BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ KIM DUNG SỰ PHÂN TÍCH DÀN PHÂN PHỐI CỦA CÁC NỬA VÀNH LŨY ĐẲNG CỘNG TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 2011 1 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu…………………………………………………… … .2 Chương1. Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm giao hoán…… .….…….4 1.1. Tương đẳng……………………………………………….…… .… 4 1.2. Băng và nửa dàn. Băng các nhóm………………………… 9 1.3. Phân tích nửa nhóm giao hoán thành nửa dàn với các thành phần Archimede. Nửa nhóm tách được……………… ……………….………….13 Chương 2. Sự phân tích dàn phân phối của các nửa vành luỹ đẳng cộng tính…………………………………….………….19 2.1. Nửa vành nửa nguyên tố………………………………… … 19 2.2. Tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất trên một nửa vành……….…. 25 2.3. Dàn phân phối của các nửa vành k-Archimede…………….… … 30 Kết luận……………………………………………………………… .… .36 Tài liệu tham khảo……………………………………………… .…… …37 2 LỜI NÓI ĐẦU Năm 1941, A.H. Clifford lần đầu tiên định nghĩa sự phân tích nửa dàn của các nửa nhóm. Như vậy ý tưởng nghiên cứu một nửa nhóm qua sự phân tích nửa dàn lớn nhất của nó đã được đặt ra. Ý tưởng đó bao gồm sự phân tích một nửa nhóm S cho trước thành các nửa nhóm thành phần có cấu trúc đơn giản quen thuộc hơn, qua một tương đẳng η trên S sao cho η S là ảnh đồng cấu nửa dàn lớn nhất của S và mỗi η - lớp là một nửa nhóm thành phần. A.H. Clifford đã áp dụng ý tưởng đó vào các nửa nhóm là hợp các nhóm. Năm 1954, T. Tamura và N. Kimura đã chứng tỏ rằng mỗi nửa nhóm giao hoán là một nửa dàn các nửa nhóm Archimede. Kết quả này được tổng quát hoá bởi M. Petrich, M.S. Putcha, F. Kemet và nhiều tác giả khác. Gần đây, ý tưởng phân tích nửa nhóm thành nửa dàn các nửa nhóm quen thuộc hơn đã được chuyển sang cho sự phân tích các nửa vành. Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo Distributive lattice decomposition of semirings with a semilattice additive reduct đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 2010 để tìm hiểu đặc trưng tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất trên các nửa vành (S,+ , .) với (S, +) là một nửa dàn. Luận văn gồm hai chương: Chương 1. Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm giao hoán. Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về: tương đẳng; băng và nửa dàn; băng các nhóm; phân tích một nửa nhóm giao hoán ra các thành phần Archimede và các nửa nhóm tách được. 3 Chương 2. Sự phân tích dàn phân phối của các nửa vành luỹ đẳng cộng tính. Đây là nội dung chính của Luận văn. Trong chương này chúng tôi trình bày trình bày: nửa vành nửa nguyên tố; tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất trên một nửa vành luỹ dẳng cộng tính; dàn phân phối của các nửa vành k- Archimede. Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy đã tận tình chỉ dẫn chúng tôi trong học tập và tập dượt nghiên cứu khoa học. Thầy đã đặt vấn đề và trực tiếp hướng dẫn chúng tôi hoàn thành Luận văn. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Tổ Đại số cùng Quý Thầy, Cô trong Khoa toán của Đại học Vinh đã nhiệt tình chỉ dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành Luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng song Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong được những đóng góp quí báu từ các thầy, cô giáo và các bạn cùng lớp. Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả 4 CHƯƠNG 1 SỰ PHÂN TÍCH NỬA DÀN CÁC NỬA NHÓM GIAO HOÁN 1.1.Tương đẳng 1.1.1. Định nghĩa tương đẳng Giả sử ρ là một quan hệ tương đương trên nửa nhóm S. Khi đó: a/ ρ được gọi là tương đẳng phải nếu ρ ổn định bên phải, nghĩa là với mọi , , , .x y z S x y xz yz ρ ρ ∈ ⇒ b/ ρ được gọi là tương đẳng trái nếu ρ ổn định bên trái, nghĩa là với mọi , , , .x y z S x y zx zy ρ ρ ∈ ⇒ c/ ρ được gọi là một tương đẳng nếu nó vừa là tương đẳng trái, vừa là tương đẳng phải. Chúng ta nhắc lại rằng một quan hệ tương đương ρ phân hoạch miền xác định S thành các lớp tương đương ( ).x x S ρ ∈ Một lớp tương đương của một tương đẳng được gọi là một lớp tương đẳng. Nếu ρ là một tương đẳng thì nó bảo toàn tích của S, nghĩa là nếu các phần tử 1 2 ,x y và 2 2 ,x y thuộc cùng những lớp tương đẳng 1 1 2 2 ( , )x y x y ρ ρ ρ ρ = = thì tích 1 2 x x và 1 2 y y thuộc cùng một lớp tương đẳng. 1.1.2. Bổ đề. Một quan hệ tương đẳng ρ trên nửa nhóm S là một tương đẳng nếu và chỉ nếu với mọi 1 2 1 2 , , ,x x y y có: 1 1 2 2 1 2 1 2 , .x y x y x x y y ρ ρ ρ ⇒ Chứng minh. Giả sử ρ là một tương đẳng. Nếu 1 1 x y ρ và 2 2 x y ρ thì theo định nghĩa 1 2 1 2 x x x y ρ và 1 2 1 2 x y y y ρ , do tính chất bắc cầu của ρ suy ra 1 2 1 2 x x y y ρ . Khẳng định ngược lại là hiển nhiên. W 5 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử X là một tập con của nửa nhóm S. Xác định quan hệ x Γ như sau: ( , ) ( , : ). x x y u v S uxv X uyv X∈Γ ⇔ ∀ ∈ ∈ ⇔ ∈ Khi đó x Γ là một tương đẳng trên S và được gọi là tương đẳng cú pháp của X trong S. Chúng ta nói rằng một tương đẳng ρ bão hoà một tập con X của nửa nhóm S nếu X là hợp của các lớp tương đẳng của ρ . 1.1.4. Bổ đề. Một tương đẳng ρ bão hoà X S⊆ nếu và chỉ nếu x X X x ρ ∈ = U . (2.1) Chứng minh. Vì x x ρ ∈ nên X, luôn luôn được chứa trong x X x ρ ∈ U . Hơn nữa nếu ρ bão hoà X, thì . x X X x ρ ∈ = U Khẳng định ngược lại là hiển nhiên. W 1.1.5. Bổ đề. Đối với mọi tập con X S ⊆ , quan hệ x Γ là tương đẳng lớn nhất bão hoà X. Chứng minh. Khẳng định x Γ là tương đẳng trên S được suy ra trực tiếp từ cách xác định x Γ . Rõ ràng, X được chứa trong hợp của tất cả ( ). x x x XΓ ∈ Hơn nữa, nếu y ∈ x xΓ thì bằng cách chọn 1u v= = trong định nghĩa của x Γ , chúng ta nhận được x X∈ kéo theo y X∈ . Từ đó x x XΓ ⊆ với mọi x X∈ và do đó x x X X ∈ = Γ U . Suy ra x Γ bão hoà X. Giả sử ρ là tương đẳng bão hoà X. Theo Bổ đề 1.1.4, có . x X X xp ∈ = U 6 Vậy giả thiết rằng x y ρ và 1 ,u v S ∈ là các phần tử tuỳ ý. Thế thì ux uy ρ và .uxv uyv ρ Từ đó uxv X ∈ nếu ,uyv X ∈ vì ρ bão hoà X. Như vậy ( , ) x x y ∈ Γ và do đó . x ρ ⊆ Γ Vậy x Γ là tương đẳng lớn nhất trên S bão hoà X. W 1.1.6. Định nghĩa. Giả sử ρ là một tương đẳng trên S, và giả sử { } S x x S ρ ρ = ∈ là tập hợp tất cả các lớp tương đẳng của S. Khi đó tương ứng ( , )x y xy ρ ρ ρ a là một phép toán hai ngôi trên S ρ , và với phép toán đó, S ρ trở thành một nửa nhóm được gọi là nửa nhóm thương (của S modul ρ ). Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.6 hợp lý, ta chỉ cần chứng tỏ phép toán hai ngôi xác định trong S ρ như trên có tính chất kết hợp. Thật vậy với mọi , , ,x y z S ∈ ta có .( . ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( ) . ( . ). .x y z x yz x yz xy z xy z x y z ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = = = = 1.1.7. Ví dụ a/ Xét nửa nhóm { } , , ,S e a f b = với bảng nhân bên cạnh. Khi đó e và f là các luỹ đẳng, e là đơn vị của S. Giả sử ρ là một quan hệ trên S khác quan hệ đồng nhất. Thế thì chỉ có f b ρ và b f ρ và ρ là một tương đẳng trên S với các lớp tương đẳng e a ƒ b e e a ƒ b a a e b f ƒ ƒ b ƒ b b b ƒ b ƒ 7 { } { } ,x e y a = = và { } , .z f b = Bảng nhân của nửa nhóm thương S ρ được cho bởi bảng thứ hai bên cạnh. Tương tự, quan hệ đối xứng 1 ρ (với 1s i ρ ⊆ ) sao cho 1 e a ρ và 1 f b ρ là một tương đẳng. Nó chỉ có hai lớp tương đẳng là { } ,e a và { } ,f b , do đó nửa nhóm thương 1 S ρ là một nửa nhóm có hai phần tử. Quan hệ đối xứng 2 ρ sao cho 2 a b ρ không phải là một tương đẳng, vì a.a = e và a.b = f trong S nhưng 2 ( , ) .e f ρ ∉ Trong trường hợp này, 2 ρ không tương thích với tích của S: (a,b) 2 ρ ∈ nhưng (aa, ab) 2 . ρ ∉ b/ Nếu là ρ là một tương đẳng của S = ( ¢ ,+), thì n ρ m kéo theo (n + k) ρ (m + k), k ∀ ∈ ¢ . Giả thiết k là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho n ρ (n + k) với n nào đó thuộc ¢ . Nói riêng, 0 ρ k. Ký hiệu m là số dư còn lại của m được cho bởi k: 0 m m≤ ≤ và m = m (mod k). Khi đó m m ρ . Điều ngược lại cũng đúng, và như vậy các tương đẳng của ( ¢ ,+) thực chất là các tương đẳng xét trong Lý thuyết số, ρ bằng mod k (k >0). Bây giờ, ta chứng minh rằng các tương đẳng của một nửa nhóm S đóng dưới phép lấy giao. 1.1.8. Mệnh đề. i) Nếu { } i i I ρ ∈ là một họ các tương đẳng của S, thì 1 i i ρ ρ ∈ = I cũng là một tương đẳng của S. ii) Giả sử .S S δ ⊆ là một quan hệ trên S. Thế thì: { c δ ρ ρ = ∩ là một tương đẳng trên S, } ρ δ ⊇ là tương đẳng bé nhất của S chứa . δ x y z x x y z y y x z z z z z 8 Chứng minh. i) Giả sử x y ρ và .z S ∈ Khi đó , i x y ρ với mọi i I∈ và do đó i zx zy ρ , i xz yz ρ với mọi i I∈ , vì i ρ là tương đẳng, với mọi i I∈ từ đó ,zx zy xz yz ρ ρ . Do đó ρ là một tương đẳng trên S. ii) Khẳng định thứ hai được suy ra trực tiếp từ khẳng định thứ nhất và định nghĩa giao của các tập hợp. W 1.1.9. Định nghĩa. Giả sử ρ là một tương đẳng trên S. Khi đó ánh xạ : / , ( )S S x x ρ ρ ρ ρ → = W W là một toàn cấu và được gọi là đồng cấu tự nhiên. Vì ρ W là một toàn ánh, nên để chứng tỏ Định nghĩa trên hợp lý, ta chỉ cần chứng minh ρ W là đồng cấu. Thật vậy, ,x y S∀ ∈ có ( ) . ( ). ( ).xy xy x y x y ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = = W W W 1.1.10. Định nghĩa. Giả sử : S P α → là một đồng cấu nửa nhóm. Khi đó quan hệ { } ( , ) . ( ) ( )x y S S x y α α ∈ = là một tương đẳng trên S, được gọi là hạt nhân của α và được ký hiệu là ker( α ). Người ta cũng viết ker( α ) = 1 , αα − trong đó { } 1 ( ) ( )y x S x y α α − = ∈ = và 1 αα − được hình dung như là tích các quan hệ (thực hiện từ trái qua phải). Sự kiện: ker( α ) là một tương đẳng được suy ra trực tiếp từ định nghĩa đồng cấu nửa nhóm và cách xác định ker( α ). Hơn nữa, nếu ρ là một tương đẳng trên S, thì ρ = ker ( ρ W ). Thật vậy: ( ) ( ) ( , ) er( ).x y x y x y x y k ρ ρ ρ ρ ρ ρ ⇔ = ⇔ = ⇔ ∈ W W W Gộp các kết quả trên ta nhận được 1.1.11. Hệ quả. Mỗi tương đẳng là một hạt nhân của đồng cấu nào đó. 9 Bây giờ chúng ta chuyển sang chứng minh các định lý về đồng cấu và đẳng cấu nửa nhóm. 1.1.12. Định lý. Giả sử : S P α → là một đồng cấu tuỳ ý . Tồn tại duy nhất một phép nhúng : / er( )S k P β α → sao cho biểu đồ sau đây giao hoán. S α → P er( )k α W β / er( )S k α nghĩa là . er( ) .k α β α = W Chứng minh. Giả sử ρ = ker( α ) và : S S ρ ρ → W là đồng cấu tự nhiên. Tương ứng : /S P β ρ → xác định bởi ( ) ( )x x β ρ α = với mọi x S∈ là một ánh xạ. Thật vậy : ( , ) er( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x y k x y x y ρ ρ α α α β α β α = ⇔ ∈ ⇔ = ⇔ = . Từ đây cũng trực tiếp suy ra α là đơn ánh. Hơn nữa β là đồng cấu vì: ( . ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( ).x y xy xy x y x y β ρ ρ β ρ α α α β ρ β ρ = = = = Cuối cùng, β là duy nhất vì nếu : /S P γ ρ → là một phép nhúng thoả mãn . α γ ρ = W thì ( ) ( ),x y x x S α ρ = ∀ ∈ nên ( ) ( ), /x y x x S β ρ ρ ρ ρ = ∀ ∈ . Do đó . γ β = W 1.1.13. Định lý. (Định lý đồng cấu nửa nhóm). Giả sử :S P α → là đồng cấu nửa nhóm và er( )k ρ α ⊆ là một tương đẳng của S. Thế thì tồn tại một đồng cấu duy nhất : /S P β ρ → sao cho α β = trong đó : /S S ρ ρ → W là đồng cấu tự nhiên. 10 . ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ KIM DUNG SỰ PHÂN TÍCH DÀN PHÂN PHỐI CỦA CÁC NỬA VÀNH LŨY ĐẲNG CỘNG TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 2011 1. tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất trên các nửa vành (S,+ , .) với (S, +) là một nửa dàn. Luận văn gồm hai chương: Chương 1. Sự phân tích nửa dàn các nửa