BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG BÁ TÍNH NHÓM CON LIÊN KẾT VỚI NỬA NHÓM CHÍNH QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC 1 VINH 2010 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG BÁ TÍNH NHÓM CON LIÊN KẾT VỚI NỬA NHÓM CHÍNH QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. LÊ QUỐC HÁN 3 VINH 2010 Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Quốc Hán Phản biện 1: PGS.TS. Ngô Sĩ Tùng Phản biện 2: TS Nguyễn Thị Hồng Loan Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ tại Đại học Vinh Ngày 18 tháng 12 năm 2010 4 Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện trường Đại Học Vinh MỤC LỤC 5 Trang LỜI NÓI ĐẦU …………………………………………………………… … 2 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………………………………… … 4 1.1. Phần tử khả nghịch và nhóm con tối đại trong các nhóm. ……… . 4 1.2. Nửa nhóm chính quy. Nửa nhóm orthodox. ………………… 5 1.3. Băng và nửa dàn. …………………………………………………. 9 CHƯƠNG 2. NHÓM CON LIÊN KẾT CỦA NỬA NHÓM CHÍNH QUY. 13 2.1. Nhóm con liên kết của nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn. ……… 13 2.1.1. Thương chính của nửa nhóm. ………………………………. 13 2.1.2. Nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn. ……………………………… 18 2.1.3. Nhóm con liên kết của nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn. ……… 26 2.2. Nhóm con liên kết của nửa nhóm chính quy với phần tử đơn vị là lũy đẳng trung tâm. ……………………………………………………. 29 2.3. Nhóm con liên kết của nửa nhóm Dubreill – Jacotin hoàn thiện… 35 KẾT LUẬN. ………………………………………………………………… 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO. …………………………………………………… 42 LỜI NÓI ĐẦU 6 Lớp các nửa nhóm chính quy là lớp các nửa nhóm có nhiều tính chất đáng quan tâm. Tuy nhiên, lớp nửa nhóm này khá rộng nên việc mô tả cấu trúc của lớp nửa nhóm này thường gặp nhiều khó khăn. Năm 1994, trong công trình “ Associate semigroups of orthodox semigroups ” đăng trên tạp chí “ Glasgow Math.J.”, T.S. Blyth và các cộng sự đã đưa ra khái niệm nhóm con liên kết để mô tả cấu trúc của nửa nhóm orthodox, đó là nửa nhóm chính quy với tập hợp các luỹ đẳng tạo thành một nửa nhóm con. Dựa trên bài báo “ On associate subgroups of regular semigroup” của các tác giả trên đăng trên tạp chí “ Communications in algebra ” năm 1997, chúng tôi tìm hiểu về nhóm con liên kết của nửa nhóm chính quy. Luận văn gồm hai chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ sở của nửa nhóm: Phần tử khả nghịch và nhóm con tối đại trong nửa nhóm, nửa nhóm chính quy, nửa nhóm orthodox, băng và nửa dàn để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau. Chương 2. Nhóm con liên kết của nửa nhóm chính quy. Trong chương này, sau khi trình bày khái niệm nhóm con liên kết trong nửa nhóm chính quy, trước hết chúng tôi tìm hiểu cấu trúc nửa nhóm con liên kết của nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn. Sau đó chúng tôi tìm hiểu cấu trúc nhóm con liên kết của nửa nhóm chính quy với phần tử đơn vị là luỹ đẳng trung tâm. Cuối cùng chúng tôi tìm hiểu cấu trúc của nhóm liên kết của nửa nhóm Dubreill – Jacotin hoàn thiện. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại Học Vinh. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS. TS Lê Quốc Hán, người đã đặt vấn đề và trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn. Cuối cùng xin chân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa toán, Khoa sau đại học, các thầy cô giáo trong khoa và tổ đại số đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song 7 luận văn không thể trách khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo và các đồng nghiệp. Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 1.1. Phần tử khả nghịch và nhóm con tối đại trong các nửa nhóm. 1.1.1. Đinh nghĩa: Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị là 1. Nếu p và q là các phần tử thuộc S sao cho pq = 1, thì ta gọi p là nghịch đảo bên trái của q, còn q là nghịch đảo bên phải của p. Phần tử khả nghịch bên phải ( trái) thuộc S được định nghĩa là phần tử thuộc S có một nghịch đảo bên phải ( trái) thuộc S. Phần tử khả nghịch thuộc S là một phần tử vừa khả nghịch bên trái vừa khả nghịch bên phải. 1.1.2. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm có phần tử đơn vị là 1 i. Tập P[Q] tất cả các phần tử khả nghịch bên phải ( trái) của S là một nửa nhóm con với luật giả ước phải ( trái) và chứa 1. ii. Tập U tất cả các phần tử khả nghịch thuộc S là một nhóm con của S và U = P Q∩ .Mỗi phần tử khả nghịch có một phần tử nghịch đảo hai phía duy nhất thuộc U và không có nghịch đảo bên trái và bên phải nào thuộc tập đó. iii. Mỗi nhóm con của S chứa 1 đều được chứa trong U. Chứng minh: (i) Nếu pq = p’q’ = 1, thì (pp’)(qq’) = 1 điều đó chứng tỏ rằng P và Q là các nửa nhóm con của S. Rõ ràng chúng chứa 1. Nếu ap = bp, trong đó a, b ∈ S và p ∈ P, thì P có nghịch đảo bên phải q, và a = a1 = apq = b1 = b. Tương tự Q là nửa nhóm với luật giản ước bên trái. (ii) Hiển nhiên U P Q= ∩ và vì vậy U là nửa nhóm con của nửa nhóm S. Nếu u U ∈ thì tồn tại các phần tử x,y ∈ S sao cho xu = uy = 1. Giả sử x và y là các phần tử tuỳ ý như vậy thuộc S. Thế thì x = x1 xuy = 1y = y. Do đó mọi phần tử nghịch đảo bên trái của u bằng phần tử nghịch đảo bên phải tuỳ ý, và vì vậy u có phần tử nghịch đảo hai phía duy nhất u ′ và không có các phần tử nghịch đảo bên phảivà bên trái khác. Từ các đẳng thức uu u u 1 ′ ′ = = suy ra u U ′ ∈ , thành thử U là một nhóm. 9 (iii) Giả sử G là một nhóm con tuỳ ý của nửa nhóm S, chứa 1 và a G ∈ . Giả sử 1 a − là phần tử nghịch đảo của a thuộc G. Từ các đẳng thức -1 1 aa a a 1 − = = suy ra a U ∈ , vì vậy G U⊆ . W 1.1.3. Định lý. Giả sử e là một luỹ đẳng tuỳ ý của nửa nhóm S và e H là nhóm các phần tử khả nghịch trong nửa nhóm eSe. Thế thì e H chứa mỗi nhóm con G của nửa nhóm S, mà G giao với e H . Chứng minh. Giả sử f là đơn vị của nhóm G. Trước hết ta chứng tỏ rằng f= e. Theo giả thiết G H∩ khác rỗng, giả sử a là một phần tử thuộc giao đó. Nếu b và c là các phần tử nghịch đảo của a tương ứng trong các nhóm G và e H thì e = ca = caf = ef= eab = ab = f. Vì e là đơn vị hai phía của G, từ đó suy ra G eSe.⊆ . Theo định lý 1.1.2 (iii) ta kết luận e G H⊆ . W 1.1.4. Định nghĩa. Nhóm con G của nửa nhóm S được gọi là nhóm con tối đại của S, nếu nó không được chứa thực sự trong một nhóm con nào khác của S. Nếu e là đơn vị của nhóm con tối đại G của nửa nhóm S, thì G giao với e H , vì e. e G H∈ ∩ từ đó theo Định lý 1.1.3 có e G H⊆ .Nhưng khi đó H e H= do tính tối đại của G. Đảo lại, nếu e là luỹ đẳng của nửa nhóm S thì từ Định lý 1.1.3 ta suy ra rằng e H là nhóm con tối đại của S. Như vậy các nhóm e H trong Định lý 1.1.3 và chỉ có chúng là các nhóm con tối đại của nửa nhóm S. Từ Định lý 1.1.3 cũng suy ra rằng, nếu e và f là các luỹ đẳng khác nhau của nửa nhóm S, thì e H và f H không giao nhau. 1.2. Nửa nhóm chính qui, nửa nhóm orthodox 10 . Nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn. ……………………………… 18 2.1.3. Nhóm con liên kết của nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn. ……… 26 2.2. Nhóm con liên kết của nửa nhóm chính quy. các luỹ đẳng của nửa nhóm S là E, đó là một nửa nhóm con và thực ra là một nửa dàn con. Ta sẽ nói một nửa nhóm con T của nửa nhóm S là nửa nhóm con ngược