trờng đại học vinh KHoa Vật lý ------------------------- nghiên cứu phơng trình dirac và phổ nguyên tử KHoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết Ngời hớng dẫn : TS. Vũ Ngọc Sáu Sinh viên thực hiện :Nguyễn Thị Hà Lớp : 41E1 - Vật lý Vinh, 5/2005 Lời cảm Ơn Để hoàn thành khoá luận này, ngoài sự nổ lực, cố gắng của bản thân em còn đợc sự giúp đỡ của ban chủ nhiệm khoa Vật Lý Tr- ờng Đại Học Vinh. Sự động viên giúp đỡ của thầy cô trong tổ bộ môn Vật Lý lý thuyết. Đặc biệt là thầy giáo TS. Vũ Ngọc Sáu, đã trực tiếp giao đề tài và hớng dẫn chỉ bảo tận tình trong suốt thời gian thực hiên khoá luận, cũng nh sự giúp đỡ từ phía gia đình và bạn bè gần xa. Em xin chân thành cảm ơn những sự động viên, sự giúp đỡ và chỉ bảo quý báu ấy. Sinh viên Nguyễn Thị Hà Phần I. mở đầu Khi nghiên cứu thế giới vi mô, một lĩnh vực mới của vật lý hiện đại ra đời đó là cơ học lợng tử phơng trình cơ bản của cơ học sóng cơ học lợng tử nghiên cứu theo quan điểm của Schrodinger là phơng trình Schrodinger, phơng trình Schrodinger hay rộng hơn cơ học sóng đã mang đến những kết quả nghiên cứu có tính khoa học, chính xác cao phù hợp với thực nghiệm về các hiện tợng lợng tử, giải thích các cấu trúc phổ nguyên tử và hạt nhân và trở thành cơ sở của mọi hớng nghiên cứu cấu trúc vi mô của vật chất nh lý thuyết hạt cơ bản, chất rắn bán dẫn, các quá trình phát xạ của hệ nguyên tử Ngoài ra cơ học lợng tử phi tơng đối tính chỉ giải thích các hiện tợng gắn với vận tốc của hạt chuyển động nhỏ hơn nhiều so với vận tốc ánh sáng. Đó là một hạn chế cơ bản khi nghiên cứu chuyển động của các hạt vi mô. Trong các máy gia tốc hiện đại vận tốc của các hạt nặng rất gần với vận tốc ánh sáng hoặc các quá trình bức xạ khác thì cơ học lợng tử phi tơng đối tính không còn ứng dụng đợc để nghiên cứu chuyển động của các hạt. Mặt khác hạn chế nữa của phơng trình Schrodinger phi tơng đối tính là không bao hàm đợc các tính chất spin của hạt vi mô một đại lợng liên quan đến hầu hết cấu trúc của phổ nguyên tử. Để khác phục đợc khó khăn trên ngời ta xây dụng các phơng tình của cơ học lợng tử tơng đối tính. Những dấu hiệu thành công mang đến là: các thành phần của hàm sóng biến đổi thành lẫn nhau, ngời ta đã phát minh ra đợc phản hạt của electron, các hiệu ứng có sự tách các vạch quang phổ trong từ trờng và trong điện trờng và giải quyết mâu thuẫn về mật độ năng lợng âm. Với vị trí quan trọng đó của cơ học lợng tử tơng đối tính. Luận văn này đặt mục đích xem xét một cách đầy đủ các ứng dụng của phơng trình Dirac trên cơ sở giải thích một số hiệu ứng lợng tử quan trọng. Tìm ra một vài phơng trình cơ bản và tìm nghiệm của nó trong trờng ngoài. ứng dụng cơ học lợng tử tơng đối tính để tìm các mức năng lợng của một hạt không có spin trong trờng culông, tìm các mức năng lợng của electron khi tính đến cả số hiệu chính tơng đối tính của spin lên sự biến đổi của khối lợng theo vận tốc. Ngoài ra còn tìm ra sự tách vạch của các nguyên tử trong điện trờng, trong từ trờng. Trên cơ sở đó nội dung của luận văn này đợc trình bày trong ba chơng chính ngoài phần mở đầu và kết luận còn có tài liệu tham khảo, lời cảm ơn và mục lục. Phần II. Nội dung Chơng 1 Phơng trình Dirac trong cơ học lợng tử tơng đối tính 1.1 Xây dựng phơng trình Dirac Nh chúng ta đã biết phơng trình Klay-Gordon khi mô tả hạt tơng đối tính đã dẫn đến mật độ xác suất âm và không mô tả đợc các hạt có spin 1/2. Điều đó đã buộc phải tìm một phần tử khác thích hợp cho việc mô tả electron. Để khắc phục khái niệm mật độ xác suất âm và thoã mãn phơng trình phải nghiệm đúng trong mọi hệ toạ độ tơng đối tính (bất biến Loresns) nên Dirac đã xây dựng phơng trình sau: ) ( 2 0 cmpc t i += (1.1) Với: zyx ++= ; zyx pppp ++= ; c = ; = 4 3 2 1 Hoặc ta có dạng tờng minh của 4 phơng trình thành phần sau đây: ++= ++= +++= +++= 4 2 03214 43 2 0213 432 2 012 4321 2 01 0 ) ( 0) ( ) (0 ) ( 0 cmpcpipc t i cmpipcpc t i pcpipccm t i pipcpccm t i zyx yxz zyx yxz (1.2) Phơng trình Dirac có thể mở rộng trong trờng hợp hạt vi mô bất kỳ nghĩa là hạt vi mô chuyển động trong trờng điện từ ngoài. Thay c e pp , bổ sung vào toán tử số hạng e . Trong đó p là xung lợng của hạt, là thế vô hớng, e là điện tích, c là vận tốc ánh sáng, là thế véctơ. Phơng trình Dirac cho hạt điện trong trờng điện từ: ++= ecm c e pc t i ) ( 2 0 1.2. Nghiệm của phơng trình Dirac cho hạt tự do Để giải phơng trình Dirac một cách đơn giản nhất ta xét chuyển động của 1 hạt tự do. Phơng trình Dirac có dạng: ) ( 2 0 cmpc t i += (1.3) Thay 0 iEt e = ta đợc phơng trình cho hàm sóng 0 không phụ thuộc thời gian: 0 0 0 iEtiEtiEt e iE e t e iE t + = Thay vào (1.3) ta đợc : 0 22 00 ) ()( iEtiEt ecmpce iE i += ( 0 = E ) 22 0 cmpc + 0 (1.4) Giả sử trạng thái hạt tự do có xung lợng xác định. Vậy ta tìm nghiệm của phơng trình (1.4) dới dạng sóng phẳng đặt: u = 0 rp i e (1.5) Trong đó u là spinơ bốn thành phần. đối với hàm spinơ u ta thu đợc phơng trình : u rp i e = ( 22 0 cmpc + ) u rp i e u = ( 22 0 cmpc + ) u (1.6) Víi:               = 4 3 2 1 u u u u u =         , ω ω (1.7) Trong ®ã c¸c thµnh phÇn spin¬ 4321 ,,, uuuu lµ c¸c h»ng sè. Thay (1.7) vµo (1.6) ta ®îc: Ε         , ω ω =       +++ βααα ˆ 2 0 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( cm z p zy p yx p x c         , ω ω Ta cã : =               Ε 4 3 2 1 u u u u         +               − − +               − − +               οοο οοο οοο οοο οοο οοο οοο οοο οοο οοο οοο οοο z z z z y y y y x x x x p p p p c pi pi pi pi c p p p p ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ                      − − + 2 0 2 0 2 0 2 0 cm cm cm cm οοο οοο οοο οοο               4 3 2 1 u u u u ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )               −−+ −− −+ − =               Ε 2 0 2 0 2 0 2 0 4 3 2 1 ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ cmpcpipc cmpipcpc pcpipccm cpippccm u u u u zyx yxz zyx yxz ο ο ο ο               4 3 2 1 u u u u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          =Ε+−+−+ =+Ε+−−+ =−++Ε−+ =−+++Ε− οο οο οο οο 4 2 0321 43 2 021 432 2 01 4321 2 0 ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ucmuupcupipc uucmupipcupc upcupipcucmu upipcupcuucm zyx yxz zyx yxz (1.8) §Ó hÖ (1.8) cã nghiÖm kh¸c 0 th× ®Þnh thøc cña hÖ ph¶i b»ng 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ε+−−+ Ε+−− −+Ε− −Ε− 2 0 2 0 2 0 2 0 ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ cmpcpipc cmpipcpc pcpipccm pipcpccm zyx yxz zyx yxz ο ο ο ο = ο ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ˆˆˆ ) ˆˆ ( ˆ ˆˆ ) ˆˆ ( )( ˆˆˆ ( ) ˆˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆˆ 2 0 2 0 2 0) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 = −+ Ε+−− +Ε− −− − +−−+ − −− + Ε+−+ Ε+− −+ − − Ε+−− Ε+− −+Ε− Ε−⇒ ο ο ο ο ο ο ο ο ο zyx yxz yx yx zyx yxz z z yx z zyx z yx zyx pcpipc cmpipcpc pipccm pipc Ecmpcpipc pipcpc pcEcm pc cmpipc cmpc pcpipc cmpc cmpipc pcpipccm cm ( ) ( ) + 2 0 2 0 cmcm ( ) 222222242 0 yxz pcpcpccm +++ + ( ) 242 0 22222222 +++ cmpcpcpcpc yxzz + ( )( ) 2222242 0 22222 yxzyx pcpccmpcppc ++++ ( ) 222222242 0 yxz pcpcpccm +++ ( ) 222222242 0 yxz pcpcpccm +++ ( ) [ ] =+++= 2 2222242 0 yxz pppccm ( ) =+ 2 22242 0 pccm 22242 0 pccm + = 22242 0 =+ pccm 2242 0 pccm += Nh vậy năng lợng của hạt tơng đối tính có thể dơng hoặc âm. Trong cơ học Niutơn hạt hoặc chỉ có thể có năng lợng dơng hoặc năng lợng âm do biến số động lực có giá trị liên tục vùng năng lợng 2mc 2 là bị cấm.Trong cơ học lợng tử do đại lợng vật lý có thể có giá trị gián đoạn vì vậy năng lợng có thể có giá trị dơng và có giá trị âm vợt qua vùng cấm 2mc 2 . Để giải đợc hệ (1.8) ta có thể chọn hai đại lợng tuỳ ý và giải hai đại lợng còn lại. Chọn p song song với trục oz thì: == zyx ppp , Trong trờng hợp E dơng : E= 222 0 z pcmc + Nếu u 1 , u 2 tuỳ ý chọn u 1 =1, u 2 = 0 thì u 3 = + + = + 2 0 2 0 cm pc cm pc zz u 4 = ( ) ( ) + + + = + + 2 0 2 0 cm pipc cm pipc yxyx u (1) = ( ) + + + + + 2 0 2 0 1 cm pipc cm pc yx z Chọn u 1 = 0, u 2 =1 ⇒ u 3 = ( ) ( ) + Ε+ − = Ε+ − 2 0 2 0 ˆˆˆˆ cm pipc cm pipc yxyx u 4 = + Ε+ −= Ε+ − 2 0 2 0 ˆˆ cm pc cm pc zz ⇒ u (2) = ( )                   Ε+ − Ε+ − + + 2 0 2 0 ˆ ˆˆ 1 cm pc cm pipc z yx ο Trong trêng hîp E ©m : E= - 222 0 ˆ z pcmc + NÕu u 3 ,u 4 tuú ý. Chän u 3 =1,u 4 =0 ⇒ u 1 = 2 0 2 0 ˆˆ cm pc cm pc zz −Ε− = −Ε − u 2 = ( ) ( ) − Ε−− + −= Ε− +− 2 0 2 0 ˆˆˆˆ cm pipc cm pipc yxyx ⇒ u (3) = ( )                   Ε−− + − −Ε− − − ο 1 ˆˆ ˆ 2 0 2 0 cm pipc cm pc yx z Chän u 3 = 0,u 4 =1 ⇒ u 1 = ( ) ( ) 2 0 2 0 ˆˆˆˆ cm pipc cmE pipc yxyx −Ε− − = − − − u 2 = 2 0 2 0 ˆˆ cm pc cm pc zz −Ε− − = −Ε − ⇒ u (4) = ( )                   Ε−− − Ε−− − − − 1 ˆ ˆˆ 2 0 2 0 ο cm pc cm pipc z yx