Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ===== ===== phạm hòa bình hàm toán tử đúng và sự tồn tại hàm toán tử đúng và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của ph nghiệm hầu tuần hoàn của ph ơng ơng trình vi phân tuyến tính không thuần trình vi phân tuyến tính không thuần nhất nhất Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2008 2 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ===== ===== phạm hòa bình hàm toán tử đúng và sự tồn tại hàm toán tử đúng và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của ph nghiệm hầu tuần hoàn của ph ơng ơng trình vi phân tuyến tính không thuần trình vi phân tuyến tính không thuần nhất nhất Chuyên ngành: toán - Giải tích M số: 60.46.01ã Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS. tạ quang hải Vinh - 2008 4 Mục lục Mở đầu .1 Chơng 1 Các hàm hầu tuần hoàn trong không gian Banach .3 1.1 Không gian Banach các hàm hầu tuần hoàn 3 1.2 Tính tuần hoàn của đạo hàm và tích phân 4 1.3 Giá trị trung bình và chuỗi Fourier 4 1.4 Không gian Hilbert các hàm hầu tuần hoàn 5 1.5 Định lý duy nhất và định lý xấp xỉ .6 Chơng 2 Hàm toán tử đúng và toán tử tích phân 7 2.1. Các định nghĩa và tính chất của hàm toán tử đúng .7 2.2. Toán tử tích phân .12 Chơng 3 Nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 25 3.1 Khái niệm chính quy và - chính quy 25 3.2 Các tính chất của toán tử chính quy .26 3.3 Các tính chất của toán tử - chính quy .36 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Mở đầu Khái niệm về hàm toán tử đúng là một trong những công cụ để nghiên cứu lý thuyết định tính phơng trình vi phân. Mục đích của luận văn này nhằm tìm hiểu một số tính chất của hàm toán tử đúng và toán tử tích phân, bớc đầu tìm các điều kiện về sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất. Trên cở sở các tài liệu về hàm hầu tuần hoàn và hàm toán tử đúng [1], [2], [3], [4], [5], dới sự hớng dẫn của PGS.TS. Tạ Quang Hải, đề tài luận văn này là Hàm toán tử đúng và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của ph ơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất. Nội dung của luận văn đợc trình bày theo 3 chơng Chơng 1 Các hàm hầu tuần hoàn trong không gian Banach 1.1 Không gian Banach các hàm hầu tuần hoàn 1.2 Tính tuần hoàn của đạo hàm và tích phân 1.3 Giá trị trung bình và chuỗi Fourier 1.4 Không gian Hilbert các hàm hầu tuần hoàn 1.5 Định lý duy nhất và định lý xấp xỉ Chơng 2 Hàm toán tử đúng và toán tử tích phân 2.1 Các định nghĩa và tính chất của hàm toán tử đúng 2.2 Toán tử tích phân Chơng 3 Nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 3.1 Khái niệm chính quy và - chính quy 3.2 Các tính chất của toán tử chính quy 3.3 Các tính chất của toán tử - chính quy 6 Trong chơng 1 hệ thống lại các khái niệm và tính chất của hàm hầu tuần hoàn. Trong chơng 2 nêu định nghĩa hàm toán tử đúng, chứng minh cụ thể các định lý về hàm toán tử đúng; phép biến đổi Fourier hàm :S EĂ của hàm khả tổng : ,G EĂ xét một số tính chất của phép biến đổi Fourier nh tính liên tục, giới nội và dần về 0 ở vô hạn. Nêu định nghĩa và một số tính chất của toán tử tích phân, ớc lợng chuẩn của toán tử tích phân. Trong chơng 3 trình bày các khái niệm chính quy và - chính quy của toán tử vi phân. Điều kiện cần và đủ để toán tử vi phân là chính quy và - chính quy. Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của Thầy giáo PGS. TS. Tạ Quang Hải. Trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi đã nhận đợc sự quan tâm giúp đỡ của các Thầy Cô giáo, bạn bè. Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy hớng dẫn, tới các Thầy Cô giáo trong tổ Giải tích, Khoa Toán, Khoa Sau đại học Trờng Đại học Vinh cùng tất cả các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình. Do điều kiện hạn chế về mặt thời gian và trình độ, luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận đợc sự góp ý, chỉ bảo của các Thầy Cô giáo và các bạn. Vinh, tháng 11/2008. Tác giả 7 Chơng 1 Các hàm hầu tuần hoàn trong không gian Banach Trong chơng này, trình bày định nghĩa và một số các tính chất của hàm vectơ hầu tuần hoàn cần dùng cho các chơng sau. 1.1 Không gian Banach các hàm số tuần hoàn Giả sử Ă là trục số, E là không gian Banach phức, f xác định trên Ă lấy giá trị trong E, :f EĂ . Số Ă đợc gọi là hầu chu kỳ của f nếu sup ( ) ( ) t f t f t + < Ă . Tập các hầu chu kỳ của f kí hiệu là ( ) ( , )f = . Tập các số thực gọi là trù mật tơng đối nếu trong mỗi khoảng tuỳ ý của đ- ờng thẳng số với độ dài cố định có ít nhất một điểm của tập này. Hàm véctơ liên tục :f EĂ gọi là hầu tuần hoàn (theo Bore) nếu với 0 > tập ( , )f trù mật tơng đối. Hàm hầu tuần hoàn giới nội, liên tục đều và compact tơng đối. Đặt ( , )Q Q E= Ă là không gian Banach các hàm liên tục giới nội :f EĂ với chuẩn sup ( ) t f f t = Ă . Gọi h f tịnh tiến (với h Ă ) của hàm :f EĂ là hàm xác định nh sau ( ) def h f f t h= + . Khi đó, ta có f Q hầu tuần hoàn khi và chỉ khi họ tịnh tiến { } h f compact t- ơng đối ở trong Q (Định lý Bocnerơ). Từ định lý này suy ra tổng các hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn, tích của hàm hầu tuần hoàn với một đại l- ợng vô hớng cũng là hầu tuần hoàn. Do đó, tập tất cả các hàm hầu tuần hoàn làm thành một không gian vectơ. Đa vào trong không gian này với chuẩn nh đã 8 xác định ở trên ta sẽ đợc không gian định chuẩn ( , )EĂB =B . Do giới hạn dãy hội tụ các hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn, cho nên B là một không gian đầy đủ, tức B là không gian Banach. 1.2 Định lý Kađexơ ([1]). (Tính tuần hoàn của đạo hàm và tích phân). Giả sử :f EĂ hầu tuần hoàn khả vi ở mỗi điểm t Ă . Khi đó, hàm :g f E= g Ă là hầu tuần hoàn khi và chỉ khi nó liên tục đều. 1.3 Giá trị trung bình và chuỗi Fourier Với mỗi hàm hầu tuần hoàn f, tồn tại duy nhất vectơ { } { } ( )J f J f t E= gọi là giá trị trung bình của hàm hầu tuần hoàn. Với 0 > cho trớc tồn tại ( ) 0 > sao cho { } 1 ( ) ,f t dt J f < với ( ). > Toán tử :J EB có các tính chất sau 1) { } { } { } J f J f J + = + ; 2) { } { } J f J f = ; 3) { } { } J f J f ; 4) { } J c c= với ( )f t c ; 5) { } { } h J f J f= ; 6) { } { } ( ) ( )J f t J f t = ; 7) { } { } ( ) ( )J f t J f t= ; 8) { } 0J f nếu ( ) 0,f t ( t Ă ) và { } 0J f > nếu ( ) 0.f t > 9 Hàm xác định bởi công thức { } ( ) i t f J f t e = gọi là hàm phổ, tập { } ( ) : 0f f = gọi là phổ của f, số ( )f gọi là số mũ Fourier của hàm f và f là hệ số Fourier. Vì ( )f không quá đếm đợc nên với mỗi hàm tuần hoàn f chúng ta có thể thiết lập chuỗi Fourier tơng ứng ( ) . i t f t f e : Với E là không gian liên hợp của E, thiết lập tơng ứng E hàm hầu tuần hoàn số [ ] ( ) ( ), , def A t f t = với toán tử A ( ánh xạ E vào 1 ( , ) def C= ĂB B ) là toán tử tuyến tính giới nội và .A f= Hệ số Fourier f thuộc bao lồi đóng tập các giá trị của hàm f. Nếu f khả vi liên tục và f g hầu tuần hoàn thì ,f i f = g ( ) Ă . Nếu tích phân của hàm f hầu tuần hoàn thì f i = với 0 Ă . 1.4 Không gian Hilbert các hàm hầu tuần hoàn Giả sử E là không gian Hilbert (E=H). Đối với các hàm hầu tuần hoàn , : .f g HĂ Đặt { } , ( ( ), ( )) .f g J f t g t< >= Khi đó, ký hiệu <,> có tất cả các tính chất của tích vô hớng. Ký hiệu ( , )E= ĂH H là không gian vectơ các hàm hầu tuần hoàn : .f HĂ Đặt 1 2 , .f f f=< > Khi đó f f . ở trong H ta có đồng nhất thức sau 10 . dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ===== ===== phạm hòa bình hàm toán tử đúng và sự tồn tại hàm toán tử đúng và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của ph nghiệm. dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ===== ===== phạm hòa bình hàm toán tử đúng và sự tồn tại hàm toán tử đúng và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của ph nghiệm