BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG XUÂN BÍNH MỞ RỘNG BRUCK - REILLY CỦA VỊ NHÓM VÀ NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2012 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG XUÂN BÍNH MỞ RỘNG BRUCK - REILLY CỦA VỊ NHÓM VÀ NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học PGS .TS . LÊ QUỐC HÁN Nghệ An, 2012 2 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 1 LỜI NÓI ĐẦU .2 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Iđêan và các quan hệ Grin trên nửa nhóm 4 1.2. Nửa nhóm chính quy. Nửa nhóm ngược 9 1.3. Biểu diễn nửa nhóm 16 CHƯƠNG 2. MỞ RỘNG BRUCK - REILLY CỦA VỊ NHÓM 2.1. Một số lớp nửa nhóm đơn 21 2.2. Mở rộng Bruck - Reilly của các vị nhóm và các nhóm 29 KẾT LUẬN .36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 1 MỞ ĐẦU Giả sử M là một vị nhóm và :M M θ → là một tự đồng cấu. Tập hợp M× ×¥ ¥ - trong đó ¥ là tập hợp các số tự nhiên - cùng với phép toán hai ngôi: ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , t p t p m a n p b q m n t a b q p t θ θ    ÷   − − = − + − + với t= max ( ,n p ) và 0 θ là tự đẳng cấu đồng nhất của M, tạo thành một vị nhóm. Vị nhóm này được gọi là mở rộng Bruck- Reilly của M xác định bởi θ và được ký hiệu là BR ( M , θ ). Cấu trúc này là sự tổng quát các cấu trúc được đưa ra bởi Bruck (1958), Reilly (1966) và Munn (1970). Họ đã dùng chúng để chứng minh rằng mỗi nửa nhóm nhúng được vào một vị nhóm đơn và đưa ra định lý cấu trúc đối với các lớp đặc biệt của các nửa nhóm ngược. Gần đây Yamamura (2001) đã chứng tỏ rằng mở rộng Bruck - Reilly tùy ý của vị nhóm ngược là mở rộng Higman Neumann và Neumann (HNN) của một vị nhóm ngược. Bản luận văn của chúng tôi dựa trên công trình Presentation of semigroups and inverse semigroups của tác giả Catarina Carvalho do Trường Đại học Tổng hợp St.Andrew xuất bản năm 2003 để tìm hiểu mở rộng Bruck- Reilly đối với các vị nhóm và nhóm. Luận văn được chia thành hai chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và các tính chất của các iđêan và các quan hệ Grin trên nửa nhóm, nửa nhóm chính quy và nửa nhóm ngược, biểu diễn của nhóm để làm cơ sở trình bày cho chương sau. Chương 2: Mở rộng Bruck- Reilly của vị nhóm. Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày khái niệm và tính chất của các lớp nửa nhóm đơn, nửa nhóm song đơn, nửa nhóm 0 - đơn và nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn. 2 Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm và tính chất của mở rộng Bruck- Reilly của các vị nhóm và các nhóm. Kết quả chính là Mệnh đề 2.2.2 và Định lý 2.2.4. Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tác giả bày tỏ lòng biết ơn thầy đã tận tình chỉ dẫn chúng tôi học tập và tập dượt nghiên cứu khoa học. Thầy đã đặt vấn đề và trực tiếp hướng dẫn chúng tôi hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Đào tạo sau Đại học, Bộ môn Đại số cùng thầy, cô trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những đóng góp của các thầy, cô và các bạn cùng lớp. Nghệ An, tháng 09 năm 2012 Tác giả 3 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. IĐÊAN VÀ CÁC QUAN HỆ GRIN TRÊN NỬA NHÓM 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử I là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S . Khi đó: (i) I được gọi là một iđêan trái (tương ứng, phải) của nửa nhóm S nếu SI I⊆ (tương ứng, IS I⊆ ). (ii) I được gọi là iđêan của S nếu I vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải. Từ định nghĩa ta có hệ quả sau. 1.1.2. Hệ quả. Giả sử I là tập con không rỗng của nửa nhóm con của S . Thế thì 1) I là iđêan trái (tương ứng, phải) của S nếu với mọi a I∈ , với mọi x S∈ có xa I∈ ( tương ứng, ax I∈ ). 2) Nếu I là iđêan trái của S thì I là một nửa nhóm con của S . 3) Nếu I và J là các iđêan trái (phải) của S với I J φ ∩ ≠ thì I J∩ cũng là iđêan trái (phải) của S . 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử I là một iđêan của S . Ta định nghĩa một quan hệ I ρ xác định bởi ( ) I I I i s ρ = × ∪ (nghĩa là x y I ρ nếu và chỉ nếu hoặc ,x y I∈ hoặc x y= ). Khi đó, I ρ là một tương đẳng trên S và được gọi là tương đẳng Rixơ trên S liên kết với I . Để chứng tỏ Định nghĩa 1.2.3 hợp lý, ta cần chứng minh rằng I ρ là một tương đẳng, nhưng điều đó được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Nửa nhóm thương S I ρ sẽ được ký hiệu là S I , và được gọi là thương Rixơ của S theo iđêan I . S I có một phần tử là I và các phần tử khác { } x , với x S∈ \ I . Để đơn giản ký hiệu, chúng ta đồng nhất phần tử { } x x I ρ = với 4 phần tử x S∈ \ I . Tích các phần tử trong S I như sau : .x y xy= với ,x y I∉ và I x = I = xI với mọi x ∈ S. Do đó I là phần tử không (zero) của S  I. 1.1.4. Định nghĩa. Một iđêan I của nửa nhóm S được gọi là iđêan tối tiểu nếu với mọi iđêan J của S, J ⊆ I kéo theo J = I 1.1.5. Bổ đề. Giả sử I là iđêan tối tiểu và J là iđêan tùy ý của S. Thế thì I ⊆ J. Chứng minh. Trước hết, I ∩ J ≠ ∅ . Thật vậy, vì I và J là những iđêan của S, nên IJ ⊆ I ∩ J. Hơn nữa I ≠ ∅ , J ≠ ∅ nên IJ ≠ ∅ . Do đó I ∩ J ≠ ∅ . Mặt khác, I ∩ J ⊆ I và I ∩ J là iđêan của S, nên từ tính tối tiểu của I suy ra I ∩ J = I, và do đó I ⊆ J.  Từ Bổ đề 1.1.5 ta có ngay hệ quả sau. 1.1.6. Hệ quả. Nếu một nửa nhóm S có iđêan tối tiểu, thì iđêan tối tiểu của S là duy nhất. Chú ý rằng một nửa nhóm có thể có hoặc không có iđêan tối tiểu. Xét nửa nhóm ( ¥ , +). Các iđêan của nhóm ( ¥ , +) thực chất là các tập con n+ ¥ = {n+k  k ∈ ¥ }. Hơn nữa m+ ¥ ⊆ n+ ¥ nếu và chỉ nếu m ≥ n. Dó đó, ( ¥ , +) không có iđêan tối tiểu. Tuy nhiên, mọi nửa nhóm hữu hạn S đều có một iđêan tối tiểu, đó chính là iđêan có số phần tử ít nhất (iđêan như vậy tồn tại vì S là một iđêan của S và S chỉ có hữu hạn phần tử). 1.1.7. Định nghĩa. Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm đơn, nếu nó không có iđêan khác S. 1.1.8. Bổ đề. Nửa nhóm S là nửa nhóm đơn nếu và chỉ nếu S = SxS, với mọi x ∈ S. Chứng minh. Rõ ràng rằng, với mọi x ∈ S, SxS là iđêan của S, và do đó nếu S đơn thì SxS = S. Đảo lại, giả thiết rằng với mọi x có SxS = S. Khi đó nếu I là một idêan của S và x ∈ I nào đó thì S = SxS ⊆ I nên I = S. Vậy S đơn. 1.1.9. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Ta định nghĩa các quan hệ 5 L, R, J sau đây trên S: aLb ⇔ S 1 a = S 1 b aRb ⇔ a S 1 = bS 1 aJ b ⇔ S 1 aS 1 = S 1 bS 1 trong đó S 1 a, aS 1 và S 1 aS 1 là các iđêan chính trái, chính phải và iđêan chính của S được sinh ra bởi a. Theo định nghĩa: aLb ⇔ ∃ s, s’ ∈ S: a = sb và b = s’a aRb ⇔ ∃ r, r’ ∈ S: a = br và b = ar’. Từ định nghĩa trực tiếp suy ra các quan hệL , R và J là các quan hệ tương đương trên S. Thực ra, Llà một tương đẳng phải và R là một tương đẳng trái trên S. Với mỗi x ∈ S, ta ký hiệu L x là L - lớp tương đương chứa x: L x = { y ∈ S | xL y }. Tương tự, R x và J x là ký hiệu lớp tương đương theo R, J tương ứng chứa x. 1.1.10. Ví dụ. (1) Xét nửa nhóm S = {a,b,c} với phép nhân được xác định ở bảng bên. Thế thì: S 1 a={a,b,c}, S 1 b={b,a}, S 1 c= {c} a b c a a b c aS 1 ={a,b,c}, b S 1 ={a,b,c}, cS 1 ={b,c}. b b a c c c b c Từ đó aR b. Các lớp tương đương theo quan hệ L là L a = {a}, L b = {b}, L c = {c}, và theo quan hệ R là R a = {a,b} = R b , Rc = {c}. (2) Giả sử T X là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên tập X. Thế thì đối với α , β ∈ T X : 6 α R β ⇔ ∃ γ , γ ’ ∈ T X : αγ = βγ ’. Do đó αR β kéo theo α ( X ) = β ( X ). Mặt khác, nếu α ( X ) = β ( X ) thì xác định γ ∈ T X bởi: γ (x) = x nào đó với β ( ) x = α (x). Thế thì βα (x) = β ( x )= α (x), và do đó β ∈ α 1 T X nên α R β ⇔ α (x) = β (x). 1.1.11. Định lý. Các quan hệ L và R giao hoán: L o R = R o L . Chứng minh. Giả sử (x, y) ∈ L o R. Thế thì có một phần tử z ∈ S sao cho xLz, zRy. Do đó tồn tại các phần tử s, s’, r, r’ ∈ S sao cho: x = sz, z = s’x, z = yr, y = zr’. Ký hiệu: t = szr’. Thế thì t = szr’ = xr’, x = sz = syr = szr’r = tr nên xRt. Ta lại có: t = s.zr’ = sy, y = zr’ = s’xr’ = s’szr’ = s’t nên yL t. Suy ra (x,y) ∈ R o L nên L o R ⊆ R o L . Tương tự, có R o L ⊆ L o R nên L o R = R o L . 1.1.12. Định nghĩa. Giả sử L và R là các quan hệ tương đương đã được xác định theo Định nghĩa 1.1.9. Ta xác định các quan hệ trên S bởi: D = L o R= R o L và H = R ∩ L. Khi đó H là quan hệ tương đương lớn nhất của S được chứa trong L và R theo Lý thuyết tập hợp. Ta chứng minh D là quan hệ tương đương bé nhất chứa cả Lvà R . 7 Thật vậy, vì L và R là các quan hệ tương đương nên D = L o R cũng là quan hệ tương đương. Hơn nữa, xL x và xR x với mọi x ∈ S 1 nên L ⊆ D và R ⊆ L . Nếu C là quan hệ tương đương trên S chứaL ∪ R thì D ⊆ C nên D là quan hệ tương tương bé nhất chứa L và R. Ký hiệu D x và H x là các D - lớp và H – lớp tương ứng chứa x ∈ S. Khi đó với mọi x, có L x ∩ R x = H x . 1.1.13. Định nghĩa. Các quan hệ L , R, J, D và H được xác định như trên gọi là các quan hệ Grin trên nửa nhóm S. 1.1.14. Định lý. Giả sử ,x y S∈ . Thế thì xy R L R L x y y x ∈ ∩ ⇔ ∩ chứa một lũy đẳng duy nhất. Chứng minh. Trước hết ta giả sử rằng xy R L x y ∈ ∩ .Vì y L xy , x ρ : y xy R R→ là song ánh. Vì xyR x nên R R xy x = , do đó x ρ : R R y x → là một song ánh. Ánh xạ ρ x bảo toàn các L - lớp và do đó ρ x ánh xạ y x R L∩ vào x x x R L H∩ = . Do đó tồn tại Z y x R L∈ ∩ sao cho ρ x ( z ) x= , nghĩa là zx x= . Vì z L x nên tồn tại 1 u S∈ sao cho z ux= . Khi đó xux xz x= = và do đó zz uxux ux z= = = nên z E s ∈ . Đảo lại, nếu tồn tại lũy đẳng e R L x y ∈ ∩ thì ey y= và xe x= . Từ eR y chúng ta nhận được xeR xy , và do đó xR xy . Từ eL x có eyR xy nên yL xy . Do đó xy R L x y ∈ ∩ . Cuối cùng, nếu R L y x ∩ chứa lũy đẳng thì nó là lũy đẳng duy nhất vì R L y x ∩ là một H - lớp. 1.1.15. Định lý. Giả sử H là một H - lớp của nửa nhóm S . Thế thì các điều kiện sau đây là tương đươn: 8 . DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG XUÂN BÍNH MỞ RỘNG BRUCK - REILLY CỦA VỊ NHÓM VÀ NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2012 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ. ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG XUÂN BÍNH MỞ RỘNG BRUCK - REILLY CỦA VỊ NHÓM VÀ NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã