum Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi Các kết luận án trung thực, đồng tác giả thầy hướng dẫn cho phép sử dụng đưa vào luận án chưa công bố trước TM Tập thể hướng dẫn Khoa học Tác giả PGS TS Phan Hồng Chơn Phạm Bích Như i Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn tận tình hướng dẫn giúp đỡ PGS TS Phan Hoàng Chơn, PGS TS Nguyễn Sum nhiều người khác Nhân dịp xin gửi lời tri ân đến tất người giúp đỡ Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Phan Hoàng Chơn, người thầy, người anh người bạn đồng hành động viên suốt trình học tập nghiên cứu sinh Mặc dù bận rộn thầy kiên trì giảng dạy, hướng dẫn cho kiến thức Tôpô đại số tuần suốt năm Nếu khơng có thầy tơi khơng thể có tâm để theo đuổi việc học tập nâng cao trình độ Tơi xin bày tỏ lời tri ân sâu sắc PGS TS Nguyễn Sum, thầy giảng dạy, hướng dẫn cho tơi nhiều ý kiến đóng góp q báu chun mơn định hướng nghiên cứu Thầy người nghiêm túc học thuật lại gần gũi, giản dị sống nhân duyên để trở thành nghiên cứu sinh Trường Đại học Quy Nhơn Lời cảm ơn chân thành gửi đến PGS TS Lê Cơng Trình, thầy động viên hướng dẫn thủ tục cần thiết để tơi hồn thành chương trình học Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau đại học q Thầy, Cơ Khoa Tốn tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt việc học tập trường Xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Cần Thơ, Khoa Khoa học Tự nhiên, q thầy Bộ mơn Tốn chia sẻ công việc, động viên giúp đỡ nhiều để tơi thuận lợi hồn thành việc học tập nâng cao trình độ Cảm ơn chị Dương Thị Tuyền thấu hiểu cho em lời khuyên chân thành ii Xin cảm ơn anh, chị, em học nghiên cứu sinh Trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt hai cô em gái dễ thương TS Dư Thị Hịa Bình TS Lưu Thị Hiệp, sát cánh động viên, giúp đỡ nhiều cho từ ngày đầu Quy Nhơn học tập để tơi vượt qua khó khăn có thêm động lực hồn thành tốt chương trình nghiên cứu sinh Lời cuối cùng, tơi muốn cảm ơn đến đại gia đình tơi ln chia sẻ, động viên tơi lúc khó khăn, đặc biệt tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến mẹ tôi, người sinh tôi, suốt đời hy sinh cho chị em Cảm ơn mẹ chăm sóc cháu để yên tâm học tập Cảm ơn chồng ủng hộ định em Cảm ơn hai cho mẹ thêm động lực để mẹ không ngừng cố gắng Bình Định, 2021 Tác giả, Phạm Bích Như iii Các ký hiệu dùng luận án D[s]: Không gian tất bất GLs : Nhóm tuyến tính tổng quát, 17 H n (X, F2 ): Đối đồng điều thứ n X biến tác động GLs Fp [y1 , , ys ], 18 lấy hệ số F2 , 12 Es = (Z/p)s : Không gian véctơ s chiều Hs (M ): Đồng điều thứ s M , 20 hay p-nhóm abel sơ cấp hạng s, N # : Đối ngẫu N , 4, 15, 17, 28 P i : Lũy thừa Steenrod bậc i Fp , 1, P (F2 ⊗GLs H∗ (BEs )): Đối ngẫu 12 đại số Dickson F2 ⊗A D[s], 44 QX: Không gian vịng lặp vơ hạn Ps = H ∗ BEs : Đối đồng điều không X, gian phân loại BEs , 15, 17 Ss : Lũy thừa toàn thể ổn định , 20 Sq i : Toán tử Steenrod bậc i F2 , 1, Sq : Toán tử squaring, 77 TorA ∗,∗ (Fp , M ): Đồng điều đại số 11 Steenrod lấy hệ số A -mơđun Sts : Lũy thừa tồn thể (không ổn định) M , 16, 20, 22, 35 , 29, 31, 35 ∗,∗ A : Đại số Steenrod trường Fp , 1, ExtA (M, Fp ): Đối đồng điều đại số Steenrod lấy hệ số A - 13, 14 A∗ : Đối ngẫu đại số Steenrod mô đun M , 4, 17 Ext∗,∗ (F2 , F2 ): Đối đồng điều đại A trường Fp , 14 Ds (−): Dẫn xuất thứ s hàm tử D , số Steenrod lấy hệ số trường 16, 35, 36 F2 , 10, 77 Ext∗,∗ (Fp , Fp ): Đối đồng điều đại A Ds : Dẫn xuất thứ s hàm tử D , 15 H ∗ (BZ/p): Đối đồng điều thu gọn số Steenrod lấy hệ số trường không gian phân loại p-nhóm Fp , 2, 4, 51, 52 ∗,∗ ExtA (H ∗ (BZ/p), Fp ): Đối đồng điều abel sơ cấp, 4, 6, 75 P : Biểu diễn mức độ dây chuyền của đại số Steenrod lấy hệ số H ∗ (BZ/p), 8, 47, 60, 73 P , 44, 45, 48 Γ+ M : Phức dây chuyền A -môđun BEs : Không gian phân loại Es , 15, M , 4, 20, 21 17 iv Λ: Đại số Lambda, 5, 23, 24 Rs : Hàm tử Singer , 15 Λs : Không gian Λ sinh tất Rs M : Xây dựng Singer, 2, 4, 16, 29, đơn thức có độ dài s, 31–33, 35, 36, 76 P : Toán tử lũy thừa, 44, 76 23 π∗S (S0 ): Nhóm đồng luân ổn định Σs M : Treo thứ s M , 14, 15, 36 Σpn : Nhóm đối xứng tác động lên tập mặt cầu, # Ann(N ): Không gian N # bao sở Es , 5, 28 β: Toán tử Bockstein, 1, 12, 45 gồm tất phần tử triệt tiêu F2 : Trường số có phần tử, tác động phần tử bậc Fp : Trường có đặc số p lẻ, 1, 12 dương A , 2, 51, 52 H ∗ RP ∞ : Đối đồng điều thu gọn Z/p: Σps -môđun tầm thường Z/p, không gian xạ ảnh vô hạn chiều, 28 B [s]: Ảnh ánh xạ hạn chế từ đối H ∗ RP n : Đối đồng điều thu gọn không đồng điều nhóm đối xứng Σpn đến đối đồng điều p- gian xạ ảnh n chiều, H∗ (BZ/p): Đồng điều thu gọn khơng nhóm abel sơ cấp lấy hệ số Z/p, 29 gian phân loại p-nhóm abel M: Phạm trù A -môđun trái sơ cấp, 47, 58 phân bậc, 14 Pˆ : A -môđun mở rộng P1 , 16, 38 R: Đại số Dyer-Lashof modulo p, 3, 5, 24, 47 Rs : Không gian R, 6, 24, 52, 58 U: Phạm trù tất A -môđun không ổn định, 14, 15, 38 Z/p: Σps -môđun Z/p thông qua tác động dấu, 28 B [s]: Ảnh ánh xạ hạn chế từ đối đồng điều nhóm đối xứng Σpn đến đối đồng điều pnhóm abel sơ cấp lấy hệ số Z/p, 5, 24, 28, 30, 37, 51, 52 D : Hàm tử bất ổn định hóa, 15, 16 v Mục lục Mục lục vi Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Đại số Steenrod 11 1.2 Môđun đại số Steenrod 14 1.3 Đồng cấu Lannes-Zarati 14 1.4 Phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum 16 1.5 Đại số Lambda đại số Dyer-Lashof 22 1.6 Dãy phổ 24 Chương Biểu diễn dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati 28 2.1 Hàm tử Singer 28 2.2 Biểu diễn mức độ dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati 34 2.3 Chứng minh Mệnh đề 2.2.2 38 2.4 Toán tử lũy thừa 44 2.5 Trường hợp p = 49 2.6 Kết luận Chương 49 Chương Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati 51 3.1 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo p Fp 3.2 Đối đồng điều đại số Steenrod 58 3.3 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo p H ∗ (BZ/p) 3.4 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo F2 H ∗ (BZ/2) 3.5 Kết luận Chương 89 vi 51 75 77 Kết luận 90 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 92 Tài liệu tham khảo 93 vii Mở đầu Các hàm tử đồng điều đối đồng điều kì dị cơng cụ sử dụng để nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân không gian tôpô Tuy nhiên công cụ chưa đủ mạnh để giải toán quan trọng Vào năm 1947 Steenrod [61] xây dựng toán tử đối đồng điều sau với số nguyên i ≥ Sq i : H n (X, F2 ) → H n+i (X, F2 ), X khơng gian tơpơ, F2 trường có phần tử 0, H ∗ (X, F2 ) đối đồng điều X trường F2 Toán tử Sq i gọi tốn tử Steenrod bậc i hay bình phương Steenrod bậc i Toán tử tác động cách tự nhiên đối đồng điều X với hệ số F2 Đến năm 1952, Steenrod [60] mở rộng kết cho trường hợp p số nguyên tố lẻ Cụ thể với số nguyên không âm i, Steenrod xây dựng toán tử P i : H q (X, Fp ) → H q+2(p−1)i (X, Fp ), P i gọi lũy thừa Steenrod Từ tốn tử đối đồng điều trở thành công cụ quan trọng sử dụng để nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân Các toán tử toán tử đối đồng điều ổn định Đại số sinh toán tử Steenrod Sq i , i ≥ (trường hợp p = 2); lũy thừa Steenrod P i với i ≥ toán tử Bockstein β (trường hợp p > 2) gọi đại số Steenrod, ký hiệu A Sau cơng trình Steenrod, cấu trúc đại số Steenrod Adem [3], Cartan [68], Serre [73] Milnor [47] nghiên cứu cách sâu sắc Một vấn đề quan trọng nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân không gian tôpô xác định nhóm đồng luân, đặc biệt nhóm đồng luân ổn định mặt cầu Trong [1] Adams xây dựng dãy phổ, sau gọi dãy phổ Adams, hội tụ thành phần p-xoắn nhóm đồng luân ổn định mặt cầu (10) A = {D1 (0)λ12 + λ215 λ11 λ7 λ28 + λ47 e0 λ0 } ∈ Ext6,70 A (F2 , F2 );     f λ λ + g λ + ( λ λ λ λ + λ λ λ λ ) 11 31 11 23 15     19 2 2 2 (11) r1 = ∈ Ext6,72 λ7 + λ15 λ9 λ7 λ11 + λ31 [λ7 λ0 λ14 + (λ3 λ9 + λ9 λ3 ) A (F2 , F2 );       λ13 + (λ23 λ11 + λ3 λ9 λ5 )λ11 ]λ7        λ47 λ3 λ2 λ1 λ15 + c2 (λ7 λ12 + λ19 λ0 )λ11  ∈ Ext6,77 (12) x6,77 = +D1 (0)λ19 + λ15 (λ27 λ0 λ7 + λ11 λ19 λ4 A (F2 , F2 );       +λ11 λ23 λ0 )λ7   2     H1 (0)λ14 + λ15 λ11 λ13 + (λ15 λ11 λ15 λ9 + λ15 λ13 λ7         2   + λ λ λ λ λ + D (0) λ + λ λ λ λ + λ λ λ   31 23 4 15 47 47         2 2   + λ λ λ λ + λ λ λ λ + λ λ λ λ + λ λ λ λ 47 10 31 23 47 11 31 23     2 (13) x6,82 = +λ31 λ23 λ5 λ3 + λ47 λ11 λ1 λ5 + λ47 λ3 λ7 λ5 λ3 )λ11       2   +( λ λ λ λ + λ λ λ λ λ + λ λ λ λ + λ λ λ λ λ   47 10 47 47 47 6           + λ λ λ λ λ + λ λ λ λ λ + λ λ λ λ λ 31 23 31 23 15 47          +λ15 λ47 λ4 λ0 λ3 + λ15 λ47 λ2 λ5 + λ2 λ11 λ21 λ7 )λ7  15 ∈ Ext6,82 A (F2 , F2 ); (14) t1 = Sq t ∈ Ext6,84 A (F2 , F2 ); (15) x6,90 = d2 λ15 λ2 + [d2 λ16 + λ31 (λ7 λ23 λ8 + λ23 λ15 λ0 )λ15 + D3 (0)λ23 ]λ1 ∈ Ext6,90 A (F2 , F2 ); (16) C1 = Sq C ∈ Ext6,112 (F2 , F2 ); A    [λ (λ λ λ λ + λ λ λ λ ) + c (λ λ + λ λ )]λ  31 23 15 19 13 31 11 11 7 (17) x6,114 =  +f2 λ15 λ9 + c3 (λ15 λ0 λ8 + λ15 λ2 λ6 + λ15 λ2 ) + λ2 λ2 λ3 λ5  31 19 ∈ Ext6,114 (F2 , F2 ); A (18) G1 = Sq G ∈ Ext6,120 (F , F ) A Trong [30], Hưng-Peterson chứng minh ϕFs triệt tiêu phần tử phân tích với s > Do đó, ta cần chứng minh ϕF6 triệt tiêu phần tử khơng phân tích Ext6,6+t (F2 , F2 ) Để thực yêu cầu này, chứng A minh ảnh chu trình biểu diễn phần tử khơng phân tích # Ext6,6+t (F2 , F2 ) đồng cấu ϕF6 : Λ6 ⊗ F# → (R6 F2 ) tầm thường A Vì phép chiếu tắc π : Λs → Rs đồng cấu đại số nên λI chứa 84 nhân tử có trội âm ϕFs (λI ) = Hơn nữa, tác động Sq Exts,s+t A Rs F2 giao hốn với thơng qua đồng cấu ϕFs Sử dụng quan hệ Adem, ta có λ23 λ1 = λ11 λ13 + λ7 λ17 + λ3 λ21 ; (1’) λ23 λ4 = λ15 λ12 + λ11 λ16 + λ9 λ18 ; (2’) λ47 λ11 = λ31 λ27 + λ23 λ35 ; (3’) λ31 λ3 = λ15 λ19 + λ7 λ27 ; (4’) λ31 λ9 = λ23 λ17 + λ19 λ21 ; (5’) λ31 λ11 = λ23 λ19 ; (6’) λ31 λ7 = λ15 λ23 ; (7’) λ47 λ3 = λ15 λ35 + λ7 λ43 (8’) λ47 λ7 = λ15 λ39 ; (9’) λ27 λ0 = λ13 λ14 + λ11 λ16 + λ5 λ22 + λ3 λ24 + λ1 λ26 ; (10’) λ23 λ0 = λ11 λ12 + λ9 λ14 + λ7 λ16 + λ3 λ20 + λ1 λ22 ; (11’) λ11 λ1 = λ3 λ9 (12’) Bây giờ, ta chứng minh ϕF6 biến 18 phần tử khơng phân tích (từ (1) đến (18)) thành phần tử • Thay (11’) vào (1), kết hợp với kết ϕF4 (e0 ) = 0, ϕF4 (f0 ) = (xem chứng minh Mệnh đề 3.4.1 ) ta có ϕF6 (r) = Khi ϕF6 (r) = • Bằng cách tính trực tiếp ϕF4 (g1 ) = (xem chứng minh Mệnh đề 3.4.1) ta suy ϕF6 (q ) = Vì ϕF6 (q ) = • Từ kết ϕF5 (n0 ) = (xem chứng minh Mệnh đề 3.4.1) trội số hạng cịn lại âm Do ϕF6 (t) = suy ϕF6 (t) = • Bằng cách thay (1’) (2’) vào (4), trội tất số hạng y âm Do ϕF6 (y ) = suy ϕF6 (y ) = • Từ kết ϕF4 (c1 ) = (xem chứng minh Mệnh đề 3.4.1) cách tính trực tiếp, qua đồng cấu ϕF6 ảnh phần tử C tầm thường • Từ kết ϕF5 (D1 (0)) = (xem chứng minh Mệnh đề 3.4.1) cách tính trực tiếp, ảnh phần tử G đồng cấu ϕF6 tầm thường 85 • Từ (3’) (10’), ta có ϕF6 (D2 ) = ϕF6 (λ47 λ11 λ40 ) = ϕF6 (λ31 λ27 λ40 + λ23 λ35 λ40 ) = ϕF6 (λ31 (λ13 λ14 + λ11 λ16 + λ5 λ22 + λ3 λ24 + λ1 λ26 )λ30 + λ23 λ35 λ40 ) = Khi ϕF6 (D2 ) = • Từ kết ϕF5 (D1 (0)) = ϕF4 (d0 ) = (xem chứng minh Mệnh đề 3.4.1) ta có ϕF6 (A) = Do ϕF6 (A) = • Sử dụng (4’), (5’), (6’), (7’) theo chứng minh Mệnh đề 3.4.1) ϕF3 (c2 ) = 0, ϕF4 (f0 ) = 0, ϕF5 (D1 (0)) = nên suy ϕF6 (A ) = Khi ϕF6 (A ) = • Tương tự, lấy (8’), (9’),(12’) D1 (0) thay vào A ta có A = {D1 (0)λ12 + λ215 λ11 λ7 λ28 + λ47 e0 λ0 } = {λ215 λ11 λ7 λ4 λ12 + λ215 λ11 λ7 λ28 + + λ47 (λ33 λ8 + (λ3 λ25 + λ23 λ7 )λ4 + (λ23 λ9 + λ9 λ23 )λ2 )λ0 } = {λ215 λ11 λ7 λ4 λ12 + λ215 λ11 λ7 λ28 + + λ47 (λ33 λ8 + (λ3 λ25 + λ23 λ7 )λ4 + (λ3 λ11 λ1 + λ7 λ5 λ3 )λ2 )λ0 } = {λ215 λ11 λ7 λ4 λ12 + λ215 λ11 λ7 λ28 + (λ15 λ35 + λ7 λ43 )λ23 λ8 + (λ15 λ35 + λ7 λ43 )λ25 + (λ15 λ35 + λ7 λ43 )λ3 λ7 )λ4 + (λ15 λ35 + λ7 λ43 )λ11 λ1 + λ15 λ39 λ5 λ3 )λ2 )λ0 } Rõ ràng trội tất số hạng A âm Do ϕF6 (A ) = suy ϕF6 (A ) = • Vì ϕF4 (f1 ) = 0, ϕF5 (g2 ) = (xem chứng minh Mệnh đề 3.4.1) trội số hạng cịn lại r1 âm Do ϕF6 (r1 ) = suy ϕF6 (r1 ) = • Dựa vào kết ϕF3 (c2 ) = 0, ϕF5 (D1 (0)) = (xem chứng minh Mệnh đề 3.4.1) (8’) Ta dễ dàng chứng minh ϕF6 ảnh x6,77 tầm thường Khi ϕF6 (x6,77 ) = 86 • Vì ϕF5 (H1 (0)) = 0, ϕF5 (D3 (0)) = (xem chứng minh Mệnh đề 3.4.1) quan hệ (3’),(8’) (9’) ta có ϕF6 (x6,82 ) = • Các tác động Sq s Exts,t A (F2 , F2 ) Rs giao hoán với đồng cấu ϕFs Do ϕF6 (t1 ) = ϕF6 (Sq t) = Sq (ϕF6 (t)) = • Từ kết ϕF4 (D3 (0)) = ϕF4 (d2 ) = 0, ta có ϕF6 (x6,90 ) = Do đó, ϕF6 (x6,90 ) = • Tương tự, ϕF6 (C1 ) = ϕF6 (Sq C ) = Sq (ϕF6 (C )) = • Từ kết ϕF3 (c3 ) = ϕF4 (f2 ) = 0, ta có ϕF6 (x6,114 ) = Do đó, ϕF6 (114) = • Cuối cùng, ϕF6 (G1 ) = ϕF6 (Sq G) = Sq (ϕF6 (G)) = Định lý chứng minh Ngồi ra, dùng phương pháp chúng tơi cịn kiểm tra kết Hưng-Tuấn [34] Mệnh đề 3.4.3 (Hưng-Tuấn [34]) H ∗ (BZ/2) (i) Đồng cấu Lannes-Zarati modulo hạng ϕ0 đẳng cấu Ext0A (H ∗ (BZ/2), F2 ) H ∗ (BZ/2) (ii) Đồng cấu Lannes-Zarati modulo hạng ϕ1 đơn cấu Span{hi hj : i ≥ j} triệt tiêu Span{hi hj : i < j} H ∗ (BZ/2) (iii) Đồng cấu Lannes-Zarati modulo hạng s ϕs triệt tiêu tất phần tử có gốc dương ExtsA (H ∗ (BZ/2), F2 ) với ≤ s ≤ Chứng minh Phát biểu (i) (ii) chứng minh cách dễ dàng việc sử dụng Mệnh đề 2.5.2 biểu biễn hi hi hj Λ ⊗ H∗ (BZ/2) (xem Lin [39] ví dụ) Tương tự mệnh đề trên, chứng minh tường minh vài ví dụ, chứng minh chi tiết (iii) thực cách tượng tự 87 H ∗ (BZ/2) Trước tiên, ta chứng minh ϕ2 ci ∈ Ext2,2 A i+3 (ci ) = với i ≥ Từ Lin [39], +2i+1 +2i −1 (H ∗ (BZ/2), F2 ) biểu diễn Λ ⊗ H∗ (BZ/2) chu trình c¯i = (Sq )i (λ23 b[2] ), i ≥ H ∗ (BZ/2) Theo Mệnh đề 2.5.2 Mệnh đề 2.5.1, e(λ23 ) = < nên ϕ2 ∗ H (BZ/2) ϕ2 ∗ H (BZ/2) (c0 ) = Do ϕ2 H (BZ/2) (ci ) = (Sq )i (ϕ2 H ∗ (BZ/2) Tiếp theo, ϕ3 i+4 tử α16 (i) ∈ Ext3,2 A i+2 +2 −1 ∗ (¯ c0 ) = Vì (c0 )) = với i ≥ (α16 (i)) = với i ≥ Từ Lin [39], phần (H ∗ (BZ/2), Fp ) biểu diễn Λ ⊗ H∗ (BZ/2) chu trình α ¯ 16 (i) = (Sq )i (λ27 λ0 b[2] + (λ23 λ9 + λ7 λ5 λ3 )b[1] ), i ≥ H ∗ (BZ/2) Sử dụng Mệnh đề 2.5.2 Mệnh đề 2.5.1, dễ thấy ϕ3 H ∗ (BZ/2) Vì e(Q7 Q7 Q0 ) = < nên ϕ3 ∗ H (BZ/2) ϕ3 H ∗ (BZ/2) γ63 (i) ∈ Ext4,2 A i+1 +2 H ∗ (BZ/2) (¯ α16 (0)) = Vì thế, ϕ3 (α16 (0)) = (α16 (i)) = với i ≥ Cuối cùng, ta thấy ϕ4 i+6 (¯ α16 (0)) = Q7 Q7 Q0 b[2] i +2 −1 (γ63 (i)) = với i ≥ Từ Lin [39], phần tử (H ∗ (BZ/2), F2 ) biểu diễn Λ ⊗ H∗ (BZ/2) chu trình γ¯63 (i) = (Sq )i (λ31 λ7 λ23 λ0 b[2] + λ47 (λ23 λ9 + λ9 λ23 )b[1] + (λ215 λ11 λ21 + λ31 λ7 λ15 λ9 + λ15 λ47 λ20 )b[1] ), i ≥ H ∗ (BZ/2) Bằng phương pháp tương tự, dễ thấy ϕ4 (¯ γ63 (0)) = Q47 Q9 Q3 Q3 b[1] H ∗ (BZ/2) Áp dụng quan hệ Adem, ta có Q9 Q3 Q3 = ∈ R3 , ϕ4 ∗ H (BZ/2) Suy ϕ4 ∗ H (BZ/2) (γ63 (0)) ϕ4 (¯ γ63 (0)) = (γ63 (i)) = với i ≥ Chú ý 3.4.4 Dựa vào Mệnh đề 2.5.1, dễ thấy (F2 ⊗A R1 H ∗ (BZ/2))# sinh i Q2 −1 b[2 j −1] : i ≥ j ∪ (Sq )i j Q2(2 −1) [1] b + Q2 H ∗ (BZ/2) Do đó, đồng cấu Lannes-Zarati hạng ϕ1 88 j+1 −1 [2] b : i ≥ 0, j ≥ khơng phải tồn cấu 3.5 Kết luận Chương Trong chương này, sử dụng kết xây dựng phần trước để khảo sát dáng điệu đồng cấu Lannes-Zarati modulo p ϕM s trường hợp M = Fp trường hợp M = H ∗ (BZ/p) Kết thu F ảnh hoàn toàn ϕs p với ≤ s ≤ (xem Định lý 3.1.1, Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.4) H ∗ (BZ/2) ảnh ϕs với s = 0, (xem Định lý 3.3.1, Định lý 3.3.2) Cuối cùng, sử dụng phương pháp để kiểm tra lại kết ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo công bố tài liệu [72], [25], [27], [32], [30] Kết thu kết tương đồng với kết công bố với phần tính tốn đơn giản (xem Mệnh đề 3.4.1, Mệnh đề 3.4.3) Bên cạnh đó, chúng tơi thu ảnh đồng cấu ϕF6 phần tử khơng phân tích Ext6,6+t (F2 , F2 ) với ≤ t ≤ 114 Chen A [12] tìm vào năm 2013 (xem Định lý 3.4.2) 89 Kết luận Trong luận án này, chúng tơi đạt kết sau đây: # Xây dựng biểu diễn mức độ dây chuyền (ϕM s ) phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum (xem Định lý 2.2.1) biểu diễn dây chuyền ϕM s Λ ⊗ M # với M A -môđun không ổn định (xem Mệnh đề 2.2.5) Các kết sử dụng để tìm nhân ảnh đồng cấu Lannes-Zarati ϕM s với s nhỏ cho trường hợp p lẻ Phát triển toán tử lũy thừa P tác động lên Exts,∗ (Fp , Fp ) (xem Liulevicius [41], A [42] May [19]) Với M = Fp M = H ∗ (BZ/p), tồn toán tử P tác động Exts,∗ (M, Fp ) (Fp ⊗A Rs M )# Hơn A nữa, tốn tử cịn giao hoán với đồng cấu Lannes-Zarati ϕM s (xem Mệnh đề 2.4.3) Kết làm giảm đáng kể việc tính tốn Do đó, tốn tử trở thành công cụ quan trọng để nghiên cứu dáng điệu đồng cấu Lannes-Zarati modulo p Khảo sát dáng điệu đồng cấu Lannes-Zarati modulo p ϕM s trường hợp M = Fp trường hợp M = H ∗ (BZ/p) Kết thu F ảnh hoàn toàn ϕs p với ≤ s ≤ (xem Định lý 3.1.1, Định lý 3.1.2, H ∗ (BZ/p) Định lý 3.1.4) ảnh ϕs với s = 0, (xem Định lý 3.3.1, Định lý 3.3.2) Cuối cùng, kiểm tra lại kết ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo công bố tài liệu [72], [25], [27], [32], [30] Kết thu tương đồng với kết công bố với phần tính tốn đơn giản (xem Mệnh đề 3.4.1, Mệnh đề 3.4.3) Dựa vào kết Chen [12] phần tử khơng phân tích Ext6,6+t (F2 , F2 ) với ≤ t ≤ 114, chúng tơi A tính ảnh phần tử qua đồng cấu Lannes-Zarati modulo hạng theo 90 cách tiếp cận khác, chúng tơi khơng dùng kết toán “hit” D6 Qua đây, kiểm chứng lại kết chứng minh đồng cấu Lannes-Zarati modulo (xem Định lý 3.4.2) Dự kiến nghiên cứu Chúng tiếp tục nghiên cứu dáng điệu đồng cấu Lannes - Zarati modulo p trường hợp s ≥ Chúng dự kiến nghiên cứu đồng cấu chuyển Singer modulo p với p số nguyên tố lẻ 91 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án [1] P H Chơn and P B Như (2019), “On the mod p Lannes-Zarati homomorphism”, Journal of Algebra, 537, 316-342 [2] P H Chơn and P B Như (2020), “The cohomology of the Steenrod algebra and the mod p Lannes-Zarati homomorphism”, Journal of Algebra, 556, 656-695 [3] Pham Bich Nhu (2020), “On behavior of the sixth Lannes-Zarati homomorphism”, East-West Journal of Mathematics, 22, no.1, 1-12 Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: • Hội nghị Khoa Học lần thứ IX Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG TPHCM thời gian từ ngày 09 đến 10/11/2018 • Hội Nghị Tốn học Việt-Mỹ , Quy Nhơn, Bình Định từ ngày 09 đến 14/06/2019 • Hội nghị Tốn học Miền Trung-Tây Ngun lần III, Buôn Ma Thuột, Đắk Lắk, từ ngày 02-04/08/2019 • Báo cáo Seminar Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn, Bình Định 92 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] J F Adams (1958), “On the structure and applications of the Steenrod algebra”, Comment Math Helv., 32, 180-214 [2] J F Adams (1960), “On the non-existence of elements of Hopf invariant one”, Ann of Math., 72, 20-104 [3] J Adem (1952), “The interation of Steenrod squares in algebraic topology”, Proc Nat Acad Sci U.S.A., 38, 720-726 [4] T Aikawa (1980), “3-dimensional cohomology of the mod p Steenrod algebra”, Math Scand., 47, no 1, 91–115 [5] J M Boardman (1993), “Modular representations on the homology of powers of real projective space”, Contemp Math., 146, 49-70 [6] A K Bousfield, E B Curtis, D M Kan, D G Quillen, D L Rector, and J W Schlesinger (1966), “The mod-p lower central series and the Adams spectral sequence”, Topology, 5, 331–342 [7] A K Bousfield and D M Kan (1972),“ The homotopy spectral sequence of a space with coefficients in a ring”, Topology, 11, 79–106 [8] W Browder (1969), “The Kervaire invariant of framed manifolds and its generalization”, Ann of Math., 90, 157-186 [9] R R Bruner (1997), “The cohomology of the mod Steenrod algebra: A computer calculation”, WSU Research Report., 37, 217 pages [10] R R Bruner, L M Hà, and N H V Hưng (2005), “On the behavior of the algebraic transfer”, Trans Amer Math Soc., 357, no 2, 473–487 93 [11] T W Chen (2011), “Determination of Ext5,∗ A (Z/2, Z/2)”, Topology Appl., 158, 660-689 [12] T W Chen (2013),“Indecomposable elements in Ext6,∗ A (Z/2; Z/2)”, Preprint [13] P H Chơn and L M Hà (2011) , “Lambda algebra and the Singer transfer”, C R Acad Sci Paris, Ser I., 349, 21-23 [14] P H Chơn and L M Hà (2012), “On May spectral sequence and the algebraic transfer”, Manuscripta Mathematica, 138, 141-160 [15] P H Chơn and L M Hà (2014), “On the May spectral sequence and the algebraic transfer II”, Topology Appl., 178, 372-383 [16] P H Chơn (2016), “Modular coinvariants and the mod p homology of QS k ”, Proc Lond Math Soc (3) 112, no 2, 351–374 [17] P H Chơn and P B Như (2019), “On the mod p Lannes-Zarati homomorphism”, Journal of Algebra, 537, 316-342 [18] P H Chơn and P B Như (2020), “The cohomology of the Steenrod algebra and the mod p Lannes-Zarati homomorphism”, Journal of Algebra, 556, 656-695 [19] F R Cohen, T J Lada, and J P May (1976), “The homology of iterated loop spaces”, Lecture Notes in Mathematics, Vol 533, Springer-Verlag, Berlin [20] R L Cohen, W H Lin, and M E Mahowald (1988), “The Adams spectral sequence of the real projective spaces”, Pacific J Math 134, no 1, 27–55 [21] M D Crossley (1996), “A(p)-annihilated elements in H∗ (CP ∞ × CP ∞ )”, Math Proc Camb Philos Soc., 120, no 3, 441–453 [22] E B Curtis (1975), “The Dyer-Lashof algebra and the Λ-algebra”, Illinois J Math., 19, 231–246 [23] L E Dickson (1911), “A fundamental system of invariants of the general modular linear group with a solution of the form problem”, Trans Amer Math Soc., 12, no 1, pp 75–98 (English) 94 [24] L M Hà (2007), “Sub-Hopf algebras of the Steenrod algebra and the Singer transfer”, in: Proceedings of the School and Conference in Algebraic Topology, Hà Nội 2004, in: Geom Topol Publ., Conventry, 11, 101-124 [25] N H V Hưng (1997), “Spherical classes and the algebraic transfer”, Trans Amer Math Soc., 349, no 10, 3893–3910 [26] N H V Hưng (2001), “Spherical classes and the Lambda algebra”, Trans Amer Math Soc., 353 , no 11, 4447–4460 (electronic) [27] N H V Hưng (2003), “On triviality of Dickson invariants in the homology of the Steenrod algebra”, Math Proc Cambridge Philos Soc., 134, no 1, 103–113 [28] N H V Hưng (2005), “The cohomology of the Steenrod algebra and representations of the general linear groups”, Trans Amer Math Soc., 357, no 10, 4065–4089 [29] N H V Hưng and T N Nam (2001), “The hit problem for the Dickson algebra”, Trans Amer Math Soc., 353, no 12, 5029–5040 [30] N H V Hưng and F P Peterson (1995), “A -generators for the Dickson algebra”, Trans Amer Math Soc 347, no 12, 4687–4728 [31] N H V Hưng and F P Peterson (1998), “Spherical classes and the Dickson algebra”, Math Proc Camb Phil Soc., 124, 253-264 [32] N H V Hưng, V T N Quỳnh, and N A Tuấn (2014),“On the vanishing of the Lannes-Zarati homomorphism”, C R Math Acad Sci Paris., 352, no 3, 251–254 [33] N H V Hưng and N Sum (1995), “On Singer’s invariant-theoretic description of the Lambda algebra: a mod p analogue”, J Pure Appl Algebra, 99, no 3, 297–329 [34] N H V Hưng and N A Tuấn (2019), “The generalized algebraic conjecture on spherical classes”, Manuscripta Mathematica, 162, 133-157 [35] N H.V Hưng and G Powell (2019), “The A-decomposability of the Singer construction”, Journal of Algebra, 517, 186–206 95 [36] M Kameko (1990), “Products of projective spaces as Steenrod modules”, ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, Thesis (Ph.D.)–The Johns Hopkins University [37] M Kameko (1998), “Generators of the cohomology of BV3 ”, J Math Kyoto Univ., 38, 587-593 [38] N J Kuhn (2018), “Adams filtration and generalized Hurewicz maps for infinite loopspaces”, Invent Math., 214, no 2, 957–998 5,∗ [39] W H Lin (2008), “Ext4,∗ A (Z/2, Z/2) and ExtA (Z/2, Z/2)”, Topology Appl., 155, no 5, 459–496 [40] W H Lin and M Mahowald (1998), “The Adams spectral sequence for Minami’s Định lý”, Contemp Math., 220, 143-177 [41] A Liulevicius (1960), “The factorization of cyclic reduced powers by secondary cohomology operations”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America., 46, no 7, pp 978–981 [42] A Liulevicius (1962), “The factorization of cyclic reduced powers by secondary cohomology operations”, Mem Amer Math Soc No., 42, 112 [43] S MacLane (1963), Homology, 1st edition, Berlin Heidelbeg New York: Spinger [44] J P May (1964), “The cohomology of restricted Lie algebras and of Hopf algebras; applications to the Steenrod algebra”, Princeton University Ph.D [45] J P May (1966), “The cohomology of restricted Lie algebras and of Hopf algebras”, Journal of Algebra, 3, 123-146 [46] J P May (1970), “A general algebraic approach to Steenrod operations, The Steenrod algebra and its applications”, (Proc Conf to Celebrate N E Steenrod’s Sixtieth Birthday, Battelle Memorial Inst., Columbus, Ohio), Lecture Notes in Mathematics., Vol 168, Springer, Berlin, pp 153–231 [47] J Milnor (1958), “The Steenrod algebra and its dual”, Ann of Math., 67, 150171 96 [48] N Minami (1999), “The iterated transfer analogue of the new doomsday conjecture”, Trans Amer Math Soc., 351, 2325-2351 [49] H Mùi (1975), “Modular invariant theory and cohomology algebras of symmetric groups”, J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA Math., 22, no 3, 319–369 [50] Pham Bich Nhu (2020), “On behavior of the sixth Lannes-Zarati homomorphism”, East-West Journal of Mathematics, Vol 22, no 1, 1-12 [51] F P Peterson (1987), “Generators of H ∗ (RP ∞ × RP ∞ ) as a module over the Steenrod algebra”, Abstracts Amer Math Soc., 833, 55-89 [52] F P Peterson (1989), “A -generators for certain polynomial algebras”, Math Proc Cambridge Philos Soc., 105, 311-312 [53] G M L Powell (2014), “On the derived functors of destabilization at odd primes”, Acta Math Vietnam, 39, no 2, 205–236 [54] S B Priddy (1970), “Koszul resolutions”, Trans Amer Math Soc., 152, no 1, pp 39–60 [55] W M Singer (1977/78), “The construction of certain algebras over the Steenrod algebra”, J Pure Appl Algebra, 11, no 1-3, 53–59 [56] W M Singer (1983), “Invariant theory and the Lambda algebra”, Trans Amer Math Soc., 280, no 2, pp 673–693 [57] W M Singer (1989), “The transfer in homological algebra”, Math Z., 202, no 4, 493–523 [58] W M Singer (1991), “On the action of the Steenrod squares on polynomial algebras”, Proc Amer Math Soc., 111, 577-583 [59] E H Spanier (1966), Algebraic topology, Springer-Verlag New York [60] N E Steenrod (1952), “Reduced powers of cohomology classes”, Ann of Math., 56, 47-67 [61] N E Steenrod (1962), Cohomology operations, Lecture by N E Steenrod, written and revised by D B A Epstein, Annals of Mathematics Studies, vol.50, Princeton University Press, Princeton New Jersey 97 [62] N Sum (2013), “On the hit problem for the polynomial algebra”, C R Acad Sci Paris, Ser I., 351, 565-568 [63] N Sum (2014), “On the Peterson hit problem of five variables and its applications to the fifth Singer transfer”, East-West Journal of Mathematics, 16, 47-62 [64] M C Tangora (1970), “On the cohomology of the Steenrod algebra”, Math.Z., 116, 18-64 [65] J S P Wang (1967), “On the cohomology of the mod-2 Steenrod algebra and the non-existence of elements of Hopf invariant one”, Illinois J Math., 11, 480-490 [66] R J Wellington (1982), “The unstable Adams spectral sequence for free iterated loop spaces”, Mem Amer Math Soc., 36, no 258, viii-225 [67] H Zare (2009), “On spherical classes in H ∗ QS n ”, Ph.D thesis, The University of Manchester Tiếng Pháp [68] H Cartan (1950), “Une théories axiomatique des carrés de Steenrod”, C R Acad Sci Paris, Ser I., 230, 425-427 [69] N D H Hải (2010), “Résolution injective instable de la cohomologie modulo p d’un spectre de Thom et applications”, Ph.D thesis, Université Paris 13 [70] J Lannes (1988), “Sur le n-dual du n-ème spectre de Brown-Gitler”, Math Z., 199, no 1, 29–42 (fre) [71] J Lannes and S Zarati (1983), “Invariants de Hopf d’ordre supérieur et suite spectrale d’Adams”, C R Acad Sci Paris Sér I Math., 296, no 15, 695–698 [72] J Lannes and S Zarati (1987), “Sur les foncteurs dérivés de la déstabilisation”, Math Z., 194, 25-59 [73] J P Serre (1953), “Cohomologie modulo des complexes d’EilenbergMacLane”, Comment Math Helv., 27, 198-232 [74] S Zarati (1984), “Dérivés du foncteur de déstabilisation en caractéristiques impaire et application”, Ph.D.thesis, Université Paris-Sud (Orsay) 98 ... chuyền E 0p, q = Gp (C ) = F p (C p+ q )/F p? ??1 (C p+ q ) Vì vi phân d C ∗ bảo tồn bậc lọc nên cảm sinh vi phân phức thương F p C/F p? ??1 C d0 : E 0p, q = F p (C p+ q )/F p? ??1 (C p+ q ) → E 0p, q+1 = F p (C p+ q+1... Ảnh đồng cấu Lannes- Zarati 51 3.1 Ảnh đồng cấu Lannes- Zarati modulo p Fp 3.2 Đối đồng điều đại số Steenrod 58 3.3 Ảnh đồng cấu Lannes- Zarati modulo p H ∗ (BZ /p) 3.4 Ảnh đồng. .. ∈ F p (C p+ q )|dx ∈ F p? ??1 (C p+ q−1 )} Vi phân d cảm sinh vi phân ∂ d1 : E 1p, q = H p+ q (Gp C ) → − H p+ q−1 (F p? ??1 C ) → H p+ q−1 (Gp−1 C ) = E 1p? ??1,q Bằng phương ph? ?p quy n? ?p, giả sử Erp,q định