Cơ học môi trường liên tục GVC Trần minh Thuậ n 58 Chương 4. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC I. Đạo hàm của thể tích: Tại t = 0 thể tích của phân tố ban đầu là hình khối chữ nhật: 321 3 3 2 2 1 1o dXdXdX edXedXedXdV ⋅⋅= ⋅×= ∧∧∧ Tại t = t: phân tố này bị biến dạng trong khi chuyển động. Trở thành phân tố với các cạnh là: () () ()                    =         =         = 3 3 i 3 i 2 2 i 2 i 1 1 i 1 i dX X x dx dX X x dx dX X x dx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Và thể tích là: () () () 3 i 2 i 1 iijk )3()2()1( dxdxdxxdxdxddV =∈⋅×= →→→ o321 3 k 2 j 1 i ijk dVJdXdXdX X x X x X x dV ⋅==∈ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ [4.1] Trong đó p i X x J ∂ ∂ = là định thức Jacoby. [4.2] Ta có: () () oo dV dt dJ JdV dt d dV dt d == [4.3] ( Vì dV o độc lập với t, nên () 0dV dt d o = ) Mặt khác: () 3,k2,j1,iijk xxx dt d J dt dJ ∈== • Suy ra:       ++=∈ •••• 3,k 2,j1,i3,k 2,j 1,i3,k2,j 1,i ijk xxxxxxxxxJ Mặt khác 1 ii 11 i 1,i X v dt dx XX x dt d x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =       =         = • 1,ii,i 1 i i i xv X x x v == ∂ ∂ ∂ ∂ Suy ra: () 3,k2,j1,ik,k3,k2,j1,ij,j3,k2,j1,ii,iijk xxxvxxxvxxxvJ ++=∈ • Để chọn các số hoán vị có giá trị ≠ 0, i ≠ j ≠ k chọn i = 1, j = 2, k = 3 , khai triển ta được: () JvJvJvJvJ s,s3,32,21,1 =++= • Vậy: →• ⋅= vdivJJ [4.4] () dV x v dVvdivJdV dt d i i o ∂ ∂ =⋅= → [4.5] II. Nguyên lý bảo toàn khối lượng - Phương trình liên tục: t = 0 dX 1 x 1 , X 1 x 2 , X 2 x 3 , X 3 2 e ) dx i (1) dx i (2) t = t 1 e ) 3 e ) dx i (3) dX 3 dX 2 Cơ học môi trường liên tục GVC Trần minh Thuậ n 59 1.Sự bảo toàn khối lượng: Một đặc trưng quan trọng trong môi trường vật chất liên tục là khối lượng. Đại lượng khối lượng chiếm 1 thể tích không gian V tại thời điểm t cho bởi tích phân: ∫       = → V dVt,xm ρ [4.6] Trong đó       → t,x ρ là hàm liên tục được gọi là khối lượng riêng. Định luật bảo toàn khối lượng phát biểu rằng khối lượng của 1 phần bất kỳ trong môi trường liên tục là hằng số: Tức là: 0dVt,x dt d dt dm V =       = ∫ → ρ [4.7] 2. Phương trình liên tục: Ta có: () ∫∫∫       +       =             =       → → →→ VVV dV dt d t,xdV dt t,xd dVt,x dt d dVt,x dt d ρ ρ ρρ mà: () dV x v dV dt d i i ∂ ∂ = ⇒ ∫∫                   ++       =       +       → → → → V i i V i i dV x v t,x dt t,xd dV x v t,xdV dt t,xd ∂ ∂ ρ ρ ∂ ∂ ρ ρ Vậy: ∫∫                   +       +       =                   +       == → →→ → → V i i i i V i i dV x v t,x x t,x v t t,x dV x v t,x dt t,xd dt dm 0 ∂ ∂ ρ ∂ ∂ρ ∂ ∂ρ ∂ ∂ ρ ρ Phương trình trên thỏa cho thể tích V bất kỳ, do đó dấu tích phân biến mất, ta có: 0vt,x dt t,xd i,i =       +       → → ρ ρ hay ký hiệu: 0v dt d =       ⋅∇+ → ρ ρ [4.8] được gọi là Phương trình liên tục . Hay dưới dạng khác: () 0v t i, i =+ ρ ∂ ∂ρ hay ký hiệu: 0v t =       ⋅∇+ → ρ ∂ ∂ρ Đối với môi trường liên tục không nén được, khối lượng riêng của mỗi phần tử là hằng số với thời gian nên: 0 dt d = ρ Suy ra: 0v i,i = hay 0vdiv = → [4.9] 3. Dạng vi phân Lagrange của phương trình liên tục: Ta có sự bảo toàn khối lượng: ∫∫       =       →→ VV oo dVt,xdV0,X o ρρ Thay vế phải: Cơ học môi trường liên tục GVC Trần minh Thuậ n 60 ∫ ∫∫ ⋅       = ⋅             =       → →→→ o oo V o V o V oo dVJt,X dVJt,t,XxdV0,X ρ ρρ Suy ra: J o ⋅= ρρ độc lập với thời gian t [4.10] Vậy: () 0J td d =⋅ ρ [4.11] III. Định lý động lượng tuyến tính - Phương trình chuyển động: Tại thời điểm t gọi b i là lực khối tác dụng trên 1 đơn vị khối lượng và t i n() ∧ (lực mặt) vectơ ứng suất. dt du v i i = : trường vận tốc. Động lượng tuyến tính tổng cộng của khối lượng chiếm thể tích V là: () ∫ = V ii dVvtP ρ Theo định luật thứ hai của Newton, định lý động lượng tuyến tính phát biểu. Biến thiên động lượng trên đơn vị thời gian bằng với hợp lực tác dụng lên 1 khối lượng bất kỳ đó trong môi trường liên tục: ∫∫∫ =+ ∧ V i V i s )n( i dVv dt d dVbdSt ρρ [4.12] Ký hiệu: ∫∫∫ →→→ =+ ∧ VVs )n( dVv dt d dVbdSt ρρ Phương trình chuyển động: từ định lý động lượng ta viết: ∫∫∫ =+ V oi V i s jji JdVv dt d dVbdSn ρρσ ∫∫∫∫       +==+ V o i i V oi V i V j,ji dV dt dv J dt )J(d vJdVv dt d dVbdV ρ ρ ρρσ Suy ra: ∫∫∫ • ==+ V i V o i i V j,ji dVvJdV dt dv dV)b( o ρρρσ Vậy: 0dV)vb( i i V j,ji =−+ • ∫ ρρσ Đối với thể tích V bất kỳ ta có: 0vb i ij,ji =−+ • ρρσ : Phương trình chuyển động. [4.13] Trường hợp cân bằng tĩnh học, số hạng gia tốc v i • triệt tiêu, ta có Phương trình: 0b ij,ji =+ ρσ : Phương trình cân bằng.[4.14] IV. Định lý mô men động lượng: Mô men động lượng bao hàm ý nghĩa đơn giản là mô men của động lượng đối với 1 điểm nhất định. Ta có phương trình mô men động lượng. ∫∫∫ ∈=∈+∈ ∧ V kjijk V kjijk S )n( kjijk dVvx dt d dVbxdStx ρρ [4.15] Ký hiệu: ∫∫∫ →→→→→→ ×=×+× ∧ VVS )n( dV)vx( dt d dV)bx(dS)tx( ρρ Cơ học môi trường liên tục GVC Trần minh Thuậ n 61 V. Định luật bảo toàn năng lượng - Định luật thứ nhất của nhiệt động lực học: 1. Định luật bảo toàn năng lượng tổng quát: Tốc độ biến thiên của động năng và của nội năng thì bằng công suất cơ học của ngoại lực sinh ra cộng với toàn bộ năng lượng khác nhận được hay mất đi trong đơn vị thời gian đó. Các dạng năng lượng nhận được hay mất đi bao gồm: nhiệt năng, hóa năng hay năng lượng điện từ. 2. Định luật thứ nhất của nhiệt động lực học: Nếu các dạng năng lượng trong môi trường liên tục chỉ gồm: cơ năng và nhiệt năng ta có định luật bảo toàn năng lượng dưới dạng định luật thứ nhất của nhiệt động lực học. Nhân phương trình chuyển động cho vận tốc v i ta được: ∫∫∫ += • V ii V j,jii V ii dVbvdVvdVvv ρσρ [4.16] nhưng: dt dK dV 2 v dt d dV 2 vv dt d dVvv V 2 V ii V ii ∫∫∫ === • ρρρ chính là đạo hàm của động năng. và: ( ) j,iji j, jiij,jii vvv σσσ −= bởi vì: ijijj,i VDv += và 0V ijji = σ { jijiijji VV σσ −= Suy ra: () ∫∫∫ +=+ V ii V j, jii V jiij dVbvdVvdVD dt dK ρσσ [4.17] Hay: ∫∫∫ +=+ ∧ V ii S )n( ii V jiij dVbvdStvdVD dt dK ρσ [4.18] Nếu đặt: dt dU dVD V jiij = ∫ σ : là biến thiên nội năng cơ học trên đơn vị thời gian hay: ∫∫ • == VV dVuudV dt d dt dU ρρ trong đó u là nội năng riêng (là nội năng trên đơn vị khối lượng). Và đặt vế trái của phương trình là công suất dt Wd , ta được: dt Wd dt dU dt dK =+ [4.19] Nếu gọi C i là nhiệt lượng tỏa ra trên 1 đơn vị diện tích của 1 đơn vị thời gian và Z là hằng số phát nhiệt (bức xa nhiệt) đơn vị khối lượng trên đơn vị thời gian thì tốc độ biến thiên tổng nhiệt (tốc độ cung cấp nhiệt của nguồn) trong môi trường liên tục cho bởi: ∫∫ +−= VS ii ZdVdSnC dt Qd ρ [4.20] Vậy định luật biến thiên cơ nhiệt năng của môi trường được cho bởi: dt Qd dt Wd dt dU dt dK +=+ [4.21] hoøåc viết theo dạng tích phân của phương trình năng lượng là ∫∫∫∫∫∫ −++=+ ∧ S ii VV ii S i )n( i VV ii dSncdVzdVbvdSvtdVudV 2 vv dt d ρρρρ & Chuyển các tích phân mặt thành tích phân thể tích và cho V là thể tích bất kỳ, phương trình năng lượng sẽ có dạng: () zc 1 vbv 1 u 2 v dt d i,iii j, iij 2 +−+=         + ρ σ ρ [4.22] Lấy phương trình chuyển động [4.13] nhân vô hưứng với l v ta được: Cơ học môi trường liên tục GVC Trần minh Thuậ n 62 iij,ijiii bvv 1 vv += σ ρ & ⇒ iiij,ij 2 vbv 1 2 v dt d +=         σ ρ [4.23] Trừ [4.22] cho [4.23] ta được: zc 1 D 1 zc 1 v 1 dt du i,iijiji,ij,iij +−=+−= ρ σ ρρ σ ρ [4.24] đặt zc 1 dt dq i,i +−= ρ ta được : dt dq D 1 dt du ijij += σ ρ [4.25] đây gọi là Phương trình năng lượng địa phương. Phương trình này diễn tả tốc độ biến thiên nội năng bằng với tổng của công suất do ứng suất và nhiệt lượng thêm vào môi trường. VI. Các Phương trình trạng thái - Entropy - Định luật thứ hai của nhiệt động lực học: Đặc trưng hoàn chỉnh của 1 hệ thống nhiệt động lực học là trạng thái của hệ thống đó. Trạng thái nầy được xác định bởi các đại lượng động học và nhiệt động lực học gọi là các tham số trạng thái. Sự biến đổi theo thời gian của các tham số trạng thái xác định 1 quá trình nhiệt động lực học. Quan hệ hàm số giữa các tham số trạng thái sẽ hình thành các phương trình trạng thái. Bất kỳ 1 tham số trạng thái nào được biểu diển bằng 1 hàm đơn trị xác định trên 1 tập hợp các tham số trạng thái khác được gọi là hàm trạng thái. Định luật thứ nhất chưa giải quyết vấn đề về quá trình chuyển hóa năng lượng là thuận nghịch hay bất thuận nghịch. Trên thực tế các quá trình xảy ra đều bất thuận nghịch, nhưng quá trình thuận nghịch là 1 tiên đề hữu ích trong nhiều tình huống mà sự tiêu hao năng lượng có thể giả sử không đáng kể. Định luật thứ hai nhiệt động lực học: Phát biểu dựa trên quá trình bất thuận nghịch và sự sản sinh ra Entropy trong quá trình này. Gọi T là nhiệt độ tuyệt đối và S là Entropy là 2 hàm trạng thái phân biệt (T luôn luôn dương(.Gọi dQ là vi phân nhiệt năng trong 1 quá trình nào đó, thì Entropy sẽ được viết dưới dạng biểu thức tích phân: ∫ = T dQ S [4.26] Tổng Entropy của hệ thì bằng tổng của Entropy từng phần. hay: ∫ = V dVsS ρ [4.27] trong đó s được gọi là Entropy riêng hay mật độ Entropy. Entropy của hệ thống có thể thay đổi bởi sự tương tác với môi trường bên ngoài hay bởi sự thay đổi xảy ra bên trong hệ thống đó, do đó: () () ie dSdSdS += [4.28] trong đó: dS : độ tăng Entropy. dS ( e ) : độ tăng Entropy do tương tác với bên ngoài. dS ( i ) : độ tăng Entropy do tương tác bên trong. với dS ( i ) > 0: quá trình bất thuận nghịch. dS ( i ) = 0: quá trình thuận nghịch. Nếu trong quá trình thuận nghịch, dq ( R ) chỉ nhiệt lượng cung cấp trên đơn vị khối lượng của hệ thống thì độ tăng Entropy là: () () T dq dS R e = [4.29] Bất đẳng thức Klausius Duhem: Định luật thứ hai của nhiệt động lực học được phát biểu như sau: Tốc độ thay đổi Entropy toàn phần của 1 môi trường tồn tại trong thể tích V không bao giờ nhỏ hơn tổng nguồn Entropy đưa vào qua biên giới của thể tích V và Entropy sinh ra ở bên trong thể tích V của nguồn bên ngoài. Định luật đó được thể hiện qua bất đẳng thức của Klausius Duhem như sau: Cơ học môi trường liên tục GVC Trần minh Thuậ n 63 ∫∫∫ −≥ S ii VV dS T nC edVsdV dt d ρρ [4.30] trong đó e: là công suất địa phương của nguồn Entropy bên ngoài tương ứng với 1 đơn vị khối lượng. Trong công thức trên dấu = ứng với quá trình thuận nghịch và dấu > ứng với quá trình bất thuận nghịch. Vì công thức đúng cho mọi thể tích nên: 0 T C x 1 e dt ds i i ≥       ⋅+−⇒ ∂ ∂ ρ [4.31] Vế trái của bất đẳng thức trên được gọi là tốc độ sinh ra nội entropy trong 1 đơn vị khối lượng ở tại địa phương. Trong cơ học của MTLT thường ten xơ ứng suất được phân làm hai thành phần: () () D ij C ijij σσσ += phần () C ij σ gọi là ứng suất bảo toàn và () D ij σ là ứng suất hao tán. Như vậy phương trình năng lượng được viết dưới dạng: () () dt dq D. 1 D. 1 dt du ij D ijij C ij ++= σ ρ σ ρ [4.32] trong đó () ij D ij D 1 σ ρ biểu thị tốc độ hao tán năng lượng trong một đơn vị khối lượng chịu ứng suất. Tỷ số dt dq biểu thị tốc độ cung cấp của nguồn nhiệt trong một đơn vị khối lượng cho môi trường. Nếu quá trình xảy ra là thuận nghịch thì năng lượng hao tán bằng không. Khi đó () dt Rdq dt dq = , từ đó : () dt ds TD. 1 dt du ij C ij += σ ρ [4.33] Trong quá trình không thuận nghịch tốc độ sinh ra entropy có thể tính theo: () ij D ij D. T 1 dt dq T 1 dt ds σ ρ += [4.34] Số vô hướng () ij D ij D. σ được gọi là hàm hao tán. Trong quá trình không thuận nghịch đoạn nhiệt (dq=0), phù hợp với định luật thứ hai nhiệt động lực 0 dt ds > khi đó từ phương trình hàm hao tán dương vì ρ T luôn luôn dương. . Cơ học môi trường liên tục GVC Trần minh Thuậ n 58 Chương 4. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC I. Đạo hàm của thể tích:. dV)bx(dS)tx( ρρ Cơ học môi trường liên tục GVC Trần minh Thuậ n 61 V. Định luật bảo toàn năng lượng - Định luật thứ nhất của nhiệt động lực học: 1. Định luật bảo