1 B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Cơng trình đư c hồn thành t i Đ I H C ĐÀ N NG MAI TUY T HOA Đ I H C ĐÀ N NG Ngư i hư ng d n khoa h c: TS LÊ HỒNG TRÍ Ph n bi n 1: TS NGUY N NG C CHÂU CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BI N Ph n bi n 2: PGS TS NGUY N GIA Đ NH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ c p Mã s : 60.46.40 Lu n văn ñư c b o v t i H i ñ ng ch m lu n văn t t nghi p Th c sĩ khoa h c h p t i Đ i h c Đà N ng vào ngày 22 tháng 10 năm 2011 TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C * Có th tìm hi u lu n văn t i: - Trung tâm Thông tin - H c li u, Đ i h c Đà N ng Đà N ng - 2011 - Thư vi n trư ng Đ i h c Sư Ph m, Đ i h c Đà N ng 3 M Đ U Lý ch n đ tài Phương trình hàm m t nh ng lĩnh v c nghiên c u quan tr ng c a Gi i tích Tốn h c Trong kì thi Olympic Tốn qu c gia qu c t , Olympic Toán khu v c, thư ng xu t hi n d ng toán khác có liên quan đ n phương trình hàm Tuy nhiên, cho ñ n nay, h c sinh trư ng chuyên, l p ch n bi t r t phương pháp th ng đ gi i phương trình hàm Đ c bi t, hi n thi u cu n sách v chun đ phương trình hàm ng d ng c a chúng Phương trình hàm thư ng tốn khó xu t hi n đ thi c a cu c thi tốn h c B i đ gi i ch c n m t lý thuy t s l i c n nhi u k Trong tốn h c đương đ i đóng vai trị đ gi i quy t tốn liên quan Phương trình hàm ng d ng r t nhi u chương trình tốn ph thơng, chương trình b i dư ng h c sinh gi i toán Xu t phát t nh ng v n đ nêu c a phương trình hàm ng d ng c a nó, chúng tơi quy t ñ nh ch n ñ tài nghiên c u v i tên: “Các phương trình hàm hai bi n” M c đích nghiên c u M c tiêu c a ñ tài nh m nghiên c u phương trình hàm hai bi n H th ng m t s tốn có th gi i đư c b ng phương trình hàm hai bi n Đ nh hư ng cho h c sinh cách v n d ng phương trình hàm hai bi n vào vi c gi i l p toán Đ i tư ng ph m vi nghiên c u Đ i tư ng ph m vi nghiên c u c a ñ tài kh o sát phương trình hàm hai bi n H th ng tốn liên quan đ n phương trình hàm hai bi n T nghiên c u phương pháp b n gi i toán v n d ng phương trình hàm hai bi n Phương pháp nghiên c u • Thu th p tài li u, báo khoa h c c a tác gi nghiên c u liên quan đ n Phương trình hàm phương trình hàm hai bi n • Tham gia bu i seminar hàng tu n ñ trao ñ i k t qu nghiên c u • Thu th p đ tốn cu c thi liên quan đ n phương trình hàm, gi i tốn n u chưa có l i gi i tham kh o T đ phương pháp chung cho tốn mang tính ch t tương t Ý nghĩa khoa h c th c ti n c a đ tài • T ng quan k t qu c a tác gi ñã nghiên c u liên quan đ n phương trình hàm hai bi n nh m xây d ng m t tài li u tham kh o cho nh ng mu n nghiên c u phương trình hàm hai bi n • Ch ng minh chi ti t làm rõ m t s ñ nh lý, m nh ñ ñưa m t s tốn, ví d minh h a đ c s c có ch n l c làm cho ngư i ñ c d dàng ti p c n v n ñ ñư c ñ c p C u trúc c a lu n văn Ngồi ph n m đ u k t lu n, lu n văn g m chương Chương Gi i thi u phương trình hàm hai bi n Chương Trình bày tốn v phương trình hàm hai bi n Chương ng d ng phương trình hàm hai bi n vào vi c b i dư ng h c sinh gi i • Trong Chương 1, trình bày ki n th c s s dùng cho chương sau • Trong Chương 2, trình bày m t s tốn tiêu bi u, đ c s c m t s toán t ng h p v phương trình hàm hai bi n • Các phương pháp b n v n d ng phương trình hàm hai bi n đư c trình bày Chương Chương GI I THI U CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BI N 1.1 Phương trình Cauchy Phương trình Cauchy có d ng f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R (1.1) v i f: R → R m t hàm liên t c Ngi m c a phương trình ∃a ∈ R: f(x) = ax, ∀x ∈ R Đ tìm nghi m c a phương trình Cauchy, ch ng minh m nh ñ , ñ nh lý sau M nh ñ 1.1 Cho f: R → R tho mãn phương trình Cauchy f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R Phương trình hàm n tính có d ng Khi ∃a ∈ R: f(q)=aq, ∀q ∈ Q f(ax + by + c) = pf(x) + qf(y) + r M nh ñ 1.2 Gi s f: R → R g: R → R hai hàm liên t c cho f(q) = g(q) v i m i q s h u t Khi f(x) = g(x) v i m i x s th c Đ nh lý 1.3 Cho f: R → R hàm liên t c tho mãn phương trình Cauchy f(x + y) = f(x) + f(y) v i m i x, y s th c Khi t n t i m t s th c a cho f(x) = ax v i m i x s th c Đ nh lý 1.4 Cho f: R → R th a mãn phương trình Cauchy Gi s ∃c, d ∈ R, c < d cho f b ch n dư i ño n [c,d] Nói cách khác, t n t i m t s th c A cho f(x) ≥ A v i m i c ≤ x ≤ d Khi t n t i m t s th c a cho f(x) = ax v i m i x s th c ng d ng phương trình Cauchy M nh đ 1.5 Gi s f: R → R tho mãn phương trình Cauchy f ( x + y) = f ( x) + f ( y ) v i m i x, y ∈ R ñơn ñi u tăng nghĩa f(x) ≤ f(y) v i m i s th c x ≤ y Khi ∃a ≥ 0: f(x) = ax, ∀x ∈ R D ng chung c a hàm f f(x) = sx + t 1.4 Phương trình mũ Cauchy Phương trình mũ Cauchy có d ng f(x + y) = f(x)f(y) hàm f:R→R đư c gi thi t liên t c khơng đ ng nh t b ng Nghi m c a phương trình ∃b > 0: f(x) = bx, ∀x ∈ R Xét phương trình f(xy) = f(x) f(y), ∀x, y ∈ R+ Nghi m c a phương  f ( x ) = x k , ∀x > trình   f ( x ) = 0, ∀x ∈ R  1.5 Phương trình Pexider Phương trình Pexider có d ng f(x + y) = g(x) + h(y) Ta c n tìm t t c hàm liên t c f, g, h: R → R tho mãn phương trình v i m i s th c x, y Nghi m c a phương trình Pexider là: f(z) = cz + a + b; g(x) = cx + a h(y) = cy + b a, b, c ∈ R Gi s f: R → R tho mãn c hai phương trình 1.6 Phương trình Vincze f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R, M nh đ 1.6 Gi s ta c n tìm t t c nghi m f, g, h k c a phương trình f(xy) = f(x) f(y), ∀x, y ∈ R Khi f(x) = hay f(x) = x ∀x ∈ R 1.2 Phương trình Jensen Phương trình Jensen có d ng x + y  f (x ) + f ( y ) f  =   D ng chung c a hàm f ph i f(x) = ax + b, v i a, b ∈ R 1.3 Phương trình hàm n tính f(x + y) = g(x)k(y) + h(y), ∀x, y ∈ R v i ñi u ki n hàm f, g, h k liên t c Đ t φ ( y) = k ( y) a , v i k(0) = a 7 *Trư ng h p th nh t: φ(y) = 1, ∀y ∈ R Nghi m c a phương trình ( dx + c − b) , h(y) = dy + b, a, f(x) = dx + c, k(y) = a, g ( x ) = a b, c, d ∈ R, ∀x, y ∈ R * Trư ng h p th hai: ∃y0 ∈ R: φ(y0) ≠ Nghi m c a phương trình x f(x) = st x + c, k(y) = at y, g ( x) = ( st + c − b) , h(y) = c + (b – c)t a a, b, c, s, t ∈ R, t > t ≠ 1, ∀x, y ∈ R 1.7 B t phương trình hàm Cauchy Hãy tìm t t c nghi m c a b t phương trình hàm f(x + y) ≤ f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R Ta ch tìm m t h hàm riêng bi t f tho mãn f(x) ≤ x, ∀x ∈ R Nghi m c a b t phương trình hàm f(x) = x, ∀x ∈ R 1.8 Phương trình hàm hai bi n Gi thi t f(x,y) hàm s th c liên t c có hai bi n s x, y tho mãn f (x1 + x2 , y ) = f ( x1 , y ) + f ( x2 , y ) , ∀x1, x2, y ∈ R, ( ) f x, y + y = f ( x, y1 ) + f ( x, y ) , ∀x, y1, y2 ∈ R K t lu n r ng f ( x, y ) = c0 xy , ∀x, y ∈ R 1.9 Phương trình Euler Cho k m t s th c b t kỳ V i k cho trư c, phương trình f (tx ,ty ) = t k f (x , y ) , ∀x, y, t ∈ R+ ñư c g i phương trình Euler Hàm f(x) tho mãn phương trình Euler ñư c g i hàm thu n nh t b c k 1.10 Phương trình D’Alembert Bây gi ta phân tích phương trình D’Alembert g (x + y ) + g (x − y ) = g (x )g ( y ) Gi thi t g(x) hàm liên t c ∃t > 0: g(x) > v i m i s th c x kho ng đóng [-t, t] * Trư ng h p th nh t: < g(t) ≤ Nghi m c a phương trình g(x) = cos(ax) v i m i s th c x, a > * Trư ng h p th hai: g(t) > Ta ñ nh nghĩa hàm hyperbol cosin e x + e− x e x − e− x hyperbol sin cosh x = , sinh x = Tương t 2 trư ng h p th nh t, ta có g(x) = cosh(ax) v i m i s th c x, a > Chương TRÌNH BÀY CÁC BÀI TỐN V PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BI N 2.1 Các tốn v phương trình Cauchy Bài tốn Xác ñ nh hàm f(x) liên t c R tho mãn ñi u ki n f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R Đáp s : f(x) = ax, v i a∈ R Bài toán Tìm hàm f(x) xác đ nh có ñ o hàm R tho mãn ñi u ki n f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R Đáp s : f(x) = ax, v i a ∈ R Bài tốn Tìm hàm f(x) xác ñ nh ñ ng bi n R tho mãn ñi u ki n f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R Đáp s : f(x) = ax, ∀x ∈ R, v i a > Bài tốn Cho c > Xác đ nh hàm f(x) tho mãn ñi u ki n  f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )    f ( x) ≤ c, ∀x ∈ [− 1,1]  Đáp s : f(x) = ax , ∀x ∈ R |a| ≤ c Bài toán (IMO 1979) Cho hàm f: R → R tho mãn ñi u ki n f(xy + x + y) = f(xy) + f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R Ch ng minh r ng f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R 2.2 Các tốn v phương trình Jensen Bài tốn Tìm hàm f(x) xác đ nh liên t c R th a mãn ñi u ki n: 10  x + y  f ( x) + f ( y ) , f =   Đáp s : ∀x, y ∈ R f(x) = ax + b, v i a, b ∈ R Bài tốn Tìm hàm f(x) xác đ nh, kh vi R tho mãn ñi u  x + y  f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ R ki n f =   Đáp s : f(x) = ax + b v i a, b ∈ R Bài tốn Xác đ nh hàm s f(x) liên t c R\{0} th a mãn ñi u ki n  xy  f ( x) + f ( y ) , ∀x, y, x + y ≠ =  x+ y f  a + b , ∀x ≠ 0.v i a, b ∈ R x 2.3 Phương trình hàm n tính Bài tốn Cho a, b ∈ R\{0} Tìm hàm f(x) xác ñ nh, liên t c R th a mãn ñi u ki n f(ax + by) = af(x) + bf(y), ∀x, y ∈ R Đáp s : N u a + b ≠ f(x) = cx, v i c ∈ R N u a + b =1 f(x) = cx + d, v i c, d ∈ R Bài toán 10 Cho a, b, c ∈ R\{0} Tìm hàm f(x) xác ñ nh, liên t c R th a mãn ñi u ki n f(ax + by) = af(x) + bf(y) + c, ∀x, y ∈ R Đáp s : f(x) = sx + t v i s, t ∈ R Bài toán 11 Cho a, b, c, d ∈ R\{0} Tìm hàm f(x) xác đ nh, liên t c R th a mãn ñi u ki n f(ax + by + c) = af(x) + bf(y) + d, ∀x, y ∈ R Đáp s : f(x) = sx + t, v i s, t ∈ R 2.4 Các tốn v phương trình mũ Cauchy Bài tốn 12 Xác đ nh hàm f(x) liên t c R tho mãn ñi u ki n f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R  f ( x) = Đáp s :  x  f ( x) = a (a > 0) Bài tốn 13 Xác đ nh hàm f(x) liên t c R tho mãn ñi u f ( x)  , ∀x, y ∈ R  f ( x − y) = ki n  f ( y)  f ( x) ≠ 0, ∀x ∈ R  Đáp s : f ( x) = Đáp s : f(x) = ax, a > Bài tốn 14 Tìm hàm f(x) xác đ nh kh vi R th a mãn ñi u ki n f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R  f ( x) = Đáp s :   f ( x ) = e ax , ∀x ∈ R  (a > 0) Bài toán 15 Cho c > Xác ñ nh hàm f(x) th a mãn ñi u ki n  f ( x + y ) = f ( x) f ( y ), ∀x, y ∈ R  | f ( x) |≤ c, ∀x ∈ [− 1,1] Đáp s : + N u < c ≤ f(x) =  f ( x) = + N u c >   f ( x) = e αx v i α ∈ R cho |α| ≤ lnc 2.5 Các tốn v phương trình Pexider Bài tốn 16 Tìm t t c hàm xác ñ nh kh vi f, g, h: R → R tho mãn phương trình f(x + y) = g(x) + h(y), ∀x, y ∈ R Đáp s : f(z) = az + b; g(x) = ax + b + c; h(y) = ay – c a, b, c ∈ R Bài tốn 17 Tìm t t c hàm liên t c f, g, h: R → R tho mãn phương trình f(x + y) = g(x) h(y), ∀x, y ∈ R Đáp s : f(z) = abzk ; g(x) = axk ; h(y) = byk ñó a, b, k s th c 2.6 Các tốn v phương trình Vincze Bài tốn 18 Tìm t t c hàm liên t c f, g, k, h, u: R → R tho mãn phương trình f(x + y) = g(x)k(y) + u(x) + h(y), ∀x, y ∈ R Đáp s : Đ t φ ( y) = k ( y) v i k(0) = a a * Trư ng h p th nh t: φ(y) =1 v i m i y f(x) = dx + p, v i p = c + n u(x) = n, ∀x ∈ R 11 k(y) = a, ∀y ∈ R u ( x) = dx + c − b a h(y) = d(y) + b g ( x) = * Trư ng h p th hai: ∃y0 ∈ R: φ(y0) ≠ f(x) = stx + c + n u(x) = n v i m i s th c x k(y) = aty st x + c − b g ( x) = a h(y) = c + (b – c)ty Bài tốn 19 Tìm t t c hàm liên t c f, g, h, u, v: R → R tho mãn phương trình f(x + y) = g(x)h(y) + u(x)v(y), ∀x, y ∈ R (2.69) Đáp s : N u u(x) = 0, t (2.69) ta có Đây phương trình Pexider nên trư ng h p ta có k t qu sau f ( x + y) = g ( x)h( y), ∀x, y ∈ R f(z) = abzk g(x) = axk h(y) = byk a, b, k s th c N u u(x) ≠ 0, φ ( y ) = h( y ) , h(0) = a a * Trư ng h p th nh t: φ(y) =1 v i m i y f ( x) = 12 dm x + m , v i m ∈ R c m c h(y) = a v i m i s th c y dx + c − b g ( x) = a v(y) = dy + b * Trư ng h p th hai: ∃y0 ∈ R: φ(y) ≠ f ( x) = ( st x + c)n , s+c u ( x) = n s+c v i m i s th c x, h(y) = aty, st x + c − b , a v(y) = c + (b – c)ty g ( x) = 2.7 Các tốn v b t phương trình hàm Cauchy Bài toán 20 Cho hàm f: R → R th a mãn ñi u ki n f ( x + y ) ≤ f ( x) + f ( y), ∀x, y ∈ R f ( x) ≤ x, ∀x ∈ R Tìm t t c hàm f(x) liên t c R Đáp s : f(x) = 2x, ∀x∈ R Bài toán 21 Cho K = [0;1], f hàm s xác ñ nh K th a mãn ñi u ki n 1) f(1) = 1; 2) f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ K 3) N u x, y, x + y đ u thu c K f(x + y) ≥ f(x) + f(y) Ch ng minh r ng f(x) ≤ 2x Đáp s : f(x) ≤ 2x, ∀x ∈ K 2.8 Các tốn v phương trình Euler Bài toán 22 Gi s t n t i m t hàm h(t) ñư c xác ñ nh cho t t c t dương m t hàm f(x, y) dương ñư c xác ñ nh b i m i x, y dương tho mãn f(tx, ty) = h(t)f(x, y) Đây phương trình Euler c i biên 13 ph n 1.10 chương Gi s , ta có h m t hàm liên t c Ch ng minh h(t) = tk v i m i giá tr k S d ng phương trình mũ Cauchy, ta có h(t) = tk v i m i giá tr k Bài toán 23 Cho hàm f: R+ x R+ → R tho ñi u ki n f(tx, ty) = tk f(x, y), ∀x, y ∈ R, f(x, y) = 5x3 + 2x2y + xy2 + 6y3, ∀x, y ∈ R Tìm k Đáp s : k = 2.9 Các tốn v phương trình D’alembert Bài tốn 24 Tìm hàm f(x) R  f ( x + y ) + f ( x − y ) = f ( x) f ( y ), ∀x, y ∈ R   f (0) = 1, ∃x0 ∈ R : f ( x0 ) < Đáp s : f(x) = cos ax, v i a ∈ R\{0} Bài tốn 25 Tìm hàm f(x) xác đ nh, liên t c R tho mãn  f ( x + y ) + f ( x − y ) = f ( x) f ( y ), ∀x, y ∈ R ñi u ki n   f (0) = 1, ∃x0 ∈ R : f ( x0 ) > Đáp s : f(x) = chax, v i a ∈ R\{0} tuỳ ý 2.10 Các toán t ng h p Bài toán 26 Tìm hàm f(x) xác đ nh liên t c [-1,1] tho mãn ñi u ki n f ( x) + f ( y) = f ( xy − − y − x ), ∀x, y ∈ [− 1, 1] Đáp s : f(x) = a.arccosx, a ∈ R, ∀x ∈ [-1,1] Bài tốn 27 Tìm hàm f(x) xác đ nh, liên t c R tho mãn ñi u ki n  x+ y  , ∀x, y ∈ R :1 − xy ≠ f ( x) + f ( y ) = f   − xy    Đáp s : f(x) = a.arctanx, a ∈ R, ∀x ∈ R Bài toán 28 Gi s f: R→R có thu c tính mà t n t i m t h ng s K tho mãn |f(x) – f(y)| ≤ K(x – y)2, ∀x, y ∈ R Ch ng minh f hàm khơng đ i Bài tốn 29 Xác đ nh hàm f: Q → Q tho mãn phương trình f[x + f(y)] = f(x)f(y), ∀x, y ∈ Q Đáp s : f(x) = 1, ∀x ∈ Q Bài toán 30 Cho hàm f: R→R tho mãn phương trình 14  f ( x) + f ( y )  , ∀x, y ∈ R m( x, y ) = f −1     f m t hàm liên t c tăng ho c gi m a) Cho hàm f, g: R→R v i f ≠ g tho mãn phương trình  f ( x) + f ( y )  −1  g ( x ) + g ( y )  , ∀x, y ∈ R Ch ng minh r ng f −1  =g   2     t n t i h ng s a ≠ b cho g(x) = af(x) + b b) Gi s m(x + t, y + t) = m(x, y) + t, ∀x, y, t ∈ R Tìm t t c hàm f tho mãn phương trình Đáp s : a) Bi n ñ i v d ng phương trình Jensen B ng cách gi i quy t phương trình Jensen, ta có k t qu sau g(x) = af(x) + b v i a, b ∈ R a ≠ b) f(x) = cx + d ho c f(x) = csx + d Bài toán 31 (Phương trình vi phân) Tìm đ o hàm c p hai hàm s f:R→R tho mãn phương trình [f(x)]2 – [f(y)]2 = f(x + y) f(x – y) , ∀x, y ∈ R Cho x = u + v y = u − v , c = f ' ' (v0 ) 2 f (v ) Đáp s : N u c > ta có f (u ) = A sinh( cu ) N u c = ta có f(u) = Au N u c < ta có f (u ) = A sin( − cu ) Chương NG D NG CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BI N VÀO VI C B I DƯ NG H C SINH GI I 3.1 Các tốn đ thi cu c thi Toán h c Bài toán (D n IMO) Hàm s f: R → R th a mãn f(x) + f(y) = f(x + y) – xy – 1, ∀x, y ∈ R N u f(1) = tìm s nguyên n cho f(n) = n Đáp s n = ho c n = − Bài toán (IMO – 1982) Cho hàm s f xác ñ nh t p h p s t nhiên l y giá tr nguyên không âm Bi t r ng f(n) th a mãn ñi u ki n 16 15 1) V i m i m, n f(m + n) – f(m) – f(n) l y giá tr ho c 2) f(2) = 0, f(3) > f(9999) = 3333 Tính f(1982) Đáp s : f(1982) = 660 Bài toán (D n IMO – 2002) Tìm t t c hàm th c f xác ñ nh R tho mãn ñi u ki n f(f(x) + y) = 2x + f(f(y) – x), ∀x, y ∈ R Đáp s f(x) = x + C, C h ng s Bài toán (VMO – 2005) Tìm f: R → R tho mãn f(f(x – y)) = f(x) f(y) – f(x) + f(y) – xy, ∀x, y ∈ R Hàm s c n tìm f(x) = – x Bài tốn (VMO – 2006 – B ng B) Tìm f: R → R liên t c R tho mãn f(x – y) f(y – z) f(z – x) + = ∀x, y, z ∈R Đáp s f(x) = – 2bx v i b > Bài toán (USAMO – 2000) Tìm t t c hàm f: R → R th a mãn f(x2 – y2) = x f(x) – y f(y), ∀x, y ∈ R Đáp s f(x) = ax v i a ∈ R Bài toán (CAMO – 2000) Hãy xác ñ nh t t c hàm f: N → N cho x f(x) + y f(y) = (x + y) f(x2 + y2), ∀x, y ∈ N Đáp s f(x) = c v i c h ng s , x ∈ R 3.2 Các phương pháp gi i phương trình hàm hai bi n 3.2.1 Phương pháp s d ng ñ c trưng hàm c a hàm sơ c p Phương trình hàm m t phương trình thơng thư ng mà nghi m c a hàm ng d ng chương 1, ta có đ c trưng hàm sau 1) Phương trình Cauchy 2) Phương trình Jensen 3) Phương trình mũ Cauchy 4) Phương trình D’Alembert Ví d Tìm hàm f(x) xác đ nh liên t c R tho mãn ñi u ki n x+ y f =   f ( x) f ( y ) , ∀x, y ∈ R Áp d ng phương trình hàm Jensen ta có nghi m c a toán f(x) = ho c f(x) = eax+b, v i a, b ∈ R Ví d Tìm hàm f(x) xác đ nh liên t c R+ tho mãn ñi u ki n f ( xy ) = f ( x) f ( y ) , ∀x, y ∈ R + Theo k t qu c a Ví d 1, f(x) = ho c f(x) = ealnx + b = ebxa, v i a, b ∈ R Ví d Tìm hàm f(x) xác ñ nh, liên t c R\{0} tho mãn      f ( x) + f ( y ) ñi u ki n f = , ∀x, y, x + y ≠ 1 1 x+ y   Theo phương trình Jensen, f ( x) = a + b v i a, b ∈ R x Ví d Tìm hàm f(x) xác đ nh, liên t c R\{0} tho mãn      ñi u ki n f = f ( x) f ( y ) , ∀x, y, x + y ≠ 1 1 +  x y   Theo k t qu c a Ví d f(x) = ho c f(x) = ea/x+b, v i a, b ∈ R Ví d Xác ñ nh hàm f(x) liên t c R\{0} tho mãn ñi u ki n f(xy) = f(x) f(y), ∀x, y ∈ R\{0} Đáp s 1) f(x) = 0, ∀x ∈ R\{0}, 2) f(x) = |x|α, ∀x ∈ R\{0}, α ∈ R  x β , ∀x ∈ R + 3) f ( x) =  , β ∈ R β − − x , ∀x ∈ R  17 18 Ví d Xác đ nh hàm f(x) liên t c R\{0} tho mãn ñi u ki n f(xy) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R\{0} Đáp s f(x) = aln|x|, ∀x ∈ R\{0}, v i a ∈ R Ví d Xác đ nh hàm f(x) liên t c R+ tho mãn ñi u ki n x f   = f(x) – f(y), ∀x, y ∈ R+  y   Theo k t qu c a Ví d 6, f(x) = alnx, ∀x ∈ R+, a ∈ R 3.2.2 Phương pháp xét giá tr Khi v n d ng phương pháp c n ý s d ng k t qu v a có đư c Cách gi i nói chung c a phương pháp tìm giá tr đ c bi t – có th tính ñư c trư c Sau ñó t o b t ñ ng th c “ngư c nhau” v hàm s c n tìm (đ i v i đ có u ki n b t phương trình hàm) đ đưa k t lu n v hàm s Vi c ch n trư ng h p c a bi n ph i có tính “k th a”  f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ R Ví d Tìm f: R → R tho mãn   f ( x + y ) ≥ f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈ R Ví d 11 (VMO, 1995) Tìm f: R → R tho mãn: f((x – y)2) = x2 – 2y f(x) + (f(y))2, ∀x, y ∈ R Đáp s : N u f(0) = f(x) = x, ∀x ∈ R, n u f(0) = f(x) = x + 1, ∀x ∈ R 3.2.3 Phương pháp h s b t ñ nh Nguyên t c chung c a phương pháp * D a vào u ki n c a tốn, xác ñ nh ñư c d ng c a f(x), thư ng f(x) = ax + b ho c f(x) = ax2 + bx + c Ví d 12 Tìm t t c hàm f: R → R tho mãn hai ñi u ki n 1) f(x2 – y) = x f(x) – f(y), ∀x, y ∈ R 2) x f(x) > 0, ∀x ≠ Đáp s : ∃a > 0: f(x) = ax, ∀x ∈ R Ví d 13 Tìm t t c hàm f, g: R → R tho mãn hai ñi u ki n 1) 2f(x) – g(x) = f(y) – y,∀x, y ∈ R 2) f(x) g(x) ≥ x + 1, ∀x ∈ R Đáp s : f(x) = x + 3, g(x) = 2x + * Đ ng nh t h s đ tìm f(x) Ví d 14 Tìm t t c hàm f: R → R tho mãn ñi u ki n f(x f(y) + x) = xy + f(x),∀x, y ∈ R Đáp s : f(x) = x f(x) = −x * Ch ng minh r ng m i h s khác c a f(x) ñ u khơng tho mãn u ki n tốn Ví d 15 Tìm t t c hàm f: R → R tho mãn ñi u ki n 2f(x) + f(1 – x) = x2, ∀x ∈ R Đáp s : f ( x) = ( x + x − 1) C n ch ng minh m i hàm s khác f(x) s không tho mãn u ki n tốn Gi s cịn hàm s g(x) ≠ f(x) tho mãn ñi u ki n toán Ch ng minh mâu thu n v i gi thi t g(x0) ≠ f(x0) Ví d 16 Tìm t t c hàm f: Z → Z tho mãn ñ ng th i ñi u ki n sau 1) f(f(n)) = n, ∀n ∈ Z 2) f(f(n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ Z 3) f(0) = Đáp s : f(n) = −n + C n ch ng minh f(n) = −n + hàm nh t tho mãn ñi u ki n toán  x =  f (0) ≥ ⇒ ⇒ f (0) =  y =  f (0) ≥ f (0)  f (0) ≥ f ( x) + f (− x)  f ( x) + f (− x) ≤ Cho y = − x ⇒  ⇒  f ( x) ≥ 0, f (− x) ≥  f ( x) ≥ 0, f ( − x) ≥ L i gi i Cho  Suy f(x) = f(− x) = 0, ∀x ∈ R Th l i ta có k t qu f(x) = Ví d Tìm f: [a, b] → [a, b] tho mãn |f(x) – f(y)| ≥ |x – y|, ∀x, y ∈ [a, b] (a < b cho trư c)  f (a) = a f(x) = x Đáp s : N u   f (b ) = b f (a) = b N u  f(x) = a + b – x   f (b) = a Ví d 10 Tìm f: R → R tho mãn  π   f (0) = a; f   = b ∀x, y ∈ R; a, b cho trư c 2   f ( x + y) + f ( x − y ) = f ( x) cos y  Đáp s : f(x) = acosx + bsinx 19 20 3.2.4 Phương pháp s d ng ñ o hàm V n d ng tính ch t đ o hàm c a hàm s t i m t ñi m, m t kho ng, m t ño n ñ xác ñ nh nghi m c a phương trình Ví d 17 Tìm f: R → R tho mãn ñi u ki n |f(x) – f(y)|2 ≤ |x – y|3, ∀x, y ∈ R Đáp s : f(x) = c, ∀x ∈ R (v i c h ng s ) Ví d 18 Tìm f: R → R có đ o hàm R tho mãn f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy, ∀x, y ∈ R Đáp s : f(x) = x2 + cx + b, ∀x ∈ R; b, c h ng s th c Ví d 19 Tìm hàm f(x) xác đ nh, kh vi R+ tho mãn ñi u ki n f ( xy ) = f ( x) f ( y) , ∀x, y ∈ R + * Ch ng minh hàm s f(x) = c, ∀x ∈ D (t p xác ñ nh c a hàm s f ), c h ng s Phương pháp s d ng tính liên t c c a hàm s d ng toán th c hi n bư c sau Bư c L y a m t giá tr tuỳ ý thu c t p xác ñ nh c a hàm s Xây d ng dãy s thích h p (xn) v i x1 = a tho mãn ñ ng th i 1) Hàm f(x) khơng đ i dãy (xn), nghĩa f(a) = f(x1) = f(x2) = … = f(xn) = … 2) Ch ng minh dãy (xn) h i t v b Bư c S d ng tính liên t c c a f(x) ta có f(a) = lim f(xn) = f(limxn) = f(b) Suy f(x) hàm h ng Ví d 23 Tìm t t c hàm liên t c f: [0, 1]→R cho 1  x  + x  , ∀x∈[0;1] f ( x) =  f   + f   2 2   Đáp s : f(x) = C v i C h ng s Ví d 24 (Đ d n thi tốn qu c t − 1982) Tìm t t c hàm liên t c f: R → R tho mãn ñi u ki n f(x2) + f(x) = x2 + x, ∀x ∈ R Đáp s : f(x) = x, ∀x ∈ R * S d ng ñ c trưng hàm Ví d 25 (S d ng phương trình Cauchy) Cho α, β ≠ Tìm t t c hàm liên t c f: R → R tho mãn ñi u ki n f(αx + βy) = α f(x) + β f(y), ∀x, y ∈ R Đáp s : N u α + β = f(x) = ax + b v i a, b ∈ R N u α + β ≠ f(x) = ax v i a ∈ R Ví d 26 (S d ng phương trình Jensen) Tìm hàm liên t c f: R → R tho mãn ñi u ki n x f(x) – y f(y) = (x – y) f(x + y), ∀x, y ∈ R Đáp s : f(x) = ax + b, ∀x ∈ R tho mãn 3.2.6 Phương pháp th Phương pháp th phương pháp thư ng hay s d ng gi i phương trình hàm, đ c bi t phương trình hàm hai bi n N i dung b n c a phương pháp ta thay bi n b i giá tr ñ c bi t Lưu ý giá tr bi n ph i thu c t p xác ñ nh c a hàm s ph i tho mãn ñi u ki n ràng bu c gi a bi n n u có * N u h th c cho có tính đ i x ng gi a bi n c g ng hốn v bi n v i Đáp s :  f ( x) =   f ( x) = c a , c > 0, a ∈ R  Ví d 20 Tìm hàm f(x) ≥ xác đ nh, kh vi R+ tho mãn    x2 + y  [ f ( x)]2 + [ f ( y)]2 , ∀x, y ∈ R + ñi u ki n f = 2     Đáp s : f ( x) = ax + b , ∀a, b ≥ 0, x ∈ R + 3.2.5 Phương pháp s d ng tính liên t c c a hàm s Trong m c ta xét m t s ví d gi i phương trình hàm có s d ng đ n tính liên t c c a hàm s S d ng tính liên t c c a hàm s có ba đư ng chính: * Xây d ng bi n t N đ n R Ví d 21 Tìm hàm f: R → R tho mãn 1) f(x) liên t c R; 2) f(1) = 2; 3) f(xy) = f(x) f(y) – f(x + y) + 1, ∀x, y ∈ R Đáp s : f(x) = x + 1, ∀x ∈ R Ví d 22 Tìm t t c hàm s liên t c f: [0, 1] → R tho mãn ñi u ki n 1) f(0) = f(1) = 0, 2) f  x + y  ≤ f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈[0,1]    Đáp s :  f(x) = 0, ∀x ∈ [0,1] 21 22 Ví d 27 (AUS – 1995) Tìm t t c hàm f: R+ → R tho mãn ñi u ki n sau ñây 1) f (1) = K T LU N Đáp s : 2) f ( xy) = f ( x) f   + f ( y ) f  , ∀x, y ∈ R +        y  x   V i x > f(x) = * S d ng phép th có th giãn c đư c hai v c a phương trình hàm T ta ñư c m t ñ ng th c ñơn gi n Ví d 28 Tìm t t c hàm f: R → R tho mãn x f(x) + y f(x) = (x + y) f(x) f(y), ∀x, y ∈ R Đáp s : f(x) = 0, ∀x ∈ R ho c f ( x) = 1 x ≠ v i a ∈ R  a x = * N u có f(x3) = (f(x))3 ho c f(x3) = x2 f(x) nên s d ng phép th x b i x+y r i so sánh hai v Ví d 29 Tìm t t c hàm s f: R → R tho mãn f(x3 – y3) = x2 f(x) − y2 f(y), ∀x, y ∈ R Đáp s : f(x) = kx, ∀x ∈ R * Trong trư ng h p có f(g(x)) = g(x) tìm m b t đ ng c a hàm f Ví d 30 Tìm t t c hàm s f: R → R tho mãn f(f(x – y)) = f(x) – f(y) + f(x) f(y) – xy, ∀x, y ∈ R Đáp s : f(x) = x * N u m t v có ch a f(x) v cịn l i có ch a bi n x bên ngồi thơng thư ng hàm f đơn ánh Ví d 31 (Balkan – 2000) Tìm t t c hàm f: R → R tho mãn ñi u ki n f(x f(x) + f(y)) = (f(x))2 + y, ∀x, y ∈ R Đáp s : f(y1) = f(y2) ⇒ y1 = y2 V y f m t ñơn ánh V y f(x) = x, ∀x ∈ R ho c f(x) = −x, ∀x ∈ R Lu n văn kh o sát v phương trình hàm hai bi n, phương trình hàm có t m quan tr ng cu c thi Toán h c Vi c kh o sát phương trình hàm d a vi c nghiên c u v phương trình Cauchy, phương trình hàm n tính, phương trình mũ Cauchy, phương trình Pexider, phương trình Vincze, b t đ ng th c Cauchy, phương trình hàm hai bi n, phương trình Euler phương trình D’Alambert Lu n văn cho th y ñư c s liên k t c a phương trình hàm hai bi n Nh ng k t qu lu n văn d a s lý thuy t c a phương trình hàm, đưa tốn mang tính ch t v n d ng phù h p Ngoài ra, lu n văn cung c p m t s phương pháp gi i phương trình hàm hai bi n b n ng d ng r t nhi u b i dư ng h c sinh gi i toán d a s phân l p tốn v phương trình hàm hai bi n Trong u ki n th i gian khuôn kh c a lu n văn, chưa nghiên c u sâu v phương pháp gi i phương trình hàm hai bi n mà ch ñ phương pháp mang tính ch t t ng quát ch chưa c th (3.72) ... s , x ∈ R 3.2 Các phương pháp gi i phương trình hàm hai bi n 3.2.1 Phương pháp s d ng ñ c trưng hàm c a hàm sơ c p Phương trình hàm m t phương trình thơng thư ng mà nghi m c a hàm ng d ng chương... phương trình hàm hai bi n, phương trình hàm có t m quan tr ng cu c thi Toán h c Vi c kh o sát phương trình hàm d a vi c nghiên c u v phương trình Cauchy, phương trình hàm n tính, phương trình. .. phương trình Pexider, phương trình Vincze, b t đ ng th c Cauchy, phương trình hàm hai bi n, phương trình Euler phương trình D’Alambert Lu n văn cho th y đư c s liên k t c a phương trình hàm hai