mẹo nhỏ tính tích phân từng phần

Thông tin tài liệu

cách tính tích phân từng phần hay

1 VÀI MO NH KHI TÍNH TÍCH PHÂN BNG PHNG PHÁP TÍCH PHÂN TNG PHN LÊ ANH DNG (Gv THPT Chuyên Hunh Mn t, Rch Giá, Kiên Giang) Khi tính tích phân bng công thc tích phân tng phn udv uv vdu    , nu ta chn u, v mt cách khéo léo thì thành phn vdu  s đn gin và vic tính tích phân s đn gin hn. Bài vit này trao đi vi các bn mt s k nng khi tính tích phân bng phng pháp tích phân tng phn. 1. Tách tích phân thành 2 phn, tng phn 1 phn sao cho phn còn li kh vdu Thí d 1: Tìm nguyên hàm I = 2x 2 e (x 4x 1)dx   Bình thng ta đt u = x 2 + 4x + 1 thì phi tích phân tng phn 2 ln; đ tránh điu này, ta thêm bt, đ thành phn vdu kh ht phn còn li. 2 2x 2x 2x du 2xdx u x ; nên vdu= xe dx 1 v e dv e dx 2                       s kh ht xe 2x do đó ta thêm vào u : + 3x đ phn còn li ch còn xe 2x . Li gii. I = 2x 2 2x 2 2x e (x 4x 1)dx e (x 3x)dx e (x 1)dx         t 2 2x u x 3x dv e dx           , chn 2x du (2x 3)dx 1 v e 2             Khi đó: I = 2x 2 2x 2x 1 1 e (x 3x) e (2x 3)dx e (x 3)dx 2 2        = 2x 2 2x 2x 2 2x 1 3 1 3 e (x 3x) e dx e (x 3x) e C 2 2 2 4        Thí d 2: Tìm nguyên hàm sau x 3 2 I e (x 4x 1)dx    Tng t ví d trên 3 2 2 x x x u x du 3x dx ; nên vdu= 3x e dx dv e dx v e                     s kh ht 3x 2 e x do đó ta thêm vào u : x 2 đ phn còn li còn li 3x 2 3 2 2 2 x x x u x x du (3x 2x)dx ; nên vdu=(3x +2x)e dx dv e dx v e                     s kh ht 2xe x do đó ta li thêm vào u: -2x đ phn còn li ch còn 2x. Li gii. x 3 2 x 2 I e (x x 2x)dx e (3x 2x 1)dx        www.MATHVN.com www.mathvn.com 2 t: 3 2 x u x x 2x dv e dx            , chn 2 x du (3x 2x 2)dx v e            x 3 2 x 2 x 2 I e (x x 2x) e (3x 2x 2)dx e (3x 2x 1)dx           x 3 2 x x 3 2 e (x x 2x) e dx e (x x 2x 1) C          Trên c s đó, ta có th s dng s đ sau đ tìm thành phn u cho bài toán tính tích phân tng phn ca hàm s ax b n n 1 n n 1 1 0 e (a x a x . a a )dx         (n-2)/a n/a (n-1)/a _ x _ x b n - 3 b n - 2 b n - 1 =a n h s ca đa thc ca u h s ca đa thc a 1 a n-2 a n-1 a n n n 1 k k 1 k 1 b a k 2 b a b a             (Nhân lên, ly h s ca đa thc tr ri h xung) Thí d 3: Tính I = 1 2x 5 3 0 e (x 4x x 1)dx    Ta lp s đ sau ngoài nháp đ tính u 5 2 - 3 2 1 - 5 2 x _ 1 1 2 1 3 2 2 5 2 n=5, a =2 1 0 h s ca đa thc ca u h s ca đa thc -4 0 1 www.MATHVN .com www.mathvn.com 3 Trình bày: I = 1 1 2x 5 4 3 2 2x 4 3 2 0 0 5 3 5 5 3 3 e x x x x x dx e x 5x x x 1 dx 2 2 2 2 2 2                                t 2x 5 4 3 2 u x dv e dx 5 3 5 x x x x 2 2 2                , 4 3 2 2x du 5x v 5 10x 3x 3x 2 1 e 2                    1 1 2x 5 4 3 2 2x 4 3 2 0 0 1 2x 4 3 2 0 1 5 3 5 5 3 3 5 I e x x x x x e x 5x x x dx 2 2 2 2 2 2 2 4 5 3 3 e x 5x x x 1 dx 2 2 2                                    1 1 2x 5 4 3 2 2x 0 0 1 2x 5 4 3 2 2 0 1 5 3 5 1 e x x x x x e dx 2 2 2 2 4 1 5 3 5 1 1 1 e x x x x x e 2 2 2 2 4 8 8                            Thí d 4: Tính tích phân I = 2 2 e 3 1 x ln x 2x 2 ln x dx x                Chú ý: 2 4 3 1 (x 1) ' 2x; (ln x)' = 4. ln x x   , ta tách I thành 2 tích phân đ kh vdu Li gii. I = 2 2 e e e 4 3 4 3 1 1 1 x 1 x 1 x ln x + 2 ln x dx = x ln xdx + 2 ln x dx x x                              t 4 u ln x dv xdx          chn 2 3 4ln x du dx x 1 v (x 1) 2                 Suy ra I =   2 4 2 2 e e 1 1 x 1 ln x x 1 x 1 e 2 ln x dx 2 ln x dx 1 2 x x                                  2 4 2 x 1 ln x e 1 e 1 2 2     2. Thêm hng s cho v www.MATHVN .com www.mathvn.com 4 Trong các bài toán du có cha mu s, thng ta chn cho v mt hng s C thích hp đ thành phn vdu kh bt phân s. Thí d 5: Tính tích phân I = 1 3 0 (2x 1) ln(x )dx1   Li gii. t 3 u ln(x ) dv (2x 1)dx 1           , chn 3 2 2 2 2 3x 3x du x (x 1)(x ) v x dx 1 x 1 x                     1 Bình thng ta ly v = x 2 – x, nhng  đây ta chn C = + 1 mc đích là kh bt mu s trong vdu. Khi đó: I = 1 1 3 0 0 2 2 3x (x x 1)ln(x ) dx x 1 +1     = 1 1 0 0 2 1 ln 2 3 x 1 dx ln 2 ln x 1 x 3 3 x x 1 2ln 2 2 2                                  Thí d 6: Tính tích phân /4 2 0 ln(sin cos ) cos x x dx x    t u = ln(sin cos )x x  du = cos sin sin cos x x dx x x   v = 2 1 cos dx x chn sin cos tan cos x x x x v + 1    Bình thng ta hay ly v = tanx nhng  đây ta thêm C = 1 đ kh mu Khi đó: I = /4 /4 0 0 cos sin (tan 1) ln(sin cos ) cos x x x x x dx x        = /4 0 3 2ln 2 ( ln cos ) ln 2 4 2 x x       3. Cách chn thành phn dv  tìm v, ta phi tìm nguyên hàm ca dv. Trong trng hp dv không có trong bng nguyên hàm c bn, ta phi tách tích đ ly đc nguyên hàm ca dv theo bin s mi . Thí d 7: Tính tích phân  4 2 2 0 x dx (x sin x cos x)   gim bc mu thì 2 1 (x sin x cos x) phi nm trong thành phn dv; đ tìm đc nguyên hàm theo bin xsinx + cosx ta cn có d(xsinx + cosx) =– xcosxdx www.MATHVN .com www.mathvn.com 5 Li gii.   4 4 2 2 2 0 0 x x cos x x dx dx cos x (x sin x cos x) (x sin x cos x) .        t 2 2 x u cos x x cos x d(x sin x cos x) dv dx (x sin x cos x) (x sin x cos x)                     chn 2 x sin x cos x du dx cos x 1 v x sin x cos x                  Khi đó I =   4 4 2 0 0  4 0 x dx tan x cos x(x sin x cos x) cos x 2  4   4 4           Thí d 8: Tính tích phân 8 4 2 0 1 3 ( 1) x dx x    gim bc ln  di mu, ta có th dùng tích phân tng phn.  kh bc 2 di mu thì 4 2 1 ( 1)x  phi nm  dv. Nhng đ ly đc nguyên hàm theo x 4 thì ta cn (x 4 )’ = 4x 3 . t 5 3 4 4 2 4 2 u x x dx 1 d(x 1) dv 4 (x 1) (x 1)            , chn 4 4 du 5x dx 1 1 v 4 x 1          Vy I = 1 1 1 3 3 8 5 4 3 4 2 4 4 0 0 0 x dx x 5 x dx 4 (x 1) 4(x 1) x 1         = 1 1 1 3 3 3 4 4 4 2 2 0 0 0 x 1 1 1 dx 1 dx 1 dx x 1 x 1 2(x 1) 2(x 1)                                  Ta có 1 1 3 3 2 0 0 1 1 x 1 1 1 3 1 1 dx x ln ln 4 x 1 4 2(x 1) 3 3 1                                 t x = tant. Ta tính đc Tính 1 3 2 0 1 dx 2(x 1)  12    Vy I = 1 1 3 1 ln 4 3 3 1  12     Cui cùng chúng tôi xin đa ra mt s bài tp đ các bn t luyn tp Tính các tích phân sau: www.MATHVN .com www.mathvn.com 6 1) 2 2 1 ln(1 x) dx. x   2) 1 3 2 2x 0 x 2x 3x 1 dx e     3) e 3 1 ln xdx  4) sin x e ( x cos x)dx    2 0 1 5) 2 x 0 1 sin x dx (1 cos x)e     6) 1 0 2 3 1 dx (x )1  _ HT_ www.MATHVN .com www.mathvn.com . đ tính u 5 2 - 3 2 1 - 5 2 x _ 1 1 2 1 3 2 2 5 2 n=5, a =2 1 0 h s ca đa thc ca u h s ca đa thc -4 0 1 www. MATHVN .com www. mathvn. com 3 Trình. )dx         (n-2)/a n/a (n-1)/a _ x _ x b n - 3 b n - 2 b n - 1 =a n h s ca đa thc ca u h s ca đa thc a 1 a n-2 a n-1 a n n n 1 k k 1 k

Ngày đăng: 20/12/2013, 12:36

Xem thêm: mẹo nhỏ tính tích phân từng phần, mẹo nhỏ tính tích phân từng phần

mẹo nhỏ tính tích phân từng phần

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan