Đang tải... (xem toàn văn)
Nguyên lí biến phân ekeland và một số ứng dụng .pdf
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN XUÂN HÒA NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN XUÂN HOÀ NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. TRƢƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Trang Lời nói đầu Chƣơng 1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều . 9 1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower-Pental) . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.3.3. Định lí giọt nước (Định lí Drop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Một số ứng dụng của nguyên lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1. Nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ . . . . . . . . . . . . . .16 1.4.2. Các định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.3. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chƣơng 2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 25 2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 2.3. Định lí điểm bất động Caristi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. Định lí Takahashi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5. Một vài ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 2.6. Sự tương đương giữa các định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Trong giải tích, bài toán tìm điểm cực trị của hàm số có rất nhiều ứng dụng quan trọng. Một kết quả cổ điển chỉ ra rằng hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó. Khi tập X không compact thì hàm f có thể không có điểm cực trị. Tuy vậy, với không gian mêtric đủ X, hàm f bị chặn dưới ta vẫn có thông tin về điểm xấp xỉ cực tiểu. Cụ thể là khi hàm f bị chặn dưới ta luôn tìm được điểm - xấp xỉ cực tiểu x, tức là inf ( ) infXXf f x f . Hơn nữa, vào năm 1974, I.Ekeland đã phát biểu nguyên lí nói rằng với hàm f nửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian mêtric đủ X thì với mọi điểm - xấp xỉ cực tiểu x, ta luôn tìm được điểm x là cực tiểu chặt của hàm nhiễu của hàm ban đầu, đồng thời ()fx()fx. Không những thế, còn đánh giá được khoảng cách giữa x và x. Từ khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh trong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm nhiều lĩnh vực như: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế, . . . Trong những năm gần đây, nguyên lí này đã được mở rộng cho trường hợp hàm f là ánh xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian véc tơ. Mục đích của Luận văn là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và véc tơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí này, được giới thiệu trong các bài báo [2,5]. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1 gồm nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển [2], dạng hình học của nguyên lí (định lí Bishop -Phelps, định lí giọt nước, định lí cánh hoa), một số ứng dụng của nguyên lí (định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Caristi-Kirk,đạo hàm Gateaux). Đây là các kết quả được giới thiệu trong bài báo của I.Ekeland [2] năm1974 và các bài báo của các tác giả khác [1,4]. Trong chương này chúng tôi cũng trình bày một cách chứng minh ngắn gọn nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều (sử dụng điều kiện bức), cách chứng minh này được giới thiệu trong bài giảng về lí thuyết tối ưu của Giáo sư Hoàng Tuỵ - Viện Toán học. Chương 2 gồm nguyên lí biến phân Ekeland mở rộng cho ánh xạ nhận giá trị véc tơ, định lí Caristi - Kirk véc tơ, định lí Takahashi véc tơ, một số ví dụ minh hoạ và sự tương đương của ba định lí này. Đây là kết quả mới nhận được, được đăng trong bài báo của Y.Araya [5] năm 2008. Nhân dịp này, Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Trƣơng Xuân Đức Hà - cán bộ Viện Toán học - Viện Khoa học và Công nghệ quốc gia. Luận văn này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự chỉ bảo, hướng dẫn, sự giúp đỡ tận tình của cô. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng phản biện, các thầy cô trong khoa Toán và khoa Sau đại học - ĐHSP Thái Nguyên, đã giúp đỡ em hoàn thiện luận văn này. Xin cảm ơn Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Phú Bình đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Xin cảm ơn gia đình và các bạn Phạm Hùng Linh, Vũ Quang Huy, Nguyễn Hữu Toàn, Hoàng Hữu Quý, Phạm Hồng Nam, đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, ngày 28 tháng 09 năm 2009 Học viên Nguyễn Xuân Hoà Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 1 NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN Trong chương này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, dạng hình học của nguyên lí và một số ứng dụng của nguyên lí này. 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, chúng ta xét lớp hàm nửa liên tục dưới và một số tính chất của hàm này. Cho X là không gian tôpô và hàm :fX Kí hiệu: domf x X f x . ()aL f x X f x a là tập mức của f. ,epif x a X f x a là tập trên đồ thị của f. Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian tôpô. Hàm :fX được gọi là hàm nửa liên tục dưới tại 0x khi và chỉ khi 0liminfxxfx 0()fx. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm của X . Nhận xét 1.1 Hàm f là nửa liên tục dưới tại 0x khi và chỉ khi 0 tồn tại lân cận Ucủa 0x sao cho xU ta đều có 0f x f x. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.1 Hàm số :f cho bởi: 2320xfx nếu 2x Ta thấy: domf . 1( ) 1 1,1L f x f x là tập mức của hàmf. ,epif x a f x a là phần mặt phẳng nằm trên parabol có phương trình 2( ) 3 2f x x hợp với đoạn thẳng AB trong đó A 2,0, B 2,10 là tập trên đồ thị của f. Dễ thấy rằng f là hàm liên tục trên \2, gián đoạn tại 2x . Nhưng f là hàm nửa liên tục dưới tại 2x vì 2liminf 10xfx(2)f. Do đó f là hàm nửa liên tục dưới trên . Mệnh đề 1.1. Cho Xlà không gian mêtric và hàm :fX , khi đó các khẳng định sau là tương đương: (a) f là hàm nửa liên tục dưới trênX. (b) ,epif x a X f x a là tập đóng trong X . (c) ()aL f x X f x a là tập đóng trong X (a). Chứng minh (a)(b).Giả sử f là hàm nửa liên tục dưới trên X. Ta lấy dãy {( , )}nnx a epif Sao cho lim( , )nnnxa00( , )xa. Ta cần chỉ ra 00( , )xaepif. Thật vậy, 00lim ,limnnnnx x a a và hàm f là nửa liên tục dưới tại 0x nên nếu x ≠2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn liminfnnfx 0()fx, mà dãy {( , )}nnx a epif nên ()nnf x a(n), nên liminfnnfxlimnna. Do đó 0()fx liminfnnfxlimnna 0a. Điều này chứng tỏ 00( , )xaepif. (b)(c). Giả sử epi f là tập đóng trong X . Ta sẽ chứng minh mọi tập mức của f đều đóng trong X. Thật vậy, giả sử ()aL f x X f x a là tập mức bất kỳ của f . Lấy dãy{nx} aLf sao cho 0limnnxx do dãy {nx} aLf Nên()nfxa hay (nx,a)epif(n). Hơn nữa, 0limnnxxnên ,0lim( ) ( , )nnx a x a. Mà epif là tập đóng trong X nên (0x,a)epif, do đó 0x aLf ta có điều phải chứng minh. (c)(a). Giả sử mọi tập mức của f đều đóng trong X . Ta cần chứng minhf là hàm nửa liên tục dưới trên f. Giả sử phản chứng f không là nửa liên tục dưới tại 0xX. Khi đó có dãy{nx}X sao cho 0limnnxx, liminfnnfx0()fx. Chọn 0 đủ nhỏ sao cho có k để()nfx0()fx(nk). Xét tập mức 0)( ) (L x X f x f x ta thấy nx L,nk. Mặt khác do L đóng và 0limnnxx nên 0x L, do đó 0()fx0()fx (vô lí). Vậy f là nửa liên tục dưới trên X. Định nghĩa 1.2 Cho tập S trong không gian mêtric ( , )Xd. Hàm chỉ của tập S là hàm: 0Slx xS xS Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta có kết quả sau: Mệnh đề 1.2. Nếu S là tập đóng thì Sl là hàm nửa liên tục dưới. Chứng minh Khi 0xS, từ định nghĩa hàm Sl ta có 0 tồn tại lân cận Ucủa 0x mà 0( ) ( ) ,SSl x l x x U . Khi 0xS, vì S là tập đóng nên 0( , ) 0d x S . Chọn 00( , ), ( , )2d x Sr x B x r thì xS. Do đó 00( ) ( ) , ( , )SSl x l x x B x r . Ta có điều phải chứng minh. 1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển Trong mục này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển và xem xét nguyên lí này trong không gian hữu hạn chiều. 1.2.1. Nguyên lí biến phân Ekeland Vấn đề chúng ta thường quan tâm là khi nào hàm :fX đạt cực tiểu trên X, tức là xXsao cho ( ) ( ),f x f x x X . Trước hết, ta nhìn lại kết quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact. Mệnh đề 1.3. Cho hàm :fX là hàm nửa liên tục dưới trên tập X compact. Khi đó f đạt cực tiểu trên X. Chứng minh Đặt inf ( )a f x x X. Khi đó có một dãy {nx}X sao cho lim ( )nnf x a. Do X compact, để không mất tính tổng quát ta có thể coi {nx} là dãy hội tụ đến Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xX. Ta sẽ chứng minh ()f x a. Thật vậy, do f là nửa liên tục dưới tại x nên liminf ( )nnf x f x. Kết hợp với lim ( )nnf x a ta suy ra ()f x a( điều đó chứng tỏ a ). Mặt khác theo định nghĩa của a ta có ()f x a. Vậy ()f x a và x là điểm cực tiểu của hàm f trên X. Khi X không compact thì hàm f có thể không đạt cực tiểu. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.2 Xét hàm số: : \{(2,1)}fX 421 2 1 2( , ) ( ) ( 2) ( 1)x x x f x x x Ta dễ dàng thấy rằng f liên tục trên X và ( ) 0fx, xX. Với bất kì 0, ta có (2,1 )2x thoả mãn ()4fx tức là ta có inf 0Xf . Tuy vậy không tồn tại xX để ( ) 0fx. Thật vậy, giả sử có 0xX sao cho 0( ) 0fx thì đưa tới 0(2,1)xX. Vậy hàm f không đạt cực tiểu trên X. Khi giả thiết compact của tập X không còn thì hàm f có thể không đạt cực trị. Khi đó, ta xét khái niệm điểm xấp xỉ cực tiểu như sau: Với 0cho trước, một điểm xXgọi là xấp xỉ cực tiểu của()fx trên Xnếu inf ( ) infXXf f x f . Điểm xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu f bị chặn dưới. Tuy nhiên, khi X là không gian mêtric đủ thì nguyên lí biến phân Ekeland phát biểu rằng ta có thể làm nhiễu hàm f để thu được một hàm đạt cực tiểu trênX. Sau đây ta xét nguyên lí biến phân Ekeland và một số phát biểu khác của nguyên lí này. [...]... định lí Bishop-Phelps xuất hiện sớm nhất vào năm 1961 Định lí này là nguồn cảm hứng chính cho nguyên lí biến phân Ekeland Định lí giọt nước được J.Danes phát biểu vào năm 1972 Còn định lí cánh hoa được phát biểu bởi J.-P.Penot vào năm 1986 Mối liên hệ giữa nguyên lí biến phân Ekeland, định lí giọt nước và định lí cánh hoa được J.-P.Penot và S.Rolewicz xem xét vào năm 1986 1.4 Một số ứng dụng của nguyên. .. nguyên lí biến phân Ekeland Trong phần này, chúng ta chỉ ra nguyên lí biến phân Ekeland là tương đương với tính đầy đủ của không gian Tiếp đó, chúng ta sử dụng nguyên lí biến phân Ekeland để chứng minh định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Caristi-Kirk, định lí điểm bất động cho ánh xạ co theo hướng và đánh giá đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên. .. tiểu yếu, giới thiệu vài ví dụ minh hoạ các định lí và ở phần cuối cùng là chứng minh sự tương đương của nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ, định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ và định lí Takahashi véc tơ 2.1 .Một số kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 2.1 Cho Y là không gian Banach và C Y là tập khác rỗng Ta kí hiệu: int C và cl C là phần trong và bao đóng của C Ta nói tập C là một nón nếu C C... Chƣơng 2 NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÉC TƠ Trong những năm gần đây có rất nhiều nghiên cứu tổng quát nguyên lí biến phân Ekeland và những kết quả cổ điển liên quan tới nguyên lí này như: định lí điểm bất động Caristi – Kirk, định lí Takahashi về tồn tại điểm cực tiểu cho các hàm nhận giá trị trong không gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều (Loridan [13], Isac [11], Gopfert, Tammer, Zalinescu [9,10,17] và. .. ta có dạng yếu của nguyên lí biến phân: Định lí 1.3 [1] Cho ( X , d ) là không gian mêtric đủ và hàm f : X là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới Khi đó với mọi 0 tồn tại x sao cho: f ( x) d ( x, x) f ( x) , x X \ {x} 1.2.2 .Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều Trong không gian hữu hạn chiều, ta thu được kết quả của nguyên lí biến phân Ekeland với hàm nhiễu... và nhiều người khác) Tammer [18] giới thiệu định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ và định lí Takahashi véc tơ nhưng không chỉ ra sự liên hệ giữa ba định lí Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách chứng minh đơn giản của J.P.Aubin nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ[6] Từ định lí này ta suy ra định lí điểm bất động Caristi-Kirk véc tơ và định lí Takahashi véc tơ Tiếp theo chúng tôi trình bày... inf X f và f ( x) d ( x, x) f ( x) , x X Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.5) http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho x xn trong (1.5) và chuyển qua giới hạn n , ta được f ( x) f ( x) , suy ra f ( x) 0 Điều này chứng tỏ lim xn x n 1.4.2 Các định lí điểm bất động Trong phần này, ta sẽ áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland để chứng minh định lí điểm bất động... 1.4.1 Nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ Định lí sau đây chỉ ra một đặc trưng của không gian mêtric đầy đủ Định lí 1.8 [1] Cho ( X , d ) là không gian mêtric Khi đó X là đầy đủ khi và chỉ khi với mọi hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới f : X và với mọi 0 , tồn tại một điểm x X thoả mãn: (i) f ( x) inf X f (ii) f ( x) d ( x, x) f ( x) , x X Chứng minh Từ định lí. .. (FlowerPental), định lí giọt nước (Drop) Chúng là các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland 1.3.1 Định lí Bishop-Phelps Định nghĩa 1.3 [1] Cho X là không gian Banach Với bất kì x X \ {0} và bất kì 0 chúng ta gọi: K ( x , ) x X || x |||| x || x ( x) là nón Bishop-Phelps liên kết với x và Định lí 1.5 (Định lí Bishop-Phelps) [1] Cho X là không gian Banach và S là tập đóng... chứng minh x chính là điểm cực tiểu của g trên N Thật vậy với x Lg ( a ) g thì g ( x) g (a) g ( x) Điều này chứng tỏ x là điểm cực tiểu của g trên N Dễ dàng kiểm tra x thoả mãn các kết luận của định lí Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3 Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland Trong phần này, ta xem xét định lí Bishop-Phelps, định lí . PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN Trong chương này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, dạng hình học của nguyên lí và một số ứng dụng của nguyên lí. gồm nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển [2], dạng hình học của nguyên lí (định lí Bishop -Phelps, định lí giọt nước, định lí cánh hoa), một số ứng dụng