Trờng Đại học Vinh Khoa toán học -------***--------- Lê Thị Thắm Khoá luận tốt nghiệp đại học Nhóm hữu hạn địa phơng và tính địa phơng của nhóm giải đợc Ngời hớng dẫn: Ths. Nguyễn Văn Giám Vinh - 2006 Trờng Đại học Vinh Khoa toán học -------***--------- Lê Thị Thắm Khoá luận tốt nghiệp đại học Nhóm giải đợc hữu hạn và tính địa phơng của nhóm giải đợc Vinh - 2006 Lời nói đầu Trong lý thuyết nhóm, các lớp nhóm giải đợc và lớp nhóm giải đợc địa phơng đợc nghiên cứu theo các hớng chủ yếu sau : + Tìm điều kiện để cho một nhóm thuộc một trong các lớp nhóm nói trên. + Khi nào một nhóm giải đợc địa phơng là nhóm giải đợc. Tiểu luận này tiếp cận theo hớng thứ hai nói trên. Một nhóm gọi là nhóm hữu hạn địa phơng nếu mọi nhóm con hữu hạn sinh của nó đều là nhóm hữu hạn. Một nhóm hữu hạn tất nhiên là nhóm hữu hạn địa ph- ơng. Tuy nhiên điều ngợc lại không đúng. Tiểu luận đã chứng minh đợc nhóm con, nhóm thơng, mở rộng của một nhóm hữu hạn địa phơng nhờ một nhóm hữu hạn địa phơng hay tích trực tiếp các nhóm con hữu hạn địa phơng là nhóm hữu hạn địa phơng. Đặc biệt một nhóm xoắn , giải đợc địa phơng là nhóm hữu hạn địa phơng. Một nhóm gọi là có tính chất địa phơng W nếu mọi nhóm con hữu hạn sinh của nó đều có tính chất W. Tiểu luận đã chứng minh đợc rằng các RN - nhóm, RI - nhóm, RI - nhóm địa phơng đều là RN - nhóm, RI - nhóm, RI - nhóm. Tiểu luận chia thành 5 tiết : Đ1, Đ2, Đ3 trình bày hệ thống vắn tắt các khái niệm về các chuỗi chuẩn tắc, chuỗi bất biến cũng nh các kiến thức chung về nhóm giải đợc, nhóm giải đợc tổng quát. Đ4 nói về nhóm hữu hạn địa phơng. Trong tiết này đã chứng minh đợc kết quả chính là : một nhóm xoắn, giải đợc địa phơng bất kỳ là nhóm hữu hạn địa phơng (định lý 4.6) Đ5 Xét mối quan hệ giữa tính giải đợc địa phơng và tính giải đợc của các nhóm. Trong đó đã chứng minh đợc rằng : Một nhóm giải đợc địa phơng RN - nhóm, RI - nhóm, RI - nhóm là RN - nhóm (mệnh đề 5.3), RI- nhóm (mệnh đề 5.4) , RI - nhóm (mệnh đề 5.5.) Vẫn còn nhiều vấn đề đặt ra nh một nhóm giải đợc địa phơng RN*- nhóm có phải là RN * - nhóm hay không hoặc vấn đề tơng tự đối với RI * - nhóm, RK - nhóm mà tác giả cha thấy tài liệu nào nói tới. Để hoàn thành tiểu luận tác giả đã đợc sự hớng dẫn giúp đỡ của thầy giáo h- ớng dẫn ThS Nguyễn Văn Giám . Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo - ThS Nguyễn Văn Giám đã đặt vấn đề và hớng dẫn tận tình giúp đỡ, các thầy giáo cô giáo trong tổ Đại số, tập thể lớp, khoa và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi,để từ đó tác giả hoàn thành luận văn này . Với thời gian và năng lực hạn chế,chắc rằng tiểu luận còn những chỗ thiếu sót. Mong đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn. Vinh, ngày 2 tháng 5 năm 2006 Tác giả Đ1. Các chuỗi chuẩn tắc và chuỗi bất biến Định nghĩa 1.1: Cho một chuỗi hữu hạn các nhóm con lồng vào nhau của nhóm G: G = G 0 G 1 G k = E (1) Bắt đầu từ G và kết thúc tại nhóm con đơn vị E. a) Chuỗi (1) đợc gọi là chuỗi chuẩn tắc của nhóm G nếu nhóm con bất kỳ G i là ớc chuẩn thực sự của nhóm con G i-1 , i = 1, 2, . , k. Số k đợc gọi là độ dài của chuỗi (1). b) Các nhóm thơng: G/ G 1 , G 1 / G 2 , ., G k-1 / E đợc gọi là các thơng của chuỗi (1). c) Chuỗi chuẩn tắc : G = F 1 F 2 . F l = E (2) đợc gọi là mịn hoá của chuỗi chuẩn tắc (1) nếu mọi nhóm con G i trong chuỗi (1) trùng với một trong các nhóm con F j của chuỗi (2). d) Một chuỗi chuẩn tắc (1) đợc gọi là chuỗi hợp thành nếu nó không lặp lại và không mịn hoá đợc. e) Hai chuỗi chuẩn tắc của một nhóm đợc gọi là đẳng cấu với nhau nếu chúng có cùng độ dài và các thơng tơng ứng đẳng cấu với nhau. Về các chuỗi chuẩn tắc của một nhóm có hai kết quả quan trọng xin đợc nhắc lại ở đây: Định lý 1.2: (Srây) Hai chuỗi chuẩn tắc của một nhóm tuỳ ý đều có các chuỗi mịn hoá đẳng cấu. Định lý 1.3: (Jordan-Holde) Nếu nhóm G có chuỗi hợp thành thì hai chuỗi hợp thành bất kỳ của nó đẳng cấu với nhau. Định nghĩa 1.4: Chuỗi các nhóm con (1) trong nhóm G đợc gọi là chuỗi bất biến nếu G i G, i = 1,2, . , k. Nhận xét: Một chuỗi bất biến trong nhóm G sẽ là chuỗi chuẩn tắc của nhóm đó. Định nghĩa 1.5: Chuỗi các nhóm con G = H 0 H 1 . H k = E đợc gọi là chuỗi chính của nhóm G nếu với mọi H i , i = 1, 2 , k là ớc chuẩn cực đại của nhóm G, đợc chứa trong H i-1 với t cách là nhóm con thực sự. Đ2. Nhóm giải đợc I. Định nghĩa nhóm giải đợc Định nghĩa 2.1: Một nhóm G đợc gọi là nhóm giải đợc nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau: 1) Nhóm G có một chuỗi chuẩn tắc giải đợc hữu hạn. 2) Nhóm G có một chuỗi bất biến giải đợc hữu hạn. 3) Dãy giảm các đạo nhóm của nhóm G dừng tại nhóm con đơn vị sau một số hữu hạn bớc. Định lý 2.2: Ba điều kiện trong định nghĩa 2.1 của nhóm giải đợc là tơng đ- ơng. Chứng minh: + Rõ ràng từ 2) suy ra 1). + Từ 3) suy ra 2) vì dãy giảm các đạo nhóm nếu sau một số hữu hạn bớc dừng tại nhóm con đơn vị sẽ trở thành dãy bất biến giải đợc hữu hạn. + Ta chứng minh 1) suy ra 3) : Giả sử K (i) là đạo nhóm thứ i của nhóm G và giả sử G có chuỗi chuẩn tắc giải đợc hữu hạn: G = H 0 H 1 . H n = E Do nhóm thơng G/ H 1 aben nên H 1 K'. Giả sử đã chứng minh đợc H i K (i) . Từ nhóm thơng H i / H i+1 aben, suy ra H i+1 chứa đạo nhóm của nhóm H i và do đó H i+1 chứa đạo nhóm của nhóm K (i) . Vậy H i+1 K (i+1) . Từ H n = E suy ra K (n) = E. Định lý đợc chứng minh . II. Các tính chất của nhóm giải đợc Tính chất 1: Mọi chuỗi chuẩn tắc của một nhóm giải đợc đều có thể mịn hoá thành một chuỗi giải đợc. Vì vậy, mọi ớc chuẩn của một nhóm giải đợc, đợc chứa trong một chuỗi giải đợc nào đó. Tính chất 2: Nhóm thơng của một nhóm giải đợc là nhóm giải đợc. Tính chất 3: Nhóm con của một nhóm giải đợc là nhóm giải đợc Tính chất 4: Mở rộng của một nhóm giải đợc nhờ một nhóm giải đợc là nhóm giải đợc. Tính chất 5: Tích trực tiếp của hai, và do đó tích trực tiếp của một số hữu hạn các nhóm giải đợc là nhóm giải đợc. Việc chứng minh các tính chất trên không có gì khó. Chẳng hạn, ta chứng minh tính chất 4: Để chứng minh tính chất này ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Nếu trong một nhóm G đã cho một chuỗi chuẩn tắc G = G 0 G 1 . G k = E (1) Thì mọi nhóm con F của nhóm G đều có chuỗi chuẩn tắc mà các thơng của nó đẳng cấu với các thơng của chuỗi (1). Chứng minh: Thật vậy, đặt : F i = F G i , i = 1,2 k . Từ bổ đề Zaxenhao: Nếu U,V là các nhóm con của nhóm G, u U, v V thì: u(U V) v(U V) u(U v ) v(u V) ở đây, nếu ta lấy U = F, u = E, V= G i-1 , V = G i thì ta có: F i F i-1 và F i-1 / F i G i F i-1 / G i Nhng G i-1 G i F i-1 G i tức là nhóm thơng F i-1 / F i đẳng cấu với nhóm con của nhóm thơng G i-1 / G i. Ta có chuỗi: F = F 0 F 1 . F k = E là chuỗi chuẩn tắc cần tìm của F. Bổ đề đợc chứng minh. Từ bổ đề trên, bỏ đi các bớc lặp trong chuỗi chuẩn tắc của F ta có chuỗi giải đợc trong F. Vậy F là nhóm giải đợc. Đ3. Nhóm giải đợc tổng quát Khái niệm chuỗi giải đợc của một nhóm có thể tổng quát hoá đến một hệ chuẩn tắc hay hệ bất biến giải đợc vô hạn các nhóm con của nhóm. Cụ thể ta có: Định nghĩa 3.1: a) Một hệ các nhóm con lồng nhau U = [ A ] chứa E và G của nhóm G đợc gọi là hệ chuẩn tắc của nhóm G nếu thoả mãn điều kiện: A , A +1 U thì A A +1 b) Nếu với mọi A U, A G ta có hệ gọi là hệ bất biến. c) Một hệ chuẩn tắc U của nhóm G không mịn hoá đợc gọi là hệ hợp thành. d) Một hệ bất biến U của nhóm G không mịn hoá đợc gọi là hệ chính. Định nghĩa 3.2: Một hệ chuẩn tắc hay hệ bất biến của nhóm G đợc gọi là hệ giải đợc nếu các thơng của nó đều là nhóm aben. Định nghĩa 3.3: Một nhóm G đợc gọi là: a) RN nhóm nếu nó có một hệ chuẩn tắc giải đợc b) RI Nhóm nếu nó có một hệ bất biến giải đợc. c) RK nhóm nếu chuỗi đạo nhóm của nó có thể kéo dài đến nhóm con đơn vị. d) RN Nhóm nếu nó có một hệ hợp thành giải đợc e) RI Nhóm nếu nó có một hệ chính giải đợc. g) RN* - Nhóm nếu nó có một chuỗi chuẩn tắc tăng giải đợc h) RI* - Nhóm nếu nó có một chuỗi bất biến tăng giải đợc. * Nhận xét 1: + RK - nhóm là RI - nhóm và do đó là RN - nhóm . Chứng minh : Thật vậy, nếu G là RK - nhóm thì trong G chuỗi các đạo nhóm của G có thể kéo dài đến đơn vị. Theo định lý 2.2. thì G là nhóm giải đợc và do đó trong G có chuỗi bất biến giải đợc. Chuỗi bất biến giải đợc chính là hệ bất biến giải đợc của G và do đó G là RI - nhóm. Cũng lại do định lý 2.2. thì trong G có chuỗi chuẩn tắc giải đợc hữu hạn . Chuối chuẩn tắc giải đợc hữu hạn cũng chính là hệ chuẩn tắc giải đợc hữu hạn của G và do đó G là RN - nhóm. * Nhận xét 2: RN - nhóm và RI - nhóm sẽ tơng ứng là RN - nhóm và RI - nhóm Chứng minh : + Nếu G là RN - nhóm thì trong G có một hệ chuẩn tắc U = [A ] giải đợc chứa E. Mịn hoá hệ U đến một chuỗi hợp thành ta có G là RN - nhóm . + Nếu G là RI - nhóm thì trong G có một hệ U = [A ] bất biến chứa E. Mịn hoá U đến một chuỗi chính ta có G là RI - nhóm . *Nhận xét 3: Nhóm tự do là RK - nhóm và một nhóm bất kỳ có thể xem là nhóm thơng của một nhóm tự do thì nhóm thơng của RK - nhóm có thể không phải là RK - nhóm. Ta cũng có nhận xét tơng tự nh vậy đối với RI - nhóm hay RN - nhóm. Mệnh đề 3.4: Nhóm con của nhóm RK, RI, RN - nhóm tơng ứng cũng là RK, RI, RN- nhóm . Chứng minh : + Giả sử G là RK - nhóm , A là một nhóm con tuỳ ý của nhóm G . Khi đó trong G có hệ chuỗi các đạo nhóm của nó [G (n) ] dừng tại nhóm con đơn vị E. Xét hệ [G (n) A] sẽ là hệ bất biến giải đợc của A và do đó A là nhóm giải đợc. Theo định lý 2.2. thì trong A chuỗi các đạo nhóm của A dừng tại nhóm con đơn vị E và do đó A là RK - nhóm. Chứng minh tơng tự đối với RI, RN - nhóm . Mệnh đề 3.5: Nhóm thơng của RN - nhóm RI( - nhóm) cũng là RN - nhóm RI( - nhóm ). Chứng minh : Giả sử G là RN - nhóm, H G. Giả sử U là hệ hợp thành giải đợc trong G, qua phép chiếu chính tắc hệ U sẽ chuyển thành hệ hợp thành giải đợc trong nhóm thơng G/H. Vậy G/H là RN - nhóm . Với RI - nhóm,chứng minh hoàn toàn tơng tự. Mệnh đề 3.6: Nhóm con và nhóm thơng của các nhóm là RN* - nhóm (hay RI* - nhóm ) cũng là RN * - nhóm (hay RI * - nhóm) . Chứng minh: Giả sử trong nhóm G cho H G. U là chuỗi chuẩn tắc tăng giải đợc trong H. Từ U ta lập chuỗi E H G (1) Mịn hoá chuỗi (1) đến một chuỗi giải đợc, ta có chuỗi chuẩn tắc tăng giải đợc trong G. Từ đó suy ra chuỗi chuẩn tắc tăng giải đợc trong G/H. Tơng tự với chứng minh nhóm thơng của RI * - nhóm Với nhóm con kết quả là hiển nhiên . Mệnh đề 3.7: . nhóm hữu hạn. Mệnh đề 4.1: Nhóm con và nhóm thơng của nhóm hữu hạn địa phơng là nhóm hữu hạn địa phơng. Chứng minh: + Nếu G là nhóm hữu hạn địa phơng và. trên. Một nhóm gọi là nhóm hữu hạn địa phơng nếu mọi nhóm con hữu hạn sinh của nó đều là nhóm hữu hạn. Một nhóm hữu hạn tất nhiên là nhóm hữu hạn địa ph-