MỞ ĐẦU Ngày nay thông tin quang được ứng dụng rộng rãi trên thế giới, do những ưu điểm về băng thông rộng, độ suy hao tín hiệu bé, không bị ảnh hưởng của nhiễu sóng điện từ… Đặc biệt trong quá trình truyền dẫn thông tin quang thì tín hiệu được truyền đi có tính ổn định cao và sự méo tín hiệu được giảm đến mức tối đa và hầu như không bị méo Tuy nhiên nếu xây dựng được hệ thông tin solitons quang thì sẽ tạo ra một cuộc cách mạng trong viễn thông quang học Soliton quang học được hình thành khi xung quang học có công suất lớn lan truyền trong môi trường phi tuyến mà quá trình co xung do hiệu ứng Kerr cân bằng với quá trình giãn xung do tán sắc Soliton quang học là các xung quang học có khả năng giữ nguyên dạng của nó trong quá trình lan truyền Thông tin soliton có thể truyền dẫn xung ngắn trên cự ly dài, cho phép thông tin tốc độ cực cao Do đó, nghiên cứu sự hình thành, lan truyền solitons quang học trong sợi quang và sử dụng trong thông tin quang đang là vấn đề rất được quan tâm ở trong nước và trên thế giới Thông thường người ta sử dụng lý thuyết trường điện từ của Maxwell để mô tả quá trình lan truyền xung trong môi trường phi tuyến nói chung và sợi quang nói riêng Trong đó sự lan truyền của các xung ánh sáng được mô tả thông qua phương trình của hàm bao biến thiên chậm Phương trình lan truyền của các xung trong sợi quang (môi trường phi tuyến kiểu Kerr) ở các khai triển bậc thấp có dạng phương trình Schrodinger phi tuyến (nonlinear Schrodinger equations - NLSE) NLSE cho các nghiệm soliton nếu các xung ánh sáng thoả mãn một số điều kiện nhất định Xuất phát từ các lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài: DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÁN XẠ NGƯỢC TÌM NGHIỆM SOLITON CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHI TUYẾN Nội dung của luận văn được trình bày với bố cục gồm: Mở đầu, hai chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo Chương 1: Lan truyền xung trong môi trường phi tuyến Khảo sát quá trình lan truyền của xung quang học trong sợi quang Trong chương này sẽ dẫn ra các phương trình lan truyền của xung quang học trong sợi quang Hai hiệu ứng quan trọng và cơ bản quyết định đến sự hình thành soliton quang học là hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (group velocity dispersion - GVD) và hiệu ứng tự biến điệu pha (self phase modulation - SPM) cũng sẽ được khảo sát chi tiết Ngoài ra trong chương này còn giới thiệu về soliton và một số loại soliton Chương 2: Giải NLSE bằng phương pháp tán xạ ngược Các soliton cơ bản và soliton bậc cao được tìm thấy khi xung lan truyền trong chế độ tán sắc dị thường 2 CHƯƠNG I: LAN TUYỀN XUNG TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN 1.1 Phương trình truyền sóng Các xung quang học được gọi là xung ngắn khi độ rộng xung của nó cỡ pico-giây Trong giới hạn cổ điển, sự lan truyền của các xung trong sợi quang có thể mô tả một cách toán học bằng hệ phương trình Maxwell   B rotE  t  (1.1)   B rotH  j  t  divD   divB 0    trong đó E và H tương ứng là véctơ cường độ điện trường và từ trường, D   và B là véctơ cảm ứng điện và cảm ứng từ, j là véctơ mật độ dòng điện dẫn và  là mật độ điện tích tự do Phương trình lan truyền xung được đề cập trong môi trường sợi quang - môi trường điện môi, nên các gần đúng sau đây được sử dụng [4]:   =  ;  = 0), đó là phép gần 0 Môi trường không có điện tích tự do ( j đúng tốt cho sợi quang   Môi trường không có từ tính ( M 0 ), sợi quang là một môi trường như vậy  Bước sóng của trường quang học lan truyền trong sợi quang là xa miền cộng hưởng của môi trường (0,5 - 2µm)  Phép xấp xỉ lưỡng cực là hợp lệ, do đó các quá trình thông số bậc hai như trộn ba sóng và phát hoà âm bậc hai được bỏ qua Trong thực nghiệm chúng vẫn xảy ra vì các hiệu ứng tứ cực và lưỡng cực từ, tuy nhiên chúng là rất nhỏ 3  Môi trường đáp ứng với trường quang học một cách cục bộ (địa phương), điều đó là phù hợp cho phép xấp xỉ của nhiều phép chiếu   Véctơ phân cực phi tuyến PNL có thể xem như là một nhiễu loạn nhỏ  so với véctơ phân cực toàn phần P  Chỉ có hiệu ứng phi tuyến bậc ba là cần thiết phải đặt vào phần mô tả hiệu ứng phi tuyến Điều đó phù hợp vì các hiệu ứng bậc hai và bậc bốn (bậc chẵn) bằng không do cấu tạo đối xứng tâm của tinh thể ôxit - silic Còn các hiệu ứng bậc năm (bậc lẻ) và cao hơn nữa là rất nhỏ so với hiệu ứng bậc ba và có thể bỏ qua  Phần ảo của hệ số điện môi  () (phần ảo của hệ số điện môi biểu diễn sự hấp thụ năng lượng của môi trường) là nhỏ so với phần thực Nghĩa là sự hao phí trên sợi quang là nhỏ, điều đó là một phép gần đúng tốt khi bước sóng của xung quang học là xa miền bước sóng cộng hưởng của sợi quang  Bước sóng của trường quang học phải lớn hơn bước sóng giới hạn của sợi quang sao cho điều kiện truyền đơn mode được thoả mãn  Sự đáp ứng phi tuyến của môi trường được coi là tức thời Phép gần đúng này là phù hợp cho các xung có độ rộng lớn hơn cỡ 70 ps  Trường quang học là phân cực phẳng (thẳng) và giữ nguyên dọc theo  chiều dài của sợi quang Chẳng hạn véctơ cường độ điện trường E dao động theo phương xác định là trục x (phương phân cực của trường quang học) và phương lan truyền là trục z trùng với trục sợi quang Do đó ta có thể đưa bài toán ba chiều về bài toàn một chiều  Trường quang học thoả mãn điều kiện chuẩn đơn sắc, nghĩa là trường là tập hợp các sóng phẳng đơn sắc với tần số trung tâm 0 và độ rộng phổ  thoả mãn  / 0 1 Điều đó cho phép áp dụng phép gần đúng hàm bao biến đổi chậm Ta có thể biểu diễn xung dưới dạng trường có đường bao biến đổi chậm như sau: 4   1 E(r,t) ex E(z,t)  ex[ A(z,t) exp{-i(0t  z)}  cc] (1.2) 2 trong đó A(z,t) là hàm bao phức biến thiên chậm theo thời gian (trong một chu kỳ dao động của sóng mang hàm bao biến thiên không đáng kể); cc là liên hợp phức của A(z,t)exp{-i( 0t - βzz)}; A(z,t) và A(z,t) 2 tương ứng là biên độ và cường độ xung - đại lượng trong thực tế ta có thể đo được Sự lan truyền của hàm bao biến thiên chậm A(z,t) của xung quang học được mô tả bởi phương trình vi phân đạo hàm riêng sau [4]:  A A i2 2 A 2 (1.3)  1  2 i A A z t 2 t trong đó 1   0 và  g  11 là vận tốc nhóm của xung; 2  0 là độ tán sắc vận tốc nhóm; 2  2   n20 là hệ số phi tuyến; Aeff là tiết diện hiệu dụng của cA eff sợi quang; 0 là tần số góc trung tâm của xung Để đơn giản ta xét trong hệ toạ độ chuyển động cùng với xung (chuyển động cùng với vận tốc nhóm vg) bằng cách đưa vào biến T t  z g và bằng cách đổi biến này phương trình (1.3) được đưa về NLSE: A  i2 2 A 2 2 i A A (1.4) z 2 T Phương trình trên mô tả quá trình lan truyền của các xung ngắn trong sợi quang, số hạng thứ hai ở vế trái mô tả hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm, còn số hạng ở vế phải mô tả hiệu ứng tự biến điệu pha Trong sự cân bằng giữa hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha phương trình (1.4) sẽ cho nghiệm soliton 5 1.2 Lan truyền của sóng liên tục 1.2.1 Các chế độ lan truyền xung NLSE mô tả sự lan truyền của xung quang học (có độ rộng lớn hơn 5ps) trong sợi quang đơn mode [4]: A  2 2 A 2 (1.5) i 2  A A z 2 T Hai thành phần ở vế phải tương ứng với các hiệu ứng tán sắc và hiệu ứng phi tuyến Phụ thuộc vào độ rộng ban đầu T0 và công suất đỉnh P0 của xung tới mà mỗi hiệu ứng tán sắc hay phi tuyến có thể ảnh hưởng nhiều hay ít đến quá trình lan truyền xung Để thuận tiện người ta đưa vào hai chiều dài là chiều dài tán sắc LD và chiều dài phi tuyến LNL Sự lan truyền của xung có thể rất khác nhau phụ thuộc vào độ lớn tỉ đối giữa chiều dài tán sắc LD, chiều dài phi tuyến LNL và chiều dài sợi quang L Ta đưa vào biến thời gian không thứ nguyên:   T t  z / g T0 T0 T0 là độ rộng nửa xung tại giá trị của xung bằng 1/e lần giá trị đỉnh xung, và biên độ chuẩn hoá U, thoả mãn U(0,0) = 1 Khi đó: A(z, )  P0U (z, ) (1.6) với P0 là công suất đỉnh của xung tới, thay (1.6) vào (1.5) ta được phương trình sau: U  2 2U 2 i  2 2  P0 U U (1.7) z 2T0  Đặt: LD  T0  2 ; 2 LNL  1 P0 (1.8) Phương trình (1.7) được viết lại: U sgn( 2 ) 2U 1 2 (1.9) i 2 UU z 2LD  LNL 6 trong đó sgn(βz2) = ±1 phụ thuộc vào dấu của thông số tán sắc vận tốc nhóm βz2 sgn(βz2) =1 khi βz2 > 0 và sgn(βz2) = -1 khi βz2 < 0 Phụ thuộc vào độ lớn tỷ đối giữa chiều dài tán sắc, chiều dài phi tuyến và chiều dài sợi quang mà các chế độ lan truyền của xung có thể chia làm bốn loại sau [4]:  Khi chiều dài sợi quang thoả mãn L