Một số đặc trưng của đồng cấu mở rộng

30 439 0
Một số đặc trưng của đồng cấu mở rộng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Trần thị huệ Một số đặc tr Một số đặc tr ng ng của đồng cấu mở rộng của đồng cấu mở rộng luận văn thạc sĩ toán học luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Trần thị huệ Một số đặc tr Một số đặc tr ng ng của đồng cấu mở rộng của đồng cấu mở rộng Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS- TS. Ngô sỹ tùng 3 Vinh - 2009 Mục lục Trang Mở đầu 1 Chơng 1. Các khái niệm cơ bản 2 Đ 1. Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu 2 Đ 2. Môđun nội xạ 7 Đ 3. Bao nội xạ 10 Đ 4. Môđun xạ ảnh 11 Chơng 2. Một số đặc trng của đồng cấu mở rộng 13 Đ 1. Môđun Artin - môđun Noether 13 Đ 3. Một số đặc trng của đồng cấu mở rộng 19 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 26 5 Mở đầu Hai yếu tố chính trong lý thuyết môđun là.môđun nội xạ và môđun xạ ảnh. Trong luận văn này, với sự mong muốn của bản thân đợc nghiên cứu về lý thuyết môđun, đặc biệt là các mở rộng đồng cấu của môđun trên vành Artin và sự gợi ý của giáo viên hớng dẫn, thầy PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng, tôi sẽ trình bày lại theo cách riêng của mình về "Một số đặc trng của đồng cấu mở rộng". Mục đích chính của luận văn là dựa vào bài báo "Injectivity relative to closed submodules, Journal of Algebra 321(2009) 548-557" của các tác giả Engin mermut, Catarina Santa-Clara, Patrick F. Smith năm 2009 trình bày tờng minh vấn đề trọng tâm đã đặt ra. Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2 chơng Chơng 1: Các khái niệm cơ bản Chơng 2: Một số đặc trng của đồng cấu mở rộng Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn khoa học của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo trong chuyên ngành Đại số - lý thuyết số, Khoa Toán, Khoa sau đại học đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các Thầy Cô giáo Tổ toán Trờng trung học phổ thông Nguyễn Du - tỉnh Nghệ An đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn. Sự quan tân giúp đỡ của gia đình và bạn bè là nguồn động viên, cổ vụ và tiếp thêm sức mạnh cho tác giả trong suốt những năm tháng học tập và thực hiện đề tài. Dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý của Thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả 6 Chơng 1 Các khái niệm cơ bản Đ 1. Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu 1.1. Định nghĩa. Định nghĩa 1: Cho vành R , M là môđun trái trên R kí hiệu R M (hay gọn M ) và 0 A là môđun con của M , A đợc gọi là môđun con cốt yếu, kí hiệu A * M (hay A M< ) nếu m B M , 0B thì 0B A hay ( A * M ) 0, 0A B B M B = = m . Trong đó kí hiệu m B M để chứng minh rằng B là môđun con của môđun M . Định nghĩa 2: Môđun U đợc gọi là uniform hay đều nếu mọi môđun con khác 0 của U đều là cốt yếu trong U . Hay U là môđun đều khi và chỉ khi với mọi m 0 ,A B U 0A B . Ví dụ 1: Cho Z là Z - môđun. Khi đó với Z là vành số nguyên đều vì với mọi môđun con khác 0 của Z đều cốt yếu trong Z . Ví dụ 2: Xét Z - môđun Q , với Q là nhóm cộng các số hữu tỷ. Khi đó Q là Z môđun đều. Ví dụ 3: Không gian véctơ V trên trờng K (V là K - môđun) khi đó: Nếu dim V 2, vì V là tổng trực tiếp các không gian con một chiều, nên V không đều. Nếu dim V = 1 thì V là K - môđun đều và chúng ta thấy rằng môđun con cốt yếu của V chỉ là V . Ví dụ 4: Mọi môđun M thì M * M . 1.2. Tính chất của môđun con cốt yếu 7 Cho môđun M và A là môđun con của M . Khi đó: 1) A * M 0, 0A RxR x M . 2) m m A K M thì A * M khi và chỉ khi A * K và K * M . 3) Cho ,A B * M thì A B * M . Cho hữu hạn các môđun , 1, i A i n lần lợt cốt yếu trong các môđun , 1, i K i n với i K m M . Khi đó: 1 n i i A = I * 1 n i i K = I Chú ý: Tính chất này không đúng trong vô hạn. 4) Cho m m A K M . Khi đó nếu: /K A * /M A thì K * M (chiều ngợc lại không đúng). 5) Cho :f M N là đồng cấu môđun và B * N . Khi đó: ( ) 1 f B * M trong đó ( ) 1 f B là tạo ảnh của môđun B . 6) Cho ( ) m m , i i A M M i I . Nếu tồn tại i I A (tổng trực tiếp trong) và i A * i M , i I thì tồn tại i I M và i I A * i I M . 1.3. Định nghĩa. Môđun con A của môđun M đợc gọi là đối cốt yếu (hay bé) trong M nếu với mỗi môđun con E M ta đều có A E M + (một cách t- ơng đơng, A E M E M+ = = ). Khi đó ta ký hiệu A M o . Ví dụ. 1) Đối với mọi môđun M ta đều có 0 M o . 2) Mọi Z - môđun tự do chỉ có môđun tầm thờng 0 là đối cốt yếu. Chứng minh. 1) Giả sử F là Z - môđun tự do với cơ sở { } i e i I . Khi đó 8 i I F e Z= Giả sử A là môđun con khác không của F và 0 a A . Khi đó a biểu diễn duy nhất dới dạng 1 2 1 2 . ;0 m i i i m i a e x e x e x x Z= + + + Chọn , 1n Z n > sao cho ( ) 1 , 1n x = và đặt ( ) 1 1 i i i i E e Z e nZ = + Ta có aZ E F+ = , nghĩa là A E F+ = , trong đó E F . Điều này chứng tỏ A không là môđun con cốt yếu của F . 3) Mỗi môđun hữu hạn sinh trong Z Q là đối cốt yếu trong Z Q . Thật vậy, giả sử A là môđun con của Q , sinh bởi tập { } 1 2 , , ., n q q q Q và E là môđun con của Q sao cho A E Q+ = . Khi đó { } 1 2 , , ., n q q q E là một hệ sinh của Z Q . Điều này chứng tỏ A Q o . Trong đó kí hiệu Z Q là Z - môđun Q 1.4. Bổ đề. 1) Nếu trong M có dãy môđun con m m A B C thì B C o kéo theo A M o . 2) i A M o , với mọi 1 1,2, ., n i i n A M= o 3) Nếu : M N đồng cấu môđun và A M o thì ( ) A N o . Trong đó kí hiệu ( ) A là ảnh của môđun A qua đồng cấu . Chứng minh. 1) Giả sử D là môđun con trong M sao cho A D M + = . Khi đó B D M + = và theo luật môđula ta có 9 ( ) ( ) D C B D B C M C C + = + = = . Do B C o nên D C C = . Điều này kéo theo C D . Bởi vậy M A D D= + = , chứng tỏ A M o . 2) Ta tiến hành quy nạp theo n , Với 1n = mệnh đề đúng do giả thiết. Giả sử ta chứng minh đợc 2 . n A A A M= + + o . Bây giờ, giả sử D là môđun con của M sao cho ( ) 1 A A D M+ + = . Khi đó, do 1 A M o nên A D M+ = . Lại do A M o nên D M= , điều này chứng tỏ 1 A A M+ o 3) Giả sử D là môđun con của môđun N thoả mãn: ( ) A D N + = Ta cần chứng minh rằng: ( ) 1 A D M + = . Thật vậy, với phần tử tuỳ ý m M ta có ( ) ( ) , ,m a d a A d D = + ( ) ( ) d m a = ( ) ( ) ( ) 1 1 d m a m a D m A D = + . (1) Do A M o nên từ (1) suy ra ( ) 1 D M = . Bởi vậy ( ) ( ) A M D . Do đó ( ) N A D D = + = , và ta có điều phải chứng minh. 1.5. Mệnh đề. Đối với R a M , môđun phải M trên vành R môđun con aR không là đối cốt yếu trong M khi và chỉ khi tồn tại môđun con tối đại K sao cho a K . 10 Chứng minh. () Nếu K là môđun con tối đại trong M và a K thì aR K M+ = . Bởi vậy aR không là đối cốt yếu trong M . () Để chứng minh phép kéo theo này ta sử dụng bổ đề Zorn. Đặt là tập tất cả các môđun con B của M , B M sao cho aR B M+ = { } ,B B M aR B M = + = Tập do aR không là đối cốt yếu. Giả sử A là một dây chuyền trong (theo quan hệ bao hàm). Khi đó dễ thấy 0 ,B B B A= là lân cân của A . Ta chứng tỏ 0 B M . Muốn vậy ta chứng minh 0 a B . Thật vậy, nếu 0 a B thì a B với B nào đó thuộc A . Khi đó aR B và vì vậy M aR B B= + = , Trái với giả thiết B M . Bởi vậy 0 a B . Mặt khác, hiển nhiên 0 B aR M+ = , nghĩa là 0 B . Khi đó theo bổ đề Zorn trong có phần tử tối đại K . Ta chứng tỏ K là môđun con tối đại trong M . Thật vậy, giả sử có môđun con E của M sao cho K E và K E . Khi đó E không thuộc . Đồng thời M aR K aR E M aR E M= + + + = . Bởi vậy E M= , chứng tỏ K là tối đại trong M .

Ngày đăng: 19/12/2013, 13:17

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan