Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh ---------- Trần Doãn Anh Thoại Cấu trúc phổ nguyên tử của kim loại kiềm và Khả năng làm lạnh nguyên tử bằng Laser Luận văn Thạc sỹ Vật lý Vinh 2009 1 MỤC LỤC Trang Lời mở đầu 2 Chương 1. Cấu trúc phổ của nguyên tử Hydro 1.1. Cấu trúc tinh tế của nguyên tử Hydro - 1.3.1. Cấu trúc tinh tế các mức năng lượng của nguyên tử Hydro 3 - 1.3.2. Quang phổ của nguyên tử Hydro 9 1.2. Cấu trúc siêu tinh tế của nguên tử Hydro - 1.3.1. Cấu trúc siêu tinh tế các mức năng lượng của nguyên tử Hydro 10 - 1.3.2. Tương tác tứ cực trong cấu trúc siêu tinh tế của Hydro 15 Kết luận chương 1 16 Chương 2. Cấu trúc phổ nguyên tử của các kim loại kiềm 2.1. Cấu trúc tinh tế các mức năng lượng của các nguyên tử kim loại kiềm - 2.2.1. Sự tương tự của các nguyên tử kim loại kiềm với nguyên tử Hydro 17 - 2.2.2. Cấu trúc tinh tế của nguyên tử Rubi 20 2.2. Hiệu ứng Zeeman và hiệu ứng Stark trong cấu trúc tinh tế - 2.2.1. Trường mạnh, hiệu ứng Zeeman thường 24 - 2.2.2. Hiệu ứng Paschen- Back 26 - 2.2.3. Trường yếu, hiệu ứng Zeeman dị thường 27 - 2.2.4. Hiệu ứng Stark 29 2.3. Cấu trúc siêu tinh tế của các nguyên tử kim loại kiềm - 2.3.1. Sự phân tách các mức năng lượng trong nguyên tử Rubi 33 - 2.3.2. Tương tác của nguyên tử Rubi với trường ngoài tĩnh 36 Kết luận chương 2 38 Chương 3. Khả năng làm lạnh nguyên tử bằng Laser 3.1. Tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường ánh sáng - 3.1.1. Tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường ánh sáng 39 - 3.1.2. Chuyển động của nguyên tử dưới tác dụng của quang lực 42 3.2. Nguyên lý làm lạnh nguyên tử bằng Laser - 3.2.1. Làm lạnh Doppler 44 - 3.2.2. Làm lạnh các nguyên tử kim loại kiềm 50 Kết luận chương 3 52 Kết luận chung 53 Tài liệu tham khảo 55 2 LỜI MỞ ĐẦU Ngày nay trên thế giới với sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật laser, các nhà khoa học có thể làm lạnh nguyên tử xuống gần độ không tuyệt đối. Ở nhiệt độ thấp như vậy, các nguyên tử thể hiện tính sóng nhiều hơn nhiều so với tính hạt, và có trạng thái lượng tử như nhau, ngưng tụ lại thành hệ vật lý đậm đặc Bose-Einstein (BEC) trạng thái thứ năm của vật chất. Kim loại kiềm là những nguyên tố có cấu trúc tương tự như Hydro và có quang phổ nằm trong vùng khả kiến, vì thế nó rất thích hợp cho công việc làm lạnh bằng ánh sáng laser. Nhiều nhóm nghiên cứu trên thế giới đã tiến hành làm lạnh kim loại kiềm và đã thu được nhiều thành công rực rỡ. Một trong những thành công đó là đã tạo ra được BEC, từ đó cho phép chúng ta nghiên cứu phổ nguyên tử với các phép đo siêu chính xác, nghiên cứu các hiệu ứng quan trọng như trong suốt tự cảm điện từ (EIT ), các hiệu ứng phi tuyến, máy tính lượng tử, laser nguyên tử .v.v. Muốn làm lạnh được kim loại kiềm thì phải biết được cấu trúc phổ nguyên tử của chúng, tức là phải biết được các mức năng lượng của nguyên tử. Thực nghiệm cho thấy rằng phổ quang học của các nguyên tử là do electron hoá trị quy định. Vì thế thay cho việc xác định trạng thái của nguyên tử ta chỉ việc xác định trạng thái của các electron hoá trị. Nghiên cứu ở mức độ càng sâu, độ chính xác càng cao thì các mức năng lượng thu được càng nhiều tức là hình ảnh phổ càng phức tạp. Vì vậy chúng tôi chọn chủ đề “ Cấu trúc phổ nguyên tử của kim loại kiềm và khả năng làm lạnh nguyên tử bằng laser ” làm đề tài nghiên cứu luận văn tốt nghiệp của mình. Ở đây chúng tôi nghiên cứu quang phổ của nguyên tử Hydro rồi mở rộng cho các nguyên tử kim loại kiềm bằng việc sử dụng các lý thuyết của cơ học lượng tử. Căn cứ vào cấu trúc phổ nguyên tử của kim loại kiềm để xây dựng sơ đồ làm lạnh nguyên tử. Luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có ba chương : Chương 1. Cấu trúc phổ của nguyên tử Hydro Chương 2. Cấu trúc phổ nguyên tử của các kim loại kiềm Chương 3. Khả năng làm lạnh các nguyên tử kim loại kiềm bằng laser 3 CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC PHỔ CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 1.1 Cấu trúc tinh tế của nguyên tử Hydro 1.1.1. Cấu trúc tinh tế các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro Nguyên tử Hydro gồm hạt nhân có điện tích ( ) 1e+ và một hạt nhân chuyển động xung quanh. Trạng thái của electron trong nguyên tử Hydro được các định từ phương trình Dirac : ˆ i H t ψ ψ ∂ = ∂ h (1.1) Với : UcmpcUcmpppcH zzyyxx              ++=++++= βαβααα 2 0 2 0 )( (1.2) là Hamintơn của eletron. c : là vận tốc của ánh sáng trong chân không. 0 m : là khối lượng nghỉ của electron 2 Ze U r = − là thế năng của electron trong trường hạt nhân ( với Hydro thì Z = 1 ) ˆ 0 ˆ 0 σ α σ   =     trong đó : ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ , , x y z σ σ σ σ = là các ma trận Pauli. I I − = 0 0 β trong đó : I : là ma trận đơn vị hạng hai         =               = χ ϕ ψ ψ ψ ψ ψ 4 3 2 1 (1.3) là hàm sóng xác định trạng thái của electron. Ở trạng thái dừng : H E ψ ψ = (1.4) Với : 2 0 E m c ε = + (1.5) 2 0 m c là năng lượng nghỉ của electron, ε : là động năng của electron Thay (1.5) vào (1.4) ta có : =         χ ϕ E         ++ χ ϕ βα )( 2 0 Ucmpc     (1.6) Thay α và β bằng những biểu thức của chúng ta đi tới: 4 E ϕ χ    ÷   =                 +                 − +                 χ ϕ χ ϕ χ ϕ σ σ I I U I I cmpc 0 0 0 0 0 0 2 0  (1.7) Khai triển (1.7) ta được : 2 0 2 0 m c U c p E c p m c U ϕ ϕ σ χ χ σ   +     =  ÷  ÷  ÷ − +       (1.8) Từ đó ta suy ra : 0)( 2 0 =−++ ϕχσ EUcmpc   (1.9a) 0)( 2 0 =−+−+ χϕσ EUcmpc   (1.9b) Thay (1.5) vào các phương trình (1.9a) và (1.9b) ta biến đổi được : ϕεχσ )( Upc −=  (1.10a) χεϕσ )2( 2 0 cmUpc +−=  (1.10b) Nhiệm vụ của chúng ta là tìm trị riêng của toán tử ˆ H ứng với trạng thái ψ được xác định theo biểu thức (1.3). Cần chú ý rằng vai trò của ϕ và χ là như nhau đối với trị riêng của ˆ H vì vậy ta chỉ cần xét trị riêng của hàm ϕ . Từ phương trình (1.10b) ta có : ϕ ε σ χ 2 0 2 cmU pc +− =  = ϕ ε σ 2 0 2 0 2 1 2 1 cm U pc cm − +  (1.11) với độ chính xác đến bậc nhất của tỉ số 2 0 2 U m c ε − ta có thể biến đổi (1.11) về dạng : ϕ ε σχ         − −= 2 00 2 1 2 1 cm U p cm  (1.12) Thay (1.12) vào (1.10a) ta được : p m U  σϕε 0 2 1 )( =− ϕσ ε p cm U          − − 2 0 2 1 (1.13) Đối với các ma trận Pauli ta có hệ thức : ))(( ba   σσ = ][)( baiba     σ + (1.14) Đồng thời ta cũng có : ))(()( prfp  σσ =f(r) ))(( pp  σσ - ))(( pgradfi   σσ = ∧ 2 )( prf - ]])[()[( pgradfipgradfi   σ + (1.15) Đặt )( 2 1 2 0 rf cm U =         − − ε , và chú ý tới (1.14) và (1.15) phương trình (1.13) sẽ được biến đổi về dạng : ϕεϕ ∧ = 'H (1.16) 5 Trong đó : ∧ 'H = p cm Ui pU cm U m p cm U     2 0 2 2 0 0 2 2 0 4 )( ][ 4 1 22 1 ∇ −∇++         − − ∧ σ ε (1.17) Từ điều kiện chuẩn hoá cho hàm sóng : 1 * = ∫ τψψ d (1.18) Trong đó :         = χ ϕ ψ mà ( ) χχϕϕ χ ϕ χϕψψ ++++ +=         = * do đó ta có : 1)( =+ ∫ ++ τχχϕϕ d (1.19) Trong gần đúng cấp không biểu thức (1.12) được viết lại : ϕ σ χ cm p 0 2  = (1.20) Như vậy : ϕ σ ϕχχ 2 0 ] 2 [ cm p  ++ = = ϕϕ 2 0 2 )2( cm p  + (1.21) Thay (1.21) vào (1.19) ta viết lại được điều kiện chẩn hoá : =+ ∫ ++ τχχϕϕ d)( ∫ τϕϕ d cm p ) )2( 1( 2 0 2  + + =1 (1.22) Để tiện lợi hơn ta chuyển sang biểu diễn mới bằng cách đưa vào hàm Φ thay cho hàm ϕ , g ϕ Φ = (1.23) Sao cho : 1 ==ΦΦ ∫∫ +++ τϕϕτ dggd (1.24) So sánh (1.24) và (1.22) ta tìm được dạng tường minh của toán tử biến đổi : 2 2 0 2 4 1 cm p gg ∧ + +=  Chọn ˆ g là toán tử thực ta có : 2 1/2 2 2 0 [1 ] 4 p g g m c ∧ + = = + ≈ ) ) 2 2 0 2 8 1 cm p ∧ + 2 1 1/2 2 2 0 [1 ] 4 p g m c ∧ − = − ≈ ) 2 2 0 2 8 1 cm p ∧ − Phép biến đổi (1.23) không làm cho toán tử Ha min tơn biến đổi. dễ dàng thấy được điều đó nếu viết phương trình (1.16) về dạng : ϕϕε ggHgg )( 1' ∧ − ∧ =  6 Như vậy toán tử Ha min tơn của phương trình : ˆ ε Φ = ΦH (1.25) Với ' 1 ( )g H g ∧ ∧ ∧ − = ) H trong phép gần đúng đến cấp 2 2 v c có dạng : ' 1 1 ( )g H g ∧ ∧ ∧ − = ) H = ( ) ][ 48 22 2 2 0 2 2 2 0 2 22 0 2 0 2 pU cm U cm cm U U m p    ×∇+∇− − −           + ∧ σε (1.26) Với : 2 0 2 p U m ∧ + là toán tử Ha min tơn phi tương đối tính, ba số hạng sau xét đến các hiệu chính tương đối tính cấp 2 2 v c . Như vây hiệu chính tương đối tính cho các toán tử Ha min tơn trong chuyển động phi tương đối tính của hạt có spin 1 2 có thể được viết dưới dạng : 321 WWWW  ++= (1.27) Trong đó : U cm W 2 2 2 0 2 1 8 ∇=   = 2 2 2 2 2 0 1 ( ) 8 Z e m c r − ∇ h (1.28) Để ý rằng : )(4 1 2 r r πδ −=∇ ta được : 2 2 1 2 2 0 ( ) 2 Z e W r m c π δ = ) h (1.29) là số hiệu chính Darwin, đại lượng này xác định năng lượng tương tác bổ sung cho electron trong trường hạt nhân ở các trạng thái s. 2 W  ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 Ze U r m c m c ε ε   +  ÷ −   = − = ) (1.30) Là đại lượng hiệu chính cho toán tử động năng xuất hiện do sự biến đổi khối lượng của hạt khi vận tốc biến đổi. = 3 W  ][ 4 2 2 0 pgradU cm   × σ (1.31) Là đại lượng hiệu chính cho tương tác spin-quỹ đạo. Trong trường xuyên tâm ta có r U r r r U gradU ∂ ∂ = ∂ ∂ = Thay biểu thức này vào (1.31) ta tìm được : ( với j l s= + ) 7 = 3 W  =× ∂ ) 1 ( 4 2 2 0 pr r U r cm σ  2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 0 1 ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 2 4 U Ze sl j l s m c r r m c r ∂ = − − ) ) (1.32) Ở trạng thái dừng ta có thể viết: ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 0 3 ˆ W 1 1 4 4 Ze j j l l m c r   = + − + −     h (1.33) Trong đó ][ prl   ×= , 2 σ    = s lần lượt là các toán tử mô men quỹ đạo và toán tử mô men spin của hạt. Để xác định các trạng thái dừng của electron trong trường Coulomb của hạt nhân ta cần giải phương trình : ψψ EWWWH =+++ )( 3210  (1.34) Trong đó : r Ze m p H 2 0 2 0 2 −= ∧  , còn 1 ˆ W , 2 ˆ W , 3 ˆ W là các hiệu chính tương đối tính cho toán tử Hamintơn đã nói ở trên. với giả thiết rằng : 2 0 2 2 cm r Ze E <<+ . Trong toạ độ cầu ta biến đổi 0 H ) về dạng : r Ze rm l r r rrm H 2 0 2 2 2 0 2 0 2 1 2 −+       ∂ ∂ ∂ ∂ −=    (1.35) Thực hiện phép tách biến : ),()( ϕθψ lmjnlj YrR = (1.36) Thay (1.36) vào (1.34) ta tìm được hàm sóng xuyên tâm nlj R cho các trạng thái dừng của nguyên tử Hydro. ( ) 2 2 2 2 2 0 1 ( 1) { [ ] } 2 nlj l l Ze E r R r m r r r r r ∂ ∂ +   + − +  ÷ ∂ ∂   h = 1 2 3 ( ) ( ) nlj W W W R r+ + ) ) ) (1.37) Ta giải phương trình trên bằng phương pháp gần đúng liên tiếp, trong gần đúng cấp không ta có phương trình : 2 2 2 2 2 0 1 ( 1) { [ ] } 2 nl l l Ze E r R m r r r r r ∂ ∂ +   + − +  ÷ ∂ ∂   h =0 (1.38) Phương trình này hoàn toàn trùng với phương trình Schrodinger. Vì thế ta tìm được: 22 4 0 2 0 2 n emZ E n  −= với 1,2,3 .n = (1.39) Trong phép gần đúng cấp một , số hiệu chính năng lượng cho các ˆ W i được tính : 8 ( ) ( ) ( ) 1 0 2 2 1 2 3 0 nj n n nl E E E R w w w r dr ∞ ∆ = − = + + ∫ 1 2 3 ˆ ˆ ˆ W W Wnl nl nl nl nl nl= + + (1.40) Thực hiện các phép tính toán ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 ˆ W 0 1 . 0 2 8 2 nl nl khi l Z e Z e nl nl R r r r dr R Z e khi l m c m c m c n π δ ∞ ≠   = = =  =   ∫ h h h (1.41) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 2 2 2 3 0 0 0 1 1 1 3 1 ˆ W 1 2 2 4 2 nl n e nl nl R r E r dr m c r m c n n l ∞    ÷   = − + = −  ÷  ÷    ÷ +   ∫ (1.42) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 3 0 0 1 ˆ W 1 1 1 4 nl Ze nl nl j j l l s s R r dr m c r ∞ = − + − + − + =    ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 3 1 1 1 . 4 4 4 2 1 1 2 nl l khi j l e dr Ze j j l l R m c r m c n l l khi j l − ∞ −  + = +     = + − + − =    +     − = −  ∫ (1.43) Khi tính toán các phần tử ma trận trên chúng ta đã sử dụng các tích phân sau : 2 2 2 0 1 1 nl R r dr r n ∞ = ∫ ; 2 2 2 3 0 1 1 1 2 nl R r dr r n l ∞ =   +  ÷   ∫ ; ( ) 2 2 3 3 0 1 1 1 1 2 nl R r dr r n l l l ∞ =   + +  ÷   ∫ Như vậy trong gần đúng cấp một, hiệu chính năng lượng là : nj E E∆ ≡ ∆             − + −= 4 3 2 1 . 4 24 j n n Z hR α (1.44) Trong đó : 137 1 2 ≈−= c e  α là hằng số cấu trúc tinh tế, còn 4 0 3 2. m e R = h là hằng số Rydberg. E nj = 0 n nj E E+ ∆ = 2 2 2 2 2 3 . 1 1 4 2 Z Z n R n n j α        ÷ = − + −    ÷    ÷ +  ÷       h (1.45) Với Hydro thì Z = 1 nên ta có : E nj = 0 n nj E E+ ∆ = 2 2 2 . 3 1 1 4 2 R n n n j α        ÷ = − + −    ÷    ÷ +  ÷       h (1.46) 9 Hệ các mức năng lượng ứng với các giá trị nj E∆ khác nhau ứng với cùng giá trị 0 n E như nhau gọi là cấu trúc tinh tế. Độ rộng toàn phần của cấu trúc tinh tế ở trạng thái n được tính như sau : ax minm n nj nj E E δ = ∆ − ∆ (1.47) Trong đó : ( ) ax ax 1 1 1 1 2 2 2 m m j l n n= + = − + = − ; min min 1 1 2 2 j l= + = ; thay các giá trị này vào (1.45) ta tìm được : ( ) 2 4 1 n R n n α δ − = (1.48) Điều này có nghĩa là số lượng tử chính tăng lên thì độ rộng của cấu trúc tinh tế giảm, nên trong thực tế chúng ta chỉ có thể quan sát được các dịch chuyển về mức cơ bản và các lân cận với nó. Ứng với n, j như nhau nhưng với các giá trị của 1 2 l j= ± khác nhau thì vẫn có suy biến bội hai.( Chỉ có các mức có n đã cho với các giá trị khả dĩ cực đại là không suy biến). 1.1.2. Quang phổ của nguên tử Hydro Cấu trúc các vạch quang phổ của Hydro dựa trên quá trình dịch chuyển giữa các mức năng lượng đồng thời có chú ý tới các quy tắc lọc lựa. Khi electron chuyển từ trạng thái có mức năng lượng n E về trạng thái có mức năng lượng thấp hơn m E thì nó sẽ phát xạ photon có năng lượng là ν h . Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có : n m h E E ν = − (1.49) Số lượng các vạch quang phổ thu được phụ thuộc vào cấp độ mà chúng ta đang xét. Khi bỏ qua cấu trúc tinh tế 4 0 0 2 2 2 2 . 2 2. nj n m e R R h E E n n n π = = − = − = − h h thì các vạch quang phổ thu được là các vạch đơn. Thay biểu thức năng lượng vào ta được : 2 2 . 1 1 2 R h h n m ν π   = −     (1.50) với n và m là các số nguyên và n > m , Khi n = 1 ta được các vạch phổ trong dãy Lyman, tần số ứng với các vạch là : 10