Mục lục Trang Mở đầu 3 Chơng I: Phơng trình quang học trong sự gần đúng của nguyên tử hai mức 7 1.1. Phơng trình ma trận mật độ với nguyên tử hai mức 7 1.1.1. Khái niệm ma trận mật độ 7 1.1.2. Phơng trình ma trận mật độ 10 1.1.3. Phơng trình ma trận mật độ với nguyên tử hai mức 11 1.2. Phơng trình quang học Bloch 13 1.3. Phơng trình quang học hiệu dụng 18 1.3.1. Nhiễu trong quá trình vật lý 18 1.3.2. Phơng trình quang học Bloch hiệu dụng 22 1.3.3. Ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có thăng giáng pha 25 Chơng II: Những tính chất phi tuyến trong nguyên tử hai mức 28 2.1. Độ cảm điện môi khi có mặt trờng đơn sắc 28 2.2. Sự phụ thuộc phi tuyến của thời gian hồi phục vào trờng kích thích mạnh 36 2.2.1. Thời gian phục hồi dọc 1 T khi có nhiễu của vận tốc pha 36 2.2.2. Thời gian phục hồi ngang 2 T khi có nhiễu của vận tốc pha 41 2.3. Phổ huỳnh quang cộng hởng khi có mặt nhiễu vận tốc pha trong trờng kích thích mạnh 45 2.3.1. Mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng 45 2.3.2. Mật độ phổ công suất huỳnh quang khi có thăng giáng của vận tốc pha 47 Kết luận chung 51 Tài liệu tham khảo 52 Bảng các ký hiệu ( ) sA /1 : Hệ số Einstein, đặc trng cho sự suy giảm tự phát từ mức b xuống mức a . )/1( sD : Hệ số khuyếch tán. )( 1 sT : Thời gian phục hồi của hiệu mật độ c trú giữa hai mức năng lợng, thông th- ờng còn đợc gọi là thời gian phục hồi dọc. )( 2 sT : Thời gian phục hồi cho phép chuyển lỡng cực, thông thờng còn đợc gọi là thời gian phục hồi ngang. 1 ( ) sa /1 : Biên độ của nhiễu. )(s C : Thời gian kết hợp của nhiễu. )/1( 1 s C = . )/1( 0 s : Tần số chuyển mức trong nguyên tử. )/1( 1 s : Tần số của trờng ánh sáng laser. 01 )/1( = s : Độ lệch tần số. )/1( s : Tần số Rabi, liên quan đến cờng độ trờng laser. )/1( * s : Liên hợp phức của . )(t mn : Thông số đặc trng cho phép chuyển lỡng cực giữa mức m và mức n . wvu ,, : Ba thành phần của vectơ Bloch )(tV . )/1( s : Hiệu tần số của ánh sáng huỳnh quang với tần số của ánh sáng huỳnh quang tại đỉnh cộng hởng chính. )( S : Mật độ phổ công suất. : Ma trận suy giảm ngẫu nhiên. Mở đầu Tơng tác giữa trờng điện từ với môi trờng đã đang và sẽ đợc quan tâm nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau. Một trong những loại tơng tác ngời ta tập trung nghiên cứu nhiều hơn cả trong thời gian qua là tơng tác giữa trờng ánh sáng và môi trờng vật chất. H. A. Lorentz đã đề xuất mẫu tơng tác trờng ánh sáng với vật chất là trờng tuyến tính, từ đó ông đã hệ thống hoá và giải thích đợc các hiện tợng quang học nh: khúc xạ, tán xạ, hấp thụ, truyền qua v.v . Tuy nhiên cùng với sự phát triển của 2 khoa học kỹ thuật, nhiều hiện tợng mới liên quan đến tơng tác của ánh sáng với môi trờng đợc phát hiện đòi hỏi phải có những sự giải thích chính xác và có sức thuyết phục hơn. Chẳng hạn cuối thế kỷ thứ XIX, chúng ta gặp phải cái gọi là thảm hoạ tử ngoại, khi sử dụng các công thức của Rayleigh - Jean về mật độ phổ bức xạ của vật đen tuyệt đối. Để giải thích các kết quả thực nghiệm, Max Planck, vào năm 1990 cho rằng bức xạ điện từ đợc phát ra dới dạng các lợng tử năng lợng. Sử dụng quan niệm này, Planck đã đa ra đợc công thức về mật độ bức xạ phù hợp với thực nghiệm cả ở những vùng tần số thấp và cả ở vùng tần số cao, nghĩa là giải thích đợc và sao không có cái gọi là thảm hoạ tử ngoại. Các quá trình hấp thụ và phát xạ ánh sáng của môi trờng vật chất đã đợc giải thích bằng lý thuyết trên cơ sở mẫu Lorentz và lý thuyết cổ điển khi xem vật chất là tập hợp các lỡng cực dao động tắt dần, hoặc bằng lý thuyết bán cổ điển khi xem vật chất là tập hợp các hệ nguyên tử ( phân tử) có các mức năng lợng xác định. Tuy nhiên, các kết quả tính toán bằng lý thuyết về mật độ bức xạ tơng tác giữa trờng ánh sáng với môi trờng ( biểu thức Planck) có sự sai khác so với các kết quả thực nghiệm. Lý do của sự sai khác đó là do ngời ta cho rằng quá trình hấp thụ hay bức xạ ánh sáng là kết quả của sự chuyển mức năng lợng trong hệ nguyên tử, trong đó quá trình bức xạ chỉ là quá trình ngẫu nhiên ( tự phát) mà thôi. Nhằm mục đích giải thích sự sai khác đó, năm 1917 trong một số công trình khoa học của mình, Albert Einstein đã chỉ ra rằng trong quá trình tơng tác giữa trờng ánh sáng và môi trờng không chỉ có sự hấp thụ, sự phát xạ ngẫu nhiên mà còn xuất hiện cả bức xạ cỡng bức ( cảm ứng). Chính phát minh này đã mở ra giai đoạn phát triển mới trong lĩnh vực quang học, đó là: nghiên cứu tơng tác cộng hởng của trờng ánh sáng với môi trờng, nghiên cứu quá trình khuyếch đại ánh sáng bởi môi trờng, nghiên cứu quá trình phát bức xạ ánh sáng kết hợp (laser) bởi môi trờng hoạt tính trong buồng cộng hởng và tiếp theo đó là nghiên cứu các quá trình quang phi tuyến trong môi trờng điện môi nh: nhân tần số, phát thông số, hấp thụ hai phôtôn, tán xạ Raman c- ỡng bức, .v.v. Tất cả các quá trình trên đều là kết quả của tơng tác kết hợp, có 3 mật độ công suất lớn với môi trờng vật chất. Để mô tả và giải thích các quá trình hay hiện tợng trên, các tác giả đã sử dụng các lý thuyết khác nhau: cổ điển, bán cổ điển và lợng tử thông qua các phơng trình truyền sóng: phơng trình dao động tắt dần, phơng trình Maxwell, phơng trình Schrodinger. Đặc biệt trong vài chục năm trở lại đây, khi khảo sát các quá trình cộng hởng quang, về mặt lý thuyết, nhiều tác giả đã sử dụng phơng trình Bloch quang học và thu đợc những kết quả khá phù hợp với thực nghiệm. Có thể khẳng định rằng hiện nay phơng pháp này là một trong những phơng pháp hiệu quả nhất để nghiên cứu tơng tác của trờng laser với hệ lợng tử. Nhờ sự ra đời của các máy khuyếch đại lợng tử (laser), một lĩnh vực hoàn toàn mới về tơng tác cộng hởng của bức xạ với các môi trờng vật chất ra đời. Các ánh sáng laser nhờ có tính chất kết hợp và đơn sắc khá lý tởng đã trở thành công cụ rất hữu hiệu trong việc nghiên cứu các hiệu ứng vật lý xảy ra cực nhanh trong các hệ nguyên tử. Tuy nhiên, các ánh sáng này vẫn không thể đợc xem là nguồn hoàn toàn đơn sắc vì phổ của chúng vẫn có một độ rộng nhất định nào đó, việc nghiên cứu ảnh hởng của các độ rộng phổ này lên các hiệu ứng khác nhau là hết sức cần thiết và không thể bỏ qua. Khi để ý một cách đầy đủ đến độ rộng phổ laser, chúng ta phải sử dụng lý thuyết lợng tử, đáng tiếc là việc áp dụng lý thuyết này gặp phải khá nhiều phức tạp về mặt tính toán. Chính vì lẽ đó ngời ta đã đề xuất một hớng giải quyết khá đơn giản bằng cách cho rằng trong tơng tác của trờng với hệ thì tr- ờng đợc xem là một nguồn bên ngoài, đồng thời nguồn này thăng giáng một cách ngẫu nhiên thống kê. Khi đó, phơng trình diễn tả sự thay đổi của các thông số của hệ trở thành những phơng trình vi phân ngẫu nhiên. Nhờ việc lấy trung bình các phơng trình này, ngời ta tìm đợc ảnh hởng của thăng giáng, (tức độ rộng vạch phổ) lên sự thay đổi của các thông số mà ta quan tâm. Một hệ lợng tử có vô số mức năng lợng do đó việc nghiên cứu nó rất phức tạp. Tuy nhiên trong nhiều trờng hợp hệ nguyên tử có thể đa đợc về sự gần đúng nguyên tử hai mức vì những tính chất cơ bản của hệ lợng tử này đã đợc phản ánh 4 ( về nguyên tắc) đủ để đặc trng cho các tính chất cơ bản của hệ. Khi khảo sát các hệ khác, ta chỉ hiệu chỉnh các kết quả đạt đợc ở hệ hai mức. Do đó trong đề tài này tác giả xét sự gần đúng đối với nguyên tử hai mức. Khi xét tơng tác giữa trờng điện từ với nguyên tử thì phụ thuộc vào tính chất của trờng mà các đại lợng đặc trng thay đổi. Nếu trờng yếu thì sự thay đổi các đại lợng chỉ ở gần đúng bậc một. Khi trờng mạnh nếu chỉ dừng ở sự gần đúng bậc một thì cha phản ánh đợc hết các đặc trng của trờng kích thích mạnh đối với nguyên tử. Do đó ta phải xét thêm hệ bậc cao, lúc này xuất hiện sự phụ thuộc phi tuyến của các thông số của môi trờng lên trờng kích thích. Trong trờng hợp này ta chỉ cần khảo sát sự gần đúng hai mức khi trờng tơng tác đủ mạnh rồi hiệu chỉnh các kết quả đạt đợc khi áp dụng cho các hệ khác. Do vậy chúng tôi chọn đề tài Khảo sát một số hiệu ứng phi tuyến xuất hiện trong các nguyên tử đợc làm gần đúng hai mức khi có trờng điện từ kích thích mạnh. Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm hai chơng và phần kết luận. Trong chơng I, chúng tôi trỡnh by tng quan v ma trận mt , đa ra đợc phơng trình quang học Bloch hiệu dụng mô tả quá trình tơng tác của trờng laser với hệ lợng tử hai mức năng lợng khi có mặt nhiễu. Trong chng II, chúng tụi kho sỏt nh hng ca trng in t lờn cm in mụi ca mụi trng, lên thời gian hồi phục và phổ huỳnh quang cộng h- ởng khi có nhiễu vận tốc pha trong trờng kích thích mạnh. Vỡ s cú mt ca trng kớch thớch mnh nờn chỳng ta cn chỳ ý n nhng s hng bc cao cha tn s Ra bi (do tn s ny t l vi trng in / 0 dE = ). iu ny cng cú ngha l nhng s thay i ca cỏc i lng c trng cho mụi trng u c biu hin di dng cỏc hiu ng phi tuyn. 5 Chng 1 Phơng trình quang học trong sự gần đúng nguyên tử hai mức 1.1. Phng trình ma trn mt i vi nguyên t hai mc 1.1.1 Khái nim ma trn mt Từ cơ học lợng tử, chúng ta thấy rằng khi xem xét một hệ lợng tử, ta cần xử lý hai loại bất định. Loại bất định thứ nhất thể hiện ở chỗ không thể đo chính xác đồng thời một cặp đại lợng vật lý khi các toán tử tơng ứng của chúng không giao hoán. Loại bất định thứ hai xảy ra khi chúng ta không có thông tin đẩy đủ để xác định trạng thái của hệ lợng tử. Điều này có nghĩa là thông tin đợc biết về hệ không 6 cho phép chúng ta xác định chính xác hàm sóng của nó. Loại bất định này sẽ đợc xử lý bằng cách dùng ma trận mật độ ( đôi khi còn đợc gọi là toán tử ma trận mật độ). Nh vậy, hình thức luận ma trận mật độ là một phơng pháp dùng để tính giá trị kỳ vọng của các toán tử trong trờng hợp không biết hàm sóng một cách chính xác. Để đa vào khái niệm ma trận mật độ chúng ta hãy xét một hệ lợng tử. Trạng thái của hệ đợc đặc trng bởi hàm sóng ),( tr . Hàm sóng ),( tr đợc khai triển qua các hàm riêng )(rU n với các giá trị riêng )(tC n : = n nn rUtCtr )()(),( (1.1) ở đây )(tC n , )(rU n tơng ứng là trị riêng và hàm riêng của một toán tử A đợc đặc trng cho một đại lợng vật lý nào đó, nghĩa là: )(),( )()()( rUACtrA rUtCrUA n n n nnn = = Ký hiệu giá trị trung bình của đại lợng vật lý A trong trạng thái ),( tr là: A thì ( ) ( ) trAtrA ,, = . Ta có: == mn nnmm mn nmnm CrUArUtCrUArUtCtCtrAtr , * , * )()()()()()()(),(),( = mn nmnm tCAtC , * )()( Nh vậy là: = nm nmnm CACA , * (1.2) Nu chỳng ta khụng bit trng thỏi chớnh xỏc ca h thỡ s thiu thụng tin ny s c phn ỏnh trong bt nh v giỏ tr ca n C trong khai trin ca ( ) t,r . Tuy nhiờn, nu nh chỳng ta cú y thụng tin tớnh c giỏ tr trung bỡnh theo tp hp ca n * m CC v c ký hiu l: n * m CC thỡ chỳng ta cú th 7 tính được giá trị trung bình của giá trị kỳ vọng. Cụ thể giá trị trung bình của kỳ vọng của một toán tử A được xác định như sau: mn n,m n * m ACCA ∑ = . (1.3) Sẽ là thuận tiện nếu ta ký hiệu: nmnm CC * = ρ . (1.4) Ma trận được tạo bởi các giá trị nm ρ được gọi là ma trận mật độ. Như vậy: ( ) ( ) ∑∑∑ ==== nm nmmn nm nmmn nm nm ATrAAACCA ,,, * ρρρ . (1.5) Phép tính này gọi là phép tính lấy vết của ma trận. Do n * mnm CC =ρ nên * nmnm ρ=ρ vì vậy ρ là ma trận tự liên hợp. Một kết quả quan trọng khác đó là ( ) 1 ==ρ ∑ m m * m CCATr . Kết quả này được suy ra từ điều kiện chuẩn hóa. Kiểu lấy trung bình ở trên với một gạch ngang ở trên đầu là lấy trung bình theo tập hợp. Quá trình lấy trung bình theo tập hợp về mặt vật lý có thể giải thích như sau: Người ta tạo ra một tập hợp gồm N hệ (N đủ lớn) sao cho các hệ này gần như đồng nhất với nhau, theo mức độ mà các thông tin không đầy đủ có được cho phép. Sau đó để các hệ này tiến hóa theo thời gian. Như vậy, mỗi hệ được đặc trưng bởi một hàm trạng thái: ( ) ( ) ( ) ( ) rUtCt,r n n j nj  ∑ =Ψ , với N, ,,j 21 = . Khi đó trung bình theo tập hợp của n * m CC sẽ được tính theo công thức sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ = ==ρ N j j n *j mn * mnm tCtC N tCtCt 1 1 . Khi đó trung bình theo tập hợp chính là trung bình trên tất cả N hệ. 8 Theo cách lý giải vật lý đó thì ma trận mật độ biểu diễn một số khía cạnh xác suất của tập hợp đang xét với phần tử đường chéo nn ρ chính là xác suất để một trong các hệ đó ở trạng thái ( ) rU n  . Các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng trung bình theo tập hợp của n * m CC , nó có liên quan với lưỡng cực phát xạ của tập hợp các hệ đang xét. Chúng ta cũng có thể biểu diễn các biểu thức dạng toàn phương n * m CC ở trên đơn giản sẽ là các phần tử ma trận của toán tử ΨΨ được phản ánh thông qua véctơ két của hàm sóng Ψ . Thực vậy, chúng ta có: n * mnm CCuu =ΨΨ . Bởi vậy một lẽ rất tự nhiên là chúng ta đồng nhất các thành phần của ma trận toán tử ΨΨ với các thành phần của toán tử mật độ ở trên, nghĩa là: ΨΨ=ρ . Như ở trên đã trình bày, trong cơ sở của { } n u toán tử mật độ được biểu diễn bằng một ma trận, được gọi là ma trận mật độ với các thành phần: nmnmnm CCuu * == ρρ , ở đây chúng ta cần lưu ý rằng ma trận mn ρ là hermitic, tức là: ρ=ρ↔ρ==ρ + mnn * m * nm CC . Với những tính chất đặc biệt trên, toán tử ρ thoã mãn đầy đủ các đặc trưng trạng thái của một hệ lượng tử. Nói cách khác, toán tử mật độ ρ cho phép chúng ta thu được các tiên đoán vật lý từ Ψ . Cụ thể là chúng ta có thể diễn tả định luật bảo toàn xác suất, có thể tính giá trị trung bình của đại lượng cần đo hay có thể diễn tả sự tiến hóa theo thời gian của hệ lượng tử thông qua các yếu tố thành phần của toán tử ρ . Trước hết, chúng ta thấy rằng từ toán tử mật độ ta có thể tìm được dạng của định luật bảo toàn xác suất. Cụ thể là: 9 1 2 === TrC n nn n n . Rừ rng l tng ca cỏc phn t ng chộo ca ma trn mt bng 1. i vi giỏ tr trung bỡnh ca i lng cn o, chỳng ta cú cụng thc: { } ATrAACCAA nm nmmn nm nmm * n ==== . 1.1.2. Phơng trình ma trận mật độ. Hàm sóng của mỗi hệ trong tập hợp thoả mãn phơng trình Schrodinger, nên: ( ) trH t tr i , ),( = (1.6) = n nn n n n rHUtCrU t tC i )()()( )( Nhân vô hớng hai vế của phơng trình này với )(rU m , đồng thời dùng tính trực chuẩn của các hàm )(rU n ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mn n n n n nm n nnmn HtC t tC i rUHrUtCrUrUtC t i = = Vì )()()( * tCtCt nmnm = nên ta suy ra: t C C t C C t t n m m n nm + = * * )( . Do tính tự liên hợp của H , phơng trình trở thành: ],[ H i t = (1.7) Phơng trình (1.7) là phơng trình ma trận mật độ, nó đợc áp dụng để mô tả tơng tác của hệ nguyên tử với trờng bức xạ cũng nh để mô tả các quá trình phi tuyến khác. 1.1.3. Phng trình ma trn mt đối vi nguyên t hai mc S h hai mức cú dng 10 ab a b