Mặt biến phức và Hàm biến phức Chương 1. Mặt phẳng phức và hàm biến phức Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 10-104. Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Mặt phẳng phức, Khai căn số phức, Môđun, Acgumen, Topo trên mặt phẳng phức, Phần trong và phần ngoài, Điểm tụ, Điểm biên, Tập compact, Tập liên thông, Phép đồng luân, Ánh xạ đơn diệp, Tính liên tục, Tính liên tục đều, Chuỗi trong miền phức, Hàm argz. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Chu . o . ng 1 M˘a . tph˘a ’ ng ph´u . cv`ah`am biˆe ´ n ph´u . c 1.1 Tˆa . pho . . psˆo ´ ph´u . c, m˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c 11 1.1.1 D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c . 12 1.1.2 Da . ng da . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c . 16 1.1.3 Ph´ep tr`u . v`a ph´ep chia sˆo ´ ph´u . c . 18 1.1.4 M˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c . 19 1.1.5 Mˆodun v`a acgumen cu ’ asˆo ´ ph´u . c 20 1.1.6 Ph´ep khai c˘an sˆo ´ ph´u . c 28 1.1.7 Da . ng m˜u cu ’ asˆo ´ ph´u . c 29 1.1.8 Kh´ai niˆe . mvˆe ` m˘a . t ph˘a ’ ng mo . ’ rˆo . ng . 30 1.1.9 Khoa ’ ng c´ach trˆen C . 33 1.2 C´ac kh´ai niˆe . m tˆopˆo co . ba ’ n trˆen m˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c 3 5 1.2.1 Tˆopˆo trˆen C . 36 1.2.2 Phˆa ` n trong v`a phˆa ` nngo`ai 38 1.2.3 D - iˆe ’ mtu . 39 1.1. Tˆa . pho . . psˆo ´ ph´u . c, m˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c 11 1.2.4 Biˆen cu ’ atˆa . pho . . p . 40 1.2.5 Tˆa . pho . . p comp˘a ´ c . 41 1.2.6 Tˆa . pho . . pliˆenthˆong 42 1.2.7 H`am ph´u . cbiˆe ´ n thu . . c. Tuyˆe ´ nv`ad u . `o . ng cong . . . . 46 1.2.8 Ph´ep dˆo ` ngluˆan 53 1.2.9 Miˆe ` ndo . n liˆen v`a d aliˆen . 56 1.3 H`am biˆe ´ nph´u . c 59 1.3.1 D - i . nh ngh˜ıa h`am biˆe ´ nph´u . c . 59 1.3.2 C´ac v´ı du . vˆe ` ´anh xa . do . ndiˆe . p 62 1.3.3 Gi´o . iha . ncu ’ ah`am 64 1.3.4 T´ınh liˆen tu . c v`a liˆen tu . cd ˆe ` u 67 1.4 L´y thuyˆe ´ t d˜ay v`a chuˆo ˜ i trong miˆe ` nph´u . c 72 1.4.1 Gi´o . iha . ncu ’ ad˜ayd iˆe ’ m 72 1.4.2 Chuˆo ˜ isˆo ´ ph´u . c v`a su . . hˆo . itu . cu ’ an´o . 75 1.4.3 D˜ay v`a chuˆo ˜ ih`am 79 1.4.4 Chuˆo ˜ il˜uyth`u . a 85 1.4.5 Su . . hˆo . itu . d ˆe ` u trˆen t`u . ng comp˘a ´ c 92 1.5 H`am arg z . 95 1.5.1 T´ınh liˆen tu . ccu ’ a h`am arg z . 95 1.5.2 Sˆo ´ gia cu ’ a acgumen do . c theo d u . `o . ng cong . . . . . 96 1.5.3 Nh´anh do . n tri . liˆen tu . ccu ’ a h`am arg z . 98 1.6 B`ai tˆa . p . 100 1.1 Tˆa . pho . . psˆo ´ ph´u . c, m˘a . tph˘a ’ ng ph´u . c Tˆa . pho . . psˆo ´ ph´u . c c´o hai cˆa ´ utr´uc: cˆa ´ utr´uc d a . isˆo ´ cu ’ amˆo . t tru . `o . ng v`a d ˆo ` ng th`o . i n´o c´o cˆa ´ utr´uc tˆopˆo cu ’ amˆo . t khˆong gian (khˆong gian Euclide hai chiˆe ` u, 12 Chu . o . ng 1. M˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c v`a h`am biˆe ´ nph´u . c t´u . c l`a m˘a . t ph˘a ’ ng). Do d ´otˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ ph´u . c c´o ca ’ t´ınh chˆa ´ td a . isˆo ´ lˆa ˜ n t´ınh chˆa ´ t tˆopˆo. Trong mu . c n`ay ta s˜e nghiˆen c´u . u c´ac t´ınh chˆa ´ td a . isˆo ´ cu ’ atˆa . p ho . . psˆo ´ ph´u . c. 1.1.1 D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c Ta x´et phu . o . ng tr`ınh x 2 +1=0. R˜o r`ang l`a phu . o . ng tr`ınh n`ay khˆong c´o nghiˆe . m thuˆo . c R v`ı x 2 +1  1, ∀ x ∈ R. Do d ´omˆo . tvˆa ´ ndˆe ` tu . . nhiˆen d ˘a . t ra l`a t`ım mˆo . ttˆa . pho . . p (ta k´yhiˆe . ul`aC) tho ’ a m˜an c´ac d iˆe ` ukiˆe . n sau dˆay: 1. C l`a mˆo . t tru . `o . ng; 2. R ⊂ C; 3. Phu . o . ng tr`ınh x 2 + 1 = 0 c´o nghiˆe . m trong C. V`ıtˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ thu . . c R l`a mˆo . ttˆa . pho . . p con cu ’ a C nˆen khi x´ac d i . nh c´ac ph´ep t´ınh sˆo ´ ho . cco . ba ’ n trˆen c´ac sˆo ´ ph´u . ctacˆa ` nd `oi ho ’ ir˘a ` ng khi ´ap du . ng cho c´ac sˆo ´ thu . . c c´ac ph´ep to´an d ´odu . ala . ikˆe ´ t qua ’ nhu . kˆe ´ t qua ’ thu d u . o . . c trong sˆo ´ ho . c c´ac sˆo ´ thu . . c. M˘a . t kh´ac, nˆe ´ u ta mong muˆo ´ n c´ac sˆo ´ ph´u . c c´o nh˜u . ng ´u . ng du . ng trong c´ac vˆa ´ nd ˆe ` cu ’ a gia ’ i t´ıch th`ı ta cˆa ` nd`oi ho ’ ir˘a ` ng c´ac ph´ep to´an co . ba ’ nd u . o . . cd u . a v`ao d ´o pha ’ i tho ’ a m˜an c´ac tiˆen dˆe ` thˆong thu . `o . ng cu ’ asˆo ´ ho . c c´ac sˆo ´ thu . . c. D - i . nh ngh˜ıa 1.1.1. Mˆo ˜ ic˘a . psˆo ´ thu . . c c´o th´u . tu . . (a, b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R d u . o . . c go . i l`a mˆo . t sˆo ´ ph´u . c nˆe ´ u trˆen tˆa . pho . . p c´ac c˘a . pd ´o quan hˆe . b˘a ` ng nhau, ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan d u . o . . cd u . a v`ao theo c´ac d i . nh ngh˜ıa (tiˆen dˆe ` ) sau dˆay: I. (a, b)=(c, b) ⇔    a = c b = d. II. Ph´ep cˆo . ng: (a, b)+(c, d) def =(a + c, b + d) 1 v`a c˘a . p(a + c, b + d)du . o . . c go . il`atˆo ’ ng cu ’ a c´ac c˘a . p(a, b)v`a(c, d). 1 Def. l`a c´ach viˆe ´ tt˘a ´ tcu ’ at`u . tiˆe ´ ng Anh definition (di . nh ngh˜ıa) 1.1. Tˆa . pho . . psˆo ´ ph´u . c, m˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c 13 III. Ph´ep nhˆan: (a, b)(c, d) def =(ac − bd, ad + bc) v`a c˘a . p(ac − bd, ad + bc) d u . o . . cgo . il`at´ıch cu ’ a c´ac c˘a . p(a, b)v`a(c, d). IV. C˘a . p(a, 0) d u . o . . cd ˆo ` ng nhˆa ´ tv´o . isˆo ´ thu . . c a, ngh˜ıa l`a (a, 0) def ≡ a. Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ ph´u . cd u . o . . ck´yhiˆe . ul`aC. Nhu . vˆa . ymo . i phˆa ` ncu ’ ad i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . cd ˆe ` udu . o . . c ph´at biˆe ’ ub˘a ` ng ngˆon ng˜u . sˆo ´ thu . . c v`a c´ac ph´ep to´an trˆen ch´ung. Trong d i . nh ngh˜ıa n`ay ba tiˆen dˆe ` dˆa ` u thu . . cchˆa ´ tl`ad i . nh ngh˜ıa c´ac kh´ai niˆe . m kh´ac nhau: d i . nh ngh˜ıa kh´ai niˆe . mb˘a ` ng nhau, tˆo ’ ng v`a t´ıch c´ac sˆo ´ ph´u . c. Do d ´oviˆe . cdˆo ´ i chiˆe ´ u c´ac tiˆen dˆe ` d´ov´o . i nhau s˜e khˆong dˆa ˜ nd ˆe ´ nbˆa ´ tc´u . mˆau thuˆa ˜ n n`ao. D iˆe ` u duy nhˆa ´ t c´o thˆe ’ gˆay ra dˆoi ch´ut lo nga . i l`a tiˆen dˆe ` IV. Vˆa ´ n d ˆe ` l`a o . ’ chˆo ˜ :vˆo ´ n d˜ı c´ac kh´ai niˆe . mb˘a ` ng nhau, tˆo ’ ng v`a t´ıch c´ac sˆo ´ thu . . cc´o´y ngh˜ıa ho`an to`an x´ac d i . nh v`a do d´onˆe ´ u c´ac kh´ai niˆe . m n`ay khˆong tu . o . ng th´ıch v´o . inh˜u . ng kh´ai niˆe . md u . o . . cd ˆe ` cˆa . pdˆe ´ n trong c´ac tiˆen dˆe ` I - III khi x´et c´ac sˆo ´ thu . . cv´o . itu . c´ach l`a c´ac c˘a . pda . ng d ˘a . cbiˆe . t th`ı buˆo . c pha ’ i loa . itr`u . tiˆen d ˆe ` IV. Do d ´o ta cˆa ` ndˆo ´ i chiˆe ´ u tiˆen dˆe ` IV v´o . i c´ac tiˆen d ˆe ` I, II v`a III. 1) I - IV. Gia ’ su . ’ hai sˆo ´ thu . . c a v`a b b˘a ` ng nhau nhu . nh˜u . ng c˘a . pda . ng d ˘a . cbiˆe . tdˆo ` ng nhˆa ´ tv´o . ich´ung: (a, 0) = (b, 0). Khi d ´o theo tiˆen dˆe ` Itac´o (a, 0) = (b, 0) ⇔ a = b,t´u . cl`anˆe ´ uch´ung b˘a ` ng nhau theo ngh˜ıa thˆong thu . `o . ng. 2) II - IV. Theo tiˆen d ˆe ` II, tˆo ’ ng hai sˆo ´ thu . . c a v`a c d u . o . . cx´et nhu . nh˜u . ng c˘a . p(a, 0) v`a (c, 0) l`a b˘a ` ng c˘a . p(a + c, 0+0)=(a + c, 0). Nhu . ng theo tiˆen d ˆe ` IV th`ı (a + c, 0) ≡ a + c.Nhu . vˆa . y (a, 0)+(c, 0)=(a + c, 0+0)=(a + c, 0) ≡ a + c t´u . cl`ad ˆo ` ng nhˆa ´ tb˘a ` ng tˆo ’ ng a + c theo ngh˜ıa thˆong thu . `o . ng. 3) III - IV. Theo tiˆen d ˆe ` III, t´ıch c´ac sˆo ´ thu . . c a v`a b d u . o . . cx´et nhu . nh˜u . ng c˘a . p(a, 0) v`a (c, 0) l`a b˘a ` ng c˘a . p (ac − 0 · 0,a· 0+0· c)=(ac, 0) 14 Chu . o . ng 1. M˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c v`a h`am biˆe ´ nph´u . c v`a theo tiˆen dˆe ` IV ta c´o (ac, 0) ≡ ac.Nhu . vˆa . y (a, 0)(c, 0) (III) =(ac, 0) (IV) = ac t´u . cl`ad ˆo ` ng nhˆa ´ tb˘a ` ng t´ıch a v´o . i c theo ngh˜ıa thˆong thu . `o . ng. Nhu . vˆa . y tiˆen d ˆe ` IV tu . o . ng th´ıch v´o . i c´ac tiˆen d ˆe ` I, II v`a III. Ta c˜ung lu . u ´y cˆong th´u . csaud ˆay du . o . . c suy tru . . ctiˆe ´ pt`u . III v`a IV: m(a, b)=(ma, mb),m∈ R. Thˆa . tvˆa . yt`u . IV v`a III ta c´o m(a, b)=(m, 0)(a, b)=(ma − 0 · b, mb +0· a) =(ma, mb). Nˆe ´ u m ∈ N th`ı theo II ta c´o (a, b)+(a, b)=(2a, 2b); (2a, 2b)+(a, b)=(3a, 3b), . t´u . cl`a(ma, mb)l`akˆe ´ t qua ’ cu ’ a ph´ep cˆo . ng liˆen tiˆe ´ p m sˆo ´ ha . ng b˘a ` ng (a, b). D iˆe ` ud´oph`uho . . pv´o . ibiˆe ’ utu . o . . ng thˆong thu . `o . ng l`a ph´ep nhˆan v´o . isˆo ´ tu . . nhiˆen tu . o . ng ´u . ng v´o . i ph´ep cˆo . ng m sˆo ´ ha . ng b˘a ` ng nhau. Dˆe ˜ d`ang thˆa ´ yr˘a ` ng c´ac tiˆen d ˆe ` II v`a III l`a tu . o . ng th´ıch v´o . i nhau v`a c´ac quy luˆa . t thˆong thu . `o . ng cu ’ a c´ac ph´ep t´ınh thu . . chiˆe . n trˆen c´ac sˆo ´ vˆa ˜ nd u . o . . c ba ’ o to`an khi chuyˆe ’ n sang sˆo ´ ph´u . c(d u . o . ng nhiˆen pha ’ ic˘a ´ tbo ’ mo . i quy luˆa . tc´o quan hˆe . t´o . idˆa ´ u >). D - i . nh ngh˜ıa 1.1.2. Gia ’ su . ’ z =(a, b) ∈ C. Khi d ´o s ˆo ´ ph´u . c(a,−b)d u . o . . cgo . i l`a sˆo ´ ph´u . c liˆen ho . . p v´o . isˆo ´ ph´u . c z v`a d u . o . . ck´yhiˆe . ul`a z: z =(a,−b). Ta c´o d i . nh l´y sau dˆay: 1.1. Tˆa . pho . . psˆo ´ ph´u . c, m˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c 15 D - i . nh l´y 1.1.1. Tˆa . pho . . p C lˆa . p th`anh mˆo . t tru . `o . ng tho ’ a m˜an c´ac d iˆe ` ukiˆe . n: 1. C ⊃ R; 2. C ch´u . a phˆa ` ntu . ’ i v´o . it´ınh chˆa ´ t i 2 = −1; phˆa ` ntu . ’ i n`ay d u . o . . cgo . il`a d o . nvi . a ’ o. Ch´u . ng minh. 1. C l`a mˆo . t tru . `o . ng.Hiˆe ’ n nhiˆen, phˆa ` ntu . ’ d o . nvi . cu ’ a C l`a c˘a . p (1, 0) v`ır˘a ` ng (a, b)(1, 0) = (a · 1 − b · 0,a· 0+b · 1) = (a, b); v`a phˆa ` ntu . ’ - khˆong cu ’ a C l`a c˘a . p(0, 0) v`ı r˘a ` ng (a, b)+(0, 0) = (a +0,b+0)=(a, b). D ˆe ’ ch´u . ng to ’ C l`a mˆo . t tru . `o . ng ta chı ’ cˆa ` nkiˆe ’ m nghiˆe . msu . tˆo ` nta . i phˆa ` ntu . ’ nghi . ch d a ’ o (viˆe . ckiˆe ’ m nghiˆe . m c´ac tiˆen dˆe ` c`on la . idˆo ´ iv´o . imˆo . t tru . `o . ng l`a hiˆe ’ n nhiˆen). Gia ’ su . ’ z =(a, b) =(0, 0) (t´u . cl`aa 2 + b 2 > 0). Ta s˜e t`ım z  =(a  ,b  ) sao cho (a, b)(a  ,b  )=(1, 0). T`u . I v`a III suy ra aa  − bb  =1, ba  + ab  =0.  T`u . d ´or´ut ra a  = a a 2 + b 2 , b  = − b a 2 + b 2 .Nhu . vˆa . y z  =  a a 2 + b 2 ,− b a 2 + b 2  , v`a r˜o r`ang l`a z · z  =(a, b)  a a 2 + b 2 ,− b a 2 + b 2  =  a 2 + b 2 a 2 + b 2 ,− −ab + ab a 2 + b 2  =(1, 0). Vˆe ` sau phˆa ` ntu . ’ nghi . ch d a ’ o z  cu ’ a z thu . `o . ng d u . o . . ck´yhiˆe . ul`az −1 . 2. R ⊂ C. X´et c´ac c˘a . pda . ng (a, 0). Dˆe ˜ d`ang thˆa ´ yr˘a ` ng tˆa . pho . . p R  = {(a, 0),a∈ R} lˆa . p th`anh mˆo . t tru . `o . ng con cu ’ a C.Tax´et ´anh xa . t`u . R v`ao R  a → (a, 0). 16 Chu . o . ng 1. M˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c v`a h`am biˆe ´ nph´u . c Hiˆe ’ n nhiˆen r˘a ` ng nˆe ´ u(a, 0) = (a  , 0) th`ı a = a  v`a ngu . o . . cla . i, d ˆo ` ng th`o . i a + b → (a + b, 0)=(a, 0)+(b, 0), ab → (ab, 0) = (a, 0)(b, 0). Do d ´o ´anh xa . v`u . a x´et l`a mˆo . td ˘a ’ ng cˆa ´ ugi˜u . a R v`a R  v`a ph´ep d˘a ’ ng cˆa ´ u n`ay cho ph´ep ta xem R nhu . l`a mˆo . t tru . `o . ng con cu ’ a C. 3. Phu . o . ng tr`ınh x 2 + 1 = 0 c´o nghiˆe . m trong C,t´u . cl`aC ch´u . a phˆa ` ntu . ’ i m`a i 2 = −1. Thˆa . tvˆa . y, gia ’ su . ’ x =(a, b) ∈ C. Khi d ´o trong C phu . o . ng tr`ınh x 2 +1=0 c´o da . ng: (a, b)(a, b)+(1, 0) = (0, 0), hay l`a a 2 − b 2 +1=0, 2ab =0. T`u . d ´or´ut ra a =0,b =1v`aa =0,b = −1. Ta k´y hiˆe . u hai nghiˆe . md´ol`a i =(0, 1) v`a −i =(0,−1). 1.1.2 Da . ng da . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c Ta c´o di . nh l´y sau dˆay D - i . nh l´y 1.1.2. Mo . isˆo ´ ph´u . c z =(a, b) ∈ C d ˆe ` u c´o thˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ ndu . ´o . ida . ng z =(a, b)=a + ib. Ch´u . ng minh. Thˆa . tvˆa . y, ta c´o z =(a, b)=(a, 0)+(b, 0)(0, 1) = a + ib. Ph´ep biˆe ’ udiˆe ˜ nsˆo ´ ph´u . c z =(a, b)du . ´o . ida . ng a + ib d u . o . . cgo . il`ada . ng d a . i sˆo ´ hay da . ng Descartes cu ’ asˆo ´ ph´u . c. Sˆo ´ a d u . o . . cgo . il`aphˆa ` n thu . . c cu ’ asˆo ´ ph´u . c 1.1. Tˆa . pho . . psˆo ´ ph´u . c, m˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c 17 z v`a k´y hiˆe . ul`aa =Re[z], sˆo ´ b du . o . . cgo . il`aphˆa ` na ’ o cu ’ an´ov`ak´yhiˆe . ul`a b =Im[z]. 2 Nˆe ´ u z =Re[z]th`ız l`a mˆo . tsˆo ´ thu . . c. Nˆe ´ u z = iIm [z]th`ız l`a mˆo . t sˆo ´ thuˆa ` na ’ o.V´o . i quan d iˆe ’ m c´ac ph´ep to´an trong tru . `o . ng c´ac sˆo ´ ph´u . c, sˆo ´ thuˆa ` n a ’ o bi c´o thˆe ’ hiˆe ’ unhu . l`a t´ıch cu ’ asˆo ´ thu . . c b v´o . id o . nvi . a ’ o i v`a mˆo ˜ isˆo ´ ph´u . c a + ib nhu . l`a tˆo ’ ng cu ’ asˆo ´ thu . . c a v´o . isˆo ´ thuˆa ` na ’ o ib. Do d ´o trong c´ach xˆay du . . ng sˆo ´ ph´u . c n`ay ta d ˜asu . ’ du . ng c´ac k´yhiˆe . uc´o mˆo . t ´y ngh˜ıa ho`an to`an cu . thˆe ’ v`a v`ı thˆe ´ tr´anh d u . o . . c t´ınh h`ınh th´u . cdok´y hiˆe . ud o . nvi . a ’ o i mang la . i. Hˆe . qua ’ . Gia ’ su . ’ z = a + ib ∈ C. Khi d ´osˆo ´ ph´u . cliˆen ho . . p z c´o thˆe ’ biˆe ’ u diˆen du . ´o . ida . ng z = a − ib. Ph´ep chuyˆe ’ nt`u . sˆo ´ ph´u . cd ˜a cho sang sˆo ´ ph´u . cliˆen ho . . pv´o . in´od u . o . . cgo . il`a ph´ep lˆa ´ y liˆen ho . . p. D - i . nh l´y 1.1.3. Gia ’ su . ’ z, z 1 v`a z 2 ∈ C. Khi d´o 1. z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ; 2. z 1 z 2 = z 1 · z 2 , αz = αz, ∀ α ∈ R; 3. z = z. Ch´u . ng minh. 1. Thˆa . tvˆa . y, gia ’ su . ’ z 1 = a 1 + ib 1 , z 2 = a 2 + ib 2 . Khi d´o z 1 + z 2 =(a 1 + a 2 ) − i(b 1 + b 2 ) =(a 1 − ib 1 )+(a 2 − ib 2 )=z 1 + z 2 . 2. Tu . o . ng tu . . z 1 z 1 =(a 1 a 2 − b 1 b 2 ) − i(a 1 b 2 + a 2 b 1 ) =(a 1 − ib 1 )(a 2 − ib 2 )=z 1 · z 2 . 3. Hiˆe ’ n nhiˆen. 2 C´ac k´y hiˆe . u Re v`a Im xuˆa ´ thiˆe . n do viˆe . cviˆe ´ tt˘a ´ t c´ac t`u . tiˆe ´ ng Ph´ap Reel (thu . . c) v`a Imaginaire (a ’ o) [...]... o o u ´ ˜ a a ´ ´ ´ a o u Dˆ thˆy ´nh xa t` tˆp ho.p tˆt ca c´c sˆ ph´.c v`o tˆp ho.p c´c sˆ ph´.c e ´ a ’ a o u a a u a liˆn ho.p v´.i ch´ng: e o u C z→z∈C ’ ’ ´ l` mˆt tu d˘ng cˆu cua C (Ban doc h˜y tu kiˆm tra !) a o a a ’ a e 1.1.3 ´ u e o Ph´p tr` v` ph´p chia sˆ ph´.c e u a a e a o C´c ph´p to´n tr` v` chia du.o.c dinh ngh˜ nhu c´c ph´p to´n ngu.o.c v´.i a e a u a ıa i ph´p tr`... nˆu n´ mo trong C; ’ ´ o u a) Tˆp ho a e a ’ e o ’ ’ ´ ` u e a ’ e a u a b) Tˆp ho.p U (∞) ch´.a diˆm ∞ l` mo trong C nˆu phˆn b` CC U (∞) l` a ´ comp˘c trong C a ’ ’ ` u a o o a ı a o o a a Ban doc c´ thˆ tu kiˆm ch´.ng r˘ng tˆpˆ n`y ch´nh l` tˆpˆ d˜ x´c dinh o e e trˆn V´.i tˆpˆ d˜ cu thˆ h´a n`y o trong C ta dˆ d`ng ch´.ng minh du.o.c ’ ˜ a ’ e u o o o a e o a ’ o e ´ ´ `ng C l` comp˘c . Mặt biến phức và Hàm biến phức Chương 1. Mặt phẳng phức và hàm biến phức Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học. Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Mặt phẳng phức, Khai căn số phức, Môđun, Acgumen, Topo trên mặt phẳng phức, Phần trong và phần ngoài, Điểm tụ, Điểm