Mở đầu Đa thức là một khái niệm toán học nhng nó lại liên quan đến rất nhiều lĩnh vực khác nhau. Trong nhiều ngành của toán học ngời ta thờng lấy đa thức làm ví dụ minh họa. Đặc biệt trong Hình học đại số và Đại số giao hoán thì vành đa thức là đối tợng nghiên cứu chính. Bên cạnh đó đa thức một biến trên vành số nguyên, trên trờng số hữu tỷ và trờng số thực rất quen thuộc đối với học sinh phổ thông. Xuất phát từ những điều đó và với mục đích hệ thống lại các kết quả về vành đa thức, chúng tôi nghiên cứu vành đa thức một biến. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn đợc chia làm 2 chơng. Chơng I, trình bày một số tính chất của vành đa thức một biến. Mối liên hệ giữa tính bất khả quy và sự có nghiệm, quan hệ giữa nghiệm bội và đạo hàm. Chơng II, chúng tôi đa ra cách tìm nghiệm, tính bất khả quy của đa thức trên các trờng số hữu tỷ, thực và phức. Dấu hiệu nhận biết đa thức bất khả quy trên các vành đó. Đặc biệt, trong luận văn chúng tôi đa ra nhiều ví dụ cụ thể minh họa cho những vấn đề lý thuyết. Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận đợc sự hớng dẫn, giúp đỡ nhiệt tình của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy cô giáo. Qua đây tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thị Hồng Loan cùng các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là tổ Đại số. Mặc dù đã hết sức cố gắng nhng không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả mong đợc sự góp ý chân thành của quý thầy cô cùng tất cả các bạn. Vinh, tháng 4 năm 2006 Tác giả 1 Chơng I Vành đa thức một biến Đ.1. một số kiến thức cơ bản về vành 1.1. Khái niệm vành 1.1.1. Định nghĩa .Ta gọi vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi đã cho trong R ký hiệu theo thứ tự bằng các dấu cộng và nhân gọi là phép cộng và nhân sao cho các điều kiện sau thoả mãn: (i) R cùng với phép cộng là một nhóm Aben. (ii) r cùng với phép nhân là một nửa nhóm. (iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: x(y+z) = x.y+x.z (y+z)x = y.x+z.x x,y,z R. - Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0 và gọi là phần tử không của vành. - Phần tử đối xứng (đối với phép cộng) của một phần tử x, kí hiệu là -x và gọi là đối của x. - Nếu phép nhân là giao hoán thì ta nói vành R là vành giao hoán. - Nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi đó là phần tử đơn vị của vành R và thờng kí hiệu là e hoặc 1. 1.1.2. Ví dụ. Tập C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] ,a<b, với các phép cộng và nhân hàm số là một vành . Để thuận tiện ,từ nay về sau ta luôn giả thiết vành là giao hoán và có đơn vị. Trong luận văn này cũng luôn ký hiệu K là một trờng. 1.2. IĐÊAN. Cho R là một vành và I và một vành con của R. Khi đó I đợc gọi là iđêan của R nếu ar I và ra I, a I, r R 1.3. Một số khái niệm khác 1.3.1. Miền nguyên và trờng 2 Một vành giao hoán R có đợn vị 1 0 và không có ớc của 0 đợc gọi là một miền nguyên. Trờng là một vành giao hoán có đơn vị mà mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch. Ví dụ. Vành các số nguyên Z là một miền nguyên. Tập , ,Ô Ă Ê là trờng. 1.3.2. Iđêan sinh bởi một tập, iđêan hữu hạn sinh a. Định nghĩa. (i) Cho R là một vành và S là một tập con của R. Khi đó giao của tất cả các iđêan của R chứa S là iđêan bé nhất của R chứa S . Iđêan đó đợc gọi là iđêan sinh bởi S. Kí hiệu là : I = < S > (ii) Nếu S là tập hữu hạn phần tử thì iđêan sinh bởi S đợc gọi là iđêan hữu hạn sinh. Giả sử S = {s 1 ,s 2 , , s n } thì I = <S > = < s 1 ,s 2 , , s n > = 1 , n i i i i i r s r R s S = . (iii) Iđêan sinh bởi một phần tử gọi là iđêan chính. Gỉa sử I là iđêan chính sinh bởi phần tử s thì I ={rs| r R}. b. Chú ý. Có những iđêan không hữu hạn sinh. Chẳng hạn xét vành C [0,1]. Chọn f n là một hàm liên tục tuỳ ý sao cho f n (x) >0 nếu n 1 < x 1 và f n (x) =0 với mọi 0 x n 1 . Đặt J = (f 1 , f 2 , .). Iđêan này không hữu hạn sinh. Thật vậy, giả sử tồn tại g 1 , g 2 , . g m J sao cho J = (g 1 , g 2 , .,g m ). Vì có thể chọn hệ số 0, không mất tính tổng quát, có thể giả sử g j = h j1 f 1 + h jp f p , 1 J m, trong đó: p 2 là một số tự nhiên đủ lớn. Khi đó g j (f 1 , f 2 , .f p ) và ta có: J = (g 1 , g 2 , . ,g m ) (f 1 , f 2 , .f p ) J. Nh vậy J =(f 1 , f 2 , .f p ). Do đó có thể tìm đợc h 1 , h 2 , .h p sao cho : f p+1 (x) = h 1 (x)f 1 (x) + h p (x)f p (x). Vì f 1 ( p 1 ) = . = f p ( p 1 ) = 0, nên f p+1 ( p 1 ) = 0. Nhng p 1 > 1 1 + p , mâu thuẫn với cách chọn f p+1. Vậy J không hữu hạn sinh. 3 1.3.3. Iđêan cực đại. Iđêan M của vành R đợc gọi là iđêan cực đại nếu M R, và không tồn tại I M sao cho M I và I R. Nói cách khác M là cực đại theo quan hệ bao hàm trong tập các iđêan thực sự của vành R. 1.3.4. Vành chính. Một miền nguyên A gọi là vành chính nếu mọi iđêan của nó là iđêan chính. Ví dụ. Vành Z các số nguyên là vành chính. 1.3.5. Vành Euclide. a. Định nghĩa. Một vành Euclide là một miền nguyên R đợc trang bị một hàm : : R\ { 0} N, trong đó, N là tập hợp các số tự nhiên với các tính chất sau đây: (E 1 ) : (ab) (a) với mọi a,b 0 trong R. (E 2 ) : với mọi a,b R, b 0, có các phần tử q, r R sao cho : a = qb+r, trong đó hoặc r = 0 hoặc (r) < (b). (Ta gọi q là thơng và r là phần d trong phép chia a cho b). b. Ví dụ. Vành các số nguyên Z cùng với ánh xạ : Z * N n | n | là một vành Euclide. Mỗi trờng là một vành Euclide và mỗi vành Euclide là một vành chính. 1.4. Vành Noether 1.4.1. Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng các iđêan trong R đều dừng, nghĩa là nếu: I 0 I 1 I 2 . I n I n+1 . là một dãy tăng các iđêan trong R thì tồn tại một số tự nhiên sao cho: I n = I n+1 = . Chúng ta có thể nhận biết vành Noether qua nhiều đặc trng khác nhau thể hiện qua định lý sau đây: 1.4.2. Định lý. Giả sử R là một vành khi đó các điều kiện sau là tơng đơng: (i) Mọi tập khác rỗng các iđêan trong vành R đều có phần tử cực đại. (ii) Mọi iđêan trong vành R đều hữu hạn sinh. (iii) Mọi dãy tăng các iđêan trong R đều dừng. 4 1.4.3. Một số ví dụ về vành Noether. Ví dụ 1. Vành các số nguyên Z là vành Noether vì mỗi iđêan của Z có dạng mZ ( m Z ) có nghĩa là mọi iđêan của Z đều hữu hạn sinh (sinh bởi một phần tử). Ví dụ 2. Mọi trờng X đều là vành Noether. Do trờng X bất kỳ chỉ có 2 iđêan là {0} và X. Vậy dãy tăng các iđêan chỉ là {0} X (dãy có hai phần tử). Suy ra dãy dừng ( hoặc 2 iđêan đó đều hữu hạn sinh vì {0} = <0>, X = <1>) Chú ý. Có những vành không là vành Noether. Chẳng hạn C[a,b] không là vành Noether vì nh ví dụ 2, Mục 1.3.2, ta đã chỉ ra tồn tại iđêan của vành C[a,b] không hữu hạn sinh. Đ2. vành đa thức một biến 2.1. Xây dựng vành đa thức. Giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị và A là tập hợp các dãy vô hạn: (a 0 , a 1 , ., a n , .) , trong đó a i R, i và các a i = 0 hầu hết chỉ có một số hữu hạn a i 0. Giả sử f = (a 0 , a 1 , a 2 , .) và g = (b 0 , b 1 , b 2 , .) là hai phần tử của A.Ta có f=g nếu a i =b i , i .Trên A ta định nghĩa 2 phép toán: Phép cộng : f + g = (a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , ). Dễ thấy f + g A. Phép nhân : f.g = (a 0 , a 1 ,a 2 , .) (b 0 , b 1 , b 2 , .) = (p 0 , p 1 , p 2 , .), trong đó i p đợc cho bởi : i i j i j j k j 0 j k i p a b a b = + = = = . Dễ thấy f.g A. Ta có mệnh đề sau, chứng minh của nó rất đơn giản nên chúng tôi không trình bày ở đây. 5 2.1.1. Mệnh đề. Tập hợp A cùng với phép cộng và phép nhân định nghĩa nh trên là một vành giao hoán, có đơn vị. Xét ánh xạ f: R A, xác định bởi f(a) = (a, 0, . ). Rõ ràng f là một đơn cấu vành. Do đó, R f(R). Vì thế ta có thể đồng nhất R với f(R) và có thể xem R là một vành con của A. Ta kí hiệu : X = (0,1,0, .,0) Khi đó X 2 = (0,0,1,0, .,0) . . . . . . . X n = (0,0, ,0,1,0, .,0) Hơn nữa : aX n = (0,0, .,a,0, .), a R. Cho f = (a 0 , a 1 , a 2 , .) A. Khi đó, tồn tại số tự nhiên n sao cho a i = 0, i > n và a n 0. Khi đó ta có f = (a 0 , a 1 ,a 2 , ,a n ,0,0, ) = a 0 +a 1 X+ + a n X n .Cách biểu thị nh vậy là duy nhất đối với mỗi phần tử f A. Nói cách khác f = a 0 + a 1 +a 2 X+ +a n X n là phần tử 0 nếu và chỉ nếu: a 0 =a 1 =a 2 = =a n =0. 2.1.2. Định nghĩa (i) Vành A nói trên đợc gọi là vành đa thức của ẩn X (hoặc biến X). Với các hệ số (hoặc hệ tử) trong R và đợc kí hiệu là R[x]. (ii) Mỗi phần tử của R[x]đợc gọi là một đa thức của ẩn X đa thức dạng a n X n đợc gọi là đơn thức. (iii) Giả sử f = a 0 + a 1 X+ +a n X n với a n 0. Khi đó ta nói f có bậc n và viết deg(f)=n .Phần tử a i đợc gọi là hệ tử (hoặc hệ số) thứ i của f; a n đợc gọi là hệ tử (hoặc hệ số) cao nhất, a 0 đợc gọi là hệ tử (hoặc hệ số) tự do của đa thức f. 2.2. Một số tính chất của vành đa thức một biến Một trong những kết quả đẹp nhất và cơ bản nhất về vành đa thức nói rằng mọi iđêan của vành đa thức trên một trờng là hữu hạn sinh. Đó là nội dung định lý nổi tiếng Hilbert về cơ sở. 2.2.1. Định lý. ( Định lý Hilbert về cơ sở). Cho R là vành Noether. Khi đó vành đa thức R [ x ] cũng là vành Noether. 6 Chứng minh. Ta chứng minh mọi dãy các iđêan trong R[x] đều dừng. Thật vậy, Cho I 0 I 1 I 2 . I j . là một dãy tăng các iđêan của R[x]. Với mỗi iđêan I của R[x] và i N, đặt : L i (I) = { a i R | a i-1 , ., a 0 R: } = i j i j Ixa 0 Rõ ràng L i (I) là iđêan của R. Ta có: L i (I 1 ) L i (I 2 ) . L i (I j ) . Và với mọi j N: L 0 (I j ) L 1 (I j ) . L i (I j ) . Vì R là vành Noether nên tồn tại p, q N sao cho L p (I q ) là phần tử cực đại của họ các iđêan L i (I j ) | i, j N. Từ các dãy tăng trên suy ra với mọi i p và j q, ta có: L i (I j ) = L p (I q ) = L i (I q ) Xét dãy tăng thứ nhất ở trên, ta thấy tồn tại q sao cho với mỗi i = 1,0 p cũng có : L i (I j ) = L i (I q ), 'qj . Đặt t = max {q,q } ta có: L i (I j ) = L i (I t ), Nitj , ta sẽ chứng tỏ I j = I t nếu j t. Giả sử ngợc lại I t I j . Trong số các đa thức khác 0 của tập hợp I j \I t chọn đa thức có bậc nhỏ nhất, chẳng hạn: f(x) = a 0 + a 1 x + . + a m x m với a 0 , ., a m R, a m 0. Vì a m L m (I j ) =L m (I t ) nên tồn tại g(x) =b 0 + b 1 x ++b m - 1 x m -1 I t . Rõ ràng f-g I j \I t, , nhng deg(f(x) - g(x)) < deg(f(x)), mâu thuẫn với cách chọn f. Vậy I j = I t với mọi j t. Vậy R [x] là vành Noether. Từ định lý trên ta có ngay hệ quả sau: 2.2.2. Hệ quả. Nếu K là một trờng thì mọi iđêan của vành đa thức một biến K [ x ] là hữu hạn sinh. Chứng minh. Do K là một trờng nên K là vành Noether. Do đó theo định lý trên, K[x] là vành Noether. Từ đó suy ra mọi iđêan của K[x] đều hữu hạn sinh. Mệnh đề sau còn chỉ ra rằng mỗi iđêan của R[x] chỉ sinh bởi một phần tử trong trờng hợp R là trờng. 2.2.3. Mệnh đề. Vành R [ x ] là một vành chính khi và chỉ khi R là trờng. Chứng minh. Trớc hết theo 1.3.5, nếu R là một trờng thì R[x] là một vành Euclide, do đó theo 1.3.5, R[x] là một vành chính. Đảo lại, giả sử R[x] là một 7 vành chính. Cho a R là một phần tử tuỳ ý khác 0. Ta xét tập hợp I = {x f(x) + ag(x) | f(x), g(x) R[x] } là một iđêan của R[x] sinh bởi a và x. Theo giả thiết R[x] là một vành chính nên I là một iđêan chính sinh bởi đa thức p(x), I = (p(x)). Khi đó, p(x) phải là ớc của a và do đó p(x) Rvà p(x) là ớc của x nên p(x) phải là ớc của 1. Vậy I = R[x], suy ra 1I và 1 = 0.x + a.b. điều đó chứng tỏ b là nghịch đảo của a. Vậy a khả nghịch, do đó R là một trờng. 2.2.4. Mệnh đề. Giả sử R là vành giao hoán có đơn vị. Khi đó R là miền nguyên khi và chỉ khi vành đa thức R [ x ] là miền nguyên. Chứng minh. Giả thiết R là miền nguyên ta cần chứng minh R[x] cũng là miền nguyên. Trớc hết R[x] là vành giao hoán có đơn vị. Giả sử f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + . + a 0 và g(x) = b m x m + b m-1 x m-1 + . + b 0 . Trong đó n, m 0, a n 0 , b m 0 là hai đa thức khác không của R[x]. Khi đó f(x).g(x) = a n b m x n+m + (các hạng tử còn lại có bậc nhỏ hơn n + m). Vì R là miền nguyên nên a n b m 0. Do đó, f(x).g(x) 0. Vậy R[x] là một miền nguyên. Đảo lại, giả sử R[x] là miền nguyên ta cần chứng minh R là miền nguyên. Thật vậy, a,b R , a 0, b 0, khi đó đa thức: f(x) = a R[x] và g(x) = b R[x] là các đa thức khác 0. Do R[x] là miền nguyên nên f(x).g(x) = ab 0. Suy ra, R không chứa ớc của không. Vậy R là miền nguyên. 2.2.5. Mệnh đề. Giả sử f(x) và g(x) là hai đa thức khác 0 của vành R [ x ] . Khi đó deg (f(x) + g(x)) max{deg f(x), deg g(x)}. Chứng minh. Giả sử f(x) = a 0 +a 1 x+ . + a n x n ; a n 0 g(x) = b 0 +b 1 x+ . + b m x m ; b m 0 Với m n: Nếu m = n thì f(x) +g(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + . + ( a n + b n )x n Do đó deg (f(x) + g(x)) n; deg (f + g) < n khi a n + b n = 0. Nếu m < n thì: f + g = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + . + ( a m + b m )x m + a m+1 x m+1 + .+ a n x n 8 Do đó deg (f + g) = n = max(n,m) = max(degf(x), degg(x)) . Ví dụ. f(x) = 3x 7 + 5x 6 + 2 R[x] g(x) = - 3x 7 + x 4 + x 3 R[x]. Ta có: f(x) + g(x) = 5x 6 + x 4 + x 3 + 2 R[x] deg (f(x)+g(x)) = 6 < max {deg f(x), deg g(x)} = 7 Theo mệnh đề trên nếu deg g(x) < deg f(x) thì hạng tử có bậc cao nhất của f(x) + g(x) cũng là hạng tử có bậc cao nhất của f(x). 2.2.6. Mệnh đề. Giả sử R là miền nguyên và f(x), g(x) R [ x ] là hai đa thức khác 0. Khi đó f(x).g(x) 0 và deg ( f(x).g(x)) = deg f(x) + deg g(x). Chứng minh. Giả sử f(x), g(x) R[x] là hai đa thức khác 0 f(x) = a 0 + .+ a n x n ; (a n 0) g(x) = b 0 + . + b m x m ; (b m 0) Theo quy tắc nhân đa thức ta có: + = = mn k k k xcxgxf 0 )().( với mnkbac kji jik +== =+ ,0; Vì R là miền nguyên nên C n+m = a n b m 0 suy ra f(x).g(x) 0 và deg (f(x).g(x)) = n + m = deg f(x) + deg g(x). Chú ý. R không phải là miền nguyên thì mệnh đề trên không còn đúng nữa. Ví dụ. f(x) = 2 x 3 + x 2 Z 6 [x] g(x) = 3 x 4 Z 6 [x] Ta có: f(x).g(x) = ( 2 x 3 + x 2 )( 3 x 4 ) = 6 x 7 + 3 x 6 = 3 x 6 Z 6 [x] Suy ra deg (f(x).g(x)) = 6 deg f(x) + deg g(x) = 7 (vì Z 6 không là miền nguyên) 2.3. Phép chia đa thức. Để tìm ớc chung lớn nhất (viết tắt UCLN) của các số nguyên chúng ta th- ờng sử dụng một định lý rất quan trọng, đó là định lý về phép chia có d. Tơng tự nh vậy để tìm UCLN của các đa thức thuộc vành K[x] chúng ta thờng sử dụng định lý sau: 9 2.3.1. Định lý cơ bản về phép chia có d. Giả sử R là một miền nguyên và g R [ x ] là một đa thức với hệ tử cao nhất khả nghịch trong R. Khi đó, với mỗi đa thức f R [ x ] , tồn tại duy nhất một cặp đa thức: q, r R [ x ] , sao cho: f = q.g+r , trong đó r = 0 hoặc degr < degg. Các đa thức q và r đợc gọi tơng ứng là thơng và phần d trong phép chia f cho g. Chứng minh. Giả sử: f = a 0 +a 1 x + .+ a n x n g = b 0 + b 1 x + . + b m x m Trong đó: a n , b m 0 và b m khả nghịch. Chứng minh đợc tiến hành bằng quy nạp theo n. Nếu n = 0, m = 0 thì ta đặt r = 0, q = a 0 b 0 -1 . Còn nếu n = 0, m > 0 thì ta đặt q = 0, r = f. Giả sử quy nạp rằng định lý đã đợc chứng minh cho mọi f có bậc n, trong đó n > 0. Nếu m > n, thì ta chọn q = 0, r = f. Trái lại, nếu m n, thì: f = f - ( a n b m -1 )x n-m .g là một đa thức với deg ( f ) < n Theo giả thiết quy nạp, có các đa thức q và r sao cho: rgqf += . , deg r < m Đặt q = a n b m -1 x n-m + q , ta thấy ngay rằng cặp đa thức q và r thoả mãn điều kiện: f = qg + r , deg(r) < deg (g). Để chứng minh tính duy nhất của cặp q, r ta giả sử q' và r' cũng là các đa thức sao cho f = q'g +r, deg, degr' < degg. Khi đó: r - r = (q - q')g. Nếu q q thì: deg ( r - r ) = deg ( q - q ) + deg (g) deg (g) Điều này mâu thuẫn với giả thiết deg(r) < deg(g), deg(r) < deg(g). Do đó q = q. Điều này dẫn tới r = r . Ngay lập tức ta có hệ quả sau. 2.3.2. Hệ quả. Giả sử K là một trờng và g là một đa thức khác 0 trong vành K[x]. Khi đó, với mỗi đa thức f K[x], tồn tại duy nhất một cặp đa thức: q, r K[x], sao cho: f = q.g+r, trong đó r = 0 hoặc degr < degg. Ví dụ. Cho f(x) = -x 3 - 7x 2 + 2x - 4 và g(x) = -2x 2 + 2x 1 Hãy biễu diễn f(x) = q(x).g(x) + r(x) trong vành đa thức hệ số hữu tỷ. Ta có thuật toán tìm q(x) và r(x): 10