TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ LÀNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN XẠ ẢNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN VINH - 2012 MỞ ĐẦU Lớp các môđun xạ ảnh cùng với lớp các môđun nội xạ có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu vành và môđun. Từ trước đến nay các lớp môđun này vẫn là những đối tượng được nhiều người nghiên cứu. Các kết quả đạt được được sử dụng để mô tả cấu trúc của nhiều lớp vành quan trọng như vành Noether, vành nửa đơn, . Từ những năm nửa cuối thế kỉ XX, nhiều nhà nghiên cứu về vành và môđun đã tìm cách mở rộng các lớp môđun này để phục vụ cho việc nghiên cứu các thuộc tính của vành. Cùng với việc mở rộng lớp môđun nội xạ, người ta đã tìm cách mở rộng môđun xạ ảnh bằng cách xây dựng các điều kiện đối ngẫu với các điều kiện trên môđun xạ ảnh tương ứng. Trên vành hoàn chỉnh, lớp môđun rời rạc và lớp môđun tựa rời rạc là những mở rộng thực sự của lớp môđun xạ ảnh. Mặc dù vấn đề được đặt ra đối với việc mở rộng lớp môđun xạ ảnh có vẻ tương tự với việc mở rộng lớp môđun nội xạ, nhưng trên thực tế khi nghiên cứu ta thường gặp nhiều khó khăn hơn, đòi hỏi sử dụng nhiều kĩ thuật phức tạp hơn. Mục đích nghiên cứu của khóa luận là hệ thống các tính chất của lớp môđun xạ ảnh, môđun tựa xạ ảnh, môđun rời rạc và môđun tựa rời rạc. Trên cơ sở đó chúng tôi cố gắng tìm hiểu sâu hơn các đặc trưng của các lớp môđun này và sự liên hệ giữa tính chất của chúng với tính chất của một số lớp vành đã biết. Khóa luận gồm 2 chương : Chương 1. Các kiến thức cơ sở về vành và môđun. Nội dung chính của chương này nhắc lại một số khái niệm cơ sở của lý thuyết môđun và vành. Chương 2. Lớp môđun xạ ảnh và một số mở rộng của môđun xạ ảnh. 2 Nội dung chính của chương này chúng tôi tập trung nghiên cứu lớp môđun xạ ảnh, môđun tựa xạ ảnh và thông qua các điều kiện rời rạc, nghiên cứu môđun rời rạc và tựa rời rạc, đồng thời tìm hiểu mối liên hệ giữa thuộc tính xạ ảnh và thuộc tính xạ ảnh và thuộc tính rời rạc, đặc trưng của môđun tựa rời rạc qua các điều kiện khả bù yếu. Khóa luận được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo - Nguyễn Quốc Thơ. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy về sự giúp đỡ và những góp ý của thầy dành cho tác giả trong suốt quá trình làm khóa luận. Chúng tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Đại số và các bạn sinh viên đã động viên, giúp đỡ chúng tôi hoàn thành khóa luận. Vì trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận chắc chắn có nhiều thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Nghệ An, tháng 5 năm 2012 Tác giả 3 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VÀNH VÀ MÔ ĐUN Trong chương này ta giả sử R là một vành có đơn vị cho trước và kí hiệu R-Mod dùng để chỉ phạm trù gồm tất cả các R-môđun trái unita, tức là các môđun M trên vành R với điều kiện 1m = m, với mọi m thuộc M. 1.1. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ MÔĐUN Trong mục này chúng tôi tóm tắt lại một số khái niệm cơ sở của Lý thuyết môđun và mục 1.2- Hệ thống hóa các kiến thức cơ sở về vành.Những khái niệm, thuật ngữ và kí hiệu về vành và môđun không được nhắc đến ở đây có thể tìm thấy trong các tài liệu tham khảo được liệt kê ở cuối khóa luận. 1.1.1. Sự phân tích môđun thành tổng trực tiếp các môđun con Trong lý thuyết môđun, một mặt ta nghiên cứu môđun đã cho nhờ sự phân tích nó thành những môđun đơn giản hơn; mặt khác ta hướng tới việc xây dựng những môđun mới từ những môđun đã cho. Theo hướng thứ hai chúng tôi giới thiệu một cấu trúc đặc biệt có ý nghĩa là tổng trực tiếp các môđun con. Định nghĩa 1. Giả sử M là một môđun trên vành R. a) Môđun M được gọi là môđun đơn nếu M không chứa môđun con thực sự nào khác 0, nghĩa là chỉ có môđun con 0 và M. b) Môđun con A của môđun M được gọi là tối đại nếu A ≠ M và A không chứa trong một môđun con thực sự nào của M. c) Ta gọi môđun con A của M bé nhất ( theo quan hệ bao hàm ) chứa tập hợp con X của M là môđun con sinh bởi X. Khi đó X được gọi là một tập sinh hay hệ sinh của A. Trong trường hợp A = M ta nói X là một hệ sinh của M hay M được sinh bởi X. Nếu M có một hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R- môđun hữu hạn sinh. 4 Định nghĩa 2. a) Giả sử {A i | i∈I } là một họ tùy ý những môđun con của R-môđun M. Khi đó môđun con sinh bởi tập S=  I i A gọi là tổng của các môđun con A i của họ đã cho và ký hiệu bởi ∑ I i A b) Một họ F = { A i  i∈I } các môđun con của môđun M được gọi là độc lập (hay khả tổng) nếu A j ∩ ∑ ≠ ji i A = 0, với mọi j ∈ I. Trong trường hợp họ F = {A i | I ∈ I } độc lập, tổng ∑ I i A cũng là tổng trực tiếp trong của họ F và kí hiệu là I ⊕ A i . Môđun A được gọi là phân tích được thành tổng trực tiếp của một họ F = {A i | i ∈ I } các môđun con của môđun A nếu họ F = {A i | i ∈ I } độc lập và A = I ⊕ A i . Khi đó các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) A = ∑ I i A và (ii) A j ∩ ∑ ≠ ji i A = 0, với mọi j ∈ I. Nếu A là tổng trực tiếp trong của họ môđun con F = { A i | i ∈ I } thì mỗi phần tử x của A được biểu diễn thành tổng hữu hạn duy nhất x = a 1 + a 2 +… + a n, trong đó a i ∈ A i , i = 1, 2, 3, …, n. c) Cho F = {A i | i ∈ I } là một họ những R–môđun. Tích Đềcác ∏ I i A cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng theo thành phần: (a i ) + (b i ) = (a i +b i ) (a i )r = (a i r) là 1 R- môđun.Môđun này gọi là tích trực tiếp của họ F. Tập con của tích Đềcác ∏ I i A gồm tất cả những phần tử (a i ) mà a i = 0 hầu hết, trừ một số hữu hạn chỉ số i ∈ I, làm thành một môđun con của môđun tích trực tiếp nói trên. Môđun này được gọi là đối tích (hay tổng trực tiếp ngoài ) của họ F = 5 { A i  i ∈I } và được kí hiệu là I ⊕ A i. Trong trường hợp tất cả các môđun A i của họ F bằng môđun A thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp ngoài nói trên được gọi là lũy thừa của A và kí hiệu tương ứng là A I và A (I) tương ứng. Nếu R-môđun M là tổng trực tiếp trong của họ môđun con { A i  i ∈ I } của nó thì M đẳng cấu với tổng trực tiếp ngoài của họ R-môđun { A i  i ∈ I }. Đảo lại, nếu { A i  i ∈ I } là một họ R-môđun và M = I ⊕ A i là tổng trực tiếp của họ môđun đã cho. Khi đó trong M có một họ môđun con { A’ i  i ∈ I } với A ’ i đẳng cấu với A i , với mỗi i ∈ I và M là tổng trực tiếp trong của các môđun con A ’ i Do đó trong một số trường hợp, khi không cần phân biệt giữa tổng trực tiếp trong và tổng trực tiếp ngoài, người ta thường dung chung một thuật ngữ cho cả hai đối tượng trên là tổng trực tiếp và kí hiệu I ⊕ A i . Định nghĩa 3. a)Môđun M ≠ 0 được gọi là không phân tích được nếu nó không biểu diễn được thành tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự. b) Giả sử M có sự phân tích M = I ⊕ M i . Nếu M i ≠ 0 là môđun con không phân tích được của M, ∀ i ∈ I thì sự phân tích đó được gọi là sự phân tích thành tổng trực tiếp của những môđun con không phân tích được. 1.1.2. Môđun con cốt yếu, môđun con đối cốt yếu. Căn và đế của môđun Định nghĩa 4. Cho A là một môđun con của môđun M. A được gọi là môđun con cốt yếu (hay lớn) của M nếu với mỗi môđun con X ≠ 0 của M luôn có A ∩ X ≠ 0. Trong trường hợp này ta cũng nói M là một mở rộng cốt yếu của A, kí hiệu A ⊂ ∗ M. Một mở rộng cốt yếu M của A được gọi là mở rộng cốt yếu thực sự nếu M ≠ A. 6 Môđun M được gọi là đều nếu mọi môđun khác không của M là môđun con cốt yếu của M. Đối với mỗi môđun con A khác 0 của môđun M luôn tồn tại mở rộng cốt yếu của A trong M. Mở rộng cốt yếu tối đại của A trong M được gọi là bao đóng của A trong M. Một môđun con A của M được gọi là đóng nếu A không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M. Một số tính chất của môđun con cốt yếu của môđun trên vành R được đề cập trong mệnh đề sau: Mệnh đề 1. a) A ⊂ ∗ M ⇔ xR ∩ A ≠ 0, ∀ 0 ≠ x ∈ M. b) A ⊆ B ⊆ M thì A ⊂ ∗ M ⇔ A ⊂ ∗ B, B ⊂ ∗ M. c) A ⊂ ∗ M, K ⊆ M ⇒ A ∩ K ⊂ ∗ K. d) Giao của một họ hữu hạn các môđun con cốt yếu của môđun M là môđun con cốt yếu của M. e) A ⊆ B ⊆ M, B/A ⊂ ∗ M/A ⇒ B ⊂ ∗ M. f) Cho f: M → N là các đồng cấu môđun, B ⊂ ∗ N ⇒ f -1 (B) ⊂ ∗ M. g) Cho A i , M i là các môđun con của M, i ∈ I sao cho: M = ∑ I i M và tồn tại I ⊕ A i, A i ⊂ ∗ M i ∀i ∈ I thì: i) Tồn tại ∑ I i M = I ⊕ M i ii) I ⊕ A i ⊂ ∗ I ⊕ M i. Định nghĩa 5. Cho A là môđun con của môđun M. A được gọi là môđun con đối cốt yếu (hay bé) của M nếu với mọi môđun con thực sự X của M thì A + X ≠ M. Khi đó ta kí hiệu: A ⊂ 0 M. Môđun M được gọi là môđun hổng nếu mọi môđun con thực sự của nó là môđun con đối cốt yếu của môđun M. 7 Một số tính chất của môđun con đối cốt yếu của môđun trên vành R được đề cập trong mệnh đề sau: Mệnh đề 2. a) Nếu A ⊂ 0 B và B ⊆ C thì A ⊂ 0 C với A, B, C là các môđun con của M. b) Cho A ⊂ 0 M, A ⊆ N. Nếu N ⊂ ⊕ M thì A ⊂ 0 N. c) Tổng một số hữu hạn các mmôđun con đối cốt yếu của môđun M là môđun con đối cốt yếu của môđun M. d) Nếu A là hạng tử trực tiếp của môđun M và X là môđun con của A sao cho X ⊂ 0 M. Khi đó X ⊂ 0 A. e) Nếu A ⊆ B, B ⊆ M khi đó B ⊂ 0 M ⇔ B/A ⊂ 0 M/A và A ⊂ 0 M. f) Cho f: M → N là đồng cấu môđun và A ⊂ 0 M thì f(A) ⊂ 0 N. Định nghĩa 6. (i) Tổng tất cả các môđun con đối cốt yếu của môđun M được gọi là căn của môđun M. Kí hiệu: Rad(M). (ii). Giao của tất cả các môđun con cốt yếu của môđun M được gọi là đế (socle) của môđun M. Kí hiệu: Soc(M). Mệnh đề sau đây cho một cách định nghĩa khác của các khái niệm căn và đế của môđun. Mệnh đề 3. (i) Rad(M) là giao của tất cả cácmôđun con tối đại của M. (ii) Soc(M) là tổng tất cả các môđun con đơn của môđun M. 1.1.3. Bù giao và bù cộng của môđun con Định nghĩa 7. Cho A là môđun con của M. Môđun con A’ của M tối đại trong số các môđun con của M có giao với A bằng không được gọi là bù- giao của A trong M. Liên quan đến bù- giao của một môđun con và các môđun con đóng ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 4. (i) Mỗi môđun con A của M luôn tồn tại môđun con đóng (bù-giao) B sao cho A là môđun con cốt yếu trong B. 8 (ii) Nếu A là môđun con đóng trong B và B là môđun đóng trong M thì A là môđun con đóng trong M. Định nghĩa 8. Cho A là một môđun con của M. Môđun con P của M tối thiểu trong số các môđun con của M thỏa mãn điều kiện A + P = M thì môđun P được gọi là bù-cộng của A trong M. Môđun con B của M được gọi là môđun con bù cộng nếu B là bù-cộng của một môđun con nào đó của M. 1.1.4. Dãy khớp Định nghĩa 9. Đơn cấu f: X → Y các R-môđun được gọi là chẻ ra nếu Im(f) là hạng tử trực tiếp trong Y. Toàn cấu g: Y → Z được gọi là chẻ ra nếu Ker(g) là hạng tử trực tiếp trong Y. Mệnh đề 5. (i) Đồng cấu môđun f: X → Y là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu g: Y→ X sao cho gf = id x . Khi đó Y= Imf ⊕ Kerg. (ii) Đồng cấu g: Y→ Z được gọi là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu h: Z→ Y sao cho gh = id Z . Khi đó Y = Kerg ⊕ Imh. Định nghĩa 10. a)Ta gọi dãy khớp (những môđun) là một dãy hữu hạn hoặc vô hạn . . .  → X  → f Y  → g Z  → . . . những đồng cấu của môđun trên R sao cho ảnh của đồng cấu vào trùng với hạt nhân của đồng cấu ra tại mọi môđun khác hai đầu (nếu có) của dãy. Chẳng hạn, tại môđun Y, ta phải có: Im(f) = Ker(g). b)Một dãy khớp bất kì dạng: 0  → X  → f Y  → g Z  → 0 được gọi là dãy khớp ngắn. 9 c)Một dãy khớp ngắn 0  → X  → f Y  → g Z  → 0 được gọi là chẻ ra nếu Imf = Kerg là hạng tử trực tiếp của Y. Mệnh đề 6. Cho dãy khớp ngắn các R-môđun G: 0  → M ’  → f M  → g M ’’  → 0 Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: i) Dãy khớp ngắn G là chẻ ra. ii) Tồn tại một R – đồng cấu f 0 : M → M ’ sao cho f 0 f = 1 M ’ . iii) Tồn tại một R – đồng cấu g 0 : M ’’ → M sao cho gg 0 = 1 M ’’ . Hơn nữa, khi đó ta có: M ≅ Im(f) ⊕ Ker(f 0 ) ≅ Ker(g) ⊕ Im(g 0 ) ≅ M ’ ⊕ M ’’. 1.2. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VÀNH 1.2.1. Phần tử lũy đẳng, phần tử lũy linh. Căn của vành Định nghĩa 9. Cho vành R, có đơn vị. (i) Phần tử x ∈ R được gọi là lũy đẳng nếu x 2 = x. (ii) Hệ các phần tử x 1 , x 2 , …,x n ∈ R được gọi là hệ lũy đẳng trực giao nếu: x i x i = x i và x i x j = 0, nếu i ≠ j (iii) Phần tử x ∈ R được gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho x n = 0. Số nguyên dương bé nhất sao cho x n = 0 được gọi là bậc lũy linh của x. Đối với phần tử lũy linh của vành có đơn vị ta có các mệnh đề sau: Mệnh đề 7. Nếu x là phần tử lũy linh khác 0 của vành R có đơn vị 1 thì 1 – x là phần tử khả nghịch. Chứng minh. Vì x là phần tử lũy linh nên tồn tại số nguyên dương n sao cho x n = 0. Khi đó ta có: 10 . khóa luận. 14 Chương 2 MÔĐUN XẠ ẢNH VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN XẠ ẢNH 2.1. MÔĐUN XẠ ẢNH Định nghĩa1: Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mỗi môđun. TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ LÀNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN XẠ ẢNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN