Một số vấn đề về mở rộng ánh xạ liên tục và ứng dụng của định lí hahn banach

Lời giới thiệu

Giả sử X, Y là hai không gian, D là không gian con của X, f :D Y

là ánh xạ có tính chất “ p” Bài toán đặt ra là tìm điều kiện để tồn tại ánh xạ

f : X Y sao cho f có tính chất “ p” và f |D f Bài toán này đợc gọi

chung là bài toán mở rộng hay thác triển ánh xạ với tính chất “ p” Đây là một bài toán kinh điển, nó đợc nhiều nhà toán học quan tâm trong các trờng hợp riêng rẽ khác nhau, nh bài toán mở rộng độ đo, mở rộng ánh xạ liên tục, tuyến tính liên tục, mở rộng ánh xạ chỉnh hình,…Trong học phần Độ đo vàTrong học phần Độ đo và tích phân, ta đã biết bài toán mở rộng độ đo Trong giải tích hàm, Định lý Hahn-Banach giải quyết bài toán mở rộng phiếm hàm tuyến tính, từ đó bài toán mở rộng phiếm hàm tuyến tính liên tục cũng đợc giải quyết Định lý Hahn-Banach có nhiều ứng dụng trong cả lý thuyết và thực hành Mục đích của khoá luận là dựa vào các tài liệu tham khảo tìm hiểu và hệ thống lại một số vấn đề về mở rộng ánh xạ liên tục, ánh xạ tuyến tính liên tục, Định lý Hahn-Banach và một số ứng dụng của nó Với mục đích đó, khoá luận đợc viết thành 3 mục:

Mục 1: Dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong khoá luận.

Mục 2: Mở rộng ánh xạ liên tục Trong mục này chúng tôi trình bày một số kết quả về mở rộng ánh xạ liên tục giữa các không gian metric; đ a ra một vài điều kiện để một ánh xạ liên tục trên một không gian con của không gian mêtric mở rộng liên tục đợc lên toàn bộ không gian, đó là Định lý 2.3 và Hệ quả 2.4.

Mục 3: Mở rộng ánh xạ tuyến tính liên tục

Phần đầu của mục này dành cho việc mở rộng phiếm hàm tuyến tính liên tục, tức là mở rộng các ánh xạ tuyến tính liên tục nhận giá trị trong K Vấn đề này đợc giải quyết trọn vẹn nhờ Định lý Hahn-Banach Phần tiếp theo, dựa vào kết quả của mục trớc chúng tôi mở rộng ánh xạ tuyến tính liên tục nhận giá trị trong l(Định lý 3.2.2) Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày việc mở rộng ánh xạ tuyến tính liên tục xác định trên một không gian con trù mật và nhận giá trị trong không gian Banach bất kỳ.

Phần cuối của mục này, chúng tôi trình bày một số ứng dụng của Định lý Hahn-Banach về mở rộng phiếm hàm tuyến tính liên tục trong việc giải quyết một số bài toán khác Các kết quả ở phần này chủ yếu là các bài tập ở trong các tài liệu tham khảo.

Vì thời gian có hạn và bớc đầu nghiên cứu khoa học nên không thể tránh khỏi một số sai sót, mặc dù em đã có rất nhiều cố gắng Em xin chân

thành cảm ơn thầy giáo Đinh Huy Hoàng đã tận tình hớng dẫn, giảng dạy,

xin cảm ơn các giảng viên trong tổ giải tích và trong khoa toán đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hoàn thành tốt bài khoá luận này.

Vinh, ngày 30 tháng 4 năm 2007

Sinh viên

Tăng Văn Quang

Đ1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản

1.1 Định nghĩa không gian mêtric Cho X là một tập khác rỗng Hàm d:XX  R đợc gọi là một mêtric trên X nếu các tính chất sau đợc

1.2 Định nghĩa dãy Cauchy Giả sử (X,) là một không gian mêtric Dãy phần tử  xn của X gọi là một dãy Cauchy nếu với mỗi số dơng  bất

kì, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho mọi số tự nhiên n và m, nếu n n0 và

m  thì (xn,xm).

1.3 Định nghĩa không gian mêtric đầy đủ Không gian mêtric X

gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.

1.4 Định nghĩa ánh xạ liên tục giữa hai không gian mêtric Giả sử

),

(Xd và (Y,) là hai không gian mêtric ánh xạ f :X  Y gọi là liên tục tại

x  nếu d(x,x0) thì (f(x), f(x0))

ánh xạ f gọi là liên tục ( hoặc liên tục trên X ) nếu nó liên tục tại

mọi điểm x thuộc X

1.5 Định nghĩa ánh xạ liên tục đều giữa hai không gian mêtric

Giả sử (X,d) và (Y,) là hai không gian mêtric ánh xạ f :X  Y gọi

là liên tục đều nếu với mỗi số dơng  , đều tồn tại một số dơng  sao cho với mọi x,yX, mà d(x,y) thì (f(x), f(y)).

1.6 Định nghĩa không gian tuyến tính Trong khoá luận này ta kí

hiệu K là trờng số thực R hoặc trờng số phức C Một không gian tuyến

với mọi x,y,zE, mọi ,K.

1.7 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên trờng K ánh xạ f :E F đợc gọi là ánh xạ tuyến tính nếu

với mọi x,yE,với mọi ,K.

1.8 Định nghĩa chuẩn Cho E là một không gian tuyến tính trên

tr-ờng K Một chuẩn trên E là một hàm x|| x|| từ E vào R thoả mãn các điều kiện sau với mọi x,yE, mọi K

1) || x||0,||x||0 nếu và chỉ nếu x 0; 2) ||x|||||| x||;

3) ||xy||||x||||y||.

1.9 Định nghĩa không gian định chuẩn Một không gian tuyến tính

cùng với một chuẩn trên nó gọi là một không gian định chuẩn

1.10 Định nghĩa không gian Banach Không gian định chuẩn đầy đủ

(với mêtric sinh bởi chuẩn) gọi là không gian Banach.

1.11 Không gian lp Với mọi p1, ta kí hiệu lp là tập hợp tất cả các dãy x (xn) các phần tử trong K sao cho 

y  mọi K, đặt xy(xn yn), x (xn). Với hai phép toán này, lp

là một không gian tuyến tính trên trờng K Với mỗi dãy x (xn)lp , đặt

1.12 Các không gian c0 và l Gọi c0 là tập tất cả các dãy x (xn)

các phần tử trong K hội tụ đến 0 và gọi l là tập hợp tất cả các dãy x (xn)

các phần tử trong K bị chặn Với mọi dãy x (xn), y (yn), mọi K, đặt

1.13 Định lý Giả sử f là một ánh xạ tuyến tính từ không gian định

a) f là liên tục đều; b) f là liên tục;

c) f liên tục tại điểm 0E;

d) f bị chặn, tức là tồn tại số k0 sao cho || f(x)||k ||x|| với mọi

Ex .

chuẩn E vào không gian định chuẩn F Giả sử E và F là các không gian định chuẩn trên cùng một trờng K Gọi L(E,F) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Ta đa vào L(E,F) hai phép toán xác

với mọi f,gL(E,F), mọi K, mọi x E.

Dễ dàng thấy rằng L(E,F) cùng với hai phép toán nói trên là một không gian tuyến tính trên trờng K

1.14.2 Mệnh đề Công thức (1) xác định một chuẩn trong L(E,F).

1.14.3 Định lí Nếu F là không gian Banach thì không gian L(E,F)

là Banach

1.15 Định nghĩa không gian vectơ tôpô Giả sử E là không gian vectơ trên trờng K Một tôpô  trên E gọi là tơng thích với cấu trúc đại số

Một không gian vetơ tôpô trên trờng K là một cặp (E,) trong đó E

là một không gian vectơ trên K còn  là một tôpô tơng thích với cấu trúc

đại số của E.

1.16 Định nghĩa không gian lồi địa phơng Không gian vectơ tôpô

gồm các tập lồi.

Đ2 Mở rộng ánh xạ liên tục

Trong mục này ta sẽ trình bày một số kết quả về việc mở rộng ánh xạ liên tục giữa các không gian mêtric

Cho X và Y là hai không gian mêtric, A là một không gian con của

X và h:A Y là ánh xạ liên tục Tồn tại hay không, một ánh xạ liên tục

YX

f : sao cho hf|A ?

Nếu ánh xạ liên tục f tồn tại, thì f gọi là một suy rộng hay mở rộng (liên tục) của h lên toàn bộ X Nhng nói chung bài toán suy rộng không có

Rõ ràng không thể suy rộng liên tục f và g lên toàn bộ đoạn 0,1.

Thành thử để bài toán suy rộng có lời giải, cần phải đặt một số điều kiện đối với hoặc không gian con A X, hoặc ánh xạ h, và đôi khi cả đối

với không gian Y Trong các định lý dới đây, ta sẽ xét một số trờng hợp đơn

2.1 Định nghĩa Cho X và Y là hai không gian mêtric, A là tập con của X , a là một điểm thuộc không gian X và là điểm giới hạn của A Ta nói hàm f có giới hạn là y khi x tiến tới a nếu với mọi dãy (xn) trong A

mà xn dần tới a khi n dần tới  thì f(xn) dần tới y khi n dần tới  Khi đó kí hiệu là xafx y

lim hay f(x) y khi x a.

Nhận xét Vì giới hạn của một dãy trong không gian mêtric (nếu có)

là duy nhất nên giới hạn của hàm f khi x tiến tới a (nếu có ) là duy nhất.

2.2 Định lí Giả sử X, Y là các không gian mêtric, D là tập con trù

YX

g: sao cho g|D f, điều kiện cần và đủ là với mọi x X, tồn tại giớihạn zlimx,zDf(z) trong Y Khi đó g là duy nhất

Chứng minh Giả sử tồn tại ánh xạ liên tục g:X  Y sao cho g|D f.

Với mọi x X , giả sử (zn)D, zn  x Vì g|D f nên g(zn)f(zn) với mọi n Vì g liên tục nên

Từ đó suy ra tồn tại zlimx,zDf(z)

Giả sử tồn tại zlimx,zDf(z) với mọi x X Đặt

với mọi x X Khi đó vì zlimx,zDf(z) tồn tại và duy nhất nên g là ánh xạ từ

X vào Y Với mọi x D: g(x)z limx,zDf(z)f(x) Vậy g liên tục

Nếu g là mở rộng liên tục của f lên toàn bộ X thì hiển nhiên g là duy nhất

2.3 Định lí Cho X không gian mêtric và Y là không gian mêtric

Khi đó tồn tại ánh xạ f :X  Y liên tục sao cho f |D f

Chứng minh Vì f liên tục đều trên D nên với mọi 0, tồn tại

0

 sao cho với mọi x, x, thuộc D mà d(x,x,) thì d(f(x), f(x,)) Với mọi x thuộc X, tồn tại dãy (xn) trong D sao cho xn  x Do xn  x nên tồn tại n0 sao cho với mọi n,mn0 có d(xn,xm) Từ đó suy ra d(f(xn), f(xm))

với mọi n,mn0 Nh vậy (f(xn)) là dãy Côsi trong không gian đầy đủ Y và do đó tồn tại nlim f(xn)



Giả sử tồn tại dãy (,)

dnn  với mọi n max{n1,n2} Từ tính

liên tục đều của f trên D suy ra tồn tại 0 sao cho với mọi x và x,

thực hiện việc mở rộng ánh xạ f lên bao đóng của D Vấn đề đặt ra là liệu có thể mở rộng ánh xạ f lên toàn bộ X hay không ?

Từ Định lý Dugundji: “Giả sử D là một tập con đóng của không gian mêtric X và Y là không gian lồi địa phơng Với mỗi ánh xạ liên tục

YD

f : đều tồn tại một thác triển liên tục f :X  Y của f ”, ta suy ra đợc kết quả sau

2.4 Hệ quả Giả sử D là tập con của không gian mêtric X và f là

(1) Tồn tại xlimD,xzf(x) với mọi z  D;

(2) f liên tục đều trên D.

Chứng minh Nếu điều kiện (1) (tơng ứng (2)) đợc thoả mãn thì theo

Định lý 2.2 (tơng ứng Định lý 2.3) f đợc mở rộng liên tục lên D Mặt khác vì mỗi không gian định chuẩn là không gian lồi địa phơng nên điều cần chứng minh đợc suy ra từ Định lý Dugundji.

Đ3 Mở rộng ánh xạ tuyến tính liên tục

Trong mục này ta sẽ trình bày việc mở rộng ánh xạ tuyến tính liên tục giữa hai không gian định chuẩn Đầu tiên ta xét các ánh xạ nhận giá trị trong

K , tức là các phiếm hàm

3.1 Mở rộng phiếm hàm tuyến tính liên tục

Để giải quyết đợc bài toán mở rộng phiếm hàm tuyến tính liên tục, đầu tiên ta trình bày việc mở rộng phiếm hàm tuyến tính

3.1.1 Định lí Hahn-Banach cho không gian vectơ thực Giả sử E

mãn f(x)p(x) với mọi x F thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính g xácđịnh trên E sao cho g|F f và g(x)p(x) với mọi x E

Chúng ta có thể xem chứng minh Định lý này trong các tài liệu tham khảo

Dựa vào Định lý trên ngời ta đạt đợc Định lý sau

3.1.2 Định lí Hahn-Banach cho không gian vectơ phức Giả sử E

phiếm hàm tuyến tính trên không gian con F của E sao cho | f(x)|p(x)

f|F  và | f (x )| p(x) với mọi x E.

3.1.3 Hệ quả Với mọi phiếm hàm tuyến tính f liên tục trên không

liên tục f trên E sao cho f |F f và || f |||| f ||

Từ đó suy ra p là một nửa chuẩn trên E.

Ta có | f(x)||| f ||.||x||p(x) với mọi x F Theo Định lý Hahn-Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính f xác định trên E sao cho f |F f và | f

Vì vậy f liên tục và || ~f |||| f ||. Mặt khác

3.1.4 Hệ quả Giả sử F là một không gian con của không gian địnhchuẩn E và vectơ vE\F, sao cho ( , )inf ||  ||0

Rõ ràng G là không gian con của E và F G Ta xác định ánh xạ f :G K

nh sau, với mọi x G ta có xvy, đặt f(x)f(vy)r Dễ thấy f là ánh xạ tuyến tính Với mọi xvyG, 0 ta có

Với mọi xvyG, 0 thì f(x)0. Từ đó suy ra | f(x)|||x||.

Vậy | f(x)|||x|| với mọi x G Do đó f liên tục và || f ||1 Ta sẽ chứng minh || f ||1 hay || f ||1 Thật vậy, với mọi 0, vì

Vậy || f ||1. Theo Hệ quả 3.1.3, tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục ~f trên E

sao cho ~f |G f , || ~f |||| f ||1. Từ đó suy ra ~f(v)f(v)r,|| ~f ||1 và ~fF

|f |F 0.

3.1.5 Hệ quả Với mọi vectơ v trong không gian định chuẩn E, v 0

, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho || f ||1 và

Chứng minh F {} là không gian con của E, d(v,F)||v||0. Theo

Hệ quả 3.1.4, tồn tại phiếm hàm tuyến tính, liên tục f trên E sao cho

,1||

3.2 Mở rộng ánh xạ tuyến tính liên tục.

Hệ quả trên cho thấy có thể mở rộng đợc phiếm hàm tuyến tính liên tục từ một không gian con lên toàn bộ không gian Vấn đề đặt ra là đối với các ánh xạ tuyến tính liên tục nhận giá trị trong không gian định chuẩn bất kì thì có thể mở rộng đợc không ? Sau đây ta sẽ giải quyết vấn đề này trong một vài trờng hợp đặc biệt.

Định lí sau sẽ cho ta một trờng hợp có thể mở rộng ánh xạ tuyến tính liên tục nhận giá trị trong không gian Banach bất kì với miền xác định là không gian con trù mật

3.2.1 Định lí Nếu f là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ một không

Với mọi x,yE, mọi ,K , giả sử hai dãy (xn) và (yn) trong D

sao cho xn x, yn  y Khi đó

Suy ra g liên tục và ||g |||| f || Hiển nhiên ||g |||| f || Do đó ||g |||| f ||.

Giả sử tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục f~:E F sao cho ~f |D f và

Trong Định lý trên, cần giả thiết “D là không gian con trù mật của không gian định chuẩn E” Bây giờ, câu hỏi đợc đặt ra là với điều kiện nào

thì có thể mở rộng đợc ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian con D bất kì lên toàn bộ E Định lý sau cho thấy rằng nếu F l thì ta có câu trả lời

3.2.2 Định lý Giả sử D là không gian con của không gian định

Chứng minh Với mỗi x D, đặt f(x)(yn)l Với mỗi n1,2 ta

Do đó fn liên tục và || fn|||| f ||. Nh vậy fn là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D Do đó theo Hệ quả 3.1.3, tồn tại các phiếm hàm tuyến tính liên tục Với mọi n1,2 , với mọi x E ta có

sup|g (x)|sup||g ||.||x||sup|| f ||.||x|||| f ||.||x||

Do đó g liên tục và ||g |||| f || Hiển nhiên g|D f và do đó || f ||||g|| Vậy

g là mở rộng tuyến tính liên tục của f trên E và ||g |||| f ||.

3.3 Các ứng dụng của định lí Hahn-Banach

Các định lí trên, đặc biệt là định lí Hahn - Banach có nhiều ứng dụng Sau đây, ta xét một số ứng dụng của định lí Hahn - Banach.

3.3.1 Mệnh đề Với mọi x,y thuộc không gian định chuẩn E sao

Chứng minh Vì x y nên x y0 Theo Hệ quả 3.1.5, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho || f ||1 và f(x y)||x y|| Do

Chứng minh Giả sử f(x)0 với mọi f E* Nếu x0 thì theo Hệ quả 3.1.5, tồn tại f E* sao cho || f ||1 và f(x)||x||. Từ đó suy ra f(x)0

(Mâu thuẫn) Vậy x0.

Hiển nhiên, nếu x0 thì f(x)0 với mọi f E*.

3.3.3 Mệnh đề Giả sử x là một phần tử của không gian định chuẩn

Chứng minh Hiển nhiên

3.3.4 Mệnh đề Giả sử X là một không gian định chuẩn Khi đó nếu

(X* là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X )

Chứng minh Gọi L là không gian tuyến tính sinh bởi tập hợp

}., ,

{x2 xnL là không gian con ( n 1) chiều của X nên L là không gian con đóng của X Vì {x1, ,xn} là một hệ độc lập tuyến tính trong X nên x1

3.3.5 Mệnh đề Giả sử M là tập hợp con của không gian định chuẩn

tuyến tính liên tục x* trên X, nếu *()0

Chứng minh Dễ dàng thấy rằng điều kiện “x 0 X là giới hạn của một dãy tổ hợp tuyến tính những phần tử của tập hợp M ” tơng đơng với điều kiện “x 0 spanM ”.

Giả sử x 0 spanM và x * X* sao cho x*|M 0. Ta cần chứng minh

3.3.6 Mệnh đề Giả sử X là không gian định chuẩn thực, x1, ,xnX

(X* là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X )

Chứng minh Gọi L là không gian con sinh bởi tập hợp {x1, ,xn} tức

là một hệ phụ thuộc tuyến tính ) Gọi z*:L K là hàm xác định bởi