Mở đầu Độ cong trắc địa và đờng trắc địa có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý và trong thực tiễn cuộc sống . Chẳng hạn sử dụng nó để đo đạc và xử lý số liệu nhằm xác định hình dạng kích thớc của các đối tợng đo, của các nghiên cứu khoa học. Do đó vấn đề này đợc trình bày nhiều trong giáo trình hình học vi phân. Vì vậy đây là một đề tài tuy không còn mới nhng bổ ích cho tác giả trong việc học tập và bớc đầu làm quen với việc nghiên cứu. Trong khóa luận này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống các khái niệm cơ bản, chứng minh chi tiết các tính chất và chỉ ra một số ví dụ về độ cong trắc địa, đ- ờng trắc địa trên các mặt trong không gian ơclit E 3 . Khóa luận đợc trình bày trong bốn mục sau: Đ1. Mặt trong E 3 . Đ2. Công thức Darboux. Đ3. Độ cong trắc địa. Đ4. Phơng trình đờng trắc địa. ở Đ1, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của mặt trong E 3 . Đó là mảnh hình học, các tham số hóa tơng đơng, ánh xạ Weigarten trên mặt trong E 3 và các tính chất của chúng. Trong Đ2, chúng tôi trình bày các tính chất của trờng mục tiêu Darboux và công thức Darboux. ở Đ3, chúng tôi trình bày độ cong trắc địa của , đờng trắc địa của và một vài tính chất của nó. Trong Đ4, từ phơng trình đờng trắc địa, chúng tôi tìm một vài đờng trắc địa trên các mặt quen biết. Chẳng hạn mặt cầu, mặt trụ. 2 Khóa luận đợc hoàn thành tại khoa Toán - trờng Đại học Vinh. Nhân dịp hoàn thành khóa luận, chúng tôi xin gửi đến thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Hữu Quang lời cảm ơn chân thành nhất vì sự hớng dẫn của thầy trong suốt quá trình chúng tôi làm khóa luận. Đồng thời chúng tôi cũng chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán và bạn bè, ngời thân đã giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận này. Vinh tháng 4-2005 Tác giả 3 Đ1. Mặt trong E 3 Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất của mặt trong không gian ơclit E 3 (E 3 với mục tiêu trực chuẩn {O, 321 ,, eee }). Nh ta đã biết, một ánh xạ khả vi r : U E 3 , trong đó U là tập mở trong r(U). Với mỗi điểm (u 0 , v 0 ) của U, đờng cong 0 v đợc xác định bởi tham số: u r(u, v 0 ) (trong đó u thuộc một khoảng J R nào đó) thì 0 v gọi là đờng tọa độ u qua (u 0 , v 0 ) và ta cũng có đờng 0 u đợc xác định bởi tham số v r(u 0 , v) gọi là đờng tọa độ v qua điểm (u 0 , v 0 ). Điểm (u 0 , v 0 ) gọi là điểm chính quy của mảnh tham số r nếu tại điểm đó r dìm (tức là {r' u (u 0 ,v 0 ), r' v (u 0 ,v 0 )} độc lập tuyến tính). Trong đó r' u (u 0 , v 0 ), r' v (u 0 , v 0 ) thuộc 3 , )( 00 ET vur . Điểm (u 0 , v 0 ) đợc gọi là điểm kỳ dị nếu {r' u (u 0 , v 0 ), r' v (u 0 , v 0 )} phụ thuộc tuyến tính. Mảnh tham số r đợc gọi là mảnh chính quy nếu mọi điểm của nó đều là điểm chính quy. Đờng thẳng qua r(u 0 , v 0 ) thẳng góc 3 , )( 00 ET vur gọi là pháp tuyến của r tại (u 0 , v 0 ). Trong E 3 giả sử r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), trong đó x(u, v), y(u, v) và z(u, v) là những hàm số trên U thì phơng trình 3 , )( 00 ET vur tại điểm chính quy (u 0 , v 0 ) ),(),(),( ),(),(),( ),(),(),( 000000 000000 000000 vuzvuyvux vuzvuyvux vuzZvuyYvuxX vvv uuu = 0 Phơng trình pháp tuyến tại (u 0 , v 0 ) là ),(),( ),(),( ),( 0000 0000 00 vuzvuy vuzvuy vuxX vv uu = ),(),( ),(),( ),( 0000 0000 00 vuxvuz vuxvuz vuyY vv uu = ),(),( ),(),( ),( 0000 0000 00 vuyvux vuyvux vuzZ vv uu . 1.1. Định nghĩa. Hai tham số hóa r và r gọi là tơng đơng nếu có vi phôi : u U và r = r o , trong đó : (u, v) (u, v) = (u , v ) 4 r, r tơng đơng đợc viết tắt là r r Ta ký hiệu J = v v u v v u u u và n p = pvpu pvpu rr rr // // . Chú ý. Nếu là một vi phôi bảo toán hớng thì r gọi là mảnh định hớng. Một mảnh định hớng khi và chỉ khi pháp tuyến khác vectơ không tại mọi điểm. Một mảnh song chính quy luôn định hớng đợc. Ví dụ: r : R 2 E 3 (u, v) r(u, v) = (2u + v, u - v, uv) là mảnh tham số. Thật vậy, mỗi hàm tọa độ x = 2u + v, y = u - v, z = uv có các đạo hàm riêng theo u và v tồn tại và liên tục. Nên các hàm số x, y, z khả vi. Do đó r khả vi, vậy r là một mảnh tham số trong E 3 . 1.2. Định nghĩa Tập con S của E 3 đợc gọi là một mảnh hình học trong E 3 nếu S là ảnh của một dìm và đồng phôi lên ảnh r : U E 3 (U mở trong R 2 ). r đợc gọi là một tham số hóa của một mảnh hình học S. 1.3. Ví dụ Trong hệ tọa độ đề các vuông góc Oxyz. Chứng minh rằng ánh xạ sau là tham số hóa của mảnh hình học trong E 3 r : U = {(u, v) R 2 | u > 0, v > 0} E 3 (u, v) r(u, v) = (u 2 , uv, v 2 ) Thật vậy, ánh xạ r đã cho ở trên có thể biểu thị dới dạng (u, v) x = u 2 y = uv z = v 2 ; u > 0, v > 0. x : U R 5 x' u (u, v) = 2u x' v (u, v) = 0 trong đó x' u : U R x' v : U R (u, v) 2u (u, v) 0 Do đó x khả vi. Tơng tự ta có r' u = (2u, v, 0) r' v = (0, u, 2v) Ta suy ra {r' u , r' v } độc lập tuyến tính với mọi (u, v) nên r là một dìm. Với (u, v) (u 1 , v 1 ) của U thì ta luôn có (u 2 , uv, v 2 ) ( 2 1 u , u 1 v 1 , 2 1 v } nên r là đơn ánh. ánh xạ r : (u, v) (u 2 , uv, v 2 ) liên tục vì có các hàm tọa độ liên tục. ánh xạ r -1 : r(u) U xác định bởi (x, y, z) (u = x , v = z ) liên tục. Kết luận: r là một dìm, đồng phôi lên ảnh tức r là mảnh tham số của mảnh hình học r(U) trong E 3 . (Ngoài ra, ta còn có mảnh hình học này là một bộ phận của mặt nón bậc hai xác định bởi điều kiện y 2 = xz, với x > 0, y > 0, z > 0). Chú ý: Nếu S là mảnh hình học với tham số hóa r : U E 2 thì mọi tập mở U U, r(U ) là mảnh hình học với tham số hóa = U r r ~ . 1.4. Mệnh đề Hai tham số hóa của mảnh hình học luôn tơng đơng. Chứng minh. Ta giả sử r : U E 3 và r : U E 3 là hai tham số hóa của mảnh hình học S, trong đó r(U) = r (U ) = S. Khi đó = r -1 o r : U U là một đồng phôi. Bây giờ ta chứng minh và -1 khả vi. 6 Ta chứng minh khả vi ( -1 ta chứng minh tơng tự) vì tính chất khả vi có một tính chất địa phơng tại từng điểm nên ta có thể xem r là một tham số hóa kiểu đồ thị. r : U E 3 (x 1 , x 2 ) (x 1 x 2 , (x 1 , x 2 )) và r : U E 3 (u, v) (x 1 (u, v), x 2 (u, v), x 3 (u, v)) Giả sử : U U (u, v) ( 1 (u, v), 2 (u, v)). Từ r : r , ta có 1 (u, v) = x 1 (u, v) 2 (u, v) = x 2 (u, v) Khi đó là ánh xạ khả vi. Chứng minh tơng tự -1 khả vi. 1.5. Định nghĩa Một tập con khác rỗng S của E 3 đợc gọi là một mặt trong E 3 nếu với mỗi điểm P thuộc S có một lân cận U P là một mảnh hình học. 1.6. Chú ý 1) Nếu r : U E 3 và r : U E 3 là hai tham số hóa địa phơng của mặt S. r(U) r (U ) = S khác rỗng thì thu hẹp của r - 1 r lên r -1 (S ) là một vi phôi từ r -1 (S ) lên r -1 (S ) (H1). 2) Một tập con khác rỗng S của E 3 là một mặt trong E 3 khi và chỉ khi mỗi điểm P thuộc S có một lân cận là một mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị. S r r r -1 r H1 3) Ví dụ: S = {P E 3 : || OP || = R} là mặt trong E 3 . S là mặt cầu có tâm là O và bán kinh R > 0. Thật vậy, vì S đợc phủ bởi 6 mảnh hình học với các tham số hóa đồ thị nh sau (x, y) (x, y, 222 yxR (x, z) (x, zzxR , 222 ) 7 (y, z) ( zyzyR ,, 222 ) 1.7. Mệnh đề S E 3 , S là mặt trong E 3 khi và chỉ khi với mỗi điểm p thuộc S có tập mở W (mở trong S) chứa p và có hàm số : W R khả vi, có hạng bằng 1 và W S = -1 ( (p)). Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử S là mặt trong E 3 , khi đó với mỗi p của S có lân cận mở W nằm trong E 3 là đồ thị của hàm số (x 1 , x 2 ) (x 1 , x 2 ) = x 3 . Khi đó hàm số : W R (x 1 , x 2 , x 3 ) (x 1 , x 2 , x 3 ) = x 3 - (x 1 , x 2 ) Rõ ràng là hàm khả vi. Vì (x 1 , x 2 ) khả vi và có hạng bằng 1. Điều kiện đủ: Giả sử với mỗi điểm p thuộc S có tập mở U R 2 và hàm số : W S. Ta xem (p) = 0 và : (x 1 , x 2 , x 3 ) ( x 1 , x 2 , x 3 ). Khi đó, do có hạng bằng 1 và ta có 3 x 0 nên từ phơng trình ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 0, ta suy ra x 3 = ( x 1 , x 2 ). Nh vậy, trong một lân cận U p của điểm p S, ta có U p = {X( 2 0 1 0 , xx ), ( 2 0 1 0 , xx ) ( 2 0 1 0 , xx ) W}. Nh ta đã biết, với hàm số F : U R, U mở trong E 3 (x, y, z) F(x, y, z) thì tập hợp S gồm các điểm (x, y, z) thuộc U sao cho F(x, y, z) = 0 đợc gọi là mặt xác định bởi phơng trình dạng ẩn. 1.8. Mệnh đề Giả sử S đợc cho bởi phơng trình F(x, y, z) = 0, với Rank p F = 1, p S. Khi đó n p = p z F y F x F ,, , p S là pháp tuyến của S tại p. Chứng minh. Giả sử T p S. Khi đó = '(t 0 ) với : J S, p = (t 0 ) t (t) và J = (a, b), t 0 J. Vì (t) = (x(t), y(t), z(t)) S, nên F(x(t), y(t), z(t)) = 0, t J. Ta có p dt dF = 0 8 p t z z F t y y F t x x F + + . = 0 p t x x F . + p t y y F . + p t z z F . = 0 x F .x'(t 0 ) + y F .y'(t 0 ) + z F .z'(t 0 ) = 0 n p . = 0; T p S. 1.9. Ví dụ. Giả sử mặt S có phơng trình S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 Ta xét F : E 3 R với F(z, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 - 1. Khi đó x F = 2x , y F = 2y, z F = 2z Ta suy ra z F y F x F ,, = (2x, 2y, 2z) Vậy F có hạng bằng 1, với x,y,z S và pháp tuyến của S tại p là n p (x, y, z), p S. 1.10. Định nghĩa Giả sử S là mặt định hớng trong E 3 đợc cho bởi r : (u, v) r(u, v) với n là pháp tuyến đơn vị của S. Khi đó ánh xạ h p : T p S T p S nD đợc gọi là ánh xạ Weigarten trên S. Nhận xét 1) Định nghĩa ánh xạ h p nh trên là hoàn toàn đúng. Thật vậy nD .n = 1 Suy ra 2n p nD = 0; T p S. nên n p nD , do đó nD T p S. 2) Giả sử cung tham số : J S ; (J = (a, b) R), t (t) và p = (t 0 ) 9 '(t 0 ) = Thế thì ánh xạ Weigarten tại p là h p ( ) = - (n 0 )'(t 0 ). 1.11. Mệnh đề. Với mọi p S, ánh xạ h p là một tự đồng cấu tuyến tính, đối xứng. Chứng minh. Trớc tiên, ta chứng minh h p là một tự đồng cấu tuyến tính. Thật vậy, với , T p S và k, R ta có h p (k + ) = - + k D n = - k D n - D n. = - kh p ( ) - h p ( ). Ta tiếp tục chứng minh tính đối xứng của h p . Thật vậy, ta xét tham số hóa địa phơng r : U S (U E 3 ) (u, v) r(u, v). và ký hiệu r' u (u, v) = R u (u, v) r' v (u, v) = R v (u, v) Khi đó {R u (u, v), R v (u, v)} p là cơ sở của T p S. Ta chỉ cần chứng minh h p (R u (p)).R v (p) = R u (p).h p (R v /p). Theo định nghĩa h p (R u /p) = - p u R D n = - n u ; h p (R v /p) = - nD p R v = - n v ; từ n.R v = 0 n u .R v + n.R vu = 0 n u .R v = - n.R vu - n u .R v = n.R vu h p (R u (p)).R v = n.R vu . Tơng tự n.R u = 0 và h p (R v ).R u = n.R uv . 10 Do r khả vi nên R uv = R vu Vì vậy h p (R u ).R v = h p (R v ).R u . 1.12. Hệ quả Đối với một cơ sở trực chuẩn trong T p S thì ma trận h p là ma trận đối xứng. Chứng minh. Giả sử { 21 , ee } là cơ sở trực chuẩn trong T p S ta có biểu diễn += += 212 211 )( )( edeceh ebeaeh p p = = ceeh beeh p p 12 21 ).( ).( Vậy A p = db ba là ma trận của h p . 1.13. Hệ quả. h p luôn có hai giá trị riêng. Thật vậy |A p - kI| = kdb bka = 0 Ta có k 2 - (a + d)k - (b 2 - ad) = 0 Vì = (a + d) 2 + 4(b 2 - ad) = (a - d) 2 + 4b 2 0. Nên phơng trình trên luôn có hai nghiệm đối với k. 1.14. Định nghĩa Mỗi giá trị riêng của tự đồng cấu h p đợc gọi là một độ cong chính của mặt S tại p và chúng đợc kí hiệu là K 1 (p), K 2 (p). 1.15. Định nghĩa Độ cong Gauss và độ cong trung bình của S tơng ứng tại p là K(p) = K 1 .K 2 H(p) = (K 1 + K 2 )/2 Ta chú ý rằng khi biết đợc K(p) và H(p) tại p thì ta tính đợc các độ cong chính K 1 (p), K 2 (p) bằng cách tìm nghiệm của phơng trình X 2 - 2H(p)X + K(p) = 0. 1.16. Ví dụ. Giả sử mặt trụ trong E 3 đợc xác định bởi tham số r : R 2 E 3 11