1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN BÁ KHIẾN MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC HYPERBOLIC N CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Hình học - Tôpô Mã số: 60.46.10 Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY BÌNH VINH - 2011 2 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 2 CHƯƠNG I. KHÔNG GIAN LORENTZ …………….………… . § 1. n- KHÔNG GIAN LORENTZ …………………………….……… 5 5 §2. PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ ……….………………………….…… 8 §3. §êng tr¾c ®Þa ……………………………………….………….… 12 CHƯƠNG II. HÌNH HỌC hyperbolic 15 §1. n - kh«ng gian hyperbolic……………….… …………. 15 §2. ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA HYPERBOLIC ………………………… 20 §3. GÓC TRONG KHÔNG GIAN HYPERBOLIC 23 §4. CHIỀU DÀI CUNG HYPERBOLIC ………… ………………. 30 §5. TAM GIÁC HYPERBOLIC …………………………… ……… 34 KẾT LUẬN ………………………………………………… . 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………… ……… .…… 44 MỞ ĐẦU Hình học hyperbolic (còn gọi hình học Lobachevsky hay hình học phi Euclide) do nhà toán học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky khởi xướng, dựa trên cơ sở bác bỏ tiên đề về đường thẳng song song của Euclide. Lobachevsky giả thiết rằng từ một điểm ngoài đường thẳng ta có 3 thể vẽ được hơn một đường thẳng khác, nằm trên cùng mặt phẳng với đường thẳng gốc, mà không giao nhau với đường thẳng gốc (đường thẳng song song). Ông lập luận tiếp rằng từ điểm đó, có thể xác định được vô số đường thẳng khác cũng song song với đường thẳng gốc, từ đó xây dựng nên một hệ thống lập luận hình học logic. Hình học hyperbolic được xây dựng trên quan điểm mới về khái niệm đường thẳng nối hai điểm, cũng như định nghĩa mới về chiều dài giữa hai điểm đó. Trong luận văn này chúng tôi muốn trình bày những khái niệm cơ bản về hình học hyperbolic và một số nhân tố cơ bản như chiều dài, góc và diện tích. Chúng tôi cũng lưu ý đến các tính chất của tam giác hyperbolic. Với mục đích trên luận văn được chia làm hai chương như sau: CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN LORENTZ Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản của không gian Lorentz, các kiến thức đó là cơ sở cho chương tiếp theo. Chương I gồm các mục: 1. n- không gian Lorentz Trình bày khái niệm tích Lorentz, khái niệm về vectơ tựa không gian, vectơ tựa thời gian, vectơ tựa ánh sang. 2. Phép biến đổi Lorentz Trình bày tính khái niệm và tính chất của phép biến đổi Lorentz. 3. Đường trắc địa Trình bày khái niệm và các tính chất của đường trắc địa. CHƯƠNG II: HÌNH HỌC HYPERBOLIC Chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề nghiên cứu về không gian hyperbolic n chiều, nội dung của chương được trình bày qua các phần sau đây: 1. n – không gian hyperbolic 4 Trình bày khái niệm về không gian hyperbolic và một số tính chất của không gian hyperbolic. 2. Đường trắc địa hyperbolic Trình bày các kết quả cơ bản của đường trắc địa, cung trắc địa, đoạn trắc địa trong không gian hyperbolic. 3. Góc trong không gian hyperbolic Trình bày các khái niệm Siêu phẳng, góc tựa không gian giữa các vectơ tựa không gian, góc tựa thời gian giữa các vectơ tựa không gian và góc giữa các vectơ tựa không gian và tựa thời gian. 4. Chiều dài cung hyperbolic Trong phần này, chúng tôi trình bày chiều dài hyperbolic của một đường cong γ trong H n và chiều dài Lorentz của nó trong 1n+ ¡ và chỉ ra chúng bằng nhau. 5. Tam giác hyperbolic Trình bày khái niệm về tam giác hyperbolic và các tính chất đặc trưng của nó như: định lý về góc trong tam giác, diện tích các tam giác hyperbolic. Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học, tận tình chu đáo của Thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong qua trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô Khoa Toán, Khoa Sau đại học, bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này. Các kết quả của luận văn được trình bày rải rác trong các tài liệu tham khảo. Tác giả đã tập hợp các vấn đề đó theo một hệ thống phù hợp với chủ đề đã chọn; chứng minh chi tiết một số tính chất, định lí, hệ quả mà các tài liệu tham khảo đưa ra mà bỏ qua chứng minh, chứng minh vắn tắt hoặc nêu dưới dạng bài tập. Mặc dù đã có cố gắng song luận văn 5 không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được những góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG I KHÔNG GIAN LORENTZ § 1. n- KHÔNG GIAN LORENTZ 1.1. Định nghĩa 6 Cho x và y là các vectơ trong n ¡ . Tích Lorentz của x và y là số thực được xác định bởi 1 1 2 2 n n x y x y x y . x y= − + + +o . (1.1.1) Không gian vectơ n ¡ cùng với tích Lorentz được gọi là n-không gian Lorentz, và được ký hiệu là 1, 1n− ¡ . Đôi khi thay thế tích Lorentz của n ¡ bằng tích tương ứng 1 1 n 1 n 1 n n x y x y . x y x y − − 〈 〉 = + + −o . (1.1.2) Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu về 1, 1n− ¡ , để đơn giản ta sử dụng ký hiệu n ¡ thay cho không gian vectơ 1, 1n− ¡ . Cho x là vectơ trong n ¡ . Chuẩn Lorentz của x là số phức được xác định bởi 1 2 || x || (x x)= o . (1.1.3) Ở đây ||x|| là dương, bằng 0 hoặc số ảo dương. Nếu || x || là số ảo dương thì ta biểu thị mô-đun là ||| x ||| . Xác định một vectơ x trong 1n− ¡ bằng x =(x 2 , x 3 ,…, x n ). (1.1.4) Ta có 2 2 2 1 || x || x | x |= − + . (1.1.5) Nếu x và y là các vectơ trong Ρ n thì 1 1 x y x y x.y = − + o . (1.1.6) Tập hợp tất cả các vectơ x trong n ¡ sao cho ||x||=0 là siêu nón C n-1 được xác định bởi phương trình 1 | x | | x |= . Siêu nón C n-1 được gọi là nón tựa ánh sáng của n ¡ . x 3 x 2 x 1 7 Hình 3.1.1. Nếu ||x|| = 0 thì x được gọi là tựa ánh sáng. Vectơ tựa ánh sáng x được gọi là dương (hoặc âm) khi và chỉ khi x 1 > 0 (hoặc x 1 <0 tương ứng). Nếu ||x|| > 0 thì x được gọi là tựa không gian. Nhận thấy x là tựa không gian khi và chỉ khi 1 | x | | x |< . Phần ngoài của C n-1 trong n ¡ là tập mở của n ¡ bao gồm tất cả các vectơ tựa không gian. Nếu ||x|| là số ảo thì x được gọi là tựa thời gian. Nhận thấy rằng, x là tựa thời gian khi và chỉ khi 1 | x | | x | > . Vectơ tựa thời gian x được gọi là dương (hoặc âm) khi và chỉ khi x 1 >0 ( hoặc x 1 < 0 tương ứng). Phần trong của C n-1 trong n ¡ là tập mở của n ¡ bao gồm các vectơ tựa thời gian. 1.2. Tính chất Định lý 1.2.1. Cho x và y là các vectơ khác không và không là tựa không gian trong n ¡ với cùng tính dương (âm). Khi đó x◦y ≤ 0, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x và y là các vectơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. Ta có thể giả sử x và y cùng dương. Khi đó 1 | x | | x |> và 1 | y | | y |> . Suy ra 1 1 x y | x || y | x.y≥ ≥ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 | x | | x |= , 1 | y | | y |= , và x.y | x || y |= . Vì vậy x◦y = -x 1 y 1 + x.y 0≤ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x và y là các vectơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính. W Ta nói hai vectơ là cùng loại nếu chúng đồng thời là tựa không gian (tựa thời gian, tựa ánh sáng). Định lý 1.2.2. Nếu x và y là các vectơ không là tựa không gian khác 0 trong n ¡ , với cùng tính dương (âm) và t > 0, khi đó: (1) vectơ tx có cùng loại và tính dương ( hoặc âm) như x; 8 (2) vectơ x+y không là tựa không gian với cùng tính dương (hoặc âm) như x và y; ngoài ra x+y là tựa ánh sáng khi và chỉ khi x và y là các vectơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. (1) Dễ thấy ||tx|| = t||x|| và (tx) 1 = tx 1 , vì vậy tx và x có cùng loại và tính dương (hoặc âm). (2) Ta có ||x+y|| 2 =||x|| 2 +2x◦y + ||y|| 2 ≤ 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ||x|| = 0, ||y||= 0, và x◦y = 0. Vì vậy x+y là tựa ánh sáng khi và chỉ khi x và y là các vectơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính. W Hệ quả 1.2.1. Tập hợp các vectơ tựa thời gian dương (hoặc âm) là tập con lồi của n ¡ . Chứng minh. Nếu x và y là các vectơ tựa thời gian dương (hoặc âm) trong n ¡ và 0 <t<1 thì (1-t)x + ty là vectơ tựa thời gian dương (hoặc âm) tương ứng theo Định lý 1.2.2. W §2. PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ 2.1. Các định nghĩa Định nghĩa 2.1.1. Hàm số φ : n ¡ → n ¡ là phép biến đổi Lorentz khi và chỉ khi φ (x)◦ φ (y) = x◦y với mọi x, y trong n ¡ . Một cơ sở {v 1 , …., v n } của n ¡ được gọi là trực chuẩn khi và chỉ khi 1 1 1 1 1 0 1 i j i j v v v v khi i j n v v khi i j n  = −  = < = ≤   = < ≠ ≤  o o o . Nhận xét: Cơ sở chính tắc {e 1 , ., e n } của n ¡ là trực chuẩn Lorentz. 9 Định nghĩa 2.1.2. Cho V là không gian vectơ con của n ¡ . Khi đó, V được gọi là (1) tựa thời gian khi và chỉ khi V có vectơ tựa thời gian, (2) tựa không gian khi và chỉ khi mọi vectơ khác không trong V là tựa không gian, (3) tựa ánh sáng trong trường hợp còn lại. 2.2. Tính chất Định lý 2.2.1. Hàm số φ : n ¡ → n ¡ là phép biến đổi Lorentz khi và chỉ khi φ là tuyến tính và { φ (e 1 ),…., φ (e n )} là cơ sở trực chuẩn của n ¡ . Chứng minh. Giả sử φ là phép biến đổi Lorentz của n ¡ . Khi đó 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 0 1  = −  = < = ≤   = < ≠ ≤  o o o i j i j e e e e khi i j n e e khi i j n φ φ φ φ φ φ . Điều đó cho thấy { φ (e 1 ), …., φ (e n )} là độc lập tuyến tính. Hơn nữa { φ (e 1 ), …., φ (e n )} là cơ sở trực chuẩn Lorentz của n ¡ . Cho x bất kỳ trong n ¡ . Khi đó có các hệ số c 1 , …, c n trong Ρ sao cho φ (x) = n i i 1 c = ∑ φ (e i ). Vì { φ (e 1 ),… , φ (e n )} là cơ sở trực chuẩn Lorentz, ta có c 1 = φ (x)◦ φ (e 1 ) = x◦e 1 = - x 1 và c j = φ (x)◦ φ (e j ) = x◦e j = - x j , với j >1 Do đó φ n i i 1 x e    ÷   ∑ = n i 1 x ∑ φ (e i ). Từ đẳng thức trên suy ra φ là tuyến tính. 10 Ngược lại, giả sử φ là tuyến tính và { φ (e 1 ),…, φ (e n )} là một cơ sở trực chuẩn Lorentz của Ρ n . Khi đó φ là phép biến đổi Lorentz, vì φ (x)◦ φ (y)= φ n i i 1 x e    ÷   ∑ ◦ φ n j j j 1 y e =    ÷  ÷   ∑ = n i 1 ( x ∑ φ (e i ) ) ◦ n j j 1 ( y = ∑ φ (e j ) ) = n i 1= ∑ n i j j 1 x y = ∑ φ (e i )◦ φ (e j ) = 1 1 2 2 n n x y x y . x y x y− + + + = o . W Một ma trận n×n thực A được gọi là một ma trận Lorentz khi và chỉ khi phép biến đổi tuyến tính kết hợp A: n ¡ → n ¡ , được xác định bởi A(x) = Ax, là một phép biến đổi Lorentz. Tập tất cả các ma trận n×n Lorentz cùng với phép nhân ma trận tạo thành một nhóm O(1,n–1), được gọi là nhóm Lorentz của các ma trận n×n. Nhóm O(1,n–1) đẳng cấu với nhóm các phép biến đổi Lorentz của Ρ n . Định lý 2.2.2. Cho A là một ma trận n × n thực, và cho J là ma trận chéo n × n được xác định bởi công thức J = diag( - 1, 1,…,1) Khi đó các kết quả sau là tương đương: (1) Ma trận A là ma trận Lorentz. (2) Các cột của A tạo thành cơ sở trực chuẩn Lorentz của n ¡ . (3) Ma trận A thoả mãn phương trình A t JA = J. (4) Ma trận A thoả mãn phương trình AJA t = J. (5) Các hàng của A tạo thành cơ sở trực chuẩn Lorentz của n ¡ . Cho A là ma trận Lorentz. Vì A t JA = J, chúng ta có (det A) 2 = 1. Vì vậy detA=±1. Đặt SO(1,n-1) là tập hợp tất cả các ma trận A trong . TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUY N BÁ KHI N MỘT SỐ V N ĐỀ CỦA HÌNH HỌC HYPERBOLIC N CHIỀU LU N V N THẠC SỸ TO N HỌC Chuy n ngành: Hình học - Tôpô Mã số: 60.46.10 Người. số đường thẳng khác cũng song song với đường thẳng gốc, từ đó xây dựng n n một hệ thống lập lu n hình học logic. Hình học hyperbolic được xây dựng trên