Công nghệ tin học và một số bài toán cơ kĩ thuật Đỗ Sanh 1 , Đinh Văn Phong 1 , Nguyễn Thanh Thuỷ 2 , Nguyễn Nhật Quang 3 , Phan Mạnh Dần 1 , Đỗ Đăng Khoa 1 . 1) Bộ môn Cơ học ứng dụng 2) Trung tâm tính toán hiệu nâng cao 3) Công ty tin học Hài Hoà 1. Mở đầu Việc sử dụng công nghệ thông tin để giải quyết các bài toán khoa học kỹ thuật là xu huớng tất yếu của thời đại. Tuy nhiên khác với nhiều năm trớc đây xu thế này đang có nhiều đòi hỏi cấp thiết hơn, cả từ phía công nghệ thông tin cũng nh từ phiá các lĩnh vực kỹ thuật sử dụng công nghệ này . Những đòi hỏi này yêu cầu có sự họp tác chặt chẽ hơn nữa giữa các cán bộ nghiên cứu và phát triển ứng dụng, ngay từ khi bài toán đợc hình thành cho đến công đoạn cuối cùng của việc giải quyết các bài toán. Từ phía công nghệ thông tin, sự phát triển mạnh mẽ của các kỹ thuật mới đặc biệt là của các thiết bị phần cứng . đã tạo ra rất nhiều triển vọng về tốc độ tính toán, khả năng thể hiện và lu trữ thông tin . Tuy nhiên ở Việt nam điều này có vẻ nh mới chỉ dừng ở việc tạo ra các công cụ và cha tìm ra đợc các bài toán cụ thể để sử dụng các khả năng mới này. Trong tham luận dới đây chúng tôi xin đề cập và phân tích một số ví dụ về khả năng sử dụng máy tính tốc độ cao trong việc giải quyết các bài toán cơ học. Thông qua việc mô tả các yêu cầu của bài toán cơ trong việc xây dựng phơng trình chuyển động, giải các phơng trình này để dẫn đến việc mô phỏng và điều khiển các hệ cơ học, các ứng dụng của công nghệ cao trong lĩnh vực công tin học nh: xử lý song song, xử lý thời gian thực, mô phỏng, xử lý đồ hoạ động . sẽ đợc đề cập 2. Bài toán thứ nhất: bài toán ngợc động học của robot Ta xét bài toán ngợc điều khiển tối u động học của rôbốt. Nội dung của bài toán nhằm giải quyết bài toán ngợc một cách tổng quát dựa trên phơng pháp tối u số và mô phỏng hoạt động của rô bốt trong không gian đồ hoạ ba chiều. 2.1. Đặt bài toán Bài toán này khảo sát bài toán ngợc điều khiển động học rô bốt. Bài toán xác định qui luật thay đổi theo thời gian của các thông số định vị, thông số vận tốc của tay máy để nó nắm bắt đợc đối tợng di động. Để tăng độ êm cho tay kẹp khi nắm bắt đối tợng (tránh va chạm) cần phải điều khiển để vị trí của tay kẹp không chỉ bắt đợc đối tợng mà vận tốc và hớng của tay kẹp cũng cần trùng với vận tốc và hóng của đối tợng. Khi thực hiện yêu cầu này luôn có sự sai lệch về vị trí và vận tốc của tay kẹp so với vị trí và vận tốc của đối tợng. Bài toán điều khiển tối u đặt ra là tìm các thông số điều khiển để tổng bình phơng các sai lệch vị trí và vận tốc bé nhất. 2.2 Cơ sở lý thuyết. 2.2.1 Các công thức động học rôbốt xác định vị trí và vận tốc Khi khảo sát robot ta thờng ta sử dụng phơng pháp ma trận Denavit- Hartenberg, trong đó sự liên kết giữa các khâu của robot đợc thề hiện qua ma trận truyền có dạng sau: cos( ) cos( ).sin( ) sin( ).sin( ) .cos( ) sin( ) cos( ).cos( ) -sin( ).cos( ) .sin( ) 0sin() cos() 00 0 1 jjjjjkj jjj jjkj jjj a a d = j j-1 H (2.1) trong đó các tham số có ý nghĩa nh sau: j là góc quay trục x j-1 đến trục x j quanh trục z j-1 , d j là đoạn dịch trục x j-1 đến trục x j dọc trục z j-1 , a j là đoạn dịch trục z j-1 đến trục z j dọc trục x j-1 , j là góc quay trục z j-1 đến trục z j quanh trục x j-1 . Ma trận truyền toàn thể có dạng: () () () () 12 n qq q tay kep 1 2 n n de 0 1 n-1 0 H = H .H H = H q () n 0 Hq có dạng: () () 1 R qpq 0 (2.2) trong đó hệ toạ độ đế rô bốt kí hiệu là 0, hệ toạ độ tay kẹp rô bốt kí hiệu là n, q là ma trận nx1 của các toạ độ suy rộng, chúng là các thông số định vị của rôbốt. R(q) là ma trận 3x3 xác định hớng của tay kẹp, p(q) là vectơ 3x1 xác định vị trí đầu bàn kẹp so với hệ đế. Ba cột của ma trận R tơng ứng với hớng của ba vectơ đơn vị trên hệ gắn với tay kẹp so với hệ đế rôbốt (hệ toạ độ nền). Vị trí của một điểm P thuộc tay kẹp đợc xác định theo công thức : () 0 n pp r=H qr (2.3) trong đó p r là vectơ định vị điểm P thuộc tay kẹp so với hệ toạ độ nền, p r là vectơ định vị điểm P trong hệ toạ độ gắn vào tay kẹp rôbốt. Từ công thức (2.3) ta dễ dàng xác định đợc vận tốc điểm P gắn vào tay kẹp rôbốt so với hệ toạ độ nền : pp np 0 v=r=H.r & & (2.4) Để tiến hành điều khiển hoạt động của từng khâu rôbốt, ta tiến hành biểu diễn ma trận n 0 H & dới dạng sau : n n(i) 0i i=1 H= Hq & & (2.5) trong đó H (i) là ma trận ứng với khớp i và chỉ phụ thuộc vào biến khớp, p r & là véc tơ vận tốc của điểm cuối tay kẹp so với hệ toạ độ nền, n 0 H & là ma trận đạo hàm của ma trận Denavit-Hartenberg giữa hệ toạ độ nền với hệ toạ độ gắn vào tay kẹp, i q & là vận tốc của chuyển động tại khớp thứ i. Đối với bài toán thuận động học, tức là biết các toạ độ suy rộng và các vận tốc suy rộng, ta có thể tính ra đợc vị trí và vận tốc của bàn kẹp. Tuy nhiên bài toán ngợc thì phức tạp hơn nhiều nếu ta xét đến các vị trị suy biến, các vị trí nằm ngoài khu vực hoạt động của robot ., lúc đó thông thuờng ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn để tìm ra lời giải, tức là các toạ độ suy rộng và các vận tốc suy rộng của các khớp 2.2.2 Bài toán điều khiển tối u với bài toán ngợc. Mục đích của bài toán tối u là tìm ra các thông số định vị và vận tốc của rôbốt khi cho rôbốt nắm bắt một đối tợng đang chuyển động. Với dữ liệu đầu vào là vị trí, vận tốc và hớng nắm bắt đối tợng, ta giải quyết bài toán bằng phơng pháp tối u với hàm mục tiêu có dạng: ()()()()() () ()()() 22222 ***** 12 345 222 2 *** * 67 8 9 PPPPP PPP P xx yy zz Frx x ry y rz z rx x ry y rz z rR R rR R rR R =++++ ++ + + && & & && (2.6) Trong đó: *** ,,xyz là toạ độ hiện thời của đối tợng di chuyển. *** ,,xyz &&& là vận tốc hiện thời của đối tợng di chuyển. *** ,, xyz RRR là hớng cần nắm bắt đối tợng. ,, PPP xyz là toạ độ hiện thời của đầu tay kẹp rôbôt. ,, PPP xyz &&& là vận tốc hiện thời của đầu tay kẹp rôbôt. ,, PPP xyz RRR là hớng tay kẹp rôbôt. r1->r9 là các trọng số Từ các thông số cha biết là hàm của các thông số định vị và thông số vận tốc của rôbốt. () ( ) () () ( ) () () ( ) () (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) ,,, ,,, ,,, pP P xxxx pP P yyyy pP P zzzz xf xf Rf yf yf Rf zf zf Rf == = == = == = qqqq qqqq qqqq & & & & & & (2.7) Ta thu đợc hàm mục tiêu F có dạng: () , FF = qq & (2.8) Hàm mục tiêu F là hàm chỉ phụ thuộc vào các thông số định vị và thông số vận tốc. Khi cho F -> min ta sẽ thu đợc các thông số định vị và thông số vận tốc: ,q q & . Ưu điểm của phơng pháp này là có thể dùng để giải quyết bài toán ngợc của rôbốt một cách tổng quát và mềm dẻo mà không bị giới hạn bởi số bậc tự do của rôbốt. Với mức độ phức tạp của bài toán, nhất là đối với các bài toán tổng quát cần thiết phải sử dụng các phơng pháp số để giải quyết bài toán tối u. Việc này đòi hỏi phải co các thuật giải tối u tốt. Các hàm mục tiêu đòi hỏi việc tính toán xác định vị các thông số của đối tợng động lúc đang di chuyển. Các thông số này có thể đợc đa vào dới dạng hàm giải tích, tuy nhiên hoàn toàn có thể sử dụng các dữ liệu đợc đa vào theo tùng thời điểm (ví dụ sử dụng camera .). Điều này rõ ràng đa ra những yêu cầu về các khả năng tính toán và xử lý thông tin của các máy tính. Tơng tự nh vậy có thể thấy rằng mỗi bớc tối u đòi hỏi phải giải quyết bài toán thuận nhiều lần, điều này đòi hỏi khá cao về tốc độ, thời gian tính toán để có thể bắt kịp đối tợng đang di chuyển. 2.2.3 Mô phỏng đồ hoạ động của robot Để minh hoạ và theo dõi quá trình làm việc của robot ta có thể mô phỏng quá trình hoạt động của robot thông qua việc xây dựng đồ hoạ động cho mô hình. Có nhiều kỹ thuật để xây dựng thực trạng ảo hỗ trợ cho muc đich này. Nhóm nghiên cứu đã xây dng chơng trình máy tính viết bằng ngôn ngữ C++ sử dụng công cụ lập trình Visual C++ 6.0 có sự hỗ trợ của th viện đồ hoạ OpenGL. Lý do để chọn các công cụ này là ta có thể sử dụng chúng trên các máy tính cá nhân thông thờng 2.3 Đánh giá qua ví dụ cụ thể Nhóm nghiên cứu đã xây dựng chơng trình mô phỏng quá trình nắm bắt đối tuợng của robot Gryphon. Toàn bộ qua trình mô phỏng đợc thực hiện trên các máy tính cá nhân thông thờng với bộ vi xử lý Pentium III. Robot Gryphond do hãng Feedback của Anh sản xuất phục vụ cho mục đích nghiên cứu. Đây là một rôbốt năm trục: trục hông, trục vai, trục khuỷu tay, trục cổ tay (pitch), trục cổ tay (roll) va bàn kẹp, xem hình vẽ 1. Hình 1 Những u điểm nổi bật của rôbốt là chuyển động nhanh, chính xác và mềm mại. Rôbốt đợc điều khiển bởi bốn vi xử lý cho phép điều khiển đặt vật chính xác. Mỗi trục của rôbốt đợc điều khiển bởi một động cơ bớc với bộ mã hoá phản hồi. Trong bộ điều khiển, một vi xử lý sẽ giám sát vị trí của các trục. Hai cái khác sẽ quản lý các động cơ và cái còn lại sẽ giám sát cả ba cái trên đồng thời làm nhiệm vụ giao tiếp với máy chủ. Việc tính toán mô phỏng trên máy tính cá nhân đợc thực hiện thông qua các công thức đã đợc trình bày sơ lợc trong phần 2.2. Trong bài toán tối phơng pháp tối u số đợc sử dụng là phơng pháp Rosenbrock. Đây là phơng pháp không cần tính đến các giá trị đạo hàm của hàm mục tiêu và sẽ tìm các giá trị tối u của hàm số theo các hớng xác định trong mỗi giai đoạn của quá trình tìm kiếm. Kết quả tính toán cho thấy các thuật giải hoạt động tốt. Các kết quả mô phỏng và giá trị của các toạ độ suy rộng là liên tục ở mọi vị trí của quĩ đạo. Điều đó cho phép robot hoạt động mềm mại và nắm bắt đối tợng tơng đối êm. Tuy nhiên tốc độ thể hiện đồ hoạ động thì còn xa mới có thể đạt đợc khả năng mô phỏng thời gian thực. Điều này là hoàn toàn dễ hiểu vì toàn bộ chong trình chỉ chạy trên 1 máy tinh cá nhân theo thuật giải "thẳng". Đây chính là điểm có thể ứng dụng công nghệ thông tin ngõ hầu tăng tốc độ tính toán và mô phỏng. Có nhiều cách để có thể đạt đợc mục đích này. Điều đó phụ thuộc vào các công cụ phần cứng và mềm mà chúng ta có trong tay. Liên quan đến việc sử dụng các thuật giải song song để giải quyết bài toán trên, ta có thể "song song hoá" quá trình tính toán, đợc mô tả trong phần 2.2 ở các phần sau: Trong việc giải quyết bài toán tối u, các giá trị của các ma trận thành phần, các phần tử trong công thức (2.1), (2.2), . đợc xử lý đồng thời. Việc thể hiện (vẽ) các khâu khác nhau của robot trong quả trình mô phỏng đợc xử lý đồng thời. Các vấn đề này cần đợc nghiên cứu, thử nghiệm và đánh giá chính xác, so sanh giữa các trờng hợp có 1 máy tính (1 vi xử lý) và các hệ máy tính chứa nhiều vi xử lý hon. 3. Vi dụ thứ 2: động lực hoc hệ nhiều vật Trong phần này ta xét đến một số vấn đề xuất hiện trong quá trình tính toán mô phỏng động lực học hệ nhiều vật. Quá trình mô phỏng băt đầu từ việc xây dụng phơng trình chuyển động, giải và mô phỏng động hệ cơ nhiều vật. 3.1 Cơ sở lý thuyết Việc mô phỏng số các hệ cơ nhiều vật là vấn đề thời sự, càng ngày càng đuợc quan tâm nhiều hơn trong 2 thập kỷ vừa qua. Trên thế giới hiện đã tồn tại một số phần mềm trong lĩnh vực này nh: ADAMS, SIMPACK, NEWEUL, ALASKA, Chúng có thể đợc sử dụng trong cả các lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng công nghiệp. Tuy nhiên các phần mềm này đều có những nhợc điểm riêng, nh xử lý đồ hoạ và giao diện cha tốt, khả năng xử lý thời gian thực cha có . và hơn thế nữa giá thành cao. Việc nghiên cứu xây dng một chơng trình phù họp với điều kiện Viêt nam đã đuợc tiến hành từng buớc và đã đạt đợc một số kết quả, thông qua việc xây dựng gói chơng trình bao gồm nhiều module phục vụ mô phỏng. Để viết phơng trinh chuyển động của hệ cơ nhiều vật ta có thể dùng nhiều phơng pháp khác nhau. Để minh hoạ ta có thể sử dụng phuơng trinh hay đợc nhắc đến nhiều nhất: phơng trình Lagrange loại II. Nếu sử dụng các toạ độ suy rộng đủ q i , i=1,2, .n với n là số bậc tự do của cơ hệ, thì phơng trinh Lagrange loại II đợc viết nh sau: dT T dt = Q qq & TT (3.1) trong đó T là tổng động năng của cả cơ hệ, Q là vector các lực suy rộng, q và q & là các vector toạ độ suy rộng và vận tốc suy rộng, t là biến thời gian. Ta có hệ phơng trình vi phân thờng cấp 2 (ODE). Đối với hệ cơ nhiều vật thông thờng ngòi ta hay sử dụng các tạo độ suy rộng d, nh thế phơng trinh Lagrange loại II sẽ đợc thay bằng phơng trình Lagrange dạng nhân tử. Trong phơng trình (3.1) sẽ xuất hiện thêm các nhân tử Lagrange và các đạo hàm riêng của các phơng trinh liên kết theo các toạ độ suy rộng q i . Cùng với các phong trình liên kết ta sẽ thu đợc hệ phơng trình vi phân đại số (DAE). Để có thể xây dựng đợc phong trình chuyển động cần thiết phải tính đợc biêủ thức động năng của cả cơ hệ và các đạo hàm riêng của nó theo các toạ độ suy rộng và các vận tốc suy rộng. Động năng T của cả cơ hệ đợc tính nh tổng động năng của tất cả các vật thuộc cơ hệ: 1 N k k TT = = (3.2) với T k là động năng của vật thứ k và N là số vật rắn thuộc cơ hệ. Động năng T k của từng vật đợc tính theo các yếu tố động học của vật rắn đó. Đây là công đoạn khá phức tạp và đòi hỏi những thuật toán tốt để xử lý, đồng thời cũng tốn nhiều thời gian tính toán. Dới dạng ma trận liên quan đến các toạ độ và vận tốc suy rộng, động năng của cả cơ hệ đợc viết nh sau: 1 2 T T = qAq && (3.3) trong đó A là ma trận quán tính của cơ hệ. Khi thiết lập phơng trình chuyển đông, cần thiết phải tính các phần tử của ma trận này cũng nh các đạo hàm riêng của chúng. Các giai đoạn tiếp theo của bài toán mô phỏng liên quan nhiều hơn đến các vấn đề của tin hoc và toán ứng dụng. Chủ yếu đó là vấn đề giải các phơng trình vi phân đại số (DAE) và hiển thị các kết quả tính toán Lý thuyết phuơng trinh vi phân thờng đã đợc nghiên cứu từ thế kỷ 19, các sơ đồ tính toán, tốc độ, hội tụ, . đã đợc khảo sát kỹ lỡng. Tuy nhiên với phơng trình vi phân đại số thi mọi thứ mói chỉ là bắt đầu, nhất là đối với những hệ nh hệ cơ học. Khoảng hơn 10 năm trớc đã bắt đầu xuất hiện những phần mềm để giải quyết vấn đề này với ý nghĩ đơn giản là chúng sẽ chạy tốt trong mọi trờng hợp, ví dụ nh DASSL. Tuy nhiên chỉ sau đó ít lâu, ngời ta đã thây ngay rằng, đối với những phơng trình nh phơng trình chuyển động của các hệ cơ học thì vấn đề phức tạp hơn rất nhiều và không thể sử dung đợc các chơng trình kể trên. Vấn đề đồ hoạ thì cũng tuơng tự nh đã phân tich trong phần 2. Nó sẽ gây trở ngại rất lớn trong việc mô phỏng thời gian thực 3.2 Gói chơng trình mô phỏng Một gói chơng trình phuc vụ cho việc mô phỏng động lực học hệ nhiều vật đã đựơc xây dng tại bộ môn Cơ học ứng dụng, trờng đại học Bách khoa Hà nội. Chơng trình đã đợc sử dung để mô phỏng một số cơ hệ trong các chong trình nghiên cứu. Gói chơng trình mô phỏng đợc thiêt kế theo sơ đồ sau: Về chơng trình tính toán và các kết quả tính toán mô phỏng có xem thêm [5] 3.3 Đánh giá Kết quả tinh toán cho thấy gói chơng trình có thể đợc sử dụng vào việc mô phỏng các bài toán ng dụng trong kỹ thuật. Từ sơ đồ trên hình 2 có thể nhận thấy khả năng giao diện, kết nối và mô phỏng. Tuy nhiên để có thể sử dung vào việc mô phỏng thời gian thực thi càn phải tăng tốc độ tinh toán lên rất nhiều. Đây chính là những phần mà việc tính toán hiệu năng cao có thể giảI quyết và đem lại hiệu quả. Viêc tính toán các biêu thức động năng cho từng vật rắn trong công thức (3.1) và (3.2), có thể đơc tiến hành đồng thời. Điều này sẽ giúp cho việc song song hoá quá trĩnh xây dựng phơng trình chuyển động. Tệp (.eqt) Tệp tham số (.in) Fortran Code (.for) Kết quả tính toán (.txt) Mô phỏng đ ộng Đồ thị, bản g biểu Bản vẽ kỹ thuật (.dw g) Sửa chữa Điều kiện đầu FF Module Thiết lập phơng trình tự động Dịch Phân tích Ghép nối Thiết lập phơng trình riêng biệt Các tham số h ệ Gói DAESOL Hình 2: Sơ đồ tính của chơng trình DAESOL Tệp chơng trình (exe) Th viện động (.dll) Tệp chứa vật (.bdf) Việc tính toán các đạo hàm của ma trận quán tính hoặc biểu thức động năng co thể đợc tiên hanh theo 2 cách: đạo hàm số hoặc xử lý symbolic. Với cách thứ nhât, tạI mỗi thời điểm, cần phảI tính toán lai, nh thế khối lợng các phép tính số học rất lớn, yêu cầu về khả năng và tốc độ tinh toán đều rất cao. Nếu sử dụng phơng án thứ 2 thi việc xử lý xâu ký tự cũng đòi hỏi có các thuật giải song song va máy tinh mạnh. Trong nhiều vấn đề khác nh giải phơng trình vi phân đại số, giao diện với AutoCAD, đồ hoạ động, đều cần nghiên cứu kỹ lỡng và so sánh để co thể thức hiện các cải tiến nhằm nâng cao tốc độ tính toán. 4. Khai thác hớng xử lý song song Qua việc phân tích 2 bài toán ở trên ta thấy việc khai thác triệt để hớng xử lý song song có thể giúp giải quyết đợc nhiều vấn đề mà các máy tinh thông thơng cha giảI quyết đợc. Trong cơ hoc còn tồn tạI nhiều vấn đề mà hớng song song còn có thể giúp giải quyết tốt. Có thể nêu ra dới đây một số hớng ứng dụng. - Các bài toán có thứ nguyên lớn, nhng có thể song song hoá thuật giải để tăng tốc đọ tính toán va hiệu quả. Vi du nh bài toán điều khiển tối u động học hoặc bàI toán động lực hoc của các robot, trong đõ viêc tinh toán cho các khâu ở một chừng mực nào đó có thể đợc thực hiện độc lập với nhau. - Các bàì toán phức tap cần xử lý nhanh và có yêu cầu về thời gian thực, có yêu cầu xử lý giữa đáp ứng và phản hồi nh mô phỏng đo đạc,. Đối với những bài toán này nhiều khi phải có việc xử lý và trao đổi nhanh thông tin dữ liệu giữa các hệ khác nhau: Cơ, Điện, Điện tử, - Xây dựng một chơng trình tính toán hoàn chỉnh gồm đầy đủ các giai đoạn từ việc thiết lập các phơng trình chuyển động đên việc kết xuất thông tin, kết hợp với hardware-in-the-loop, operator-in loopViệc xử lý và xây dựng các phuơng trình theo huong phuơng trình Lagrange hoặc Newton-Euler hoặc theo một huơng khác đều đòi hỏi viẹc xử lý một khối lợng lớn các dữ liệu, đặc biệt là khi ta khai thác đên khía cạnh có các liên kết. Một chơng trình nh vậy sẽ có nhiều ứng dụng cụ thể trong các bài toán thực tế, vi dụ lái ô-tô 5. Kết luận Trong các phần trên ta đã phân tích một số bài toán và huớng phát triển của cơ học từ khía cạnh co s hỗ trợ của công nghệ thông tin nh thế nào. Các công nghệ này không chỉ đơn thuần là các máy tính với các phần mềm và phần cứng bình thuờng. Việc sử dụng các công nghệ tính toán mạnh có thể đem lại nhiều hiệu quả phục vụ cho việc tính toán mô phỏng các hệ cơ học. Trong nhiều trờng hợp các kết quả tính toán, chơng trình đã đuợc thực hiên trên những máy tính đơn lẻ thông thờng. Để có thể tiếp tục phát triển và đa vào các bài toán phức tạp hơn nh: điều khiển, mô phỏng thời gian thực, tạo hiện thực ảo,. thì bên cạnh việc nghiên cứu các thuật giải, các phơng pháp của cơ học các công cụ tin học là thành phần không thể thiếu đợc. Chỉ có sự kết hợp chặt chẽ cả 2 mảng này mới có thể đạt đợc hiệu quả cần thiết trong các bài toán ứng dụng. Tài liệu tham khảo 1. Robert. J. Schilling,.1990,Fundamentals of Robotíc Analysis and Control, Prentice Hall. 2. Haug. EJ, 1989, Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems, Volume 1:Basic method, Alyn and Bacon, New York . 3. Mason Woo, Jackie Neider, Tom Davis, 1997, OpenGL Programming Guide,.Addison-Wesley Developers Press. 4. Đinh Văn Phong, Đỗ Sanh, Nguyễn Trọng Thuần, Đỗ Đăng Khoa, 2002, Điều khiến tối u động học robot công nghiệp. Tuyển tập các công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc, Hà nội, 2002. 5. Phan Manh Dan, Dinh Van Phong: On a Toolkit for Simulation of Constrained Mechanical system. Proceedings of the Seventh National Congress on Mechanics, Hanoi, 2002. . trên ta đã phân tích một số bài toán và huớng phát triển của cơ học từ khía cạnh co s hỗ trợ của công nghệ thông tin nh thế nào. Các công nghệ này không chỉ. môn Cơ học ứng dụng 2) Trung tâm tính toán hiệu nâng cao 3) Công ty tin học Hài Hoà 1. Mở đầu Việc sử dụng công nghệ thông tin để giải quyết các bài toán