Lời nói đầu Trớc thập kỷ bảy mơi, số học đợc xem ngành lý thuyết tuý xa rời thực tế Ngày nay, với phát triển tin học, nhiều ngành lý thuyết số đà tìm thấy ứng dụng quan trọng đời sống nh : Thông tin, mật mÃ, kỹ thuật máy tính Trong sách "nhập môn số học thuật toán" Hà Huy Khoái, tác giả đà giíi thiƯu nh÷ng øng dơng quan träng cđa sè häc vào thực tiễn mà tiêu biểu hệ mật mà khóa công khai Những ứng dụng đợc xuất phát từ khó khăn tìm thuật toán hữu hiệu để phân tích số nguyên lớn thừa số nguyên tố Nh việc xây dựng thuật toán số học có thuật toán phân tÝch mét sè nguyªn lín thõa sè nguyªn tè có tầm quan trọng đặc biệt Trên sở đó, khoá luận này, nghiên cứu đề tài: "Một số thuật toán số học hệ mật mà khoá công khai" Khoá luận đợc chia làm hai chơng với lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo Trong chơng I , giới thiệu thuật toán số học có liên quan trực tiếp chơng II Trong chơng sử dụng ký hiệu quan trọng thay cho phép gán ":=" Kết chơng thuật toán Euclide mở rộng vành số nguyên Z trờng Fq , thuật toán Tonelli-Shanks mở rộng trờng Fq thuật toán kiểm tra số nguyên tố xác suất SolovayStrassen.Các kết đà đợc kiểm tra máy tính Những ứng dụng lý thuyết số mà tiêu biểu sử dụng thuật toán số học để xây dựng hệ mật mà khoá công khai đợc trình bày chơng II.Kết chơng giới thiệu chứng minh tính chất liên quan tới hệ mật mà khoá công khai RSA Khoá luận đợc thực hoàn thành khoa Toán Trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn thầy giáo TS.Nguyễn Thành Quang Nhân dịp xin đợc bày tỏ lòng biết ơn kính trọng sâu sắc tới thầy TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, TS.Mai Văn T, TS Lê Quốc Hán tất thầy cô giáo môn Đại Số khoa Toán Trờng Đại học Vinh Đặc biệt TS.Nguyễn Thành Quang đà dành nhiều thời gian công sức để giúp hoàn thành khoá luận Tôi xin bay tỏ lòng biết ơn tới GS-TSKH Hà Huy Khoái đà đọc khóa luận cho ý kiến xác đáng Vinh ngày tháng năm 2003 Tác giả: Phan Xuân Vọng Chơng I số Thuật toán số học Đ1 Thuật toán Euclide thuật toán Euclide mở rộng vành sè nguyªn Z Cho hai sè nguyªn a, b h·y tìm ớc chung lớn a b Ta cã (a,b) =( a , b ) nªn ta chØ tìm cách tìm ớc chung lớn số không âm 1.1 Thuật toán Euclide Thuật toán dựa nhận xét sau: Nếu b = (a,b) = a, ngợc lại ta viết a = p.b + r, ≤ r < b th× (a, b) = (b,r) E1 (KÕt thóc) NÕu b = th× in kết UCLN (a,b) = a kết thúc thuật toán Ngợc lại chuyển sang bớc E2 E2 (chia Euclide): r:= a mod b; a:= b; b := r chuyển sang bớc E1 Nhiều lúc, việc tìm UCLN a b ta cần tìm u,v để d = UCLN (a,b) = au + bv ThuËt to¸n Euclide më réng gióp ta t×m u, v 1.2 Tht toán Euclide mở rộng Ed1 (xuất phát): Đặt u1 : = 1; u2: = 0; u3 : = a v1: = 0; v2: = 1; v3: = b Ed2 (kiÓm tra): Nếu v3 = in kết quả: d = u3; u = u1 ; v = u2vµ kết thúc thuật toán Ngợc lại chuyển sang Ed3 Ed3 (chia Euclide): Đặt q : = u3 ;  v3    t1: = u1 - qv1; t2: = u2 - qv2; t3: = u3 - qv3; u1 ; = v1; u2: = v2; u3 : = v3; v1: = t1; v2 : = t2, v3 = t3 Quay vỊ bíc Ed2 Chøng minh: Ta viÕt c¸c phÐp chia Euclide r0= a; r1 = b; r0 = r1q1 + r2; ≤ r2 < r1; r1 = r2q2 + r3; ≤ r3 < r2; r2 = r3q3 + r4; ≤ r4 < r3; - rn-2 = rn-1 qn-1+ rn: ≤ rn < rn-1; rn-1 = rn qn + rn+1 = ; Tõ Ed1 ta cã : u3 = u1a + u2b; v3 = v1a + v2b; Do vËy tõ Ed3 trë ®i ta lu«n cã: u3 = u1a + u2b; v3 = v1a + v2b; t3 = t1a + t2b; (trong suèt trình thực thuật toán) Nếu b = thuật toán kết thúc Ed1 lần Ngợc lại Ed3 thực k lần q = qk; v3 = rk+1; u3 = rk nªn v3 = = rn+1 th× u3 = rn = (a, b).Thuật toán đà đợc chứng minh Một mở rộng tự nhiên cho số a1, a2, , an ta tìm đợc số u1, u2, , un cho (a1, a2, , an) = u1a1 + u2 a2 + + unan Ta cã thuËt to¸n sau : 1.3 Tht to¸n Euclide më réng cho nhiỊu sè: Tht toán xuất phát từ nhận xét sau: Nếu an = th× (a1, a2, …,an) = (a1 , a2 , …, a n-1 , 0) =(a1 , a2 , …, a n-1 ); NÕu an ≠ th× ta viÕt a1 = q1.an + r1; 0≤ r1< an a2 = q2.an + r2; 0≤ r2