Mục lục Trang Lời mở đầu 1 Chơng 1: Sự lan truyền xung trong sợi quang 5 1.1. Phơng trình lan truyền xung trong sợi quang 5 1.1.1. Sự phân cực phi tuyến trong sợi quang .5 1.1.2. Sự lan truyền các xung ngắn trong sợi quang .6 1.1.3. ảnh hởng của sự hao phí lên quá trình lan truyền xung .8 1.1.4. Sự lan truyền của các xung cực ngắn 9 1.2. Các chế độ lan truyền xung .10 1.3. Hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm .13 1.4. Hiệu ứng tự biến điệu pha .19 Chơng 2: Giải phơng trình lan truyền xung bằng phơng pháp số Runge - Kutta 22 2.1. Các phơng pháp số để giải phơng trình lan truyền xung 22 2.2. Phơng pháp số Runge - Kutta .24 2.2.1. Biến đổi Fourier rời rạc và thuật toán biến đổi Fourier nhanh .24 2.2.2. Phơng pháp số Runge - Kutta để giải phơng trình lan truyền xung 25 Chơng 3: Các lời giải số của phơng trình lan truyền xung 27 3.1. Các lời giải quan trọng của NLSE .27 3.1.1. Lan truyền của các xung dạng Gauss .27 3.1.2. Lan truyền của các xung dạng Secant. Tơng tác giữa các sóng Sotiton 32 3.2. Một số ứng dụng của các soliton quang học .38 1 3.2.1. Soliton bậc nhất với các ứng dụng trong ngành viễn thông 38 3.2.2. ứng dụng của các soliton bậc cao để tạo xung cực ngắn .39 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo .42 2 Lời cảm ơn Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo hớng dẫn PGS. TS. Đinh Xuân Khoa vì những giúp đỡ mà thầy đã giành cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua. Thầy đã định hớng nghiên cứu, cung cấp các tài liệu quan trọng và nhiều lần thảo luận, chỉ dẫn cho tác giả các vấn đề khó khăn gặp phải. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo PGS. TS. Hồ Quang Quý, TS. Đoàn Hoài Sơn, TS. Vũ Ngọc Sáu cùng nhóm các bạn học viên chuyên ngành Quang học khoá Cao học 14 trừờng Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập chơng trình Cao học và có nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong quá trình thực hiện đề tài này. Tác giả cũng xin đợc gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu và Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học Trờng Đại học Vinh vì những quan tâm giúp đỡ, tạo những điều kiện tốt cho việc đi lại, học tập của tác giả đợc thuận tiện. Tác giả cảm ơn những quan tâm, chăm sóc và động viên của gia đình trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã qua. Cuối cùng, xin gửi đến các thầy giáo, bạn hữu và ngời thân lòng biết ơn chân thành cùng lời chúc sức khỏe và thành công trong cuộc sống. Vinh, tháng 12 năm 2008 Tác giả Trần Mạnh Cờng 3 Lời mở đầu Nghiên cứu quá trình lan truyền của các xung ánh sáng trong môi tr ờng vật chất l một trong những vấn đề cơ bản v quan trọng nhất của ng nh Quang học.Việc nghiên cứu lan truyền của các xung ánh sáng trong môi tr ờng tán sắc phi tuyến có vai trò đặc biệt quan trọng bởi vì Quang học phi tuyến đang ng y c ng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Công nghệ photonics sẽ thay thế công nghệ electronics trong thế kỷ 21 n y, trong đó những đóng góp của Quang học phi tuyến l rất đáng kể. Chẳng hạn đối với lĩnh vực Thông tin quang thì vấn đề lan truyền xung sẽ l vấn đề cơ bản và trung tâm của mọi hệ thống thông tin quang. Thông th ờng, ng ời ta xuất phát từ lý thuyết điện từ của Maxwell. Lý thuyết n y có u điểm l mô tả tốt các quá trình điện từ trong một giới hạn khá rộng v đặc biệt nó lại rất đơn giản v đẹp đẽ về mặt toán học. Lý thuyết hiện đại nhất về tr ờng điện từ l Điện động lực học l ợng tử. Nó mô tả các quá trình t ơng tác của ánh sáng với vật chất ở mức độ chính xác rất cao. Gần nh tất cả các hiệu ứng quan sát đ ợc cho tới nay đều đ ợc giải thích tốt đẹp. Tuy nhiên công cụ toán học rất phức tạp của nó khiến cho việc áp dụng v o các nghiên cứu thực tế gặp nhiều khó khăn. Với vấn đề lan truyền xung cũng nh nhiều ứng dụng quan trọng khác của Quang học phi tuyến, chúng ta chỉ cần dùng lý thuyết của Maxwell l đã đủ chính xác. T ơng tác phi tuyến giữa các tr ờng laser c ờng độ lớn với vật chất mô tả theo quan điểm cổ điển v l ợng tử không khác nhau đáng kể. Điều đó có thể hiểu đ ợc khi chúng ta l u ý rằng với các tr ờng mạnh thì do số hạt photon rất lớn nên trong khi t ơng tác hiệu ứng l ợng tử ít biểu hiện rõ. Trên cơ sở lý thuyết điện từ cổ điển, vấn đề lan truyền xung trong môi tr ờng phi tuyến đ ợc mô tả theo các ph ơng pháp gần đúng. Không giống nh các quá trình tuyến tính, các quá trình phi tuyến rất phức tạp nên chỉ có thể 4 mô tả đ ợc một cách gần đúng m thôi. Lan truyền của các xung ánh sáng đ ợc biểu diễn bằng ph ơng trình của h m bao biến thiên chậm . Môi tr ờng phi tuyến kiểu Kerr có nhiều hiệu ứng quan trọng nên chúng đ ợc tập trung chú ý. Ph ơng trình của h m bao trong môi tr ờng Kerr ở các khai triển bậc thấp có dạng l ph ơng trình Schrodinger phi tuyến . Một kết quả quan trọng rút ra từ ph ơng trình Schrodinger phi tuyến l tồn tại các nghiệm soliton của nó, nếu các xung ánh sáng thoả mãn một số điều kiện nhất định. Hiện t ợng n y đã đ ợc thực nghiệm xác nhận v hứa hẹn những ứng dụng to lớn trong lĩnh vực truyền tải thông tin. Tuy nhiên, vì giới hạn ở khai triển bậc thấp nên ph ơng trình Schrodinger phi tuyến chỉ mô tả gần đúng sự biến đổi của h m bao m thôi. Các xung laser ngắn (với thời gian cỡ picô giây hoặc lớn hơn) tuân theo ph ơng trình n y còn các xung cực ngắn (cỡ femtô giây) thì ng ời ta quan sát đ ợc sự sai lệch. Chẳng hạn, các kết quả thực nghiệm cho thấy với các xung cực ngắn, dù đã thỏa mãn các điều kiện để hình th nh soliton của ph ơng trình Schrodinger phi tuyến, nh ng trong quá trình lan truyền không có soliton m các xung bị tách ra th nh nhiều phần v biến đổi phức tạp. Hiện t ợng tách xung cực ngắn có thể giải thích đ ợc khi để ý đến các số hạng bậc cao trong khai triển ph ơng trình chuyển động của h m bao, đồng thời cũng cần chú ý đến các cơ chế vật lý phức tạp khác. Với các bổ sung đó, lan truyền của xung cực ngắn đ ợc mô tả bởi ph ơng trình Schrodinger phi tuyến suy rộng . Các ph ơng trình trên đã mô tả quá trình lan truyền xung khá chính xác trong phạm vi áp dụng của chúng. Kết quả tính toán phù hợp tốt với quan sát thực nghiệm. Một trong những mục đích nghiên cứu của chúng tôi trong đề t i n y l tìm cách dẫn ra ph ơng lan truyền xung v tìm hiểu các cơ chế vật lý diễn ra trong quá trình đó. Khó khăn chính trong vấn đề lan truyền xung v nói chung với mọi b i toán phi tuyến l mặt toán học của chúng. Các ph ơng trình vi phân phi tuyến khó giải hơn nhiều so với các ph ơng trình tuyến tính. Ph ơng pháp giải tích chỉ có thể đ a ra đ ợc trong một số rất ít các b i toán phi tuyến v không thể 5 có ph ơng pháp giải tích chung cho tất cả các b i toán đ ợc. Chẳng hạn, ph ơng trình Schrodinger phi tuyến có thể giải bằng ph ơng pháp tán xạ ng ợc nh ng không áp dụng đ ợc cho ph ơng trình Schrodinger phi tuyến suy rộng. Để giải quyết vấn đề, ng ời ta đã phải vận dụng nhiều ph ơng pháp tính toán gần đúng khác nhau. Ph ơng pháp hữu hiệu nhất l ph ơng pháp số. Chúng đã đ ợc sử dụng trong rất nhiều b i toán thực tế v cũng rất hiệu quả trong vấn đề lan truyền xung. Mục đích quan trọng của đề t i n y l nghiên cứu v vận dụng một ph ơng pháp tính toán phổ biến để giải ph ơng trình lan truyền xung, đó l ph ơng pháp s ố Runge-Kutta. Chúng tôi sẽ sử dụng ngôn ngữ truyền thống của các tính toán bằng số l ngôn ngữ Matlap để viết ch ơng trình cho máy tính. Kết quả tính toán sẽ đ ợc so sánh với tính toán của các tác giả khác, theo các ph ơng pháp khác v với các quan sát thực nghiệm trong các công trình khoa học đã đ ợc đăng tải. Đây l nội dung chính của đề t i. Với tinh thần đó, ngo i Lời mở đầu, phần Kết luận v danh mục Các t i liệu tham khảo , luận văn đ ợc cấu trúc gồm ba ch ơng chính. Nội dung cơ bản nh sau: Ch ơng 1 : Khảo sát quá trình lan truyền của xung quang học trong sợi quang. Trong chơng này sẽ dẫn ra các phơng trình lan truyền của xung trong sợi quang. Bao gồm các phơng trình Schodinger phi tuyến (NLSE), ph- ơng trình Schodinger phi tuyến suy rộng (GNLSE). Hai hiệu ứng quan trọng và cơ bản quyết định đến sự hình thành soliton quang học là hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD) và hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM) cũng sẽ đợc khảo sát chi tiết. Ch ơng 2 : Trình b y các đặc điểm v nguyên tắc chung của ph ơng pháp số v các thuật toán cơ bản đã đ ợc áp dụng để giải b i toán lan truyền xung. Chúng tôi tập trung v o các cơ sở của ph ơng pháp s ố Runge-Kutta đ ợc sử dụng trong đề t i. 6 Ch ơng 3 : Trình b y các kết quả tính toán cho các tr ờng hợp quan trọng nhất, hay đ ợc áp dụng trong thực tế nghiên cứu, đó l lan truyền của các xung dạng Gauss v xung dạng Secant. Lời giải số đ ợc biểu diễn chủ yếu trên các đồ thị. Chúng tôi đã phân tích v so sánh kỹ l ỡng với các kết quả trong các t i liệu tham khảo. 7 C h ơ n g 1 Sự lan truyền xung trong sợi quang 1.1. P h ơ n g t r ì nh l a n t r u yề n x un g t r o n g s ợ i qu a n g 1.1.1. S ự ph â n c ự c ph i t u y ế n t r o n g s ợ i qu a n g Khi trờng quang học lan truyền qua một môi trờng điện môi nào đó thì trong chất điện môi xuất hiện các véctơ phân cực. Sự đáp ứng của bất kì chất điện môi nào với trờng quang học có cờng độ lớn đều trở nên phi tuyến. Các sợi quang đều đợc chế tạo từ hỗn hợp ôxítsilic là một chất điện môi. Khi xung quang học có công suất lớn lan truyền trong sợi quang véctơ phân cực toàn phần P sẽ trở nên phi tuyến và liên hệ với véctơ cờng độ điện trờng E theo: P = 0 ( ) . EEE EE E ) (3 ) (2 ) (1 +++ (1.1) T rong đó 0 là h ệ số đ iệ n mô i t rong c h â n không, (j) là độ cả m đ iệ n mô i b ậc j. Độ cả m đ iệ n mô i t uy ế n tí nh (1) b iể u d iễ n ph ầ n đóng góp lớ n nh ất c ủ a v éctơ ph â n cực P , v à các h iệ u ứ ng c ủ a nó t h ể h iệ n qu a c h iết su ất phụ t huộ c v à o tầ n số n() , (2) mô tả các hiệu ứng phi tuyến bậc hai nh phát tần số tổng và phát hoà âm bậc hai. Sợi quang chế tạo từ ôxitsilic do có cấu tạo đối xứng tâm của các tinh thể không biểu lộ các hiệu ứng này. Sự đóng góp phi tuyến lớn nhất của phần phi tuyến trong véctơ phân cực P là của (3) . Nó thể hiện qua các hiệu ứng nh hiệu ứng phát hoà âm bậc ba, hiệu ứng trộn bốn sóng, hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM). Tính chất phi tuyến bậc ba là kết quả của sự phụ thuộc vào cờng độ của chiết suất: ( ) 22 )(, ~ nEnEn += (1.2) Trong đó là chiết suất tuyến tính (chiết suất thờng): n 2 ( ) = 1 + (1) (1.3) và n 2 là chiết suất phi tuyến cho bởi: n 2 = )3( Re( 8 3 n ) (1.4) 8 1.1.2. S ự l a n t r u y ề n c á c x un g n g ắ n t r o n g s ợ i qu a n g Các xung quang học đợc gọ i l à xung ngắn kh i độ rộng xung của nó cỡ p i cog i ây. Trong g i ớ i hạn cổ đ i ển, sự l an t ruyền của các xung t rong sợ i quang có t hể mô t ả mộ t cách t oán học bằng hệ phơng t r ì nh Maxwe ll . = D 0B = t B E =ì (1.5) + =ì J t D H Trong đó E và H tơng ứng là véctơ cờng độ điện trờng và từ trờng, D và B là véctơ cảm ứng điện và cảm ứng từ, j là véctơ mật độ dòng điện dẫn và là mật độ điện tích tự do. Ta sẽ đa vào một số giả thiết sau nhằm đa ra phơng trình lan truyền xung một cách đơn giản. Môi trờng không có điện tích tự do ( j = 0; = 0), đó là phép gần đúng tốt cho sợi quang. Môi trờng không có từ tính ( M = 0), sợi quang là một môi trờng nh vậy. Bớc sóng của trờng quang học lan truyền trong sợi quang là xa miền cộng hởng của môi trờng (0,5 2 à m). Phép xấp xỉ lỡng cực là phù hợp, do đó các quá trình thông số bậc hai nh trộn ba sóng và phát hoà âm bậc hai đợc bỏ qua. Trong thực nghiệm chúng vẫn xẩy ra vì các hiệu ứng tứ cực và lỡng cực từ, tuy nhiên chúng là rất nhỏ. Môi trờng đáp ứng với trờng quang học một cách cục bộ (địa ph- ơng), điều đó cho phép sử dụng gần đúng của phép chiếu. Chỉ có hiệu ứng phi tuyến bậc ba là cần thiết phải đặt vào phần mô tả hiệu ứng phi tuyến. Điều đó hợp lệ vì các hiệu ứng bậc hai và bậc bốn (bậc chẵn) là không có do cấu tạo đối xứng tâm của tinh thể ôxitsilic. Còn 9 các hiệu ứng bậc năm (bậc lẻ) và cao hơn nữa là rất nhỏ so với hiệu ứng bậc ba và có thể bỏ qua. Phần ảo của hệ số điện môi e ( ) (phần ảo của hệ số điện môi biểu diễn sự hấp thụ năng lợng của môi trờng) là nhỏ so với phần thực. Nghĩa là sự hao phí trên sợi quang là nhỏ, điều đó là một phép gần đúng tốt khi bớc sóng của xung quang học là xa miền bớc sóng cộng hởng của sợi quang. Bớc sóng của trờng quang học phải lớn hơn bớc sóng giới hạn của sợi quang sao cho điều kiện truyền đơn mode đợc thoả mãn. Sự đáp ứng phi tuyến của môi trờng đợc coi là tức thời. Phép gần đúng này là phù hợp cho các xung có độ rộng lớn hơn cỡ 70ps. Trờng quang học là phân cực phẳng (thẳng) và giữ nguyên dọc theo chiều dài của sợi quang. Chẳng hạn véctơ cờng độ điện trờng E dao dộng theo phơng xác định là trục x (phơng phân cực của trờng quang học) và ph- ơng lan truyền là trục z trùng với trục sợi quang. Do đó ta có thể đa bài toán ba chiều về bài toán một chiều. Trờng quang học thoả mãn điều kiện chuẩn đơn sắc, nghĩa là trờng là tập hợp các sóng phẳng đơn sắc với tần số trung tâm là 0 và độ rộng phổ thoả mãn 0 << 1. Điều đó cho phép áp dụng phép xấp xỉ hàm bao biến đổi chậm. Ta có thể biểu diễn xung dới dạng trờng có đờng bao biến đổi chậm nh sau: E ( r , t ) = e x E ( z , t ) =e x [ A ( z , t ) exp { - i ( 0 t - b z )} + cc ] (1.6) A ( z , t ) là h àm b a o ph ức b iế n t h iê n c h ậm t h e o t h ời g ia n ( t rong m ộ t c hu k ì d a o động c ủ a sóng ma ng h àm b a o b iế n t h iê n không đ á ng k ể ). cc là liê n h ợ p ph ức c ủ a A ( z , t ) exp { - i ( 0 t - b z )} . A ( z , t) và A ( z , t ) tơng ứng là độ lớn và c- ờng độ của xung đại lợng trong thực tế ta có thể đo đợc. Sự lan truyền của hàm bao biến thiên chậm A ( z , t) của xung quang học đợc mô tả bởi 10 . Khảo sát quá trình lan truyền của xung quang học trong sợi quang. Trong chơng này sẽ dẫn ra các phơng trình lan truyền của xung trong sợi quang. Bao gồm các. quang. .5 1.1.1. Sự phân cực phi tuyến trong sợi quang. 5 1.1.2. Sự lan truyền các xung ngắn trong sợi quang. 6