Đang tải... (xem toàn văn)
các dạng toán luyện thi đại học có tóm tắt lý thuyết+bài tập.
CHỦ ĐIỂM 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1 VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = f(x) = x 1 x 2 + + 2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số: a) y = | x | 1 | x | 2 + + b) y = | x 1| x 2 + + c) y = x 1 | | x 2 + + d) y = x 1 | x 2| + + Bài 2: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 2 x 3x 3 | x 1| + + + = m Bài 3: 1) Hãy vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số: 2 | x | y | x | 1 = − 2) Dùng (C 1 ) để biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (m – 2).|x| - m = 0 trên đoạn [-1, 2]. (ĐH QG TP HCM KD) Bài 4: Cho hàm số: y = 2x 3 – 9x 2 + 12x – 4 (C) (ĐH KA – 2006) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: y = 2|x| 3 – 9x 2 + 12|x| = m 1 VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho hàm số y = x 3 – 3mx 2 + 9x + 3m – 5 a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó Bài 2: Cho hàm số: y = – x 3 + 3mx 2 +3(1 - m 2 )x + m 3 - m 2 (C m ) a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị b)Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của (C m ) (ĐH KA – 2002) Bài 3: Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 - 9x + m a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó Bài 4: Cho hàm số 2 x (m 1)x m 1 y x m + + − + = − a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT. b) Tìm m để y CĐ .y CT > 0 c) Viết phương trình qua hai điểm CĐ và CT của đồ thị. 2 VẤN ĐỀ 3: MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM BẬC BA A. Phương pháp: Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (C), ta có các bài toán sau: g (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ ' f (x) max min > 0 y .y 0 ∆ < g (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hđ dương ⇔ ' f (x) max min max min > 0 y .y 0 x 0,x 0 ad 0 ∆ < > > < g (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hđ âm ⇔ ' f (x) max min max min > 0 y .y 0 x 0,x 0 ad 0 ∆ < < < > g (C) cắt trục hoành tại 2 điểm (sẽ có 1 tiếp điểm: (C) tiếp xúc với Ox) ⇔ ' f (x) max min > 0 y .y 0 ∆ = hay hệ f (x) 0 f (x) 0 ' = = có nghiệm (Điều kiện tiếp xúc) g (C) cắt trục hoành tại 1 điểm ⇔ ' ' f (x) f (x) max min 0 > 0 y .y 0 ∆ ≤ ∆ > g Ngoài ra dựa vào đồ thị ta còn có nhiều bài toán khác… B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Tìm m để (C m ) tiếp xúc với hoành, biết: a) (C m ): y = x 3 - mx + m – 1 b) (C m ): y = 2x 3 – 3(m + 3)x 2 + 18mx – 8 c) (C m ): y = 2x 3 + 3mx 2 - 2m + 1 Bài 2: Cho (C m ): y = 2x 3 – 3(m + 2)x 2 + 6(m + 1)x – 3m + 6 Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm khác nhau 3 Bài 3: Cho (C m ): 3 3 2 2 x m y mx (m 1)x 3 3 = − + − − Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ đều dương Bài 4: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 4x 3 - 3x + m = 0 ĐS: -1< m < 1 VẤN ĐỀ 4 BÀI TOÁN TÌM THAM SỐ (m, a,…) ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH F(x,m) CÓ N NGHIỆM A. PHƯƠNG PHÁP: Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng một trong hai cách sau đây: • Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm (C): f(x) với đường thẳng (d): y = g(m) ( Chỉ cần lập BBT của f(x) ) Đặc biệt: PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số f(x). B. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m = m 1x 2 + Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 1) m)x6)(x3(x6x3 =−+−−++ 2) x + 3 = m 2 1x + 3) m1xx1xx 22 =+−−++ 4) 6mx4xmx4x 4 44 =+++++ 5) m( 22422 x1x1x12)2x1x1 −−++−=+−−+ (ĐH KB – 2004) 6) 3 4 2 1x21xm1x −=++− (ĐH KA – 2007) 7) x 3 + 3x 2 - 2 3 2 x +3x + m -1 = 0 8) 2 2 4 4 log (16 8)x x x x m+ − = − + − Bài 3: CMR với ∀ m > 0: PT sau có 2 nghiệm thực phân biệt: x 2 + 2x - 8 = .( 2)m x − (ĐH K B – 2007) Bài 4: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt: 1x22mxx 2 +=++ (ĐH K B – 2006) VẤN ĐỀ 5 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ 4 A. PHƯƠNG PHÁP Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) thoả mãn một số điều kiện cho sẵn: 1. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) thuộc (C) có phương trình là: y – y 0 = f’(x 0 ).(x – x 0 ) (k = f’(x 0 ): là hệ số góc) ♦ Các dạng khác nhau của đề bài: • Cho x 0 : Tính y 0 = f(x 0 ) và f ’ (x 0 ) • Cho y 0 : Giải phương trình y 0 = f(x 0 ) để có x 0 rồi tính f ’ (x 0 ) • Cho hệ số góc k của tiếp tuyến: Giải phương trình f ’ (x 0 ) = k để có x 0 rồi tính y 0 = f(x 0 ) 2. Tiếp tuyến của (C) đi qua (kẻ từ) điểm M(x 1 ,y 1 ) bất kỳ ( M(x 1 ,y 1 ) có thể thuộc hay không thuộc (C) ) ♦ Cách 1: • Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(x 1 ,y 1 ) và có hệ số góc k y – y 1 = k(x – x 1 ) ⇔ y = k(x – x 1 ) + y 1 (1) • (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x 0 ⇔ x 0 và k là nghiệm của hệ phương trình: f(x) k(x x ) y 1 1 ' f (x) k = − + = (I) ⇒ k rồi thay vào (1). ♦ Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x 0 ) • Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x 0 ,y 0 ) là: y – f(x 0 ) = f’(x 0 ).(x – x 0 ) (1) • Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x 1 ,y 1 ) nên x 1 và y 1 nghiệm đúng (1): y 1 – f(x 0 ) = f’(x 0 ).(x 1 – x 0 ) (2) • Giải (2) ta có x 0 rồi thế x 0 vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm. 3. Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x 1 ; y 1 ) kẻ được n tiếp tuyến Phương pháp thông thường là bắt hệ (I) f(x) k(x x ) y 1 1 ' f (x) k = − + = có n nghiệm ⇔ f(x) = f ’ (x)(x – x 1 ) + y 1 có n nghiệm 4. Chú ý các tính chất của hàm hữu tỉ y = 2 ax + bx + c ' ' a x + b (H) Cho M ∈ (H), I là giao của hai tiệm cận của (H): • Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì: 5 + M là trung điểm của AB + Tam giác AIB có diện tích không đổi • Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng số B. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = x 3 (C) Viết phương trình tiếp tuyến (T) của (C) trong các trường hợp sau: 1) Tại điểm A(-2; 8), B(2; 8) 2) Biết hoành độ tiếp điểm bằng -2 3) Biết tung độ tiếp điểm bằng 27 4) Biết (T) vuông góc với đường thẳng (d): y = - 1 3 x + 3 5) Biết (T) song song với đường thẳng (d): y = 9x - 2 6) Biết (T) đi qua (kẻ từ) điểm P(0, 1). Bài 2: Cho hàm số y = -2x 3 + 6x 2 – 5 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ (đi qua) A(-1; -13) (ĐH DB KB 2007) Bài 3: Cho hàm số y = 2 x 3x 3 x 2 + + + (H). Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0 Bài 4: Cho hàm số 2 x 2x 2 y x 1 + + = + (C), gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua điểm I. Bài 5: Cho (C m ): y = (m 1)x m x m − + − Tìm m để tiếp tuyến với (C m ) tại điểm trên (C m ) có hoành độ x 0 = 4 thì song song với đường phân giác thứ hai của góc hệ trục tọa độ. Bài 6: Cho hàm số y = 2x + 2 x 1− (H) Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) 2) Chứng minh rằng: a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay đổi. b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số. c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên. 6 Bài 7: Cho hàm số y = 2 x 3x 3 x 2 − + − (H) Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H). Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng: 1) M là trung điểm của PQ 2) Tam giác AIB có diện tích không đổi 3) IQ.IP không đổi. CHỦ ĐIỂM 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VẤN ĐỀ 1 ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT A. PHƯƠNG PHÁP: • Dùng công thức tách, công thức vi phân… để cách biến đổi các hàm dưới dấu tích phân sao cho có thể sử dụng trực tiếp bảng các nguyên hàm cơ bản. B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tính các tích phân sau: 1) x e x e 1 dx 2 x − + ∫ ÷ 2) x x 1 2 .3 dx + ∫ 3) 2 dx x.ln x ∫ 4) x 2x e dx e 1 ∫ − Bài 2: Tính các tích phân sau: 1) 2 x x sin cos dx 2 2 − ∫ ÷ 2) 2 x sin dx 2 ∫ 3) 2 2 cos2x dx cos x.sin x ∫ 4) cos2x dx sin x cos x ∫ + 5) 2 cotg x dx ∫ 6) 3 tg x dx ∫ 7) 2 sin x dx ∫ 8) 3 cos x dx ∫ 9) 4 sin x dx ∫ 10) 5 tg x dx ∫ 11) 4 3 5 dx sin x cos x ∫ 12) ln(ex) dx 1 x ln x ∫ + 7 13) I = π 2 4 π 4 dx sin x ∫ 14) π 4 4 0 dx cos x ∫ 15) π 3 3 2 3 π 3 sin x sin x cotgx dx sin x − ∫ 16) dx π cosx.cos(x ) 4 + ∫ 17) π 3 π 6 dx π sin x.sin(x ) 6 + ∫ 18) 2009 ln x dx x ∫ ĐS (TPXĐ): 13. ( 4 3 ) 14. ( 4 3 ) 15. ( 3 1 8 3 − ) 17. 3 (2.ln ) 2 Bài 3: Tính các tích phân sau: 1) 2 3 1 x dx x − ∫ ÷ 2) 4 2 2 x 2x x 2 dx x x 1 + + + ∫ + + 3) 3 5 dx x x ∫ + 4) dx 3 x x ∫ − 5) 3 8 x dx x 2 ∫ − 6) 3 (3x 1) dx (x 1) + ∫ + 7) dx x 2 x 1 ∫ − − + 8) 2 2x dx x x 1 ∫ + − 9) 2 5 (4x 4x 1) dx− + ∫ 10) (2x 3) 2x 1 dx+ + ∫ 11) dx 3 2x ∫ − 12) 3x 1 dx 2x 3 + ∫ − 13) 2 2x 7x 7 dx x 2 − + ∫ − 14) 2 4x 7 dx 2x 7x 7 − ∫ − + 15) 2 x 2 dx x 3x 2 − ∫ − + VẤN ĐỀ 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN A. PHƯƠNG PHÁP Tính I = f (x)dx ∫ , ta có hai trường hợp sau: • TH1: I = ' f (x)dx g[φ(x)].φ (x).dx= ∫ ∫ Thì ta đặt: t = φ(x) ⇒ dt = ' φ (x).dx ⇒ I = g(t)dt ∫ Tích phân này dễ dàng tính được. (Tức nếu ta thấy trong biểu thức f(x) có thừa số này là đạo hàm của thừa số kia thì ta đặt t = thừa số này) 8 • TH2: Theo các mẫu đã học ở SGK hay do đề bài hướng dẫn ta có thể đặt x = φ(t) ⇒ dx = ' φ (t).dt ⇒ I = ' f[φ(t)].φ (t).dt g(t)dt= ∫ ∫ Tích phân này dễ dàng tính được Các mẫu cần nhớ: Nếu tích phân có chứa: 1) 2 2 α u + hay 2 2 1 α u+ , ( a > 0, Δ < 0): Đặt u = α tgt với π 2 − < t < π 2 2) 2 2 α u− ( a < 0, Δ < 0): Đặt u = α sint với π 2 − ≤ t ≤ π 2 3) 2 2 uα− ( a > 0, Δ > 0): Đặt u = α cost với t∈(0,π)\{ π 2 } VD: ∗ I = 2 2 dx x 1 x ∫ − thì ta đặt x = sint với π π t 2 2 − < < ∗ I = 1 2 0 dx 1 x+ ∫ thì ta đặt x = tgt với π π t 2 2 − < < ⇒ I = π 4 … Chú ý: Tính tích phân xác định thì ta chỉ đổi thêm cận và thay cận là xong 9 B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau: 1) I = 3 2 (2x 3). x 3x 5 dx− − + ∫ 2) J = dx xln x ∫ 3) T = 1 2 0 dx 1 x+ ∫ 4) K = 2 4 x 1 dx x 1 − + ∫ 5) L = 3 6 4 2 x x dx x 4x 4x 1 − + + + ∫ 6) T = 2 dx x x 1+ + ∫ 7) X 1 dx 1 8+ ∫ 8) 4 1 X 1 x dx 1 2 − + ∫ (câu 7; 8: Đặt t = -x ; câu 7, ĐS: 1/5) HD: 3) Đặt x = tant ⇒ t = ln( 2 + 1) 4) Giả sử x ≠ 0, chia tử và mẫu cho x 2 Sau đó đặt u = x + 1 x ⇒ ĐS: K = 2 2 1 x 2x 1 ln | | C 2 2 x 2x 1 − + + + + 5) Giả sử x ≠ 0, chia tử và mẫu cho x 3 , Sau đó đặt u = x + 1 x ⇒ ĐS: K = 4 2 4 2 1 x 2x 1 ln C 2 x 2x 1 + + + + + VẤN ĐỀ 3 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN A. PHƯƠNG PHÁP: Dùng phương pháp này để tính I = f (x)dx ∫ khi: • f(x) có chứa hàm lôgarit mà không có dấu hiệu để đặt ẩn phụ • f(x) là tích của hai loại hàm khác nhau Khi đó ta chọn: ' uφ(x) du φ (x)dx dv v dv = ⇒ = ⇒ = ∫ ⇒ I = udv uv vdu b b b u.dv uv v.du a a a = − ∫ ∫ = − ∫ ∫ (Trong đó: u.dv = f(x).dx) Chọn u, dv thích hợp thì vdu ∫ có dạng đơn giản. Chú ý: Nếu f (x)dx ∫ = ( ) ( ) P x .g x dx ∫ (Tích hai loại hàm khác nhau) ∗ Mà: P(x) là đa thức, còn g(x) là hàm thuận như: sinu, cosu,e u thì ta đặt u = P(x) , dv = g(x).dx = (sinu / cosu / e u )dx ∗ Mà: P(x) là đa thức, còn g(x) là hàm ngược như: u a log , lnu thì ta đặt u = g(x) = u a log / lnu còn dv = P(x).dx 10 . 27 4) Biết (T) vuông góc với đường thẳng (d): y = - 1 3 x + 3 5) Biết (T) song song với đường thẳng (d): y = 9x - 2 6) Biết (T) đi qua (kẻ từ) điểm P(0,. m để tiếp tuyến với (C m ) tại điểm trên (C m ) có hoành độ x 0 = 4 thì song song với đường phân giác thứ hai của góc hệ trục tọa độ. Bài 6: Cho hàm số