Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Dạy Toán là dạy hoạt động Toán học (A. A. stôliar), trong đó hoạt động chủ yếu là hoạt động giải Toán. Bài tập Toán mang nhiều chức năng: chức năng giáo dục, chức năng giáo dỡng, chức năng phát triển t duy và chức năng kiểm tra đánh giá. Dạy học giải bài tập Toán đợc xem là một trong những tình huống điển hình trong dạy học môn Toán. Khối lợng bài tập Toán ở trờng phổ thông là vô cùng nhiều và hết sức phong phú, đa dạng. Có những lớp bài toán có thuật giải nhng phần lớn là những bài toán cha có hoặc không có thuật giải. Đứng trớc những bài toán đó, giáo viên gợi ý và hớng dẫn học sinh nh thế nào để giúp họ giải quyết đợc bài toán là một vấn đề hết sức quan trọng. Tuy nhiên, đây cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đề ra đợc những gợi ý hợp lý, đúng lúc, đúng chỗ còn là nghệ thuật s phạm của chính ngời giáo viên. Trong chơng trình Toán phổ thông có rất nhiều bài toán phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình và hệ bất phơng trình chứa tham số. Không những bài toán đợc đặt ra dới dạng giải và biện luận, mà còn rất nhiều dạng khác nữa, chẳng hạn nh: tìm điều kiện tham số để phơng trình, bất phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trớc; tìm điều kiện để hai phơng trình tơng đơng với nhau; v.v . Thực tiễn s phạm cho thấy, khi đứng trớc những phơng trình và bất phơng trình chứa tham số, học sinh thờng gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng, đồng thời cũng nhiều khi mắc phải những sai lầm. Rất nhiều giáo viên có kinh nghiệm đã đúc kết rằng: Những bài toán có tham số luôn không dễ đối với học sinh và bản thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm thì thờng có tâm lý e ngại, thậm chí sợ sệt dạng Toán này. Giáo viên nhiều ngời có tâm lý 1 lảng tránh phơng trình và bất phơng trình chứa tham số trong quá trình dạy, bởi vì nó đòi hỏi những lập luận tơng đối phức tạp đối với học sinh. Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, t duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn); trong đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ năng thì sẽ không phát triển đợc t duy và cũng không đáp ứng đợc nhu cầu giải quyết vấn đề. Kỹ năng giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số là cực kì thiết thực đối với học sinh THPT. Nếu có kỹ năng này thì hiệu quả học tập môn Toán sẽ đợc nâng cao; ngợc lại, nếu kỹ năng này bị hạn chế thì học sinh sẽ gặp phải rất nhiều khó khăn trong việc chiếm lĩnh và kiến tạo tri thức Toán học. Việc giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình chứa tham số chứa đựng nhiều tiềm năng phát triển các loại hình t duy toán học. Thông qua những bài toán đó, học sinh có dịp rèn luyện nhiều hoạt động trí tuệ, ngợc lại bằng hoạt động trí tuệ, học sinh có khả năng giải quyết những vấn đề này (Đó là hoạt động t duy hàm nhằm phát hiện và nghiên cứu những sự tơng ứng; hoạt động ngôn ngữ - lôgic; hoạt động phân chia trờng hợp; hoạt động nhận dạng và thể hiện; v.v .). Một trong những đặc điểm của chơng trình toán THPT là: Đi sâu nghiên cứu những phơng trình và bất phơng trình chứa tham số (Còn phơng trình và bất phơng trình không chứa tham số thì đã bắt đầu đợc học từ bậc THCS). Phần phơng trình và bất phơng trình đợc lặp lại theo chiều hớng nâng cao và đi sâu vào những vấn đề có chứa tham số. Đối với học sinh khá, giỏi thì các bài toán chứa tham số lại càng có vai trò quan trọng hơn nữa. Thực tiễn dạy học Toán ở trờng phổ thông đòi hỏi phải có những công trình nghiên cứu nhằm đa ra những thủ pháp dạy học, những hớng dẫn s phạm để giúp ngời giáo viên giảng dạy tốt những kiến thức trong chơng trình, nhất là những kiến thức tơng đối phức tạp nhng giàu tính ứng dụng và khá điển hình. 2 Mặc dù có nhiều công trình liên quan đến rèn luyện kỹ năng, nhng cho đến nay vẫn cha có công trình nào nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan tới phơng trình, bất phơng trình chứa tham số. Vì những lí do trên đây chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: Rèn luyện cho học sinh khá, giỏi kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số trong dạy học Toán ở Trung học phổ thông. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình có chứa tham số trong dạy học Đại số và Giải tích ở bậc THPT. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây: 3.1. Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là nh thế nào? 3.2. Những tình huống điển hình nào thờng gặp trong quá trình giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình chứa tham số? 3.3. Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình chứa tham số, học sinh thờng gặp những khó khăn và sai lầm nào? 3.4. Những biện pháp s phạm nào đợc sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số? 3.5. Kết quả của thực nghiệm s phạm là nh thế nào? 4. Phơng pháp nghiên cứu Trong quá trình nghiên cứu, luận văn sử dụng những phơng pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm s phạm. 3 5. Giả thuyết khoa học Nếu đề xuất và thực hiện những biện pháp, những hớng dẫn s phạm thích hợp thì sẽ rèn luyện đợc cho học sinh THPT kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình chứa tham số, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trờng phổ thông. 6. Đóng góp của luận văn Nêu lên sự khác biệt giữa nội dung phơng trình, bất phơng trình của hai cấp học THPT và THCS, đồng thời chỉ ra đợc những khó khăn và sai lầm mà học sinh thờng gặp phải trong quá trình giải quyết các nội dung liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số. Xây dựng đợc các biện pháp s phạm theo quan điểm hoạt động, nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số. 7. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Nội dung của Luận văn gồm có 3 chơng: Chơng 1 Một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1. Kỹ năng 1.2. Về chủ đề phơng trình và bất phơng trình ở THPT 1.3. Những tình huống điển hình liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số 1.4. Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số trong dạy học Toán ở THPT 1.5. Kết luận Chơng 1 Chơng 2 Những biện pháp nhằm rèn luyện cho học sinh khá, giỏi 4 kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số trong dạy học Toán ở Trung học phổ thông 2.1. Biện pháp 1: Giúp học sinh hiểu đúng bản chất, vai trò của tham số trong bài toán 2.2. Biện pháp 2: Làm cho học sinh ý thức đợc việc phân chia trờng hợp và hình thành kĩ năng phát hiện các tiêu chí để phân chia trờng hợp trong bài toán giải và biện luận 2.3. Biện pháp 3: Hình thành khả năng phát hiện sự tơng ứng để từ đó rèn luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán 2.4. Biện pháp 4: Trang bị kiến thức về các phép biến đổi tơng đơng, giúp học sinh ý thức đợc diễn biến của tập nghiệm trong quá trình biến đổi 2.5. Biện pháp 5: Hình thành khả năng phân tích, định hớng phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số 2.3. Kết luận Chơng 2 Chơng 3 Thực nghiệm s phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm Chơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1. Kĩ năng 5 1.1.1. Khái niệm kĩ năng Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức hay thực hành nhất định cho con ngời. Để giải quyết đợc công việc con ngời vận dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm, của mình nhằm tách ra những mặt của hiện thực là bản chất đối với nhiệm vụ và thực hiện những biến đổi có thể dẫn tới chỗ giải quyết đợc nhiệm vụ. Với quá trình đó con ngời dần hình thành cho mình cách thức (kĩ năng) để giải quyết các vấn đề đặt ra. Theo giáo trình Tâm lí học đại cơng thì: Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định [23, tr. 149]. Theo Từ điển Tiếng Việt thì: Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận đợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế [40, tr. 462]. Nói chung, dù phát biểu khái niệm ở bất cứ góc độ nào, các tác giả đều thống nhất kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, ph- ơng pháp, .) để giải quyết một nhiệm vụ mới. Tuy nhiên thực tiễn giáo dục đã chứng tỏ học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những nguyên tắc đã lĩnh hội đợc vào việc giải quyết những nhiệm vụ cụ thể. Học sinh thờng khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối tợng nhận thức, đồng thời cũng không phát hiện đợc mối liên hệ bản chất giữa tri thức và đối tợng đó. Trong trờng hợp này tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận thức mà chúng trở thành một khối tri thức chết, không gắn liền với thực tiễn và không biến thành cơ sở của các kĩ năng. Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc tính khác nhau của các sự vật, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định. Nh vậy, để tri thức trở thành cơ sở để lựa chọn đúng đắn các hành động (kĩ năng) thì cần phải biết lựa chọn và 6 vận dụng đúng. Nói cách khác cần: lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính của sự vật; lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất phù hợp với mục tiêu đặt ra trớc hành động; làm sao cho hành động đảm bảo biến đổi đối tợng để đạt đợc mục tiêu. Để minh họa ta xem xét ví dụ sau: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: m.cos 2 2x 4. sinx. cosx + m 2 = 0 Tri thức phản ánh trong sự vật ở đây có rất nhiều: tham số, công thức lợng giác, phơng trình dạng bậc hai, . Để tiến hành hoạt động giải Toán ta phải lựa chọn tri thức phù hợp với mục tiêu là tìm m để phơng trình có nghiệm. Ta nhận thấy phơng trình trên có thể đa về dạng bậc hai, khi đó bài toán tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm có thể đợc giải quyết (mục tiêu) và do đó ta có thể lựa chọn phép biến đổi: - 4. sinx.cosx = - 2.sin2x và cos 2 2x = 1 sin 2 2x Nh vậy hành động biến đổi sẽ nhằm đạt đợc mục tiêu, phơng trình trở thành: m.sin 2 2x + 2.sin2x + 2 2m = 0. Khi hình thành kĩ năng thì yếu tố quan trọng nhất là năng lực nhận ra kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ kiện đã có những thuộc tính những quan hệ là bản chất đối với việc giải bài toán đã cho. Trong khi tiến hành hoạt động, các nhà Tâm lí học đã phát hiện ra một loạt nhân tố thúc đẩy hay cản trở sự hình thành các kĩ năng. Một trong những nhân tố nh vậy là: Tách ra một cách rõ ràng hay ngợc lại che đậy quan hệ bản chất của bài toán trong các dữ kiện xuất phát. Chẳng hạn, bài toán: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 902 2 2 90 90 5 (1 x ) m. 1 x (m ) (1 x) 0 4 + + + + = . Phơng trình trên thực chất là phơng trình đẳng cấp bậc hai: a. X 2 + b.X.Y + c.Y 2 = 0 7 Phơng pháp giải là không quá khó, tuy nhiên bằng sự che đậy quan hệ bản chất bằng những phép khai căn: 2 90 (1 x ) , 90 2 1 x , 2 90 (1 x)+ , nên nó gây cho học sinh khó khăn trong việc phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa trong bài toán. Ngoài ra còn có rất nhiều học sinh sẽ thấy bị choáng khi thấy căn thức bậc 90. Nhân tố khác ảnh hởng đến sự phát hiện ra quan hệ cần thiết để hành động đó là tâm thế của con ngời. Trở lại với Ví dụ có chứa căn thức bậc 90 ở trên, tâm thế của nhiều học sinh sẽ rất khó chịu với phép toán này và có thể học sinh sẽ chỉ lu ý tới căn thức bậc 90, để rồi không phát hiện đợc mối quan hệ bản chất trong bài toán. Nhân tố quan trọng để nhìn thấy mối quan hệ bản chất đối với bài toán - đó là thâu tóm đợc toàn bộ tình huống chứ không phải những yếu tố riêng biệt của nó. Nh Ví dụ trên vấn đề là phải quan sát toàn bộ phơng trình chứ không đợc tập trung chú ý vào một hạng tử, có nh vậy mới phát hiện đợc mối quan hệ bản chất đó là: 1 x 2 = (1 - x)(1 + x). (1 x) 2 = (1 - x)(1 - x). (1 + x) 2 = (1 + x)(1 + x). Để làm xuất hiện các thuộc tính bản chất của sự vật phù hợp với mục tiêu hoạt động, các nhà Tâm lí học s phạm đã đa ra một số thủ thuật làm dễ dàng cho sự suy xét, đó là: +) Những nguyên tắc giải. +) Tách ra một cách rõ rệt hay nhấn mạnh những cứ liệu và những quan hệ bản chất đối với bài toán. +) Phân tích bài toán. 1.1.2. Sự hình thành các kĩ năng 8 Sự hình thành kĩ năng - đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp các thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thu đợc từ các đối tợng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành động. Kĩ năng chỉ đợc hình thành thông qua quá trình t duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành t duy sự vật thì chủ thể thờng biến đổi, phân tích đối tợng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới. Tất cả những điều này đợc ghi lại trong tri thức của chủ thể t duy và đợc biểu hiện bằng các từ. Quá trình t duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích tổng hợp, trừu tợng hóa khái quát hóa cho tới khi hình thành đợc mô hình về một mặt nào đó của đối t- ợng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho. ở đây mỗi bớc, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tợng, thúc đẩy t duy tiến lên, đồng thời quyết định bớc tiếp theo sau của t duy. Vì các khía cạnh mới của đối tợng đợc phản ánh trong các khái niệm mới, t duy diễn ra nh là một sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần. Chẳng hạn, bài toán: Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng phơng trình sau luôn có nghiệm: a(x - b)(x - c) + b(x - a)(x - c) + c(x a)(x - b) = 0 Tiến hành phân tích đối tợng ta nhận thấy đối tợng t duy là một phơng trình dạng bậc hai: (a + b + c)x 2 + 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0 Đây là phơng trình dạng bậc hai nên để chứng minh nó có nghiệm nghĩa là phải chỉ ra: +) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình: 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0 có nghiệm. +) Nếu a + b + c 0 thì = (ab + bc + ca) 2 3abc(a + b + c) 0 Đó chính là sự diễn đạt lại bài toán và tiếp theo chủ thể lại phải diễn đạt bài toán theo khía cạnh mới. 9 Cũng không loại trừ có chủ thể diễn đạt lại bài toán nh sau: chứng minh phơng trình luôn có nghiệm có nghĩa là ta chỉ cần chỉ ra phơng trình luôn có 1 nghiệm nào đó với mọi giá trị a, b, c. Tuy nhiên, chủ thể phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đối tợng, để có thể tiến hành hoạt động giải toán. Điều này không phải mọi học sinh đều có thể thực hiện tốt. Quá trình t duy của con ngời diễn ra một cách liên tục và có tính kế thừa. Với mỗi cách diễn đạt mới là kết quả của sự phân tích và tổng hợp những kết quả của giai đoạn trớc, đợc thể hiện trong các khái niệm. Khi hoàn thành việc nghiên cứu đối tợng thì trong tri thức của chủ thể, t duy sẽ ghi lại những thuộc tính bản chất của đối tợng và nó ít nhiều sẽ giúp ích cho hoạt động sau này. Chính quá trình này sẽ thúc đẩy t duy tiến lên nhằm chinh phục đỉnh cao mới và nó làm cho con ngời luôn không tìm ra giới hạn của tri thức nhân loại. Chẳng hạn, nh S. L. Rubinstein đã chứng minh: Trong quá trình t duy nhờ phân tích và tổng hợp, đối tợng tham gia vào những mối liên hệ ngày càng mới và do đó, thể hiện qua các phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất này đợc ghi lại trong những khái niệm mới. Nh vậy, từ đối tợng dờng nh khai thác đợc nội dung ngày càng mới, nó dờng nh mỗi lần quay lại một khác và trong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới [23, tr. 155]. Theo quan điểm này, sự hình thành các kĩ năng xuất hiện trớc hết nh những sản phẩm của tri thức ngày càng đợc đào sâu. Các kĩ năng đợc hình thành trên cơ sở lĩnh hội các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau về đối tợng đang đợc nghiên cứu. Các con đờng chính của sự hình thành các kĩ năng - đó là học sinh phải tự nhìn nhận thấy những mặt khác nhau trong đối t- ợng, vận dụng vào đối tợng. Những tri thức khác nhau diễn đạt mối quan hệ đa dạng giữa đối tợng và tri thức. Có thể dạy cho học sinh kĩ năng bằng những con đờng khác nhau. Một trong những con đờng đó là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi 10