Lời mở đầu Một trong những điều kiện đủ để chứng minh một k-mặt S là cực tiểu đồng đều là tồn tại một k-dạng vi phân đóng có đối khối lợng bằng 1 sao cho không gian tiếp xúc của S trùng với hớng cực đại của . Nh vậy việc tìm kiếm các mặt cực tiểu đồng điều liên quan chặt chẽ đến việc khảo sát đối khối lợng của các k-đối vectơ, cùng với hớng cực đại của chúng. Đã có tác giả nghiên cứu về khối lợng và đối khối lợng nh Hoàng Xuân Huấn ([2], 1994), H.Federer([1], 1969) . Một trong những phơng pháp nghiên cứu là quy các dạng bậc cao thành tích các dạng bậc thấp và tìm mối liên hệ giữa chúng, cụ thể là khảo sát mối tơng quan giữa các đại lợng & , vấn đề này đang đợc nhiều tác giả quan tâm. Trong dòng thời sự đó, chúng tôi quan tâm đến việc khảo sát khối lợng và đối khối lợng của một số dạng trong các không gian R 3 , R 4 . Luận văn này gồm 5 mục (Đ): Đ1.Đ2 Dành cho việc xây dựng các không gian k V và k V. Kí hiệu V là không gian Ơclit n-chiều với tích vô hớng, k V và k V là không gian vectơ các k-đối vectơ và k-vectơ tơng ứng trên V. Tích vô hớng trên V cảm sinh tích vô hớng trên k V và k V. Kí hiệu . là chuẩn tơng ứng trên k V và k V. Tích ngoài của k-vectơ u và h-vectơ v trên V là một (k + h)-vectơ kí hiệu là u v ta có các bất đẳng thức: 1) Nếu k V, k V mà thì . 2) Nếu k V, h V mà k + h = n thì . 3) Nếu k V, h V mà k + h < n thì Đ3 Dành cho việc định nghĩa khối lợng và đối khối lợng của k-vectơ và k-đối vectơ tơng ứng trên V. Đối khối lợng * của k-đối vectơ đợc định nghĩa bởi: 3 )1( * = *** . 2 n k < + .C k hk đơn Khi đó ta có bất đẳng thức: Khối lợng của k-vectơ trên V đợc định nghĩa: Khi đó: Đ4 Dành cho việc trình bày toàn bộ các kết quả chúng tôi thu đợc xung quanh việc khảo sát khối lợng và đối khối lợng của một số dạng trong các không gian R 3 , R 4 . Chúng tôi đã thu đợc các mệnh đề sau đây: Mệnh đề: Không gian 2 R 3 là không gian các 2-đối vectơ đơn. Mệnh đề: Không gian 2 R 3 là không gian các 2-vectơ đơn. Mệnh đề: Không gian 3 R 4 là không gian các 3-đối vectơ đơn. Mệnh đề: Không gian 3 R 4 là không gian các 3-vectơ đơn. Đ5 Dành cho việc giả quyết một số ví dụ vận dụngcác tính chất đã nêu trên để tính khối lợng, đối khối lợng của một vài trờng hợp. Luận văn nàyđợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh. Chúng tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hớng dẫn - Thạc sĩ Trơng Chí Trung, ngời đã đặt bài toán và dẫn dắt chúng tôi thực hiện luận văn này. Chúng tôi chân thành cảm ơn trờng Đại học Vinh, Khoa Toán và các thầy, cô giáo thuộc bộ môn Hình Học của trờng đã tạo điều kiện cho chúng tôi hoàn thành nhiệm vụ. Tác giả 4 1},,V:)(sup{ k * == }1,V:)(sup{ * k == V,V;.)2 V;)C()1 hk k 2 1 k n V,V; C)2 V;)C()1 hk ** k hk * k * 2 1 k n + Đ1. Không gian k V. Giả sử V là không gian vectơ Ơclit n-chiều với tích vô hớng, {e 1 , ., e n } là cơ sở trực chuẩn của V, kí hiệu V là không gian đối ngẫu của V, {e 1 , ., e n } là cơ sở của V đối ngẫu với cơ sở {e 1 , ., e n } của V. Kí hiệu V k là tích Đềcác bậc k của không gian vectơ V, M là không gian vectơ nào đó. ánh xạ k-tuyến tính f : V k M đợc gọi là thay phiên ( hay phản đối xứng) nếu khi đổi chỗ hai biến bất kỳ và giữ nguyên vị trí các biến còn lại thì f đổi dấu. 1.1. Định nghĩa. ánh xạ k-tuyến tính thay phiên : V k R đợc gọi là một k- đối vectơ ( hay k-côvectơ) trên không gian vectơ V. 1.2. Ví dụ. Cho 1 , ., k V , xét ánh xạ 1 . k : V k R (v 1 , ., v k ) 1 . k (v 1 , ., v k ) = det[ i ( v j )]. Khi đó do tính chất của định thức nên dễ thấy rằng 1 . k là ánh xạ k-tuyến tính. Mặt khác, với bất kỳ v 1 , ., v k V ta có 1 (v 1 ) . 1 (v i ) . 1 (v j ) . 1 (v k ) 1 . k (v 1 , ., v i , ., v j , ., v k ) = det 2 (v 1 ) . 2 (v i ) . 2 (v j ) . 2 (v k ) . k (v 1 ) . k (v i ) . k (v j ) . k (v k ) 1 (v 1 ) . 1 (v j ) . 1 (v i ) . 1 (v k ) = - det 2 (v 1 ) . 2 (v j ) . 2 (v i ) . 2 (v k ) . k (v 1 ) . k (v j ) . k (v i ) . k (v k ) = - ( 1 . k )( v 1 , ., v j , ., v i , . v k ). 5 Vậy 1 . k là một ánh xạ k-tuyến tính thay phiên và do đó 1 . k là k- đối vectơ trên không gian vectơ V. 1.3. Định nghĩa. k- đối vectơ trên không gian vectơ V đợc gọi là k- đối vectơ đơn ( hay k- đối vectơ phân tích đợc) nếu biểu thị đợc dới dạng = 1 . k , trong đó i V , i = 1, k. Nhận xét: Nếu họ { 1 , ., k } phụ thuộc tuyến tính thì = 0. 1.4. Định lý. Kí hiệu: k V là tập hợp các k- đối vectơ trên không gian vectơ V. Trên k V ta đa vào các phép toán: Với , k V; R thì + k V và k V và chúng đợc xác định bởi: ( + )(v 1 , ., v k ) = (v 1 , ., v k ) + (v 1 , ., v k ) ()(v 1 , ., v k ) = . (v 1 , ., v 2 ) đối với bất kì v i V, i = 1, k. Khi đó k V cùng với hai phép toán trên trở thành một không gian vectơ trên trờng số thực. Chứng minh. Để chứng minh k V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ trên trờng số thực, ta kiểm tra 8 tiên đề về không gian vectơ. * Xét ánh xạ o : V k R (v 1 , ., v k ) o(v 1 , .,v k ) = 0; v i V, i = 1, k. Với k V và ánh xạ o đợc xác định nh trên, khi đó: ( + o)(v 1 , ., v k ) = (v 1 , ., v k ) + o(v 1 , ., v k ) = (v 1 , ., v k ) + 0 = (v 1 , ., v k ); v i V, i = 1, k. + o = . Vậy phần tử không trong k V là o. 6 * Với k V , xét ánh xạ - : V k R (v 1 , ., v k ) (-)(v 1 , ., v k ) = - (v 1 , .,v k ); v i V, i = 1, k. Khi đó [ + (-)](v 1 , ., v k ) = (v 1 , ., v k ) + (-)(v 1 , ., v k ) = (v 1 , ., v k ) - (v 1 , ., v k ) = 0 = o(v 1 , ., v k ); v i V, i = 1, k. + (-) = o. Vậy phần tử đối của là (-). * Với , k V, R ta xét ( + )(v 1 , ., v k ) = [( + )(v 1 , ., v k )] = [ (v 1 , ., v k ) + (v 1 , .,v k )] = (v 1 , ., v k ) + (v 1 , ., v k )] = ()(v 1 , ., v k ) + ()(v 1 , ., v k ) = ( + )(v 1 , ., v k ); v i V, i = . ( + ) = + . Dễ dàng kiểm tra các tiên đề còn lại sau: * + = + . * ( + ) + = + ( + ). * ( + ) = + . * () = (). * 1. = . Với , , k V; , R. Kết luận: k V là không gian vectơ trên trờng số thực R. 1.5.Mệnh đề. Giả sử V là không gian vectơ n-chiều, E = {e 1 , ., e n } là cơ sở của V và E = {e 1 , ., e n } là cơ sở của V , đối ngẫu với cơ sở E. Khi đó tập hợp 7 k,1 {e i1 . e ik 1 i 1 < . < i k n, 1 k n} là một cơ sở của không gian vectơ k V và do đó dim k V = C n k . Chứng minh: Do tính đa tuyến tính của tích , không gian vectơ k V đợc sinh bởi các vectơ e i1 . e ik , với 1 i 1 < . < i k n. Giả thiết ta cho 1 k n. Giả sử (1) trong đó ( i ) = ( i 1 , ., i k ), 1 i 1 < . < i k n, a (i) R. Với mỗi bộ chỉ số cố định ( j ) = ( j 1 , ., j k ) thoả mãn j 1 < . < j k ta chọn j k+1 , ., j n sao cho ( j 1 , ., j k , j k+1 , ., j n ) là một hoán vị nào đó của ( 1, ., n ). Nhân ngoài hai vế của đẳng thức (1) với ta đợc một tổng với hầu hết các số hạng bằng 0 vì có các chỉ số trùng lặp, loại trừ một số hạng duy nhất với các chỉ số không trùng lặp hay là a ( i ) e 1 . e n = 0. Do đó a (i) = 0. { 1 i 1 < . < i k n, 1 k n} độc lập tuyến tính. Vậy, { 1 i 1 < . < i k n, 1 k n} là cơ sở của không gian vectơ k V. Nhận xét: i, Nếu k > n thì k V = 0. ii, Quy ớc 0 = R , 1 V = V . 1.6. Định nghĩa. Giả sử k V và h V là các không gian k- đối vectơ và h- đối vectơ. Tích ngoài của k- đối vectơ k V và h- đối vectơ h V, kí hiệu là thoả mãn các tính chất sau: 1) ( + ' ) = + ' ; , ' k V; h V. 2) ( + ' ) = + ' ; k V; , ' h V. 3) Nếu = 1 . k và = 1 . h trong đó i và i V thì: 8 0e .ea * i )i( * i)i( k1 = * j * j n1k e .e + * j * j * i * i)i( n1kk1 e .ee .ea + 0e .ee .ea * j * j * j * j)i( n1kk1 = + * i * i k1 e .e * i * i k1 e .e = 1 . k 1 . h . 1.7. Mệnh đề. Xét tổng trực tiếp V = 0 V + 1 V + . + n V. Khi đó với bất kì , ' V đều có biểu diễn = 0 + 1 + . + n , ' = ' 0 + ' 1 + . + ' n , trong đó i , ' i i V, i = 0, n. Đa vào phép nhân ngoài ' V nh sau: Lúc đó V trở thành một đại số và gọi là đại số ngoài trên không gian vectơ V 1.8.Định nghĩa. Giả sử: Tích vô hớng của và kí hiệu là . xác định bởi: Khi đó nếu = 0 thì . > 0 và từ đó xác định đợc chuẩn của là: = ( .) 1 /2 . Rõ ràng với tích vô hớng và chuẩn xác định nh trên thì cơ sở {e i1 . e ik 1 i 1 < . < i k n} trở thành cơ sở trực chuẩn của không gian vevtơ k V. 9 * i * i ni .i1 i .i k1 k1 k1 e .e = << * i * i ni .i1 i .i k1 k1 k1 e .e = << k1 k1 k1 i .i ni .i1 i .i . = << = = = n 1i n 1j ji .'' Đ 2. Không gian k V. 2.1. Định nghĩa. ánh xạ k-tuyến tính thay phiên : (V ) k R đợc gọi là một k-vectơ trên không gian vectơ V. 2.2. Ví dụ. Giả sử v 1 , ., v k V, xét ánh xạ v 1 . v k : (V ) k R ( 1 , ., k ) (v 1 . v k )( 1 , ., k ) = det [v i ( j )], trong đó v i ( j ) = j (v i ), i, j = . Khi đó dễ dàng kiểm tra đợc ánh xạ v 1 . v k là một ánh xạ k-tuyến tính thay phiên. Do vậy v 1 . v k là k-vectơ trên V. 2.3. Định nghĩa. k-vectơ trên không gian vectơ V đợc giọi là k-vectơ đơn nếu biểu diễn đợc dới dạng = v 1 . v k , trong đó v i V, i = . Nhận xét: Mọi k-vectơ trên V bao giờ cũng phân tích đợc thành tổng các k-vectơ đơn. 2.4. Định lí. Kí hiệu: k V là tập hợp các k-vectơ trên không gian vectơ V. Trên k V ta đa vào các phép toán sau: Với u, v k V, R thì u+v k V và u k V và chúng đợc xác định bởi: (u+v)( 1 , ., k ) = u( 1 , ., k ) + v( 1 , ., k ). (u)( 1 , ., k ) = .u( 1 , ., k ). Khi đó k V cùng với hai phép toán trên trở thành một không gian vectơ gọi là không gian các k-vectơ trên V. 2.5. Mệnh đề. Giả sử V là không gian vectơ n- chiều, E = {e 1 , ., e n } là cơ sở của V. Khi đó tập hợp {e i1 , ., e ik 1 i 1 < . < i k n, 1 k n} là một cơ sở của không gian k V và do đó dim k V = C n k . 10 k,1 k,1 Nhận xét: i) Nếu k > n thì k V = 0. ii) Quy ớc: 0 V = R, 1 V = V. 2.6. Định nghĩa. Giả sử p V và q V là không gian vectơ các p-vectơ và q-vectơ trên không gian vectơ V, u p V và v q V. Tích ngoài của u và v là (p+q)-vectơ, kí hiệu u v, thoả mãn các tính chất: 1) (u + u') v = u v + u' v; u, u' p V, v q V. u (v + v') = u v + u v'; u p V và v, v' q V. 2) (ku) v = ku v; k R, u p V, v q V. 3) Nếu u = u 1 . u p , v = v 1 . v n thì u v = u 1 . u p v 1 . v q. Nhận xét: Nếu u là p-vectơ đơn và v là q-vectơ đơn trên V thì u v là (p + q)- vectơ đơn. 2.7. Mệnh đề. Xét tổng trực tiếp V = 0 V + 1 V + . + n V. Khi đó với bất kỳ u, u' V đều có biểu diễn u = u 0 + u 1 + . + u n , u' = u' 0 + u' 1 + . + u' n , trong đó u i , u' i i V, i = Đa vào phép nhân ngoài u u' V nh sau: Lúc đó V trở thành một đại số và đợc gọi là đại số ngoài trên không gian vectơ V. 2.8. Định nghĩa. Giả sử: Tích vô hớng của u và v kí hiệu là u.v đợc xác định: 11 Ve .evv Ve .euu pii ni .i1 i .i pii ni .i1 i .i p1 p1 p1 p1 11 p1 = = << << n,0 = = = n 1i n 1j ji .'uu'uu Khi đó nếu u = v 0 thì u.v > 0 và ta có chuẩn của u là u = (u.u) 1/2 . Với tích vô hớng và chuẩn xác định nh trên thì {e i1 . e ip 1 i 1 < . < i p n, 1 p n} là một cơ sở trực chuẩn của không gian p V. 2.9. Mệnh đề. Nếu k R n , k R n và nếu thì: . . Chứng minh: Giả sử: = (a i1 .ik ), = (b i1 . ik ) là toạ độ của và đối với cơ sở {e i1 . e ik 1 i 1 < . < i k n, 1 k n}. Khi đó 2k R n có toạ độ gồm C n 2k thành phần. Mỗi thành phần là một tổng có dạng (i,j)(a i1 . ik b j1 . j k ), trong đó các bộ chỉ số i 1 , ., i k và j 1 , ., j h thoả mãn: i) (i,j) là dấu của phép thế: ii) 1 i 1 < . < i k n; 1 j 1 < . <j n n. {i 1 , ., i k } {j 1 , ., j k } = . Bằng khai triển và ớc lợng các số hạng ta có: 2 . 2 - 2 = a 2 i1 . ik b 2 j1 . jk - ( (i,j)(a i1 . ik b j1 . jk )) 2 = ( a i1 . ik b j1 . j k ) 2 0. Vậy: . . 2.10. Mệnh đề: Nếu k R n , h R n và nếu k + h = n thì: . . 12 << = ni .i1 i .ii .i p1 p1p1 vuv.u + k1k1 j .j i .i k2 .1kk .1 2 n k < . Khối lợng và đối khối lợng của một số dạng. Trong mục này, dựa vào những kiến thức về khối lợng và đối khối lợng, chúng tôi kháo sát khối lợng và đối khối. Đ3 Dành cho việc định nghĩa khối lợng và đối khối lợng của k-vectơ và k -đối vectơ tơng ứng trên V. Đối khối lợng * của k -đối vectơ đợc định nghĩa bởi: