Lời cảm ơn Tôi xin phép đợc bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đối với PGS.TS. Nguyễn Huy Công. Thầy đã đặt bài toán, cung cấp tài liệu, nhiệt tình hớng dẫn và giúp đỡ tôi vợt qua rất nhiều khó khăn để hoàn thành bản luận văn này. Tôi cũng xin phép đợc bày tỏ lòng cảm ơn đối với PGS.TS. Đinh Xuân Khoa, TS. Vũ Ngọc Sáu, GS.TSKH. Cao Long Vân, PGS.TS. Hồ Quang Quý, nhóm Quang lợng tử khoa Vật lý và các bạn học viên cao học 12 Quang lợng tử đã có nhiều đóng góp, chỉ dẫn khoa học quí báu giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Nhân dịp kết thúc chơng trình cao học, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở khoa Vật lý, khoa đào tạo Sau đại học trờng Đại Học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học. 1 Mục lục Mở đầu 3 Chơng 1. Sự lợng tử hoá trờng điện từ và trạng thái nén 5 1.1. Sự lợng tử hoá trờng điện từ 5 1.2. Trạng thái nén 10 1.3. Trạng thái chân không nén 11 1.4. Trạng thái nén kết hợp 12 1.5. Biểu không gian pha 13 1.6. ý nghĩa vật lý của trạng thái nén 15 Chơng 2. Lý thuyết hàm tơng quan 17 2.1. Khái niệm hàm tơng quan 17 2.2. Hàm tơng quan cổ điển 20 2.3. Hàm tơng quan lợng tử 29 Chơng 3. Phổ huỳnh quang cộng hởng của nguyên tử hai mức trong sự có mặt của trờng kích thích lợng tử và bể nhiệt chân không thờng 33 3.1. Phơng pháp toán tử mật độ 33 3.2. Bể nhiệt chân không thờng 35 3.3. Bể nhiệt chân không nén 44 3.4. Phổ huỳnh quang cộng hởng của nguyên tử hai mức trong sự 45 có mặt của trờng kích thích lợng tử và bể nhiệt chân không thờng Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 2 Mở Đầu Trong thế kỷ 20, chúng ta đã đợc chứng kiến hai sự kiện quan trọng có ý nghĩa trong lĩnh vực quang học, đó là phát hiện ra bản chất lợng tử của ánh sáng và phát hiện ra Laser. Năm 1900, nhà vật lý ngời Đức Max Planck phát minh ra thuyết lợng tử, nó đánh dấu thời kỳ phát triển của Vật lý học nói chung và quang học nói riêng. Bình thờng, nguyên tử ở trạng thái cơ bản, khi có tác động của trờng kích thích có tần số tơng ứng với sự chuyển mức thì các nguyên tử chuyển sang trạng thái kích thích. Sau một thời gian rất ngắn, hoặc có một tác động nào đó, các nguyên tử ở trạng thái kích thích sẽ chuyển về trạng thái thấp hơn và đồng thời phát ra các photon thứ cấp. Một số photon thứ cấp lại bị các nguyên tử ở mức dới hấp thụ để chuyển lên trạng thái kích thích rồi sau đó lại trở về làm phát xạ các photon mới. Đó chính là hiệu ứng huỳng quang cộng hởng. Bằng cách sử dụng các máy quang phổ, chúng ta có thể thu đợc hình ảnh của phổ huỳnh quang, đó chính là phổ của các photon phát xạ ở các tần số khác nhau. Nh chúng ta đã biết, nghiên cứu các hiệu ứng do tơng tác của hệ lợng tử với trờng kích thích đóng một vai trò hết sức quan trọng trong quang học lợng tử. Chúng ta coi rằng, toàn bộ trờng và hệ lợng tử đợc nhúng trong chân không điện từ. Tức là quá trình tơng tác giữa trờng và hệ lợng tử xẩy ra trong chân không điện từ. Mặc dù không có photon nào, nhng vì có năng lợng nên chân không điện từ có ảnh hởng đến quá trình tơng tác giữa hệ lợng tử và trờng kích thích. Ngời ta có thể mô hình hoá thăng giáng chân không điện từ bằng các nhiễu trắng và từ đó thu đợc một số kết quả khá phù hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm trong việc xây dựng các phơng trình đối với các thông số của hệ lợng tử. Có rất nhiều loại thăng giáng trong quá trình tơng tác giữa trờng và hệ l- ợng tử nh thăng giáng pha, thăng giáng biên độ, thăng giáng độ điều biên tần số. Mỗi loại thăng giáng có một hàm tơng quan tơng ứng. Việc nghiên cứu tơng 3 tác này theo quan điểm của lý thuyết bán cổ điển (trong đó hệ vật chất đợc xem là hệ lợng tử, quy luật chuyển động của nó tuân theo phơng trình Schrodinger, còn trờng vẫn đợc khảo sát trong phạm vi cổ điển, sự biến đổi của các vectơ tr- ờng vẫn tuân theo hệ phơng trình Maxwell) dẫn đến việc giải phơng trình Bloch và tính đợc phổ huỳnh quang. Vấn đề đặt ra là nghiên cứu tơng tác này theo quan điểm của lý thuyết thuần tuý lợng tử (cả trờng và hạt đều thay đổi theo quy luật lợng tử) thì phổ huỳnh quang sẽ đợc tính nh thế nào? Với tên luận văn Phổ huỳnh quang cộng hởng của nguyên tử hai mức trong sự có mặt của trờng kích thích lợng tử và chân không ngẫu nhiên th- ờnggóp phần lý giải câu hỏi đó. Luận văn có bố cục nh sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn chia làm 3 ch- ơng. Chơng 1, trình bày sự lợng tử hoá trờng, để lợng tử hoá trờng chúng ta xuất phát từ hệ phơng trình Maxwell, sử dụng toán tử sinh và toán tử huỷ. Từ đó khảo sát trạng thái nén và bể nhiệt chân không nén. Chơng 2, trình bày lý thuyết về hàm tơng quan, từ khái niệm hàm tơng quan đến hàm tơng quan lợng tử, đa ra biểu thức tính phổ công suất huỳnh quang thông qua hàm tơng quan bậc nhất. Chơng 3, trình bày về phơng pháp toán tử mật độ và đa ra biểu thức tính hàm mật độ. Trên cơ sở đó xác định mật độ xác suất chuyển giữa hai mức của nguyên tử khi đặt trong bể nhiệt chân không thờng và bể nhiệt chân không nén. Từ đó tính phổ công suất huỳnh quang của nguyên tử hai mức trong sự có mặt của trờng khích thích lợng tử và bể nhiệt chân không thờng, và vẽ đồ thị. 4 Chơng 1. Sự lợng tử hoá trờng điện từ và trạng thái nén Nh chúng ta đã biết, thuyết trờng cổ điển khẳng định trờng có cấu tạo liên tục và năng lợng của nó không thay đổi theo thời gian, năng lợng phát ra một các liên tục. Thực tế cho thấy thuyết trờng cổ điển đã giải thích đợc nhiều quá trình điện từ rất chặt chẽ. Tuy nhiên, có một số quá trình điện từ, nếu chỉ dựa vào các khái niệm cổ điển thì không thể giải thích đợc. Đó là một loạt các hiện tợng quan sát thấy khi cho trờng tơng tác với vật chất. Vì vậy khi nghiên cứu t- ơng tác giữa trờng với vật chất ta phải lợng tử hoá trờng điện từ, tức là phải biểu diễn các vectơ trờng qua các toán tử. 1.1. Sự lợng tử hoá trờng điện từ Chúng ta bắt đầu từ hệ phơng trình Maxwell đối với trờng tự do trong môi trờng chân không[6] [11]: t D H =ì (1.1) t B E =ì (1.2) 0 = B (1.3) 0 = E (1.4) các phơng trình liên hệ: HB 0 à = (1.5) ED 0 = (1.6) Điện trờng E và từ trờng B có thể đợc tính thông qua thế vectơ A : AB ì= (1.7) t A E = (1.8) Đặt điều kiện định cỡ: 0 = A (1.9) Thế vectơ A là một đại lợng trung gian, xác định không đơn giá, không có ý nghĩa vật lý, trong thực nghiệm ta đo đợc B không đo trực tiếp đợc A [6]. 5 Thế (1.5), (1.6), (1.7), (1.8) vào (1.1) ta đợc: t D H =ì t E B =ì 0 0 1 à 2 2 00 t A A =ìì à 0 2 2 00 = +ìì t A A à (1.10) Ta có: AAAA )()(][ =ìì=ìì AAA 2 )( =ìì với điều kiện định cỡ: 0 = A thì : AA 2 =ìì (1.11) Thế (1.11) vào (1.10) ta đợc: 0 2 2 00 2 = t A A à hay 0 1 2 2 2 2 = t A c A (1.12) Trong đó: 00 1 à = c (1.13) là vận tốc ánh sáng trong chân không. Phơng trình (1.12) có dạng phơng trình D Membert hay phơng trình sóng [6]. Nghiệm của phơng trình (1.12) có dạng: )(exp),( 0 ++= rktiAtrA (1.14) Và khi ),( trA có dạng (1.14) thì: ( ) AkiA = (1.15) [ ] AkA ì=ì (1.16) Thế vectơ ),( trA có thể đợc khai triển trong một hình hộp cạnh L [12]: ))(exp)(exp(),( rktiArktiAtrA kkkk k ++= (1.17) Các thành phần của vectơ sóng k là: 6 xx n L k π 2 = ; yy n L k π 2 = ; zz n L k π 2 = Trong ®ã: .;2;1;0,, ±±= zyx nnn (1.18) kc k = ω (1.19) Tõ (1.8) vµ (1.17) ta cã: t A E ∂ ∂ −=   = ))(exp)(exp( rktiArktiAi kkkk k k       ⋅−−⋅+−= ∗ ∑ ωωω ⇔ ),( trE   = ))(exp)(exp( rktiArktiAi kkkk k k       ⋅−−⋅+− ∗ ∑ ωωω (1.20) Tõ (1.7) vµ (1.16) ta cã: AB   ×∇= ⇔ [ ] AH   ×∇= 0 1 µ = [ ] Ak   ×= 0 1 µ ⇔ ),( trH   [ ] Ak   ×= 0 1 µ (1.21) Hamiltonien cæ ®iÓn cña trêng lµ: ( ) 2 0 2 0 2 1 ˆ HEVdH V µε += ∫ (1.22) Khi phÐp lÊy tÝch ph©n vît qua thÓ tÝch V cña h×nh hép vµ c¸c ký hiÖu 2 E vµ 2 H lµ gi¸ trung b×nh theo chu kú th×: ( ) 2 0 2 0 2 1 ˆ HEVH µε += (1.23) Thay c¸c gi¸ trÞ cña ),( trE   vµ ),( trH   tõ (1.20) vµ (1.21) vµo (1.23) ta cã: ( ) [ ] +       ×= 2 0 0 , 2 1 ˆ trAk i VH    µ µ 2 0 ))(exp)(exp( 2 1       ⋅−−⋅+− ∗ ∑ rktiArktiAiV kkkk k k       ωωωε =       ⋅−−⋅+−− ∗ ∑ 22 0 ))(exp)(exp()( 2 1 rktiArktiAV kkkk k k       ωωωε 7 ++ 22 0 ))(exp)(exp( 1 2 1 rktiArktiAkV kkkk k à = + 22 0 ))(exp)(exp()( 2 1 rktiArktiAV kkkk k k + ++ 2 2 2 0 ))(exp)(exp( 1 2 1 rktiArktiA c V kkkk k k à = 22 0 ))(exp)(exp( 2 1 rktiArktiAV kkkk k k ++ + 22 0 ))(exp)(exp()( 2 1 rktiArktiAV kkkk k k + . = 2 ))(exp)(exp( rktiArktiA kkkk ++ - - 2 ))(exp)(exp( rktiArktiA kkkk + = = )(2 kkkk AAAA + Suy ra: )( 2 0 kkkk k k AAAAVH += (1.24) ở đây V = 3 L Chúng ta có thể định nghĩa biến số tọa độ suy rộng k q và xung lợng suy rộng k p trong biểu thức biến đổi của k A và k A nh sau: ( ) ( ) kkkk k i k piq V e A 4 2 1 2 0 += (1.25) ( ) ( ) kkkk k i k piq V e A 4 2 1 2 0 = (1.26) Trong đó k là vectơ phân cực đơn vị, là pha tuỳ ý. Thay (1.25), (1.26) vào (1.24) ta đợc: ( ) ( ) kkkkkk k k k piqpiq V VH 4 1 2 0 2 0 += + ( ) ( ) kkkkkk k k k piqpiq V V 4 1 2 0 2 0 + 8 = ( ) 222 2 1 kkk k qp + = H ( ) 222 2 1 kkk k qp + (1.27) Từ đây các đại lợng cổ điển có thể đợc lợng tử hoá bằng việc đồng nhất biến số tọa độ suy rộng k q và xung lợng suy rộng k p với các toán tử tơng ứng thoã mãn hệ thức giao hoán: [ ] kk k k ipq = , (1.28) Thế vectơ cổ điển ),( trA và ( ) trA , đợc lợng tử hoá nếu ta ký hiệu toán tử k a và + k a trong các vectơ k A và k A nh sau: ( ) kkkk k k piqa 2 1 += (1.29) ( ) kkkk k k piqa 2 1 = + (1.30) Với = 2 thì: kk k k a V iA 2 2 1 0 = (1.31) kk k k a V iA ++ = 2 2 1 0 (1.32) Thay (1.31) và (1.32) vào (1.24) ta đợc: = H ( ) = +=+ ++++ 2 1 2 1 2 kk k kkk k kkkkk k k aaaaaaaa (1.33) trong đó: [ ] kk kk aa = + , (1.34) [ ] [ ] 0 , , == ++ k k k k aaaa (1.35) Toán tử k a và + k a có tính chất nh toán tử huỷ và toán tử sinh . Khi đó toán tử thế vectơ ),( trA , toán tử cờng độ điện trờng ),( trE , toán tử cờng độ từ trờng ),( trH đợc biểu diễn thông qua toán tử k a và + k a nh sau: ( ) cHrkitia V itrA kkk k k ++ = exp 2 ),( 2 1 0 (1.36) 9 ( ) cHrkitia V trE kkk k k ++ = exp 2 ),( 2 1 0 (1.37) ( ) cHrkitiak V itrH kkk k k ++ì = à exp 2 1 ),( 2 1 00 (1.38) trong đó H c là ký hiệu toán tử liên hợp ecmit tơng ứng. Nh vậy, các đại lợng đặc trng cho trờng đợc biểu diễn thông qua các toán tử, điều đó có nghĩa là trờng đã đợc lợng tử hoá. 1.2. Trạng thái nén Xét hai toán tử A và B thỏa mãn hệ thức giao hoán [12] [14]: [ ] CiBA , = (1.39) Theo hệ thức bất định Heisenberg: BA C 2 1 (1.40) Trạng thái A đợc gọi là trạng thái nén nếu độ bất định của nó thoả mãn hệ thức: ( ) CA 2 1 2 < (1.41) Từ (1.40) và (1.41) ta thấy phơng sai thỏa mãn độ bất định cực tiểu khi: BA = C 2 1 (1.42) trạng thái này gọi là trạng thái nén lý tởng. Gọi các toán tử sinh và huỷ tổng quát lần lợt là: ++ += avaa g à (1.43) + += avaa g à (1.44) ở đây à và v là các số phức thoả mãn hệ thức: 1 22 =+ v à (1.45) g a và + g a thõa mãn hệ thức giao hoán: [ ] ( ) ( ) ( ) 1 , 22 ==+= +++++ aaaavaaaaaa gg à (1.46) 10