Mục lục Trang Lời mở đầu 2 Đ1. Một số khái niệm cơ bản 4 Đ2. Các họ hữu hạn địa phơng 11 Đ3. Một số không gian tôpô đặc biệt 13 Đ4. Không gian với k - lới - bảo tồn bao đóng di truyền 16 Đ5. Không gian với k - lới - bảo tồn bao đóng di truyền 23 Đ6. Không gian với cs - lới - bảo tồn bao đóng di truyền 27 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 1 Lời mở đầu Kể từ những năm đầu thập niên 70 của thế kỷ XX, các vấn đề về phủ của không gian tôpô đã thu hút đợc nhiều sự quan tâm của các nhà toán học trên toàn thế giới. Đặc biệt là những năm gần đây, các vấn đề về phủ đã đợc nghiên cứu sâu sắc hơn và từ các tính chất của chúng các nhà toán học đã tìm ra đợc những định lý quan trọng trong việc nghiên cứu không gian tôpô nh: Điều kiện để một không gian tôpô có thể mêtric hoá đợc, hay về mối quan hệ giữa các không gian tôpô đặc biệt. Chúng ta có thể kể tên những nhà toán học đã dành nhiều tâm huyết trong việc nghiên cứu các vấn đề về phủ của không gian tôpô nh: Y. Tanaka, Shou Lin, L. Foged, Chuan Liu, Trong khoá luận này, chúng tôi tập trung nghiên cứu về một loại phủ đặc biệt, đó là họ k - lới - bảo tồn bao đóng di truyền ( - hereditarily closure - preserving k - networks) mà ta viết ngắn gọn là là k - lới - HCP; các tính chất của không gian tôpô có một họ k - lới - HCP, cũng nh tìm hiểu mối quan hệ giữa không gian này với một số không gian tôpô khác. Ngoài ra, khoá luận còn đi nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian tôpô có một họ k - lới - HCP và không gian tôpô có một họ cs - lới - HCP. Với mục đích nh vậy, khoá luận đợc trình bày theo 6 phần nh sau: Đ1. Một số khái niệm cơ bản. Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và tính chất cơ bản của tôpô đại cơng để làm cơ sở cho các phần sau. Ngoài ra, chúng tôi còn đa ra một số kết quả có chứng minh nh mệnh đề 1.6, mệnh đề 1.29. Đ2. Các họ hữu hạn địa phơng. Dựa trên khái niệm về họ hữu hạn điạ phơng, chúng tôi giới thiệu một số tính chất của họ này, những tính chất này khá quan trọng trong việc nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian tôpô có k - lới - HCP và các không gian tôpô khác. 2 Đ3. Một số không gian tôpô đặc biệt. Mục đích của phần này là giới thiệu một số không gian tôpô đặc biệt, mối quan hệ giữa các không gian và tính chất của các không gian đó, nhằm tạo tiền đề nghiên cứu các phần sau. Đ4. Không gian với k - lới bảo tồn bao đóng di truyền. Trong phần này, chúng tôi bắt đầu giới thiệu các khái niệm k - lới, khái niệm bảo tồn bao đóng di truyền ( hereditarily closure - preserving) và viết ngắn gọn là HCP; nghiên cứu một số tính chất của không gian có k - lới HCP và đa ra ví dụ về không gian có một k - lới HCP. Đ5. Không gian với k - lới - bảo tồn bao đóng di truyền. Trong phần này, chúng tôi đa ra các tính chất của không gian có một k - lới - HCP, đồng thời đa ra một số không gian tôpô có k - lới - HCP. Đ6. Không gian với cs - lới - bảo tồn bao đóng di truyền. Đây là phần cuối cùng trong khoá luận này. ở đây chúng tôi đã nghiên cứu không gian tôpô có một cs - lới - HCP, đặc biệt là đi nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian có một k - lới - HCP và không gian có một cs - lới - HCP. Tất cả các không gian tôpô đợc giả thiết là không gian chính quy, các ánh xạ đều toàn ánh, liên tục. Sau khi kết thúc khoá luận, chúng tôi đã có những vấn đề gợi mở. Tuy nhiên, do điều kiện thời gian cũng nh những hạn chế về năng lực nên cha thể giải quyết trọn vẹn. Do đó, chúng tôi xin giới thiệu vào phần cuối của khoá luận. Nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Trần Văn Ân, ngời đã trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận này. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, Trờng Đại học Vinh đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trờng. Do điều kiện thời gian và những hạn chế về năng lực nên khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 4 năm 2004 Tác giả 3 Đ1 Một số khái niệm cơ bản 1.1. Định nghĩa. Cho tập X . Họ các tập con của X đợc gọi là một tôpô trên X, nếu nó thoả mãn: (i) , X (ii) Với mọi A, B thì A B . (iii) Với mọi họ { A : I } thì J A . Khi đó, (X, ) đợc gọi là không gian tôpô, mỗi phần tử của X gọi là một điểm trong không gian tôpô ( X, ). Mỗi tập A gọi là một tập mở. Phần bù của một tập mở đợc gọi là tập đóng. Nếu không sợ nhầm lẫn các tôpô trên X ta viết không gian X thay cho không gian ( X, ). 1.2. Nhận xét. Từ định nghĩa trên ta có các nhận xét sau: (i) và X là các tập mở. (ii) Giao của hai tập mở là một tập mở. (iii) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là một tập mở. 1.3. Định nghĩa. Cho không gian tôpô ( X, ) và B , B đợc gọi là cơ sở của tôpô nếu với mọi V và với mọi x V, tồn tại U B sao cho x U V. 1.4. Định nghĩa. a. Cho không gian tôpô ( X, ), x X. Tập U X đợc gọi là lân cận của điểm x, nếu tồn tại V sao cho x U V. b. Gọi u(x) là họ tất cả các lân cận của x. Khi đó, họ con B(x) của u(x) đợc gọi là cơ sở lân cận tại điểm x, nếu với mọi V u(x), tồn tại U B(x) sao cho x U V. 4 1.5. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X . Dãy { x n : n N } đợc gọi là hội tụ về điểm x, nếu với lân cận V bất kỳ của x thì bắt đầu từ lúc nào đó, các phần tử của dãy {x n } đều nằm trong V. Lúc đó, ta gọi x là điểm hội tụ của dãy {x n }. 1.6. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô và { x n : n N } là dãy trong X hội tụ về điểm x X. Khi đó, { x n : n N } {x} là tập compact. Chứng minh. Đặt A = { x n : n N } {x}. Giả sử { A : I } là một phủ mở của A, khi đó tồn tại 0 I sao cho x 0 A . Mà dãy {x n } hội tụ về x và 0 A là tập mở nên tồn tại n 0 N sao cho x n 0 A , với mọi n/n 0 . Do đó {x n : n / n 0 } {x} 0 A . Bây giờ với mỗi x i A, i =1, 2, , n 0 - 1, ta chọn A i { A : I } sao cho x i A i . Khi đó ta có { x n : n N } {x} ( 1n 1i i A = ) 0 A hay {A i : i = 1,2, ,n 0 - 1, 0 } là phủ mở hữu hạn của A, do đó A là tập compact. 1.7. Hệ quả. Cho không gian tôpô X và dãy { x n : n N } hội tụ về điểm x. Khi đó, { x n : n / m } {x} là tập compact, với m N nào đó. 1.8. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian tôpô và A X . Giao của họ tất cả các tập hợp đóng chứa A đợc gọi là bao đóng của tập hợp A. Ký hiệu A hay clA. 1.9. Nhận xét. Từ định nghĩa ta có (i) A là tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A. (ii) Tập A X là đóng khi và chỉ khi A = A. (iii) Nếu A B X thì A B . 1.10. Mệnh đề ([4]). Cho không gian tôpô X , A và B là những tập hợp con của X. Khi đó 5 (i) = . (ii) A A . (iii) BA = BA . (iv) A)A( = . 1.11. Hệ quả. Cho không gian tôpô X và họ {A i : i = 1, 2, , n} là họ hữu hạn các tập con của X. Khi đó n 1i i n 1i i AA == = . 1.12. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X và tập A X. Điểm x X đợc gọi là điểm giới hạn của tập A nếu mọi lân cận U x của x đều chứa một điểm khác x trong tập A. Kí hiệu A' là tập hợp tất cả các điểm giới hạn của X. 1.13. Nhận xét. (i) Nh vậy x X là điểm giới hạn của A nếu với mọi U x là lân cận của x thì (U x \ {x}) A . (ii) Một điểm x không là điểm giới hạn đợc gọi là điểm cô lập . 1.14. Mệnh đề([3]). Tập con của không gian tôpô là đóng khi và chỉ khi nó chứa mọi điểm giới hạn của nó. 1.15. Hệ quả. A = A A'. 1.16. Mệnh đề. Cho không gian tôpô X và hai tập hợp con A, B của X. Khi đó (A B)' = A' B'. Chứng minh. Trớc hết, ta thấy rằng nếu A B thì A' B ' . Nh vậy, A (A B) và B (A B) nên A' (A B)' và B' (A B)'. Do đó, A' B' (A B)'. 6 Bây giờ, ta chứng minh (A B)' A' B'. Với x (A B)', theo định nghĩa ta có x ( ) { } x\BA mà ( ) { } x\BA = { } x\A { } x\B nên x A' hoặc x B'. Do đó, (A B)' A' B' . Nh vậy A' B' = (A B)' . Bằng quy nạp, ta có kết quả sau: 1.17. Hệ quả. Cho X là không gian tôpô và {A i : i = 1,2, , n} là họ hữu hạn các tập con của X. Khi đó ta có ' n 1i i n 1i i ' AA = == . 1.18 Mệnh đề([4]). Cho không gian tôpô X, khi đó điểm x X là điểm cô lập của X khi và chỉ khi {x} là tập mở. 1.19. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X. (i) Không gian X đợc gọi là T 1 - không gian, nếu mỗi phần tử x X thì {x} là tập đóng. (ii) Không gian X đợc gọi là T 2 - không gian (Hausdoff) nếu mỗi cặp điểm khác nhau x 1 , x 2 X, tồn tại một lân cận U của x 1 và một lân cận V của x 2 sao cho U V = . (iii) Không gian X đợc gọi là không gian chính quy nếu với mỗi điểm x X, mỗi tập đóng F sao cho x F, tồn tại các tập mở U và V sao cho x U, F V và U V = . (iv) Không gian X đợc gọi là T 3 - không gian nếu X là T 1 - không gian và chính quy. 1.20. Nhận xét. Nếu không gian tôpô X là T 3 - không gian thì nó là T 2 - không gian và nếu X là T 2 - không gian thì nó là T 1 - không gian. 7 1.21. Mệnh đề ([4]). Cho không gian tôpô X. Khi đó X là không gian chính quy khi và chỉ khi với mọi x X và U là tập mở chứa x, tồn tại tập mở V X sao cho x V U. 1.22. Định nghĩa. Cho X là không gian tôpô và U là một phủ của X. Phủ B của X đợc gọi là cái mịn của U nếu mỗi phần tử của phủ B đợc chứa trong phần tử nào đó của phủ U. 1.23. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là paracompact nếu nó là không gian chính quy và mỗi phủ mở của nó có cái mịn hữu hạn địa phơng mở. 1.24. Nhận xét. Không gian mêtric là không gian tôpô paracompact. 1.25. Mệnh đề. Giả sử Y là không gian con của không gian tôpô X với tôpô cảm sinh và x 0 là điểm hội tụ của dãy {x n } các phần tử của Y đối với tôpô trên X. Khi đó, nếu x 0 Y thì x 0 cũng là điểm hội tụ của dãy {x n } theo tôpô cảm sinh trên Y. Chứng minh. Để tiện trong chứng minh, ta gọi là tôpô trên X và họ các tập U = {U Y : U } là tôpô cảm sinh trên Y. Giả sử x 0 là điểm hội tụ của dãy {x n } các phần tử của Y đối với tôpô . Gọi V là một lân cận mở bất kỳ của x 0 đối với tôpô U. Khi đó, tồn tại lân cận U của x 0 trong X sao cho V = U Y. Vì x 0 là điểm hội tụ của dãy {x n } theo tôpô nên tồn tại n 0 N sao cho {x n : n n 0 } U. Do đó {x n : n n 0 } U Y = V. Vậy x 0 là điểm hội tụ của dãy {x n } đối với tôpô U. 1.26. Định nghĩa. Cho X, Y là hai không gian tôpô. a) ánh xạ f: X Y đợc gọi là ánh xạ liên tục, nếu nghịch ảnh của mỗi tập mở là một tập mở. 8 b) ánh xạ f: X Y đợc gọi là ánh xạ đóng (mở), nếu với mỗi tập đóng (mở) A X thì f(A) là tập đóng (mở) trong Y. 1.27. Mệnh đề([3]). Cho X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f: X Y. Khi đó, các mệnh đề sau tơng đơng (i) f liên tục. (ii) f - 1 (V) mở trong X, với mọi tập V mở trong Y. (iii) f -1 (V) đóng trong X, với mọi tập V đóng trong Y. (iv) f( A ) )A(f , với mọi tập A X. (v) )B(f)B(f 11 , với mọi tập B Y. 1.28. Nhận xét. Trong mệnh đề 1.27, khi f : X Y liên tục ta có: f( A ) )A(f . Vậy khi nào 2 tập bằng nhau. Ta có: 1.29. Mệnh đề. Nếu ánh xạ f : X Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y là ánh xạ liên tục và đóng. Khi đó: a) f( A ) = )A(f , với mọi tập A X. b) )B(f)B(f 11 = , với mọi tập B Y. Chứng minh. a) f( A ) = )A(f . Do f liên tục nên theo mệnh đề 1.27, ta có: f( A ) )A(f . (1) Mặt khác, do A A dẫn đến f(A) f( A ), suy ra )A(f)A(f . Theo giả thiết, f là ánh xạ đóng mà A là tập đóng nên )A(f cũng là tập đóng, do đó )A(f)A(f = . Vậy )A(f)A(f (2) Từ (1) và (2) ta có: f( A ) = )A(f . b) )B(f)B(f 11 = . Theo mệnh đề 1.27 và do f liên tục nên )B(f)B(f 11 . (3) Hơn nữa, theo câu a )A(f)A(f với mọi A X, lấy A = f - 1 (B), khi đó ( ) ))B(f(f)B(ff 11 , hay ))B(f(fB 1 , suy ra )B(f)B(f 11 . (4) Từ (3) và (4) ta có )B(f)B(f 11 = . 9 1.30. Mệnh đề([2]). Nếu X là không gian paracompact, Y là không gian tôpô và f: X Y là ánh xạ toàn ánh, liên tục, đóng thì mỗi tập compact trong Y là ảnh của một tập compact trong X. 1. 31. Định nghĩa. Cho không gian tôpô ( X, ). Trên X ta đa vào một quan hệ t- ơng đơng R. Khi đó, ta thu đợc tập thơng X/ R = {[x] : x X }. Xét ánh xạ : X X/ R x [x] Đặt R = { V : 1 (V) mở trong X }. Khi đó, R là một tôpô trên X/ R. Ta gọi R là tôpô thơng và (X/ R, R ) đợc gọi là không gian thơng. Ký hiệu 1 S là không gian thơng thu đợc từ tổng tôpô của 1 dãy hội tụ không tầm thờng bằng cách đồng nhất tất cả các điểm giới hạn của 1 dãy đó. 10 . Đ5. Không gian với k - lới - b o tồn bao đóng di truyền 23 Đ6. Không gian với cs - lới - b o tồn bao đóng di truyền 27 K t luận 31 Tài liệu tham kh o 32. b o tồn bao đóng di truyền. Trong phần này, chúng tôi bắt đầu giới thiệu các khái niệm k - lới, khái niệm b o tồn bao đóng di truyền ( hereditarily closure